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北京朝陽人大附朝陽分校中考數(shù)學(xué)押題試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1.如圖,A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)均在⊙O上,∠AOD=70°,AO∥DC,則∠B的度數(shù)為()A.40° B.45° C.50° D.55°2.如圖,已知點(diǎn)A,B分別是反比例函數(shù)y=(x<0),y=(x>0)的圖象上的點(diǎn),且∠AOB=90°,tan∠BAO=,則k的值為()A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣43.如圖,過點(diǎn)A(4,5)分別作x軸、y軸的平行線,交直線y=﹣x+6于B、C兩點(diǎn),若函數(shù)y=(x>0)的圖象△ABC的邊有公共點(diǎn),則k的取值范圍是()A.5≤k≤20 B.8≤k≤20 C.5≤k≤8 D.9≤k≤204.關(guān)于x的方程12x=kA.0或125.一列快車從甲地駛往乙地,一列特快車從乙地駛往甲地,快車的速度為100千米/小時(shí),特快車的速度為150千米/小時(shí),甲乙兩地之間的距離為1000千米,兩車同時(shí)出發(fā),則圖中折線大致表示兩車之間的距離(千米)與快車行駛時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)圖象是A. B.C. D.6.姜老師給出一個(gè)函數(shù)表達(dá)式,甲、乙、丙三位同學(xué)分別正確指出了這個(gè)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì).甲:函數(shù)圖像經(jīng)過第一象限;乙:函數(shù)圖像經(jīng)過第三象限;丙:在每一個(gè)象限內(nèi),y值隨x值的增大而減?。鶕?jù)他們的描述,姜老師給出的這個(gè)函數(shù)表達(dá)式可能是()A. B. C. D.7.如圖,點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上,∠AOC=120°,點(diǎn)B是弧AC的中點(diǎn),則∠D的度數(shù)是()A.60° B.35° C.30.5° D.30°8.圓錐的底面直徑是80cm,母線長(zhǎng)90cm,則它的側(cè)面積是A. B. C. D.9.若正比例函數(shù)y=3x的圖象經(jīng)過A(﹣2,y1),B(﹣1,y2)兩點(diǎn),則y1與y2的大小關(guān)系為()A.y1<y2 B.y1>y2 C.y1≤y2 D.y1≥y210.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=12,AC=5,分別以點(diǎn)A,B為圓心,大于線段AB長(zhǎng)度的一半為半徑作弧,相交于點(diǎn)E,F(xiàn),過點(diǎn)E,F(xiàn)作直線EF,交AB于點(diǎn)D,連接CD,則△ACD的周長(zhǎng)為()A.13 B.17 C.18 D.25二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11.若關(guān)于x的方程x2-mx+m=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根,則代數(shù)式2m2-8m+3的值為__________.12.如圖,在中,CM平分交AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作交AC于點(diǎn)N,且MN平分,若,則BC的長(zhǎng)為______.13.如圖是測(cè)量河寬的示意圖,AE與BC相交于點(diǎn)D,∠B=∠C=90°,測(cè)得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河寬AB=______m.14.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,⊙P的圓心在x軸上,且經(jīng)過點(diǎn)A(m,﹣3)和點(diǎn)B(﹣1,n),點(diǎn)C是第一象限圓上的任意一點(diǎn),且∠ACB=45°,則⊙P的圓心的坐標(biāo)是_____.15.如圖,直線m∥n,以直線m上的點(diǎn)A為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧,分別交直線m,n于點(diǎn)B、C,連接AC、BC,若∠1=30°,則∠2=_____.16.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊AC上,將△ADE沿DE翻折,使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,當(dāng)A′E⊥AC時(shí),A′B=____.17.如圖,半圓O的直徑AB=2,弦CD∥AB,∠COD=90°,則圖中陰影部分的面積為_____.三、解答題(共7小題,滿分69分)18.(10分)計(jì)算:4cos30°﹣+20180+|1﹣|19.(5分)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),一次函數(shù)y1=kx+b與反比例函數(shù)y2=的圖象交于A(1,m)、B(n,1)兩點(diǎn).(1)求直線AB的解析式;(2)根據(jù)圖象寫出當(dāng)y1>y2時(shí),x的取值范圍;(3)若點(diǎn)P在y軸上,求PA+PB的最小值.20.(8分)如圖,在△ABC中,∠C=90°,以AB上一點(diǎn)O為圓心,OA長(zhǎng)為半徑的圓恰好與BC相切于點(diǎn)D,分別交AC,AB于點(diǎn)E,F(xiàn).(1)若∠B=30°,求證:以A,O,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形;(2)填空:若AC=6,AB=10,連接AD,則⊙O的半徑為,AD的長(zhǎng)為.21.(10分)如圖所示,直線y=x+2與雙曲線y=相交于點(diǎn)A(2,n),與x軸交于點(diǎn)C.求雙曲線解析式;點(diǎn)P在x軸上,如果△ACP的面積為5,求點(diǎn)P的坐標(biāo).22.(10分)如圖,AB是半徑為2的⊙O的直徑,直線l與AB所在直線垂直,垂足為C,OC=3,P是圓上異于A、B的動(dòng)點(diǎn),直線AP、BP分別交l于M、N兩點(diǎn).(1)當(dāng)∠A=30°時(shí),MN的長(zhǎng)是;(2)求證:MC?CN是定值;(3)MN是否存在最大或最小值,若存在,請(qǐng)寫出相應(yīng)的最值,若不存在,請(qǐng)說明理由;(4)以MN為直徑的一系列圓是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn),若是,請(qǐng)確定該定點(diǎn)的位置,若不是,請(qǐng)說明理由.23.(12分)山地自行車越來越受中學(xué)生的喜愛.一網(wǎng)店經(jīng)營(yíng)的一個(gè)型號(hào)山地自行車,今年一月份銷售額為30000元,二月份每輛車售價(jià)比一月份每輛車售價(jià)降價(jià)100元,若銷售的數(shù)量與上一月銷售的數(shù)量相同,則銷售額是27000元.求二月份每輛車售價(jià)是多少元?為了促銷,三月份每輛車售價(jià)比二月份每輛車售價(jià)降低了10%銷售,網(wǎng)店仍可獲利35%,求每輛山地自行車的進(jìn)價(jià)是多少元?24.(14分)拋物線y=﹣x2+bx+c(b,c均是常數(shù))經(jīng)過點(diǎn)O(0,0),A(4,4),與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B,且拋物線對(duì)稱軸與線段OA交于點(diǎn)P.(1)求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)過點(diǎn)P作x軸的平行線l,若點(diǎn)Q是直線上的動(dòng)點(diǎn),連接QB.①若點(diǎn)O關(guān)于直線QB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,當(dāng)點(diǎn)C恰好在直線l上時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);②若點(diǎn)O關(guān)于直線QB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,當(dāng)線段AD的長(zhǎng)最短時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo)(直接寫出答案即可).
參考答案一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1、D【解析】試題分析:如圖,連接OC,∵AO∥DC,∴∠ODC=∠AOD=70°,∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD=70°,∴∠COD=40°,∴∠AOC=110°,∴∠B=∠AOC=55°.故選D.考點(diǎn):1、平行線的性質(zhì);2、圓周角定理;3等腰三角形的性質(zhì)2、D【解析】
首先過點(diǎn)A作AC⊥x軸于C,過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D,易得△OBD∽△AOC,又由點(diǎn)A,B分別在反比例函數(shù)y=(x<0),y=(x>0)的圖象上,即可得S△OBD=,S△AOC=|k|,然后根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方,即可求出k的值【詳解】解:過點(diǎn)A作AC⊥x軸于C,過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D,
∴∠ACO=∠ODB=90°,
∴∠OBD+∠BOD=90°,
∵∠AOB=90°,
∴∠BOD+∠AOC=90°,
∴∠OBD=∠AOC,
∴△OBD∽△AOC,
又∵∠AOB=90°,tan∠BAO=,
∴=,
∴=,即,
解得k=±4,
又∵k<0,
∴k=-4,
故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì).解題時(shí)注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,注意掌握輔助線的作法。3、A【解析】若反比例函數(shù)與三角形交于A(4,5),則k=20;若反比例函數(shù)與三角形交于C(4,2),則k=8;若反比例函數(shù)與三角形交于B(1,5),則k=5.故.故選A.4、A【解析】方程兩邊同乘2x(x+3),得x+3=2kx,(2k-1)x=3,∵方程無解,∴當(dāng)整式方程無解時(shí),2k-1=0,k=12當(dāng)分式方程無解時(shí),①x=0時(shí),k無解,②x=-3時(shí),k=0,∴k=0或12故選A.5、C【解析】分三段討論:①兩車從開始到相遇,這段時(shí)間兩車距迅速減??;②相遇后向相反方向行駛至特快到達(dá)甲地,這段時(shí)間兩車距迅速增加;③特快到達(dá)甲地至快車到達(dá)乙地,這段時(shí)間兩車距緩慢增大;結(jié)合圖象可得C選項(xiàng)符合題意.故選C.6、B【解析】y=3x的圖象經(jīng)過一三象限過原點(diǎn)的直線,y隨x的增大而增大,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;y=的圖象在一、三象限,在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小,故選項(xiàng)B正確;y=?的圖象在二、四象限,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;y=x2的圖象是頂點(diǎn)在原點(diǎn)開口向上的拋物線,在一、二象限,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤;故選B.7、D【解析】
根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得到∠AOB=∠AOC,再根據(jù)圓周角定理即可解答.【詳解】連接OB,∵點(diǎn)B是弧的中點(diǎn),∴∠AOB=∠AOC=60°,由圓周角定理得,∠D=∠AOB=30°,故選D.【點(diǎn)睛】此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系定理,解題關(guān)鍵在于利用好圓周角定理.8、D【解析】圓錐的側(cè)面積=×80π×90=3600π(cm2).故選D.9、A【解析】
分別把點(diǎn)A(?1,y1),點(diǎn)B(?1,y1)代入函數(shù)y=3x,求出點(diǎn)y1,y1的值,并比較出其大小即可.【詳解】解:∵點(diǎn)A(?1,y1),點(diǎn)B(?1,y1)是函數(shù)y=3x圖象上的點(diǎn),∴y1=?6,y1=?3,∵?3>?6,∴y1<y1.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn),即一次函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式.10、C【解析】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=12,AC=5,根據(jù)勾股定理求得AB=13.根據(jù)題意可知,EF為線段AB的垂直平分線,在Rt△ABC中,根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得CD=AD=AB,所以△ACD的周長(zhǎng)為AC+CD+AD=AC+AB=5+13=18.故選C.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11、1.【解析】
根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出△=m2﹣4m=0,將其代入2m2﹣8m+1中即可得出結(jié)論.【詳解】∵關(guān)于x的方程x2﹣mx+m=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根,∴△=(﹣m)2﹣4m=m2﹣4m=0,∴2m2﹣8m+1=2(m2﹣4m)+1=1.故答案為1.【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式,熟練掌握“當(dāng)△=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵.12、1【解析】
根據(jù)題意,可以求得∠B的度數(shù),然后根據(jù)解直角三角形的知識(shí)可以求得NC的長(zhǎng),從而可以求得BC的長(zhǎng).【詳解】∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N,且MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,∴∠ACB=2∠B,NM=NC,∴∠B=30°,∵AN=1,∴MN=2,∴AC=AN+NC=3,∴BC=1,故答案為1.【點(diǎn)睛】本題考查含30°角的直角三角形、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是明確題意,找出所求問題需要的條件,利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.13、1【解析】
由兩角對(duì)應(yīng)相等可得△BAD∽△CED,利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可得兩岸間的大致距離AB的長(zhǎng).【詳解】解:∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,∴△ABD∽△ECD,∴,即,解得:AB==1(米).故答案為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用,用到的知識(shí)點(diǎn)為:兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似;相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例.14、(2,0)【解析】【分析】作輔助線,構(gòu)建三角形全等,先根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的二倍得:∠APB=90°,再證明△BPE≌△PAF,根據(jù)PE=AF=3,列式可得結(jié)論.【詳解】連接PB、PA,過B作BE⊥x軸于E,過A作AF⊥x軸于F,∵A(m,﹣3)和點(diǎn)B(﹣1,n),∴OE=1,AF=3,∵∠ACB=45°,∴∠APB=90°,∴∠BPE+∠APF=90°,∵∠BPE+∠EBP=90°,∴∠APF=∠EBP,∵∠BEP=∠AFP=90°,PA=PB,∴△BPE≌△PAF,∴PE=AF=3,設(shè)P(a,0),∴a+1=3,a=2,∴P(2,0),故答案為(2,0).【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和坐標(biāo)與圖形性質(zhì),三角形全等的性質(zhì)和判定,作輔助線構(gòu)建三角形全等是關(guān)鍵.15、75°【解析】試題解析:∵直線l1∥l2,∴故答案為16、或7【解析】
分兩種情況:①如圖1,作輔助線,構(gòu)建矩形,先由勾股定理求斜邊AB=10,由中點(diǎn)的定義求出AD和BD的長(zhǎng),證明四邊形HFGB是矩形,根據(jù)同角的三角函數(shù)列式可以求DG和DF的長(zhǎng),并由翻折的性質(zhì)得:∠DA'E=∠A,A'D=AD=5,由矩形性質(zhì)和勾股定理可以得出結(jié)論:A'B=;②如圖2,作輔助線,構(gòu)建矩形A'MNF,同理可以求出A'B的長(zhǎng).【詳解】解:分兩種情況:如圖1,過D作DG⊥BC與G,交A'E與F,過B作BH⊥A'E與H,D為AB的中點(diǎn),BD=AB=AD,∠C=,AC=8,BC=6,AB=10,BD=AD=5,sin∠ABC=,DG=4,由翻折得:∠DA'E=∠A,A'D=AD=5,sin∠DA'E=sin∠A=.DF=3,FG=4-3=1,A'E⊥AC,BC⊥AC,A'E//BC,∠HFG+∠DGB=,∠DGB=,∠HFG=,∠EHB=,四邊形HFGB是矩形,BH=FG=1,同理得:A'E=AE=8-1=7,A'H=A'E-EH=7-6=1,在Rt△AHB中,由勾股定理得:A'B=.如圖2,過D作MN//AC,交BC與于N,過A'作A'F//AC,交BC的延長(zhǎng)線于F,延長(zhǎng)A'E交直線DN于M,A'E⊥AC,A'M⊥MN,A'E⊥A'F,∠M=∠MA'F=,∠ACB=,∠F=∠ACB=,四邊形MA'FN県矩形,MN=A'F,FN=A'M,由翻折得:A'D=AD=5,Rt△A'MD中,DM=3,A'M=4,FN=A'M=4,Rt△BDN中,BD=5,DN=4,BN=3,A'F=MN=DM+DN=3+4=7,BF=BN+FN=3+4=7,Rt△ABF中,由勾股定理得:A'B=;綜上所述,A'B的長(zhǎng)為或.故答案為:或.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形翻轉(zhuǎn)后的性質(zhì),注意不同的情況需分情況討論.17、【解析】解:∵弦CD∥AB,∴S△ACD=S△OCD,∴S陰影=S扇形COD==.故答案為.三、解答題(共7小題,滿分69分)18、【解析】
先代入三角函數(shù)值、化簡(jiǎn)二次根式、計(jì)算零指數(shù)冪、取絕對(duì)值符號(hào),再計(jì)算乘法,最后計(jì)算加減可得.【詳解】原式===【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是熟練掌握實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及零指數(shù)冪、絕對(duì)值和二次根式的性質(zhì).19、(1)y=﹣x+4;(2)1<x<1;(1)2.【解析】
(1)依據(jù)反比例函數(shù)y2=(x>0)的圖象交于A(1,m)、B(n,1)兩點(diǎn),即可得到A(1,1)、B(1,1),代入一次函數(shù)y1=kx+b,可得直線AB的解析式;(2)當(dāng)1<x<1時(shí),正比例函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方,即可得到當(dāng)y1>y2時(shí),x的取值范圍是1<x<1;(1)作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C,連接BC交y軸于點(diǎn)P,則PA+PB的最小值等于BC的長(zhǎng),利用勾股定理即可得到BC的長(zhǎng).【詳解】(1)A(1,m)、B(n,1)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)y2=(x>0),可得m=1,n=1,∴A(1,1)、B(1,1),把A(1,1)、B(1,1)代入一次函數(shù)y1=kx+b,可得,解得,∴直線AB的解析式為y=-x+4;(2)觀察函數(shù)圖象,發(fā)現(xiàn):當(dāng)1<x<1時(shí),正比例函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方,∴當(dāng)y1>y2時(shí),x的取值范圍是1<x<1.(1)如圖,作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C,連接BC交y軸于點(diǎn)P,則PA+PB的最小值等于BC的長(zhǎng),過C作y軸的平行線,過B作x軸的平行線,交于點(diǎn)D,則Rt△BCD中,BC=,∴PA+PB的最小值為2.【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題,根據(jù)函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)的橫坐標(biāo),得出不等式的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵.20、(1)見解析;(2)【解析】
(1)先通過證明△AOE為等邊三角形,得出AE=OD,再根據(jù)“同位角相等,兩直線平行”證明AE//OD,從而證得四邊形AODE是平行四邊形,再根據(jù)“一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形”即可得證.(2)利用在Rt△OBD中,sin∠B==可得出半徑長(zhǎng)度,在Rt△ODB中BD=,可求得BD的長(zhǎng),由CD=CB﹣BD可得CD的長(zhǎng),在RT△ACD中,AD=,即可求出AD長(zhǎng)度.【詳解】解:(1)證明:連接OE、ED、OD,在Rt△ABC中,∵∠B=30°,∴∠A=60°,∵OA=OE,∴△AEO是等邊三角形,∴AE=OE=AO∵OD=OA,∴AE=OD∵BC是圓O的切線,OD是半徑,∴∠ODB=90°,又∵∠C=90°∴AC∥OD,又∵AE=OD∴四邊形AODE是平行四邊形,∵OD=OA∴四邊形AODE是菱形.(2)在Rt△ABC中,∵AC=6,AB=10,∴sin∠B==,BC=8∵BC是圓O的切線,OD是半徑,∴∠ODB=90°,在Rt△OBD中,sin∠B==,∴OB=OD∵AO+OB=AB=10,∴OD+OD=10∴OD=∴OB=OD=∴BD==5∴CD=CB﹣BD=3∴AD===3.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓中的計(jì)算問題、菱形以及相似三角形的判定與性質(zhì)21、(1);(2)(,0)或【解析】
(1)把A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式可求得n的值,則可求得A點(diǎn)坐標(biāo),再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線解析式可求得k的值,可求得雙曲線解析式;(2)設(shè)P(x,0),則可表示出PC的長(zhǎng),進(jìn)一步表示出△ACP的面積,可得到關(guān)于x的方程,解方程可求得P點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】解:(1)把A(2,n)代入直線解析式得:n=3,∴A(2,3),把A坐標(biāo)代入y=,得k=6,則雙曲線解析式為y=.(2)對(duì)于直線y=x+2,令y=0,得到x=-4,即C(-4,0).設(shè)P(x,0),可得PC=|x+4|.∵△ACP面積為5,∴|x+4|?3=5,即|x+4|=2,解得:x=-或x=-,則P坐標(biāo)為或.22、(1);(2)MC?NC=5;(3)a+b的最小值為2;(4)以MN為直徑的一系列圓經(jīng)過定點(diǎn)D,此定點(diǎn)D在直線AB上且CD的長(zhǎng)為.【解析】
(1)由題意得AO=OB=2、OC=3、AC=5、BC=1,根據(jù)MC=ACtan∠A=、CN=可得答案;(2)證△ACM∽△NCB得,由此即可求得答案;(3)設(shè)MC=a、NC=b,由(2)知ab=5,由P是圓上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)知a>0,可得b=(a>0),根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得a+b不存在最大值,當(dāng)a=b時(shí),a+b最小,據(jù)此求解可得;(4)設(shè)該圓與AC的交點(diǎn)為D,連接DM、DN,證△MDC∽△DNC得,即MC?NC=DC2=5,即DC=,據(jù)此知以MN為直徑的一系列圓經(jīng)過定點(diǎn)D,此頂點(diǎn)D在直線AB上且CD的長(zhǎng)為.【詳解】(1)如圖所示,根據(jù)題意知,AO=OB=2、OC=3,則AC=OA+OC=5,BC=OC﹣OB=1,∵AC⊥直線l,∴∠ACM=∠ACN=90°,∴MC=ACtan∠A=5×=,∵∠ABP=∠NBC,∴∠BNC=∠A=30°,∴CN=,則MN=MC+CN=+=,故答案為:;(2)∵∠ACM=∠NCB=90°,∠A=∠BNC,∴△ACM∽△NCB,∴,即MC?NC=AC?BC=5×1=5;(3)設(shè)MC=a、NC=b,由(2)知ab=5,∵P是圓上異于A、B的動(dòng)點(diǎn),∴a>0,∴b=(a>0),根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)知,a+b不存在最大值,當(dāng)a=b時(shí),a+b最小,由a=b得a=,解之得a=(負(fù)值舍去),此時(shí)b=,此時(shí)a+b的最小值為2;(4)如圖,設(shè)該圓與AC的交點(diǎn)為D,連接DM、DN,∵M(jìn)N為直徑,∴∠MDN=90°,則∠MDC+∠NDC=90°,∵∠DCM=∠DCN=90°,∴∠MDC+∠DMC=90°,∴∠NDC=∠DMC,則△MDC∽△DNC,∴,即MC?NC=DC2,由(2)知MC?NC=5,∴DC2=5,∴DC=,∴以MN為直徑的一系列圓經(jīng)過定點(diǎn)D,此定點(diǎn)D在直線AB上且CD的長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的綜合問題,解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用、反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).23、(1)二月份每輛車售價(jià)是900元;(2)每輛山地自行車的進(jìn)價(jià)是600元.【解析】
(1)設(shè)二月份每輛車售價(jià)為x元,則一月份每輛車售價(jià)為(x+100)元,根據(jù)數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià),即可得出關(guān)于x的分式方程,解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論;(2)設(shè)每輛山地自行車的進(jìn)價(jià)為y元,根據(jù)利潤(rùn)=售價(jià)﹣進(jìn)價(jià),即可得出關(guān)于y的一元一次方程,解之即可得出結(jié)論.【詳解】(1)設(shè)二月份每輛車售價(jià)
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