二元一次方程教學(xué)講義

二元一次方程組的定義及解法基礎(chǔ)知識(shí)。知識(shí)點(diǎn)1二元一次方程的定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1的整式方程叫二元一次方程。含有未知數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)不等于零，且兩未知數(shù)的次數(shù)為1。即若axm+byn=c是二元一次方程，則a≠0，b≠0且m=1,n=1知識(shí)點(diǎn)2二元一次方程組的定義：由兩個(gè)二元一次方程所組成的方程組叫二元一次方程組（不必記）注：=1\*GB3①方程組中有且只有兩個(gè)未知數(shù)。=2\*GB3②方程組中含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1。=3\*GB3③方程組中每個(gè)方程均為整式方程。知識(shí)點(diǎn)3方程的解的定義：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值。方程組的解的定義：方程組中所有方程的公共解叫方程組的解。知識(shí)點(diǎn)4用代入消元法解二元一次方程組。步驟１、選擇一個(gè)未知數(shù)系數(shù)較簡(jiǎn)單的方程變形為用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)的形式。步驟２、將其代入到另一個(gè)方程中消去一個(gè)未知數(shù)并求出另一個(gè)未知數(shù)的值。步驟３、將求出的未知數(shù)的值代入方程中求出另一個(gè)未知數(shù)的值。知識(shí)點(diǎn)5加減消元法的概念兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。當(dāng)同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同時(shí)，用減法；當(dāng)同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，用加法。典例分析。例1、代入法解方程變式訓(xùn)練：例2、加減法解方程．3、4．例3.關(guān)于x、y的方程組，當(dāng)a為何值時(shí)，方程組有唯一解？無解？無數(shù)解？知識(shí)鏈接：二元一次方程組的解有三種情況：1.有一組解如方程組x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7為方程組的解2.有無數(shù)組解如方程組x+y=6①2x+2y=12②因?yàn)檫@兩個(gè)方程實(shí)際上是一個(gè)方程(亦稱作“方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”)，所以此類方程組有無數(shù)組解。3.無解如方程組x+y=4①2x+2y=10②，因?yàn)榉匠挞诨?jiǎn)后為x+y=5這與方程①相矛盾，所以此類方程組無解。例4.解關(guān)于x，y的方程組，并求當(dāng)解滿足方程4x－3y＝21時(shí)的k值．變式練習(xí)：1.若方程組的解也是方程３ｘ＋ｋｙ＝１０的解，則ｋ的值是_______2.如果方程組的解的值相等，則的值是()A.1B.0C.2D.例5.已知關(guān)于x、y的二元一次方程組4x+y=5和3x-2y=1有相同的解。求m、n的值。mx+ny=3nx-my=1

變式練習(xí)：已知方程組與同解，求的值．例6，解三元一次方程組1、2、；3、；4、；家庭作業(yè)1.某校初三（2）班40名同學(xué)為“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情況如下表：捐款（元）1234人數(shù)67表格中捐款2元和3元的人數(shù)不小心被墨水污染已經(jīng)看不清楚.若設(shè)捐款2元的有名同學(xué)，捐款3元的有名同學(xué)，根據(jù)題意，可得方程組（）.（A）（B）（C）（D）2.若關(guān)于的方程組的解是，則為（）A．1 B．3 C．5 D．24.如果方程組無解，則a為（）A.6B.－6C.9D.－95.若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，則k的值為（）（A）（B） （C） （D）6.已知代數(shù)式與是同類項(xiàng)，那么的值分別是（）A． B． C． D．7.若方程組的解與相等，則________.8、解方程組：

二元一次方程組應(yīng)用二元一次方程組解決實(shí)際問題的基本步驟：審題，搞清已知量和待求量，分析數(shù)量關(guān)系.（審題，尋找等量關(guān)系）2、考慮如何根據(jù)等量關(guān)系設(shè)元，列出方程組．（設(shè)未知數(shù)，列方程組）3、列出方程組并求解，得到答案．（解方程組）4，檢查和反思解題過程，檢驗(yàn)答案的正確性以及是否符合題意．（檢驗(yàn),答）列方程組解應(yīng)用題的常見題型：和差倍總分問題：較大量=較小量+多余量，總量=倍數(shù)×倍量產(chǎn)品配套問題：加工總量成比例速度問題：速度×?xí)r間=路程航速問題：此類問題分為水中航速和風(fēng)中航速兩類順流（風(fēng)）：航速=靜水（無風(fēng)）中的速度+水（風(fēng)）速逆流（風(fēng)）：航速=靜水（無風(fēng)）中的速度--水（風(fēng)）速工程問題：工作量=工作效率×工作時(shí)間一般分為兩種，一種是一般的工程問題；另一種是工作總量是單位一的工程問題增長(zhǎng)率問題：原量×（1＋增長(zhǎng)率）=增長(zhǎng)后的量，原量×（1＋減少率）=減少后的量濃度問題：溶液×濃度=溶質(zhì)銀行利率問題：免稅利息=本金×利率×?xí)r間，稅后利息=本金×利率×?xí)r間—本金×利率×?xí)r間×稅率利潤(rùn)問題：利潤(rùn)=售價(jià)—進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率=（售價(jià)—進(jìn)價(jià)）÷進(jìn)價(jià)×100%盈虧問題：關(guān)鍵從盈（過剩）、虧（不足）兩個(gè)角度把握事物的總量數(shù)字問題：首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)偶數(shù)等有關(guān)的概念、特征及其表示幾何問題：必須掌握幾何圖形的性質(zhì)、周長(zhǎng)、面積等計(jì)算公式年齡問題：抓住人與人的歲數(shù)是同時(shí)增長(zhǎng)的二元一次方程組是最簡(jiǎn)單的方程組，其應(yīng)用廣泛，尤其是生活、生產(chǎn)實(shí)踐中的許多問題，大多需要通過設(shè)元、布列二元一次方程組來加以解決，現(xiàn)將常見的幾種題型歸納如下：一、數(shù)字問題例1一個(gè)兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的和大9；如果交換十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，求這個(gè)兩位數(shù)．變式練習(xí)：一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大5，如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9，求這個(gè)兩位數(shù)。二、利潤(rùn)問題例2一件商品如果按定價(jià)打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，問此商品的定價(jià)是多少？變式練習(xí)：1、某工廠去年的利潤(rùn)（總產(chǎn)值——總支出）為200萬元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤(rùn)為780萬元，問去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？三、配套問題例3某廠共有120名生產(chǎn)工人，每個(gè)工人每天可生產(chǎn)螺栓25個(gè)或螺母20個(gè)，如果一個(gè)螺栓與兩個(gè)螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套？變式練習(xí)：現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個(gè)盒身或做22個(gè)盒底，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整盒子，問用多少?gòu)堣F皮制成盒身，多少?gòu)堣F皮制成盒底，可以正好制成一批完整的盒子？五、貨運(yùn)問題例5某船的載重量為300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運(yùn)，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸的體積為2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝多少噸？【中考賞析】例1（2006年南京市）某停車場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：中型汽車的停車費(fèi)為6元/輛，小型汽車的停車費(fèi)為4元/輛.現(xiàn)在停車場(chǎng)有50輛中、小型汽車，這些車共繳納停車費(fèi)230元，問中、小型汽車各有多少輛？例2（2006年四川省眉山市）某蔬菜公司收購(gòu)蔬菜進(jìn)行銷售的獲利情況如下表所示：銷售方式直接銷售粗加工后銷售精加工后銷售每噸獲利（元）100250450現(xiàn)在該公司收購(gòu)了140噸蔬菜，已知該公司每天能精加工蔬菜6噸或粗加工蔬菜16噸（兩種加工不能同時(shí)進(jìn)行）．（1）如果要求在18天內(nèi)全部銷售完這140噸蔬菜，請(qǐng)完成下列表格：銷售方式全部直接銷售全部粗加工后銷售盡量精加工，剩余部分直接銷售獲利（元）（2）如果先進(jìn)行精加工，然后進(jìn)行粗加工，要求在15天內(nèi)剛好加工完140噸蔬菜，則應(yīng)如何分配加工時(shí)間？家庭作業(yè)1.為滿足市民對(duì)優(yōu)質(zhì)教育的需求，某中學(xué)決定改變辦學(xué)條件，計(jì)劃拆除一部分舊校舍，建造新校舍，拆除舊校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元.計(jì)劃在年內(nèi)拆除舊校舍與建造新校舍共7200平方米，在實(shí)施中為擴(kuò)大綠地面積，新建校舍只完成了計(jì)劃的80%，而拆除舊校舍則超過了計(jì)劃的10%，結(jié)果恰好完成了原計(jì)劃的拆、建總面積.（1）求：原計(jì)劃拆、建面積各是多少平方米？（2）若綠化1平方米需200元，那么在實(shí)際完成的拆、建工程中節(jié)余的資金用來綠化大約是多少平方米？2、小紅家去年結(jié)余5000元，估計(jì)今年可結(jié)余9500元，并且今年收入比去年高15%，支出比去年低10%，求去年的收入和支出各是多少？3、某玩具工廠廣告稱：“本廠工人工作時(shí)間：每天工作8小時(shí)，每月工作25天；待遇：熟練工人按計(jì)件付工資，多勞多得，計(jì)件工資不少于800元，每月另加福利工資100元，按月結(jié)算；……”該廠只生產(chǎn)兩種玩具：小狗和小汽車。熟練工人曉云元月份領(lǐng)工資900多元，她記錄了如下表的一些數(shù)據(jù)：小狗件數(shù)（單位：個(gè)）小汽車個(gè)數(shù)（單位：個(gè)）總時(shí)間（單位：分）總工資（單位：元）11352.1522704.3032855.05元月份作小狗和小汽車的數(shù)目沒有限制，從二月分開始，廠方從銷售方面考慮逐月調(diào)整為：k月份每個(gè)工人每月生產(chǎn)的小狗的個(gè)數(shù)不少于生產(chǎn)的小汽車的個(gè)數(shù)的k倍（k＝2,3,4,……，12），假設(shè)曉云的工作效率不變，且服從工廠的安排，請(qǐng)運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)說明廠家廣告是否有欺詐行為？列二元一次方程組解應(yīng)用題專項(xiàng)訓(xùn)練1、一名學(xué)生問老師：“您今年多大？”老師風(fēng)趣地說：“我像您這樣大時(shí)，您才出生；您到我這么大時(shí)，我已經(jīng)37歲了?！闭?qǐng)問老師、學(xué)生今年多大年齡了呢？

2、某長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是44cm，若寬的3倍比長(zhǎng)多6cm，則該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各是多少？3、已知梯形的高是7，面積是56cm2，又它的上底比下底的三分之一還多4cm，求該梯形的上底和下底的長(zhǎng)度是多少？4、某校初一年級(jí)一班、二班共104人到博物館參觀，一班人數(shù)不足50人，二班人數(shù)超過50人，已知博物館門票規(guī)定如下：1～50人購(gòu)票，票價(jià)為每人13元；51～100人購(gòu)票為每人11元，100人以上購(gòu)票為每人9元

（1）若分班購(gòu)票，則共應(yīng)付1240元，求兩班各有多少名學(xué)生？（2）請(qǐng)您計(jì)算一下，若兩班合起來購(gòu)票，能節(jié)省多少元錢？（3）若兩班人數(shù)均等，您認(rèn)為是分班購(gòu)票合算還是集體購(gòu)票合算？

5、某中學(xué)組織初一學(xué)生春游，原計(jì)劃租用45座汽車若干輛，但有15人沒有座位：若租用同樣數(shù)量的60座汽車，則多出一輛，且其余客車恰好坐滿。已知45座客車每日租金每輛220元，60座客車每日租金為每輛300元。（1）初一年級(jí)人數(shù)是多少？原計(jì)劃租用45座汽車多少輛？（2）若租用同一種車，要使每個(gè)學(xué)生都有座位，怎樣租用更合算？6、某酒店的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天25元，兩人間每人每天35元，一個(gè)50人的旅游團(tuán)到了該酒店住宿，租了若干間客房，且每間客房恰好住滿，一天共花去1510元，求兩種客房各租了多少間？

7、某中學(xué)新建了一棟4層的教學(xué)大樓，每層樓有8間教室，進(jìn)出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側(cè)門大小相同，安全檢查中，對(duì)4道門進(jìn)行了測(cè)試：當(dāng)同時(shí)開啟正門和兩道側(cè)門時(shí)，2分鐘可以通過560名學(xué)生，當(dāng)同時(shí)開啟一道正門和一道側(cè)門時(shí)，4分鐘可以通過800名學(xué)生。（1）求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學(xué)生？（2）檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況下時(shí)因?qū)W生擁擠，出門的效率將降低20%，安全檢查規(guī)定，在緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5分鐘內(nèi)通過這4道門安全撤離，假設(shè)這棟教學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生，問通過的這4道門是否符合安全規(guī)定？請(qǐng)說明理由。

8、現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個(gè)盒身或做22個(gè)盒底，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整盒子，問用多少?gòu)堣F皮制成盒身，多少?gòu)堣F皮制成盒底，可以正好制成一批完整的盒子？9、一條船順?biāo)旭?6千米和逆水行駛24千米的時(shí)間都是3小時(shí)，求船在靜水中的速度與水流的速度。10、已知一鐵路橋長(zhǎng)1000米，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測(cè)得火車從開始上橋到車身過完橋共用1分鐘，整列火車完全在橋上的時(shí)間為40秒，求火車的速度及火車的長(zhǎng)度。11、為了保護(hù)生態(tài)環(huán)境，我省某山區(qū)縣響應(yīng)國(guó)家“退耕還林”號(hào)召，將該縣某地一部分耕地改為林地，改變后，林地面積和耕地面積共有180平方千米，耕地面積是林地面積的25%，求改變后林地面積和耕地各為多少平方千米？12、王大伯承包了25畝土地，今年春季改種茄子和西紅柿兩種大棚蔬菜，用去了44000元，其中種茄子每畝用去了1700元，獲純利2600元；種西紅柿每畝用去了1800元，獲純利2600元，問王大伯一共獲純利多少元？13、在一次足球選拔賽中，有12支球隊(duì)參加選拔，每一隊(duì)都要與另外的球隊(duì)比賽一次，記分規(guī)則為勝一場(chǎng)記3分，平一場(chǎng)記1分，負(fù)一場(chǎng)記0分。比賽結(jié)束時(shí)，某球隊(duì)所勝場(chǎng)數(shù)是所負(fù)的場(chǎng)數(shù)的2倍，共得20分，問這支球隊(duì)勝、負(fù)各幾場(chǎng)？14、某個(gè)體戶向銀行申請(qǐng)了甲、乙兩種貸款，共計(jì)136萬元，每一年需付利息16．84萬元，甲種貸款的年利率是１２％，乙種貸款的年利率是１３％，問這兩種貸款的數(shù)額各是多少？15、李明以兩種形式分別儲(chǔ)蓄了2000元各1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息43.92，已知兩種儲(chǔ)蓄年利率的和為3.24%，問這兩種儲(chǔ)蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應(yīng)交利息所得稅=利息金額×20%）。16、

已知甲、乙兩種商品的原單價(jià)和為100元，因市場(chǎng)變化，甲商品降價(jià)10%，乙商品提價(jià)5%，調(diào)價(jià)后，甲、乙兩種商品的單價(jià)和比原單價(jià)和提高了2%，求甲、乙兩種商品的原單價(jià)各是多少元？17、“五一”期間，某商場(chǎng)搞優(yōu)惠促銷，決定由顧客抽獎(jiǎng)確定折扣，某顧客購(gòu)買甲、乙兩種商品，分別抽到七折（按售價(jià)的70%銷售）和九折（按售價(jià)的90%銷售），共付款386元，這兩種商品原售價(jià)之和為500元，問這兩種商品的原銷售價(jià)分別為多少元？18、某市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共５０件，甲種商品進(jìn)價(jià)每件３５元，利潤(rùn)率是２０％，乙種商品進(jìn)價(jià)每件２０元，利潤(rùn)率是１５％，共獲利２７８元，問甲、乙兩種商品各購(gòu)進(jìn)了多少件？19、某商場(chǎng)按定價(jià)銷售某種電器時(shí)，每臺(tái)可獲利48元，按定價(jià)的九折銷售該電器6臺(tái)與將定價(jià)降低30元銷售該電器9臺(tái)所獲得的利潤(rùn)相等。求該電器每臺(tái)的進(jìn)價(jià)、定價(jià)各是多少元？20、甲、乙兩件服裝的成本共500元，商店老板為獲取利潤(rùn)，決定將甲服裝按50﹪的利潤(rùn)定價(jià)，乙服裝按40﹪的利潤(rùn)定價(jià)。在實(shí)際出售時(shí)，應(yīng)顧客要求，兩件服裝均按9折出售，這樣商店