高考數(shù)學(xué)五年真題(2019-2023)分項(xiàng)匯編08 平面解析幾何（解答題）（老師用）

五年（2019-2023）年高考真題分項(xiàng)匯編

冷題08年面斛折幾何（斛答題）

高存?送瓶分衍

平面解析幾何在高考中考查比例較大，一般是1+1+1模式或者是2+1+1模式。在選題中，解析幾何解答題

中難度一般較大，計(jì)算量比較大.主要知識(shí)點(diǎn)是

考點(diǎn)01橢圓及其性質(zhì)

考點(diǎn)02雙曲線(xiàn)及其性質(zhì)

考點(diǎn)03拋物線(xiàn)及其性質(zhì)

高/真魅橫衍

考點(diǎn)01橢圓及其性質(zhì)

22

1.（2020年新高考全國(guó)卷H數(shù)學(xué)（海南）?第21題）已知橢圓C：=+4=1(4>6>0)過(guò)點(diǎn)乂(2,3),點(diǎn)A

ab

為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為一，

2

（1）求C的方程；

（2）點(diǎn)/V為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AM/V的面積的最大值.

22

【答案】⑴二+乙=1；⑵18.

1612

解析：（1）由題意可知直線(xiàn)ZM的方程為：y—3=；。—2）,即x—2y=-4.

當(dāng)片。時(shí)，解得九=-4，所以。二4,

y2249

橢圓C：w+與V=1（"＞人＞0）過(guò)點(diǎn)M（2,3）,可得話(huà)+”=1，

解得爐=12.

22

所以c的方程：L+匕=1.

1612

（2）設(shè)與直線(xiàn)A/W平行的直線(xiàn)方程為：x-2y=m,

如圖所示，當(dāng)直線(xiàn)與橢圓相切時(shí)，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線(xiàn)與橢圓的切點(diǎn)為M此時(shí)AAMN的面積取得

最大值.

1

可得：3（7%+2?+4;/=48,

化簡(jiǎn)可得：16y2+12加y+3加2-48=0,

所以△=144〃/—4xl6（3〃?2—48）=0,即標(biāo)=64,解得m=±8,

與AM距離比較遠(yuǎn)的直線(xiàn)方程：x—2y=8,

直線(xiàn)AM方程為：x-2y=-4,

點(diǎn)N到直線(xiàn)AM的距離即兩平行線(xiàn)之間的距離，

利用平行線(xiàn)之間的距離公式可得：1=孚上=竺叵，

J1+45

由兩點(diǎn)之間距離公式可得|AM|=7（2+4）2+32=3#）.

所以AAMN的面積的最大值：!x3j?x竺叵=18.

25

22

2.（2020江蘇高考?第18題）在平面直角坐標(biāo)系X0X中，已知橢圓氏土+匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，耳，

43

點(diǎn)A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2±FtF2,直線(xiàn)4耳與橢圓E相交于另一點(diǎn)5.

2

（1）求AAEE的周長(zhǎng);

（2）在x軸上任取一點(diǎn)尸，直線(xiàn)A尸與橢圓E的右準(zhǔn)線(xiàn)相交于點(diǎn)。，求OPQP的最小值;

⑶設(shè)點(diǎn),在橢圓E上，記△OAB與的面積分別為SyS2,若S?=3￡,求點(diǎn)加的坐標(biāo).

【答案】【答案】⑴6；⑵T；（3）”（2,0）或12一/1

22

【解析】⑴：橢圓E的方程為L(zhǎng)+2L=1,二月（TO）,丹（1,0）

43

由橢圓定義可得：AFI+AF2=4.

.?.△AGE的周長(zhǎng)為4+2=6

⑵設(shè)/看,0）,根據(jù)題意可得曲71.?.?點(diǎn)A在橢圓E上，且在第一象限，AF2±FtF2

?.?準(zhǔn)線(xiàn)方程為X=4,.?.Q（4,%）,

OP-QP=（x0,0）?—4,—yQ）—（^0—4）x0=（x0—2）—4>—4,當(dāng)且僅當(dāng)％（）=2時(shí)取等號(hào).

???。尸?。尸的最小值為Y.

⑶設(shè)"（XQJ,點(diǎn)M到直線(xiàn)AB的距離為d.片（TO）

，直線(xiàn)入片的方程為y=（。+1），丁點(diǎn)。到直線(xiàn)AB的距離為1,S2=3、

1319

：.S2=3Sl=3x-x\AB\x-=^\AB\-df-d=~,.二甌一4%+3|=9①

'__2

22&=2百=一亍

工+里=1②,.?.聯(lián)立①②解得七一

431^1=°12

:.M（2,0）或

3.（2020年高考課標(biāo)in卷理科.第20題）已知橢圓C:不尤2+%?=1（°<旌5）的離心率J為]5?’兒5分別為

C的左、右頂點(diǎn).

（1）求C的方程;

（2）若點(diǎn)尸在c上，點(diǎn)。在直線(xiàn)％=6上，且IBPH3QI,BP±BQ,求APQ的面積.

【答案】⑴《+電片=1；⑵』.

25252

22

解析：(1)C:——+2y=1(0<m<5)

25m

3

，a=5,b=m,

---1-----:

??.C的方程為：25（5J

⑵不妨設(shè)P,。在x軸上方

:點(diǎn)尸在C上，點(diǎn)。在直線(xiàn)％=6上，且IBPRBQI,BPLBQ,

過(guò)點(diǎn)尸作》軸垂線(xiàn)，交點(diǎn)為M，設(shè)％=6與無(wú)軸交點(diǎn)為N

\BP\=\BQ\,BPBQ,APMB=ZQNB=90°,

又；ZPBM+ZQBN=9Q°,ZBQN+ZQBN=90°,

：.ZPBM=ZBQN,

根據(jù)三角形全等條件"A4S"，

可得：4PMB必BNQ,

2525

8(5,0),

|PM|=|?V|=6-5=1.

設(shè)P點(diǎn)為（%,%）,

可得尸點(diǎn)縱坐標(biāo)為丹=1,將其代入江+叱=1,

2525

4

解得：/=3或%=一3,

???尸點(diǎn)為(3,1)或(—3,1),

①當(dāng)下點(diǎn)為(3,1)時(shí)，

故|阿=5-3=2,

,■4PMB三4BNQ,

：.\MB\=\NQ\=2,

可得：。點(diǎn)為(6,2),

可求得直線(xiàn)4Q的直線(xiàn)方程為：2x-lly+10=0,

2x3llxl+1

根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可得P到直線(xiàn)AQ的距離為：d=l-j=普==坐

A/22+112A/1255

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：|AQ|=7(6+5)2+(2-0)2=5行，

APQ面積為：lx5y/5x-=-；

252

②當(dāng)P點(diǎn)為(—3,1)時(shí)，

故阿=5+3=8,

/4PMB=/\BNQ,

：.\MB\=\NQ\=8,

可得：。點(diǎn)為(6,8),

畫(huà)出圖象，如圖

5

A(-5,0),2(6,8),

可求得直線(xiàn)4Q的直線(xiàn)方程為：8x-lly+40=0,

18x(-3)-11x1+401|5|5

根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可得P到直線(xiàn)AQ的距離為：d=J~'丁——=-P==—=,

A/82+112V185V185

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：\AQ\=J(6+51+(8—0)2=j底，

APQ面積為：-xV185x^—―=—,

綜上所述，APQ面積為：

2

5.(2023年北京卷?第19題)已知橢圓氏二+《=1(a>6>0)離心率為好，A、C分別是E的上、

ab23

下頂點(diǎn)，B,O分別是E的左、右頂點(diǎn)，IAC1=4.

(1)求E的方程；

(2)設(shè)P為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)也>與直線(xiàn)5C交于點(diǎn)直線(xiàn)a與直線(xiàn)y=-2交于點(diǎn)

N.求證：MN//CD.

22

【答案】⑴二+匕=1

94

(2)證明見(jiàn)解析

解析：(1)依題意，得e=±=好,則°=好。，

a33

又AC分別為橢圓上下頂點(diǎn)，|4。=4,所以2b=4,即b=2,

5o4a

所以a2—*=尸=4,即〃0—a——a=4,則/=9，

99

22

所以橢圓石的方程為二+匕=1.

94

6

22

⑵因?yàn)闄E圓E的方程為亍+?=1,所以A（0,2）,C（0,-2）,B（-3,0）,D（3,0）,

22

因?yàn)镻為第一象限E上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)。（根,〃）（0<相<3,0<"<2）,則q-+（=i,

H一。力YI

kPD=——=——，則直線(xiàn)PD的方程為y=-^(%—3),

m-3m-3m-3

2c3(3n-2m+6)

y=——x-2

33n+2m-6即f3(3〃-2-+6)-12n

聯(lián)立，解得＜M

n-I2n'(3n+2m—693n+2m—6

x-3)?

3n+2m-6

coo

而左2=0^==，則直線(xiàn)a的方程為y==x+2,

m—0mm

n—0—4M7(—4A77

令y=—2,則—2=U%+2,解得%=*,即N——,-2

mn—2\n—2

加2力29〃2

又----1----=1,貝Im2=9-------，8m2=72—18n2,

944

所以左=31+2〃z—6=______(一6幾+4加一12)(九一2)_______

MN3(3n-2m+6)-4m(9n—6m+18)(n—2)+4m(3n+2m—6)

3n+2m—6n—2

—6n2+4mn—8m+24_—6n2+4mH—8m+24

9n2+8m2+6mn—12m—369n2+72—18〃？+6mn—12m—36

_-6n-+4mn-8m+24_2(-3n2+2mn-4m+12)_2

-9n2+6mn-12m+363(-3n2+2mn-4m+12)3,

又kb~~~~~9即氏MN=kb'

J—U3

顯然，MN與CD不重合，所以MN"CD.

7

22

6.（2023年天津卷?第18題）設(shè)橢圓二+3=1（a>6>0）的左右頂點(diǎn)分別為'A,,右焦點(diǎn)為尸，己知

ab

Ml=3,M=l.

（1）求橢圓方程及其離心率；

（2）已知點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線(xiàn)4P交y軸于點(diǎn)。，若三角形4PQ的面積是三角

形4尸P面積的二倍，求直線(xiàn)4P的方程.

X2V21

【答案】（1）橢圓的方程為土+匕=1,離心率為e=—

432

解析：（1）如圖,

a+c=3,------「

由題意得彳a_c_］，解得。=2,。=1,所以b=d2T=羋），

221

所以橢圓的方程為王+上=1，離心率為e=E=—.

43a2

22

（2）由題意得，直線(xiàn)4尸斜率存在，由橢圓的方程為亍+q=l可得4（2,0）,

設(shè)直線(xiàn)A2P的方程為y=k（x-2）,

22

土+上=1

聯(lián)立方程組《43消去'整理得：(3+4左2)/—i6/x+16/—12=0,

y=k(^x-2j

16廿_in8^-6

由韋達(dá)定理得?Xp=，所以％P

d3+4產(chǎn)

’8尸-6-12k

所以p2(0-2/:).

、3+4F3+4產(chǎn)

8

所以Sa心=gx4x%|,S=|xlx|yp|,sAA2F=1x4x|yp|,

所以S&。4=SA[PQ+S4A2「=2sA?PF+SA&P，

]2k

所以2聞=3|訃即2卜2A1=3-3+二2，

解得左=±逅,

所以直線(xiàn)4尸的方程為y=±

2

22

7.（2022高考北京卷?第19題）已知橢圓：石：寧+方=1（。＞6＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為4（0」），焦距為2，，.

（1）求橢圓E的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)尸（-2,1）作斜率為k的直線(xiàn)與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B,3直線(xiàn)AB,AC分別與x軸交于點(diǎn)M,

N,當(dāng)|"N|=2時(shí)，求k的值.

【答案】解析:⑴依題意可得6=1,2c=26，又。2=4—廿，

所以4=2,所以橢圓方程為工+必=1；

4

⑵解：依題意過(guò)點(diǎn)P（—2,1）的直線(xiàn)為丁一1二左（x+2）,設(shè)3（再,%）、。（和％）,不妨令

-2<xt<x2<2,

y-l=k(x+2)

，肖去'整理得（1+4左2）x?+（16左2+8%）龍+16左2+16左=。，

由＜?21

—+V=1

14

所以A=(1642+8左丫—4(1+4左2)0642+16可>0,解得k<0,

2

16k+8左16左2+16左

所以玉+九2=—F.%=---------------%—

12

1+4左21+4左2

V.—1%

直線(xiàn)的方程為y—1=2一X,令y=0,解得“=L

芯If

1%—1X、

直線(xiàn)AC的方程為丁一1=乙一％,令y=0,解得無(wú)N=L

%1一%

所以|MN|=BN-%|=白-A-

I一乃I—必

x2

1-[左(%2+2)+1]1-[左(再+2)+1]

9

—X?_____|西

—左(馬+2)化(再+2)

(%2+2)石一42(石+2)

上(%2+2)(%+2)

=2忖一司=2

網(wǎng).+2)(石+2)'

所以歸r21TH(9+2乂石+2),

即1(.+々)2-4芯々=IH[%2工1+2(%+%)+4]

Bn1(16.+8左丫：16左2+16左I,「16左2+16左J16左2+8左)/

即J----------廠(chǎng)-4x----------=同------廠(chǎng)+2-----------廠(chǎng)+4

1+4左2J1+4左2111+4左2(]+4左2J

即]+\J(242+.)2一(1+4%2)(-2+.)=〔16左2+16%—2(16%2+8%)+4(1+4左2)]

整理得8G=4陶，解得左=T

8.(2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題?第21題)如圖，已知橢圓*土+y2=i.設(shè)4B是橢圓上異于P(0,l)的兩

12

(O1

點(diǎn)，且點(diǎn)。0,-在線(xiàn)段A3上，直線(xiàn)PAPB分別交直線(xiàn)y=—-x+3于C,。兩點(diǎn).

I2J2

(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；

⑵求ICDI的最小值.

【答案】解析⑴設(shè)2(273cossin是橢圓上任意一點(diǎn),尸(0,1)，則

(1Y144144

|Pei2=12cos2^+(l-sin0)2=13-llsin2^-2sin^=-lllsin6^+—,當(dāng)且

io

僅當(dāng)sin。=-工時(shí)取等號(hào)，故|PQ|的最大值是超叵

1111

1211、3

⑵設(shè)直線(xiàn)4刀:y=kx+」直線(xiàn)AS方程與橢圓r工+必=1聯(lián)立，可得k2-\—X2kx—=0,

212I1122j4

k

玉+%2=---------------T~

k2+-

19%—11

設(shè)4（不乂）,5（為2，%），所以，3,因?yàn)橹本€(xiàn)PA：）=--X+1與直線(xiàn)

xx=---彳一

x2+上]

42

k12J

y=_工1+3交于C,則％-

，同理可得,

2西+2%—2（2左+1）再_]

4X2_4X2

x2+2%—2（2左+l）x2—1

4xl4九2

（2左+1）為一1（2k+l）x2-l

石-x

=2小=2非2

2

[（2^+1）X1-1][（2^+1）X2-1]（2k+1）一（2左+1）（X]+%）+1

2

須訪(fǎng)黑+1〉66丫4左x|+lxl

述,

-----i-------；-------------X——

2|3Zr+l|5|3%+1|5\3k+l\一亍

當(dāng)且僅當(dāng)左=]1時(shí)取等號(hào)，故|CD|的最小值為竿.

22

9.（2021高考北京?第20題）已知橢圓E：谷+==1（a>6>0）一個(gè)頂點(diǎn)A（0,-2）,以橢圓￡的四個(gè)頂

ab

點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為4、行.

（1）求橢圓E的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)P（0,-3）的直線(xiàn)/斜率為k的直線(xiàn)與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B,C,直線(xiàn)AB,AC分別與直線(xiàn)交

y=-3交于點(diǎn)M,N,當(dāng)|PM|+|PN|W15時(shí),求k的取值范圍.

22

【答案】⑴二+匕=1;⑵[—3,—1）51,3].

54

解析：（1）因?yàn)闄E圓過(guò)A（0,—2）,故人=2,

11

因?yàn)樗膫€(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為4石，故;x2ax2Z?=4j^,即4=指，

22

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：匕+乙=1.

54

設(shè)5（石,乂）,。（9,%），因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率存在，故可//0，

故直…線(xiàn)=義X+一2x-c2,令y=—3,則=——M、，同理/=——x9：

*%+2%+2

y——3

直線(xiàn)5C:y=Ax—3,由4,,可得（4+5左2）/—30日+25=0,

'4%+5y=20、'

故A=900Y—10。（4+5笈）＞0,解得左＜—1或左〉1

「30k25遼八?一n

又X]+兀2=4+5攵2，'送2=4+5k2，故石“2＞°，所以

^\PM\+\PN\=\XM+xN\=+

必十/必十/

50k30k

==23％-（一+%）=4+/4+/=5網(wǎng)故5網(wǎng)W15即

2

質(zhì)]-1kx,-1左2芯工2_左（毛+為）+i25k30K十】

4+5—2-4+5Z?+

年3,

綜上，一3《左＜—1或1＜無(wú)（3.

22

10.（2020天津高考?第18題）已知橢圓3+2=1（°＞6＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為4（0,-3）,右焦點(diǎn)為尸，且

ab

\OA\=\OF\,其中。為原點(diǎn).

（I）求橢圓方程；

12

（II）已知點(diǎn)。滿(mǎn)足30c=O尸，點(diǎn)3在橢圓上（3異于橢圓的頂點(diǎn)），直線(xiàn)AB與以。為圓心的圓相切于

點(diǎn)、P,且尸為線(xiàn)段A3的中點(diǎn).求直線(xiàn)的方程.

【答案】【答案】（I）L+2L=I；（2尸白一3,或尸元-3.

1892

22

【解析】⑴???橢圓'+方=1（0〉6〉0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0,—3）,

."=3,由網(wǎng)=網(wǎng),得c=>=3,又由3=由+°2,得42=32+32=18，

22

所以，橢圓的方程為土+匕=1;

189

（IIA.?直線(xiàn)AB與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)P,所以BLAB,

根據(jù)題意可知，直線(xiàn)和直線(xiàn)CP的斜率均存在，

設(shè)直線(xiàn)的斜率為左，則直線(xiàn)的方程為丫+3=丘，即y=履-3,

y=kx-3

可得（公）12k

消去2+id-12kx=0,解得x=0或x=

=12k2+1

189

12k^y=k-^-3=6k2-3

將x=代入》=阮-3,

2k2+12k2+121c+\

（6k—3、

所以，點(diǎn)8的坐標(biāo)為Up賓W，因?yàn)槭瑸榫€(xiàn)段A8的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,-3）,

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（丁^,赤片），由30c=O尸，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（L。），

所以，直線(xiàn)CP的斜率為左3=用段一="匚］，又因?yàn)锽LAB，所以—=T，

6ki2k-6k+l2k--6k+l

2k2+1

整理得2r-3k+l=0,解得左=g或左=1.所以，直線(xiàn)AB的方程為y=g》-3或y=x-3.

22

11.（2019?上海?第20題）已知橢圓（■+'=：!,片，工為左、右焦點(diǎn)，直線(xiàn)/過(guò)工交橢圓于4B兩點(diǎn).

（1）若AB垂直于x軸時(shí)，求|AB|；

（2）當(dāng)N￡AB=90時(shí)，A在X軸上方時(shí)，求4,5的坐標(biāo);

⑶若直線(xiàn)A耳交y軸于M,直線(xiàn)BF1交y軸于N,是否存在直線(xiàn)/,使S46AB=Sa4MN，若存在，求

出直線(xiàn)/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴20；⑵A(0,2),B(|⑶x+后y-2=0或x-后y-2=0

13

【解析】（1）依題意：乃（2,0），當(dāng)ABLx軸，則坐標(biāo)4（2,正），B（2-V2）,

.?.網(wǎng)=2收

（2）法一（秒殺）：焦點(diǎn)三角形面積公式：=b2-tan-1=4xtan=4；

SAFIAF2

又：|耳鳥(niǎo)|=2c=4,

^AF}AF2=/.2。,力=2%=4,即％=2

所以A在短軸端點(diǎn)，即A（0⑵

y=-x+2

直線(xiàn)/.（即加）方程為：y=—X+2,聯(lián)立：公2,得8（9，—1）.

—+—=133

184

7T

法二（常規(guī)）：依題意：設(shè)坐標(biāo)A（X],%）,???/月Ag=]（注意：用點(diǎn)用更方便計(jì)算）

則有：AFlAF2=（玉+2,%）.（西-2,%）=X：-4+才

又A在橢圓上，滿(mǎn)足：手+*1,即：才=4（1—,）

___2

正?麗=3一4+4（1-區(qū)）=0,解出：%=0,4（0,2）

8

8點(diǎn)坐標(biāo)求解方法同法一，

33

（2）設(shè)坐標(biāo)42,為），B（x2,y2）,M（O,y3）,N（0,y4）,直線(xiàn)/：尤=沖+2（k不存在時(shí)不滿(mǎn)足題意）

則：SAF]AB=]陽(yáng)周?瓦一%|=2卜1一對(duì);

S八F\MN=2比。3%—>4|=|%—%|；

x=my+24m

必+%=-2-T

2m+2

聯(lián)立方程：xy2,（加2+2）y2+4機(jī)y_4=0,韋達(dá)定理

—+—=1-4

I84

m+2

y=—^—（%+2）得M縱坐標(biāo)：為二2yl

由直線(xiàn)4尸1方程:

%+2西+2

由直線(xiàn)班方程:>=^^（犬+2）得/\/縱坐標(biāo)：,4=01；

%2+2尤2+2

若SARAB=S^F[MN，即2'-為|=M—力|

14

l-y_yI=2_____2y2=2_____2y2=____8（%-乃）____=2|y-

341

|西+2x2+2\myx+4my2+4+4\my2+4）

：?|（加％+4）（加%+4）|=4,加2yly2+4加（必+為）+頊=4,代入韋達(dá)定理:

得：——F4m—^――+16=4,解出：m=±V3

m2+2in+2

：.存在直線(xiàn)X+6>-2=0或后y-2=0滿(mǎn)足題意.

考點(diǎn)02雙曲線(xiàn)及其性質(zhì)

1.(2023年新課標(biāo)全國(guó)II卷第21題)已知雙曲線(xiàn)C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為卜2石,0),離心率為75.

(1)求C的方程；

(2)記C左、右頂點(diǎn)分別為4，4,過(guò)點(diǎn)(—4,0)的直線(xiàn)與C的左支交于/W,N兩點(diǎn)，M在第二象限,

直線(xiàn)町與N4交于點(diǎn)p.證明:點(diǎn)P在定直線(xiàn)上.

22

【答案】⑴二-匕=1

416

(2)證明見(jiàn)解析.

解析：⑴

22

設(shè)雙曲線(xiàn)方程為方=1(〃>0,b>0),由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知C=2君，

則由e=￡=逐可得”=2,b=\lc2-a2=4，

a

22

雙曲線(xiàn)方程為二—匕=1.

416

(2)

由⑴可得4(一2,0)，4(2,0),設(shè)A/a，%),N(X2，%),

顯然直線(xiàn)的斜率不為0,所以設(shè)直線(xiàn)2WN的方程為％=切-4,且—工<加<工,

22

22

與工-匕=1聯(lián)立可得(4m2-1）/-32my+48=0,且A=64（4病+3）〉0,

416,

32m48

貝U%+%=，X%=

4m2—14m2—1

15

直線(xiàn)的方程為y=^-（%+2）,直線(xiàn)N&的方程為y=上7"一2），

國(guó)+2%—2

聯(lián)立直線(xiàn)與直線(xiàn)N%的方程可得:

x+2=%（石+2）=%（陽(yáng)「2）=沖1%-2（%+%）+2%

%一2%（%2—2）%（陽(yáng)2一6）陽(yáng)跖一6%

48.32m__16m.

m-

4加214加2]-_4加2]力

48,48/n，3

mx——-------by.——；-----6yl

4m2-114m2-11

x+21

由——=一一可得％=—1，即％,=一1.

x—23

據(jù)此可得點(diǎn)P在定直線(xiàn)x=-l上運(yùn)動(dòng).

22

2.（2022新高考全國(guó)II卷?第21題）已知雙曲線(xiàn)。：5-與=1（。>03>0）的右焦點(diǎn)為網(wǎng)2,0）,漸近線(xiàn)方程

ab

為y=+y]3x■

（1）求c的方程；

（2）過(guò)F的直線(xiàn)與C的兩條漸近線(xiàn)分別交于A(yíng),B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（石,乂）,。（9,%）在C上，

且.%>%〉0,>1>0.過(guò)P且斜率為-G的直線(xiàn)與過(guò)Q且斜率為6的直線(xiàn)交于點(diǎn)/W.從下面①②

③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：

①M(fèi)在A(yíng)3上；②PQ〃AB；③|A￡4|=|.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

2

【答案】⑴，—匕=1

3

（2）見(jiàn)解析

解析：⑴右焦點(diǎn)為尸（2,0）,；.c=2,：漸近線(xiàn)方程為y=±gx，二2=石，；"=&，二

16

2

c2=a2+b2=4a2=4,；,a=\，：.b=G,，C的方程為：x2-=1；

（2）由已知得直線(xiàn)PQ的斜率存在且不為零，直線(xiàn)AB的斜率不為零，

若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線(xiàn)AB的斜率存在且不為零；

若選①③推②，則M為線(xiàn)段A3的中點(diǎn)，假若直線(xiàn)的斜率不存在，則由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知M在

x軸上，即為焦點(diǎn)尸，此時(shí)由對(duì)稱(chēng)性可知P、。關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，與從而石=%2，已知不符；

總之，直線(xiàn)48的斜率存在且不為零.

設(shè)直線(xiàn)AB的斜率為比直線(xiàn)A3方程為y=k（x-2）,

則條件①"■在A(yíng)B上，等價(jià)于%=左（$—2）0似）=左2a）—2）；

兩漸近線(xiàn)方程合并為3#->2=0,

聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：（左2—3）d—4/x+4左2=0

設(shè)A（%,%）,雙%,％）,線(xiàn)段中點(diǎn)N（xN,yN）,

馬+乙2k2-6k

設(shè)M（%0,%）,則條件③等價(jià)于（/―￡『+（%—%）2=（%—z）?+（%—以）、

移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：

（七一工4）［2々—（七+無(wú)4）］+（%——（%+%）］=。,

［25一（%,+%4）］+'〔2%—（為+y4）］=。，即為一+左（為一）=。，

/一元4

左

即尤。+外。=器82；

由題意知直線(xiàn)P根的斜率為直線(xiàn)Q心的斜率為J5，

由x-%=-6（不一%）,%—%=G（%2一%），

X—%=-G（%+/—2%），

所以直線(xiàn)PQ的斜率m=43=??+%-勾,

玉一元2七一々

直線(xiàn):y=-6（無(wú)一尤o）+%,即y=%>X,

代入雙曲線(xiàn)的方程3/_y2_3=0,即（&+城底一y）=3中,

得：卜0+6%0）27§%-卜0+百%）=3,

17

后0，

）

3%

3%

；?條件②PQ//AB等價(jià)于加=女OAy。=3%，

%

綜上所述:

條件①“在上，等價(jià)于口0=左2（%—2）；

條件②PQ//AB等價(jià)于ky=；

03x0

條件③|=忸閭等價(jià)于x0+1=當(dāng)、；

k—3

選①②推③:

2左28k2

由①②解得:x+ky=4x=...③成立;

x°=K'0Q0P-3,

選①③推②:

2k2,6k之

由①③解得:

%=產(chǎn)有，灼。-k2