第6章反比例函數(shù)（知識(shí)歸納題型突破）九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記巧練（北師大版）

第6章反比例函數(shù)（知識(shí)歸納+題型突破）1．使學(xué)生理解并掌握反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式，能判斷一個(gè)給定函數(shù)是否為反比例函數(shù)；2．能描點(diǎn)畫出反比例函數(shù)的圖象，會(huì)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式；3．能根據(jù)圖象數(shù)形結(jié)合地分析并掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，能利用這些性質(zhì)分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.一、反比例函數(shù)的概念一般地，形如(為常數(shù)，)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù).要點(diǎn)：在中，自變量的取值范圍是，()可以寫成()的形式，也可以寫成的形式.二、反比例函數(shù)解析式的確定反比例函數(shù)解析式的確定方法是待定系數(shù)法.由于反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要知道一對(duì)的對(duì)應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的值，從而確定其解析式.三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限．它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，反比例函數(shù)的圖象與軸、軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交．要點(diǎn)：觀察反比例函數(shù)的圖象可得：和的值都不能為0，并且圖象既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)．①的圖象是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為兩條直線；②的圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為原點(diǎn)（0，0）；③(k≠0)在同一坐標(biāo)系中的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，也關(guān)于軸對(duì)稱.注：正比例函數(shù)與反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，兩圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.（1）圖象位置與反比例函數(shù)性質(zhì)當(dāng)時(shí)，同號(hào)，圖象在第一、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減?。划?dāng)時(shí)，異號(hào)，圖象在第二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大.（2）若點(diǎn)()在反比例函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)（）也在此圖象上，故反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

（3）正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)比較正比例函數(shù)反比例函數(shù)解析式圖像直線有兩個(gè)分支組成的曲線（雙曲線）位置，一、三象限；

，二、四象限，一、三象限

，二、四象限增減性，隨的增大而增大

，隨的增大而減小，在每個(gè)象限，隨的增大而減小

，在每個(gè)象限，隨的增大而增大（4）反比例函數(shù)y＝中的意義①過(guò)雙曲線(≠0)上任意一點(diǎn)作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.②過(guò)雙曲線(≠0)上任意一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點(diǎn)和原點(diǎn)，所得三角形的面積為.四、應(yīng)用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題須注意以下幾點(diǎn)

1．反比例函數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在，在應(yīng)用反比例函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.2．列出函數(shù)關(guān)系式后，要注意自變量的取值范圍.題型一反比例函數(shù)的定義及有關(guān)概念【例1】下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義：一般地，形如或（是常數(shù)，）的函數(shù)叫做是的反比例函數(shù)，逐項(xiàng)判斷即可得．【解析】解：A、是正比例函數(shù)，則此項(xiàng)不符題意；B、叫做是的反比例函數(shù)，則此項(xiàng)不符題意；C、，當(dāng)時(shí)，是的反比例函數(shù)，則此項(xiàng)不符合題意；D、是反比例函數(shù)，則此項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)，熟記定義是解題關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．下列各點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將每個(gè)選項(xiàng)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，看函數(shù)值是否一致，如果一致，說(shuō)明點(diǎn)在函數(shù)圖象上，反之則不在．【解析】A．當(dāng)時(shí)，，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B．當(dāng)時(shí)，，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C．當(dāng)時(shí)，，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C．當(dāng)時(shí)，，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)是否在反比例函數(shù)圖象上，掌握反比例函數(shù)變量的求法是解題的關(guān)鍵．2．下列問(wèn)題中的兩個(gè)變量是成反比例的是（）A．被除數(shù)（不為零）一定，除數(shù)與商 B．貨物的單價(jià)一定，貨物的總價(jià)與貨物的數(shù)量C．等腰三角形的周長(zhǎng)一定，它的腰長(zhǎng)與底邊的長(zhǎng) D．汽車所行的速度一定，它所行駛的路程與時(shí)間【答案】A【分析】形如（為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)．看兩個(gè)變量是否具有反比例關(guān)系，主要看它們的乘積是否為非零的常數(shù)．依據(jù)判斷方法逐項(xiàng)分析即可．【解析】解：A．被除數(shù)（不為零）一定，除數(shù)與商是反比例函數(shù)的關(guān)系，故此選項(xiàng)符合題意；B．貨物的單價(jià)一定，貨物的總價(jià)與貨物的數(shù)量是正比例函數(shù)的關(guān)系，故此選項(xiàng)不符合題意；C．等腰三角形的周長(zhǎng)一定，它的腰長(zhǎng)與底邊的長(zhǎng)是一次函數(shù)的關(guān)系，故此選項(xiàng)不符合題意；D．汽車所行的速度一定，它所行駛的路程與時(shí)間是正比例函數(shù)的關(guān)系，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)，正確區(qū)分正比例函數(shù)與反比例函數(shù)是解題關(guān)鍵．判斷一個(gè)函數(shù)是否是反比例函數(shù)，首先看看兩個(gè)變量是否具有反比例關(guān)系．3．下列函數(shù)表達(dá)式中，表示是的反比例函數(shù)的有（

）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷即可．【解析】解：（1）不符合反比例函數(shù)的形式，是正比例函數(shù)；（2）可變形為，符合反比例函數(shù)的形式，是反比例函數(shù)；（3）因?yàn)椋?，，可變形為，符合反比例函?shù)的形式，是反比例函數(shù)；（4）可變形為，符合反比例函數(shù)的形式，是反比例函數(shù)；（5）不符合反比例函數(shù)的形式，不是反比例函數(shù)；（6）不符合反比例函數(shù)的形式，不是反比例函數(shù)．綜上所述，是反比例函數(shù)的為（2）（3）（4）共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的定義（形如的函數(shù)叫做反比例函數(shù)），牢記反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．4．已知關(guān)于x的反比例函數(shù)，則m的值為．【答案】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義得到，，即可求得m的值．【解析】解：∵是反比例函數(shù)，∴，，∴且，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)，形如的函數(shù)是反比例函數(shù)，熟練掌握反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．5．如果是反比例函數(shù)，那么的值是．【答案】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義得到，求解即可得到答案．【解析】解：是反比例函數(shù)，，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的定義，熟練掌握反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．題型二反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)【例2】關(guān)于反比例函數(shù)，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．函數(shù)圖像分別位于第一、三象限 B．函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．函數(shù)圖像過(guò)，則 D．函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱【答案】C【分析】根據(jù)可得函數(shù)圖像分別位于第一、三象限，由此可判斷A、C；根據(jù)當(dāng)時(shí)，即可判斷B；根據(jù)反比例函數(shù)圖像的特點(diǎn)即可判斷D．【解析】解：∵在反比例函數(shù)中，，∴函數(shù)圖像分別位于第一、三象限，故A說(shuō)法正確，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故B說(shuō)法正確，不符合題意；∵函數(shù)圖像過(guò)，，∴，故C說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；反比例函數(shù)的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故D說(shuō)法正確，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系等等，熟知反比例函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖像大致是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，分析反比例函數(shù)所在象限和一次函數(shù)經(jīng)過(guò)的象限，即可獲得答案．【解析】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像位于第一、三象限，經(jīng)過(guò)第一、二、四象限；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限，經(jīng)過(guò)第一、二、三象限．綜上所述，選項(xiàng)A、B、C不符合題意，選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖像的識(shí)別，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想分析問(wèn)題是解題關(guān)鍵．2．若點(diǎn)，，是反比例函數(shù)圖像上的三個(gè)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的符號(hào)可得反比例函數(shù)所在象限為二、四，其中在第四象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)總小于在第二象限的縱坐標(biāo)，結(jié)合反比例函數(shù)的增減性，進(jìn)而判斷在同一象限內(nèi)的點(diǎn)和點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小即可．【解析】解：反比例函數(shù)的系數(shù)為，圖像的兩個(gè)分支在二、四象限，該函數(shù)隨的增大而增大，第四象限的點(diǎn)縱坐標(biāo)總小于第二象限的縱坐標(biāo)，點(diǎn)在第二象限，，在第四象限，最大，該函數(shù)隨的增大而增大，，，，故選：．【點(diǎn)睛】考查反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)的特征，用到的知識(shí)點(diǎn)為，反比例函數(shù)的比例系數(shù)小于，圖像的個(gè)分支在二、四象限；第四象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)總小于在第二象限的縱坐標(biāo)；在同一象限內(nèi)，隨的增大而增大．3．關(guān)于反比例函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn) B．函數(shù)圖像位于第一、三象限C．函數(shù)值隨著的增大而增大 D．當(dāng)時(shí)，【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)即可求解．【解析】、點(diǎn)不在它的圖象上，不符合題意；、它的圖象在第二、四象限，不符合題意；C、在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大，不符合題意；D、當(dāng)時(shí)，，正確，符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了反比函數(shù)的性質(zhì)，正確掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．反比例函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)，當(dāng)，則的取值范圍是．【答案】或【分析】依據(jù)題意，由點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而可以得解．【解析】解：由題意，由，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題時(shí)要熟練掌握并理解．5．若反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置：不經(jīng)過(guò)第一象限，則，解之即可求得的取值范圍，從而求解．【解析】解：反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限，則經(jīng)過(guò)二四象限，∴．解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于每一象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖像，的值都隨值的增大而增大，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出關(guān)于的不等式，求出的取值范圍即可．【解析】解：對(duì)于每一象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖像，的值都隨值的增大而增大，，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．7．在函數(shù)(m為常數(shù))的圖象上有三個(gè)點(diǎn)，，，則函數(shù)值的大小關(guān)系是(

)．A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)中判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)各點(diǎn)橫坐標(biāo)的特點(diǎn)即可得出結(jié)論．【解析】解：∵在函數(shù)（為常數(shù)）中，∴函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于二、四象限，且在每一象限內(nèi)隨的增大而增大，∵，∴，∵，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型三反比例函數(shù)有關(guān)的面積問(wèn)題【例3】如圖，過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，，交軸、軸于點(diǎn)、，所得矩形的面積為8，則的值是（

）A．4 B． C．8 D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，則，根據(jù)矩形的面積為8，得出，即可得出k的值．【解析】解：設(shè)雙曲線表達(dá)式為，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，∵軸，軸，∴，∵矩形的面積為8，∴，則，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是掌握過(guò)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線，組成的矩形面積為．鞏固訓(xùn)練：1．函數(shù)與的圖象如圖所示，點(diǎn)C是y軸上的任意一點(diǎn)．直線平行于y軸，分別與兩個(gè)函數(shù)圖象交于點(diǎn)A、B，連接．當(dāng)從左向右平移時(shí)，的面積是．【答案】【分析】設(shè)線段，則可表示出，再根據(jù)三角形的面積公式得出的面積，代入數(shù)值計(jì)算即可．【解析】解：設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為P，設(shè)，則，，∵，∴＝＝故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)的k的幾何意義，三角形的面積公式，解答本題的關(guān)鍵是表示出線段的長(zhǎng)度，難度一般．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊在y軸上，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，點(diǎn)B為的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)．若的面積是6，則k的值為．【答案】4【分析】過(guò)B，C兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足分別為D，E，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為，則，由點(diǎn)B為的中點(diǎn)，推出C點(diǎn)坐標(biāo)為，求得直線的解析式，得到A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)的面積是6，列式計(jì)算即可求解．【解析】解：過(guò)B，C兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足分別為D，E，∴，∴，∴，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為，則，∵點(diǎn)B為的中點(diǎn)，∴，∴，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意得，解得，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、求一次函數(shù)解析式、坐標(biāo)與圖形，解題關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)．3．點(diǎn)，是反比例函數(shù)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，平行于軸，交軸于點(diǎn)，平行于軸，交軸于點(diǎn)，設(shè)四邊形的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積可知，，再根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知，為中點(diǎn)，則，，進(jìn)而求出四邊形的面積．【解析】解：，是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，且平行于軸，平行于軸，，假設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，，四邊形面積．故選：C【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)中比例系數(shù)的幾何意義，難易程度適中．過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積．4．如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)，點(diǎn)分別在x軸，y軸正半軸上．若四邊形為菱形，軸，，則k的值（

）A．3 B．6 C．12 D．24【答案】B【分析】連接，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由菱形的性質(zhì)及面積可得出，證得四邊形為矩形，得出，則可得出答案．【解析】解：連接，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，四邊形是菱形，，，，，，軸，軸，，四邊形為矩形，，，，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象點(diǎn)的特點(diǎn)，菱形的性質(zhì)和面積．熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．5．如圖，矩形的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)A在軸的正半軸上，，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，，連接，過(guò)點(diǎn)A作交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，連接，．若的面積為4.5，則的值為．【答案】3【分析】根據(jù)同底等高把面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)的幾何意義，從而求出的值．【解析】解：因?yàn)椋罁?jù)同底等高的原理，的面積等于的面積，設(shè)，則，解得，所以．故．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，關(guān)鍵是根據(jù)同底等高把面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化．題型四反比例函數(shù)與不等式【例4】．如圖，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與反比例函數(shù)圖像的另一個(gè)交點(diǎn)為．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，并在圖中畫出該一次函數(shù)的圖像；(2)結(jié)合圖像，直接寫出不等式組的解集_________．(3)把的圖像向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，若平移后的直線與反比例函數(shù)的圖像在第三象限交于點(diǎn)，求的面積．【答案】(1)反比例函數(shù)的關(guān)系式為，一次函數(shù)的關(guān)系式為，在圖中畫出該一次函數(shù)的圖像見解析(2)或(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可得到答案，然后作出圖像即可；（2）不等式組的解集，數(shù)形結(jié)合，是指直線圖像在反比例函數(shù)圖像上方的部分對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍；（3）根據(jù)函數(shù)圖像平移，得到直線解析式，求出，再由平面直角坐標(biāo)系中三角形面積求法求解即可得到答案．【解析】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，∵一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，∴，解得，∴一次函數(shù)的關(guān)系式為，作圖如下：（2）解：如圖所示：不等式組的解集：或，故答案為：或；（3）解：如圖所示：把的圖像向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，直線與反比例函數(shù)的圖像在第三象限交于點(diǎn)，，．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式、利用函數(shù)圖像解不等式、平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積等，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象與軸和軸分別交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，，且．(1)直接寫出的值以及，的坐標(biāo)；(2)根據(jù)圖象直接寫出：當(dāng)時(shí)x的取值范圍；(3)求的面積．【答案】(1)，，(2)或(3)3【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，由，求得的值，繼而得出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，聯(lián)立解析式求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象，找到反比例函數(shù)在直線上方部分的自變量取值范圍即可求解；（3）先根據(jù)一次函數(shù)解析式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【解析】（1）解：∵，軸，且反比例函數(shù)圖象在第一，三象限，∴，∴反比例數(shù)解析式為，一次函數(shù)解析式為：聯(lián)立解得：或∴，．∴，，．（2）∵，，根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時(shí)，或（3）由，令，解得：，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為，即．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，解一元二次方程，求直線圍成的三角形面積，掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型五反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合分析【例5】．已知點(diǎn)與點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，()A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征研究反比例函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．【解析】解：A、若，則反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，在每個(gè)象限y隨x的增大而減小，∵，∴，∴點(diǎn)與點(diǎn)在第一象限，∴，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B、若，則反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，在每個(gè)象限y隨x的增大而減小，∵，∴，∴點(diǎn)與點(diǎn)在第三象限，∴，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C、若，則反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，在每個(gè)象限y隨x的增大而增大，∵，∴，∴點(diǎn)在第二象限，∴，不合題意，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D、若，則反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，在每個(gè)象限y隨x的增大而增大，∵，∴，∴點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)在第四象限，∴，∴，故選項(xiàng)D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：已知點(diǎn)，，在反比例函數(shù)的圖象上，，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)圖象在第一、三象限內(nèi)，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小，對(duì)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析，即可得到答案．【解析】解：反比例函數(shù)，函數(shù)圖象在第一、三象限內(nèi)，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小，A、若，則或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，原結(jié)論不一定成立，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、若，則，原結(jié)論不成立，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、若，則或，，原結(jié)論一定成立，符合題意，選項(xiàng)正確；D、若，則或或，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，原結(jié)論不一定成立，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握當(dāng)比例系數(shù)時(shí)，函數(shù)圖象在第一、三象限內(nèi)，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減??；當(dāng)比例系數(shù)時(shí)，函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大．2．如圖，在反比例函數(shù)的圖象上，有點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，4，分別過(guò)這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】先求出和的坐標(biāo)，得出，，根據(jù)即可求解．【解析】解：把代入得：，∴，∴，把代入得：，∴，∴，由圖可知：，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義，解題的關(guān)鍵是掌握過(guò)反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)，作x軸和y軸的垂線，圍成的矩形面積等于．3．在同一坐標(biāo)系中，若正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，則與的關(guān)系，下面四種表述：①；②；③；④或．正確的有()A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)題意得出和異號(hào)，再分別判斷各項(xiàng)即可．【解析】解：∵同一坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，若，則正比例函數(shù)經(jīng)過(guò)一、三象限，則反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)二、四象限，則，若，則正比例函數(shù)經(jīng)過(guò)二、四象限，從而反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)一、三象限，則，綜上：和異號(hào)，①∵和的絕對(duì)值的大小未知，故不一定成立，故①錯(cuò)誤；②∵和異號(hào)，則，故②正確；③，故③正確；④或，故④正確；故正確的有3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，絕對(duì)值的意義，解題的關(guān)鍵是得到和異號(hào)．題型六反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例6】．某氣球內(nèi)充滿一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)與氣體的體積成反比例．當(dāng)氣體的體積時(shí)，氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)．(1)當(dāng)氣體的體積為時(shí)，它的壓強(qiáng)是多少？(2)當(dāng)氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)大于時(shí)，氣球就會(huì)爆炸．問(wèn)：氣球內(nèi)氣體的體積應(yīng)不小于多少氣球才不會(huì)爆炸？【答案】(1)當(dāng)氣體的體積為時(shí)，它的壓強(qiáng)是(2)當(dāng)氣球內(nèi)氣體的體積應(yīng)不小于時(shí)，氣球才不會(huì)爆炸【分析】（1）先求出氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)與氣體的體積的反比例函數(shù)關(guān)系式，然后代入進(jìn)行求解即可；（2）先求出當(dāng)時(shí)，的值，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解析】（1）解：設(shè)，由題意得：，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)氣體的體積為時(shí)，它的壓強(qiáng)是；（2）解：當(dāng)時(shí)，，∵，∴V隨p的增大而增大，∴要使氣球不會(huì)爆炸，則，∴當(dāng)氣球內(nèi)氣體的體積應(yīng)不小于時(shí)，氣球才不會(huì)爆炸．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意得到是解題的關(guān)鍵．題型七反比例函數(shù)綜合解答題【例7】．如圖，已知，是反比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集．【答案】(1)，(2)6(3)或【分析】（1）先把代入求得，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入求得，從而求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)解析式，即可求出結(jié)果；（2）先求出一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用，進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)可知，即一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象上方，再根據(jù)圖象即可求得結(jié)果．【解析】（1）解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，即，∴反比例函數(shù)解析式為：，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，、在一次函數(shù)的圖象上，可得：，解得，∴一次函數(shù)解析式為：．（2）解：如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，，．（3）解：，，∴由圖象可知，x的取值范圍是：或．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及觀察函數(shù)圖象的能力，求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)．(1)求b與m的值；(2)為x軸上一點(diǎn)，連接AP，當(dāng)?shù)拿娣e為9時(shí)，求a的值．【答案】(1)的值為2，的值為6(2)=2或【分析】（1）把代入可得的值，進(jìn)而可求出一次函數(shù)解析式，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例解析式即可求得的值；（2）確定與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的等量關(guān)系即可求解．【解析】（1）解：把代入得：解得，∴．把A代入得：解得，∴．把代入得=6．故的值為2，的值為6．（2）解：由（1）可知，．∵為軸上一動(dòng)點(diǎn)，∴，∴，解得或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問(wèn)題．掌握待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式、用點(diǎn)的坐標(biāo)表示圖形面積是解題關(guān)鍵．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)直線分別交x軸、y軸于兩點(diǎn)．①請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，作出的平分線，交直線于點(diǎn)P；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）②求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①見解析；②【分析】（1）由“反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，”即可求解；（2）①按照角平分線的尺規(guī)作圖方法即可作出點(diǎn)；②分別求出直線和直線的解析式即可．【解析】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，∴解得：∴反比例函數(shù)的表達(dá)式（2）解：①如圖所示：②由（1）得：，設(shè)直線的解析式為：則解得：∴直線的解析式為：∵，平分∴點(diǎn)在一、三象限的角平分線上∴直線的解析式為：聯(lián)立得：∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的解析式、尺規(guī)作圖等．掌握相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．．環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改，在15天內(nèi)(含15天)排污達(dá)標(biāo)．整改過(guò)程中，所排污水中硫化物的濃度y與時(shí)間天的變化規(guī)律如圖所示，其中線段表示前3天的變化規(guī)律，第3天時(shí)硫化物的濃度降為4從第3天起，所排污水中硫化物的濃度y與時(shí)間x滿足下面表格中的關(guān)系：時(shí)間x(天)3568……硫化物的濃度42……

(1)在整改過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求硫化物的濃度y與時(shí)間x的函數(shù)表達(dá)式；(2)在整改過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求硫化物的濃度y與時(shí)間x的函數(shù)表達(dá)式；(3)該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度在第幾天降為？【答案】(1)；(2)；(3)第15天【分析】（1）設(shè)線段的函數(shù)表達(dá)式為：，把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求出k、b的值即可；（2）設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為：，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出k的值即可；（3）令，即可得知企業(yè)所排污水中硫化物的濃度在第15天降為．【解析】（1）解：設(shè)線段的函數(shù)表達(dá)式為，∵在線段上，∴將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，得，解得，∴當(dāng)時(shí)，硫化物的濃度與時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：∵，∴當(dāng)時(shí)，與成反比例，設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為：，將點(diǎn)B代入得：，解得：，∴當(dāng)時(shí)，硫化物的濃度與時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式為；（3）解：令．解得．∴該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度在第15天降為．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握根據(jù)坐標(biāo)確定解析式的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)是解題關(guān)鍵．4．《見微知著》談到：從一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)典問(wèn)題出發(fā)，從特殊到一搬，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從部分到整體，由低維到高維，知識(shí)與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，新結(jié)論的重要方法．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，我們經(jīng)常會(huì)用到類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，請(qǐng)利用上述有關(guān)思想，解答下列問(wèn)題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)在軸負(fù)半軸，頂點(diǎn)在軸正半軸，，分別在的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，連接，，四邊形的面積為．(1)__________________．直線的表達(dá)式為__________________(2)如圖2，為該反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)在（2）的條件下，延長(zhǎng)交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線于，過(guò)點(diǎn)作直線于，試判斷的值是否為定值，若是，請(qǐng)直接寫出定值；若不是．請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)

(2)，理由見解析．(3)【分析】（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)可求得的數(shù)值，采用待定系數(shù)法，即可求得答案．（2）過(guò)點(diǎn)作，交（或的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)，可先用含，的代數(shù)式表示出，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算出，即可求得與的數(shù)量關(guān)系．（3）過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，則，可證得為等腰直角三角形，求得，同理可求得．【解析】（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為．根據(jù)題意，得：．解得：，(舍去)．所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為．因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以．解得：．根據(jù)題意可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)直線的表達(dá)式為．因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)，，所以解得所以，直線的表達(dá)式為．故答案為：，；（2），理由如下：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，交（或的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)．因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以．∴．根據(jù)題意可知，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．將代入直線的表達(dá)式，得．解得．所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為．所以，．所以，．根據(jù)題意可知，．所以，．所以，．所以，．（3），理由如下：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)．根據(jù)（2）的證明過(guò)程可知．∵軸，∴．∴為等腰直角三角形．∴．∴．∴．同理可得．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、勾股定理、平面直角坐標(biāo)系等，能根據(jù)題意構(gòu)建輔助線是解題的關(guān)鍵．5．【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，四邊形、、都是邊長(zhǎng)為1的正方形，在下列角中：①∠DAF，②，③，④，試確定與圖中的和為45°的角有______．（填寫對(duì)應(yīng)序號(hào)）【問(wèn)題解決】如圖1，在線段上取點(diǎn)I，使得為，則______．【拓展應(yīng)用】如圖2，反比例函數(shù)和的圖象分別是和．射線交于點(diǎn)A，射線交于點(diǎn)B，且，連接．（1）如圖3，當(dāng)軸時(shí)，①求點(diǎn)A的坐標(biāo)；②在y軸上找一點(diǎn)P，使得時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)______．（2）在如圖，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，射線始終在第一象限，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，直接寫出的面積為時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)______．【答案】【探索發(fā)現(xiàn)】①③；【問(wèn)題解決】13；【拓展應(yīng)用】（1）①點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,2；②0,103或0,?10；（2）【分析】探索發(fā)現(xiàn)：如圖，由正方形性質(zhì)及外角定理得∠DAF+∠AFB=∠ADB=45°，由勾股定理，AD=2，可證△DAH～△DFA，得∠DHA=∠DAF，于是∠AHB+∠AFB=45°問(wèn)題解決：如圖，∠IAF=45°，則∠BAI+∠FAG=45°，可證∠BAI=∠BHA，于是△BAI～△BHA，從而BIBA=BA拓展應(yīng)用：（1）如圖3，當(dāng)AB∥x軸時(shí)，①設(shè)A(2n,n)，B(?8n,n)(n>0)，則由勾股定理，OA2+OB2=AB2，所以n2+4n2+n2+64n2=(10n)2，求解得A(1,2)；②兩種情況，如圖，∠