2021-2022學(xué)年隴南市重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.關(guān)于函數(shù)了（%）=4511113%+5]+4<：0513%+5],有下述三個(gè)結(jié)論:

7T

①函數(shù)/■（*）的一個(gè)周期為一；

2

②函數(shù)/（X）在上單調(diào)遞增；

24

③函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇4,4魚(yú)].

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）

A.①②B.②C.②③D.③

2.數(shù)列｛為｝滿足：%=:，4-4+I=2%4+I，則數(shù)列｛。,4+1｝前10項(xiàng)的和為

1020918

A.—B.—C.—D.—

21211919

3.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為尸，P為拋物線上一點(diǎn)，A（L1）,當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，PF所在直線的斜率為（）

A.B.----C.一D.-

-3443

4.已知命題p:x<2m+1，4：%2—5%+6<0,且。是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）

11

A.m>—B.m>—C.m>\D.m>l

22

x-2<0

5.設(shè)不等式組一x+y>Q,表示的平面區(qū)域?yàn)?。，在區(qū)域。內(nèi)任取一點(diǎn)P（x,y）,則P點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式

x-y>0

x2+y2<2的概率為

84

1

2+71+71

6.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要

求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣.馬吃了牛的一半，羊吃了馬的一半.”請(qǐng)問(wèn)各畜賠多少？它的大意

是放牧人放牧?xí)r粗心大意，牛、馬、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食（1斗=10升）,

三畜的主人同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是馬的一半.問(wèn)羊、

馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食？（）

255010025255010020040050100200

A.B.C.D.

亍〒33,斤，斤

7.如圖所示的程序框圖，若輸入。=4,b=3,則輸出的結(jié)果是（)

A.6B.7C.5D.8

8.若2皿>2">1,貝!)()

1、1

A.—>-B.

mn

logjAlogn

C.InGn->0D1

22

9.空氣質(zhì)量指數(shù)AQ/是反映空氣狀況的指數(shù)，AQ/指數(shù)值趨小，表明空氣質(zhì)量越好，下圖是某市10月1日-20日AQ/

指數(shù)變化趨勢(shì)，下列敘述錯(cuò)誤的是（）

123J567s91011121314151617IS1920

A.這20天中AQ/指數(shù)值的中位數(shù)略高于100

B.這2°天中的中度污染及以上指數(shù)＞15。）的天數(shù)占了

C.該市10月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來(lái)越好

D.總體來(lái)說(shuō)，該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好

^＞0

10.若實(shí)數(shù)兒丁滿足的約束條件x+y-3K0,則z=2x+y的取值范圍是（）

2x-y＞Q

A.[4,+00）B.[0,6]C.[0,4]D.[6,+00）

11.如圖，AABC內(nèi)接于圓。，A5是圓。的直徑，DC=BE,DC//BE,DC工CB,DCLCA,AB=2EB=2,則

三棱錐E-ABC體積的最大值為（）

+i

已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足2Sn=2"+2,則彳的值是（

A.4C.-2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為％且23=3&+1）,若％°=也，貝!U=.

14.函數(shù)/（x）=Gsin（0％+。）]?！?,^＜。＜萬(wàn)）的圖像如圖所示，則該函數(shù)的最小正周期為.

15.在三棱錐S—ABC中，SA,SB,SC兩兩垂直且&L=S5=SC=2,點(diǎn)〃為S—ABC的外接球上任意一點(diǎn),

則MA-MB的最大值為.

16.若cos（----6Z）=—,貝！|sin2tz=.

45

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）如圖，四棱錐ABCD中，底面ABC。是菱形，對(duì)角線ACM交于點(diǎn)。,河為棱PD的中點(diǎn),

MA=MC.求證：

（1）P5//平面AMC；

（2）平面平面AMC.

18.（12分）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,^sin（A+B）=4sin2.

（1）求cosC；

（2）若b=7,。是BC邊上的點(diǎn)，且AAC。的面積為6若，求sin/AO反

（分）在平面直角坐標(biāo)系——中，以-為極點(diǎn)，-軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線-：

19.12MBMM**

--，直線的參數(shù)方程為（?為參數(shù)）.直線?與曲線交于■,兩點(diǎn).

I/U=~1X

、j

（I）寫(xiě)出曲線二的直角坐標(biāo)方程和直線二的普通方程（不要求具體過(guò)程）；

（設(shè)-,若,-一成等比數(shù)列，求-的值.

ID—\JULJJU

20.（12分）語(yǔ)音交互是人工智能的方向之一，現(xiàn)在市場(chǎng)上流行多種可實(shí)現(xiàn)語(yǔ)音交互的智能音箱.主要代表有小米公司

的“小愛(ài)同學(xué)，，智能音箱和阿里巴巴的，，天貓精靈，，智能音箱，它們可以通過(guò)語(yǔ)音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了

了解不同智能音箱與其購(gòu)買者性別之間的關(guān)聯(lián)程度，從某地區(qū)隨機(jī)抽取了100名購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”和100名購(gòu)買“天貓精

靈”的人，具體數(shù)據(jù)如下：

“小愛(ài)同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計(jì)

男4560105

女554095

合計(jì)100100200

(1)若該地區(qū)共有13000人購(gòu)買了“小愛(ài)同學(xué)”，有12000人購(gòu)買了“天貓精靈”，試估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性

比購(gòu)買“天貓精靈”的女性多多少人？

(2)根據(jù)列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)？

n(ad-bc,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k)0.100.050.0250.010.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=ln(2x+〃)曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線在y軸上的截距為ln3—耳.

(1)求

(2)討論函數(shù)g(x)=/(%)-2x(x>0)和h(x)=f(x)-------(x>0)的單調(diào)性；

2%+1

25-2n+11

(3)設(shè)q=三，4+i=/(4),求證：———<----2<0(n>2).

22.(10分)在AABC中，a、b、c分別是角人、B、C的對(duì)邊，S.(.a+b+c)(a+b-c)=3ab.

(1)求角C的值；

(2)若c=2,且AABC為銳角三角形，求4+力的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

TT37r\7iYin二1二71，再利用單調(diào)性

①用周期函數(shù)的定義驗(yàn)證.②當(dāng)“e時(shí),—x+—€——,-----/(x)=40sinx+

231224212

171

判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)++的值域等價(jià)于函數(shù)

23

gx+4cos；x的值域，而g(x+1)=g(x),當(dāng)xe[0,i]時(shí)，g(x)=40sin1n

g(x)=4sin-x-\——再求值域.

223

【詳解】

因?yàn)樾?f冗=4sin卜+1+4cos卜1+葛7乃=4cos(gx+2j+4sin(1gx+\兀)H/(%),故①錯(cuò)誤;

2212212

t萬(wàn)37rl.1八n7717兀171171

當(dāng)工￡一,時(shí)，一X-\G=,所以f(x)=4sm[5X+§J—4cos[了丫+至=4后sin|—x+—

2423122423212

jTT萬(wàn)TTI11AT萬(wàn)TT7TC3萬(wàn)乃

了9所以/⑴在萬(wàn)彳上單調(diào)遞增‘故②正確;

32424

函數(shù)F(x)=4sin[gx+g]+4cos]1x+g兀的值域等價(jià)于函數(shù)g(x)=4singx+4cos；1

x的值域，易知

232

，g(x)=4后sin(；71

g(x+?)=g(x),故當(dāng)X￡[0,?]時(shí)—XH——G[4,40],故③正確.

3

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.

2.A

【解析】

11c1

分析：通過(guò)對(duì)an-an+i=2anan+i變形可知--------=2,進(jìn)而可知4=-----,利用裂項(xiàng)相消法求和即可.

aa

n+ln2〃一1

1>2,

詳解：T%—《2+1=2?！āＳ?

4+1

1

XV—=5

。3

1」+2(n-3)=2n-1,1

即4

a32n—1

11

——(冊(cè)~4+1)=—?

”"+i2、"*212/7-12H+1

二數(shù)列｛44+1｝前10項(xiàng)的和為+++白—==2'

乙、DJJJLy乙工）乙、乙工）乙JL

故選A.

點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子

的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：（1）一=7（r|；（2）/—7==；（《n+k-品）；（3）

n[n+k）k（nn+kJy/n+k+y/nkv'

]_U_j______]_y]=,3-（〃+1）；附+2）；此外’需注意裂項(xiàng)

（2n-l）（2n+l）~2｛2n-l~2n+lJ；⑷“（〃+1）（〃+2廠2

之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.

3.A

【解析】

本道題繪圖發(fā)現(xiàn)三角形周長(zhǎng)最小時(shí)A,P位于同一水平線上，計(jì)算點(diǎn)P的坐標(biāo)，計(jì)算斜率，即可.

【詳解】

結(jié)合題意，繪制圖像

要計(jì)算三角形PAF周長(zhǎng)最小值，即計(jì)算PA+PF最小值，結(jié)合拋物線性質(zhì)可知，PF=PN,所以

（1A

PF+PA=PA+PN>AN>AG,故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)處，三角形周長(zhǎng)最小，故此時(shí)M的坐標(biāo)為一,1,所以斜

（4）

1-0_4

率為「=—3,故選A.

--1

4

【點(diǎn)睛】

本道題考查了拋物線的基本性質(zhì)，難度中等.

4.D

【解析】

求出命題q不等式的解為2<%<3,2是q的必要不充分條件，得q是夕的子集，建立不等式求解.

【詳解】

解：命題〃：x<2根+1,“：x?-5x+6<0,即：2<x<3,

。是4的必要不充分條件，

.,.(2,3)=(T?,2/77+1,),

:.2m+l>3,解得帆21.實(shí)數(shù)心的取值范圍為"21.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍，其思路方法：

⑴解決此類問(wèn)題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參

數(shù)的不等式(組)求解.

⑵求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).

5.A

【解析】

畫(huà)出不等式組表示的區(qū)域。，求出其面積，再得到Y(jié)+y2<2在區(qū)域。內(nèi)的面積，根據(jù)幾何概型的公式，得到答案.

【詳解】

x-2<0

畫(huà)出x+y20所表示的區(qū)域Q,易知4(2,2),3(2,—2),

x-y>0

所以AO5的面積為4,

1JT

滿足不等式爐+y2V2的點(diǎn)，在區(qū)域。內(nèi)是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，、笈為半徑的z圓面，其面積為不，

71

由幾何概型的公式可得其概率為p=2=X，

:3

故選A項(xiàng).

【點(diǎn)睛】

本題考查由約束條件畫(huà)可行域，求幾何概型，屬于簡(jiǎn)單題.

6.D

【解析】

設(shè)羊戶賠糧小升，馬戶賠糧a2升，牛戶賠糧a3升，易知ax,a2,生成等比數(shù)歹1|,4=2,囚+g+%=50,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)

可求出答案.

【詳解】

設(shè)羊戶賠糧為升,馬戶賠糧的升，牛戶賠糧。3升，則，。2，生成等比數(shù)列,且公比4=2,+。2+%=50,則

“2\ucd5050100c2200

q(1+q+q)=50,故@=1+2+2?=亍,a-=2al=,4=2q=-^―.

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列與數(shù)學(xué)文化，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

列舉出循環(huán)的每一步，可得出輸出結(jié)果.

【詳解】

z=4,S=3,S〉//不成立，S=3?=9，i=4+1=5；

S>a2b2不成立，S=92=81.Z=5+1=6；

不成立，S=8F=6561，Z=6+1=7；

5＞標(biāo)尸成立，輸出i的值為7.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，一般要將算法的每一步列舉出來(lái)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.B

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值進(jìn)行辨析.

【詳解】

若2，">2">1=2°,：.m>n>0,...""一">/=1,故3正確；

而當(dāng)時(shí)，檢驗(yàn)可得，A、C、。都不正確，

24

故選:B.

【點(diǎn)睛】

此題考查根據(jù)指數(shù)幕的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小，根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)幕或?qū)?shù)的大小關(guān)系，需要熟練掌握指數(shù)

函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合特值法得出選項(xiàng).

9.C

【解析】

結(jié)合題意，根據(jù)題目中的20天的AQ/指數(shù)值，判斷選項(xiàng)中的命題是否正確.

【詳解】

對(duì)于A,由圖可知20天的AQ/指數(shù)值中有10個(gè)低于100,10個(gè)高于100,其中第10個(gè)接近100,第11個(gè)高于100,

所以中位數(shù)略高于100,故A正確.

對(duì)于3,由圖可知20天的AQ/指數(shù)值中高于150的天數(shù)為5,即占總天數(shù)的,，故B正確.

4

對(duì)于C,由圖可知該市10月的前4天的空氣質(zhì)量越來(lái)越好，從第5天到第15天空氣質(zhì)量越來(lái)越差，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于。，由圖可知該市10月上旬大部分指數(shù)在100以下，中旬大部分指數(shù)在100以上，所以該市10月上旬的空氣質(zhì)

量比中旬的空氣質(zhì)量好，故D正確.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了對(duì)折線圖數(shù)據(jù)的分析，讀懂題意是解題關(guān)鍵，并能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)命題進(jìn)行判斷，本題較為基礎(chǔ).

10.B

【解析】

根據(jù)所給不等式組，畫(huà)出不等式表示的可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為直線方程，平移后即可確定取值范圍.

【詳解】

y>0

實(shí)數(shù)羽y滿足的約束條件x+y-3<0,畫(huà)出可行域如下圖所示:

2x-y>Q

將線性目標(biāo)函數(shù)z=2x+y化為y=-2x+z,

則將y=-2x平移，平移后結(jié)合圖像可知，當(dāng)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0(0,0)時(shí)截距最小，z1nm=0；

當(dāng)經(jīng)過(guò)3(3,0)時(shí)，截距最大值，zmax=2x3+0=6,

所以線性目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的取值范圍為[0,6],

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，線性目標(biāo)函數(shù)取值范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.

11.B

【解析】

根據(jù)已知證明跖1平面ABC，只要設(shè)AC=x，則據(jù)C=,4—￡(0<%<2>從而可得體積

2

VE_ABC=^x-A/4-X=1次(4*),利用基本不等式可得最大值.

【詳解】

因?yàn)?。C=BE,DCIIBE,所以四邊形DCBE為平行四邊形.又因?yàn)镈C±CB,DC±CA,CBr\CA=C,CB平面

ABC,C4u平面ABC,

所以。平面ABC,所以BE1平面ABC在直角三角形ABE中，AB=2EB=2,

設(shè)AC=x,則5c=，4-J（0<x<2）,

所以—=口。叱=%，4—爐,所

以外一旬,=：弁,4_%2=：Jx2（4_x2j又因?yàn)獒?（4_/）《［犬+4—廠］,當(dāng)且僅當(dāng)

66I2J

..<24-r2Y

X2（4-X2）<xX++"",即X=&時(shí)等號(hào)成立，

I2J

所以"…）修!

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設(shè)出底面三角形一邊長(zhǎng)為X,

用建立體積V與邊長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系，由基本不等式得最值，或由函數(shù)的性質(zhì)得最值.

12.C

【解析】

利用S“先求出an,然后計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】

4+2

根據(jù)題意，當(dāng)〃=1時(shí)，2S］=2%=4+4,

故當(dāng)〃22時(shí)，q=S〃—S,I=2"T,

數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，

4+2

則q=1,故亍=1,

解得2=—2,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列前〃項(xiàng)和S”的表達(dá)形式，只要求出數(shù)列中的項(xiàng)即可得到結(jié)果，較為基礎(chǔ).

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.9

【解析】

用〃—1換25“=3（%,+1）中的”，得2s,一=34T+3（〃>2）,作差可得an=3%（〃？2）,從而數(shù)列｛??｝是等比數(shù)

列，再由左=9=d即可得到答案.

【詳解】

由2s0=34+3,得2s“_i=3a,i+3(〃22),兩式相減，得2?！?34-34_],

即4=3%("？2)；又2s1=3《+3,解得q=—3,所以數(shù)列｛4｝為首項(xiàng)為-3、

公比為3的等比數(shù)列，所以左=%=/=9.

g

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】

本題考查已知4與S“的關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的問(wèn)題，要注意”的范圍，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.

14.8

【解析】

根據(jù)圖象利用/(0)=母，先求出9的值，結(jié)合/(1)=0求出口，然后利用周期公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：由/(0)=岔sin0=",得sin0=^^,

713〃

—<0<兀,(P—-----9

24

貝！I/(%)=Gsin(s+當(dāng),

4

f(1)=A/3sin+=0,

=7i,即刃二工，

44

T=2萬(wàn)=2萬(wàn)

則函數(shù)的最小正周期二丁丁,

4

故答案為：8

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)周期的求解，結(jié)合圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵.

15.2A/3+2

【解析】

先根據(jù)三棱錐的幾何性質(zhì)，求出外接球的半徑，結(jié)合向量的運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求球體表面一點(diǎn)到?&LC外心距離最

大的問(wèn)題，即可求得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?4,S3,SC兩兩垂直且&L=陽(yáng)=SC=2,

故三棱錐S-ABC的外接球就是對(duì)應(yīng)棱長(zhǎng)為2的正方體的外接球.

且外接球的球心為正方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)。，如下圖所示：

容易知外接球半徑為3.

設(shè)線段A5的中點(diǎn)為。1，

故可得MA-MB=(MOX+Q+。悟)

=(MO}+qA)?(M0]-O]A)

222

=|MO1|-|O1A|=|MO1|-2,

故當(dāng)|取得最大值時(shí)，MA.MB取得最大值.

而當(dāng)A,5在同一個(gè)大圓上，且MO]LAB,

點(diǎn)"與線段AB在球心的異側(cè)時(shí)，|“。11取得最大值，如圖所示：

此時(shí)，〃0=追,00]=(f+￡—1=：

故答案為：26+2.

【點(diǎn)睛】

本題考查球體的幾何性質(zhì)，幾何體的外接球問(wèn)題，涉及向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算，屬綜合性困難題.

16.—

25

【解析】

兀.

714,_..—ixzct^,11+cost2。)1+sin2a16—人,

因?yàn)镃OS~~a7,由二倍角公式得到2尸、、2=---=—，故得到

5cos(--?)=--------煮------225

42

sin2tz=—.

25

7

故答案為sin2a=—.

25

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析.

【解析】

(1)連結(jié)根據(jù)中位線的性質(zhì)證明PB//OM即可.

(2)證明4。_1_3￡),4。_1尸/)再證明公。_1_平面「&)即可.

【詳解】

解：(1)證明：連結(jié)OM,

。是菱形ABC。對(duì)角線AC、5。的交點(diǎn)，

二。為的中點(diǎn)，

加是棱PD的中點(diǎn)，

:.OMI/PB,

OMu平面AMC,PB<z平面AMC,

.?.尸3//平面，。，

⑵解：在菱形ABC。中,AC,加,且。為AC的中點(diǎn),

MA^MC,

:.AC±OM,

OMcBAO,

.?.4。，平面必。，

ACu平面AMC,

平面PBD，平面AMC.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線面平行與垂直的判定,屬于基礎(chǔ)題.

18.(1)-；(2)

713

【解析】

CC

(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式，將已知等式化為角上關(guān)系式，求出tan上，再由二倍角余弦公式，即可求解;

22

(2)在一ACD中，根據(jù)面積公式求出CD長(zhǎng)，根據(jù)余弦定理求出AD,由正弦定理求出

sinZADC,即可求出結(jié)論.

【詳解】

(1)石sin(A+B)=4sin2^,2^/3sin-ycos-y=4sin2與,

C7i,CCA/3

0<—<一，.二sin—>0,「.tan—=—,

22222

2c.2C[2c

廠廠cos----sin——1-tan——1,

「2C.C?22

cosC=cos----sin2—=-------W--------g=----------&=—；

22cos2——C,l-si.n2——C1+tan2——c7

222

(2)在AC。中，由(1)得sinC=謔，

7

14也「

S=—x7xCDx-----=6\3,CD—3，

.7A1Cr1n727'/

由余弦定理得

AD2=Z?2+CZ)2-2Z?-CD-COSC=49+9-2X7X3X-=52,

7

=2而，在一ACD中，

r4拒

ADAr7x2底,

-------—,sinZADC=—4

sinCsinZADC2而13

sinZADB=sinZADC=

13

【點(diǎn)睛】

本題考查三角恒等變換求值、面積公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.

19.（I）二；=仁二（二>0），口一口+，=@；（IDf

【解析】

（D利用所給的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程，直接整理化簡(jiǎn)得到直角坐標(biāo)方程和普通方程；（II）聯(lián)立直線的參數(shù)方程和C

的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及等比數(shù)列的性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】

Cl）曲線：--='i9兩邊同時(shí)乘以

可得二;二=4二二sin二（Z>ay化簡(jiǎn)得）二：=4-3（Z>療

直線-的參數(shù)方程為.（一為參數(shù)），可得

-（I=-24--Z,-

[IT+亨匚

x-y=-l,得x-y+l=0；

（ID將_（二為參數(shù)）代入二?=「廠匚并整理得

[二=-2+Y二一一一）

[__/+2匚

Z，;-心。+。二I+8（二"）=0

韋達(dá)定理：二-二；=..j二+二二=，二一二：>:

由題意得__|:=——即-__|;=一.|

可得二-二;）：-4匚/?二?=；,口?

即；一

9.I-*ViwI4-J/-_Vo

解得

一="

4

【點(diǎn)睛】

本題考查了極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)和普通方程的互化，以及參數(shù)方程的綜合知識(shí)，結(jié)合等比數(shù)列，熟練運(yùn)

用知識(shí)，屬于較易題.

20.（1）多2350人；（2）有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).

【解析】

（1）根據(jù)題意，知100人中購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性有55人，購(gòu)買“天貓精靈”的女性有40人，即可估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小

愛(ài)同學(xué)”的女性人數(shù)和購(gòu)買“天貓精靈”的女性的人數(shù)，即可求得答案；

(2)根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式，求出K?，與臨界值比較，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)由題可知，100人中購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性有55人，購(gòu)買“天貓精靈”的女性有40人,

由于地區(qū)共有13000人購(gòu)買了“小愛(ài)同學(xué)”，有12000人購(gòu)買了“天貓精靈”，

估計(jì)購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性有/^x55=7150人.

12000

估計(jì)購(gòu)買“天貓精靈”的女性有x40=4800A.

100

貝(17150-4800=2350,

...估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性比購(gòu)買“天貓精靈”的女性多2350人.

片_200x(45x40-60x55)2

(2)由題可知,=4.511>3.841，

__105x95x100x100

...有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).

【點(diǎn)睛】

本題考查隨機(jī)抽樣估計(jì)總體以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

2無(wú)

21.(1)?=1(2)g(x)=/(x)-2x(x>0)為減函數(shù)，A(x)=/(%)------(x>0)為增函數(shù).(3)證明見(jiàn)

1+2%

解析

【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù)/'(X),求出切線方程，令x=0得切線的縱截距，可得。(必須利用函數(shù)的單調(diào)性求解)；

(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性；

5―9n+11

(3)不等式—2變形為/(女，由g(x)遞減，得g(x)>g(0)=0(x〉0),即/(x)<2x,即

%=fQa“_[+1)<2限,依次放縮，an<24一<22a吁?<<2"一％1=y.

12x

不等式--2<0,h(x)=/(%)一——遞增得h(x)>〃(0)(尤>0),

42x+l

/(x)>:^7>0,工<4+1,；_2<!(工_2],先證工_2=7二_2<0,然后同樣放縮得出結(jié)論.

2x+l/(x)2x于(x))%f(q)

【詳解】

解：(1)對(duì)/(%)=ln(2%+”)求導(dǎo)，得——

2x+a

2

因此f(l)=——.又因?yàn)?⑴=ln(2+，)，

2+。

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴處的切線方程為

y-ln(2+a)=——(x-1),

2+a

22

即y=-----%+ln(2+〃)--------.

2+a2+a

22

由題意，ln(2+a)--------=ln3——.

2+a3

顯然。=1,適合上式.

2

令夕(。)=ln(2+a)--------(a>0),

2+a

12

求導(dǎo)得“(〃)二-----1------7>0,

2+4(2+a)

因此磯a)為增函數(shù)：故a=1是唯一解.

2x

(2)由(1)可知，g(x)=ln(2x+1)-2x(x>0),h(x)=ln(2x+1)---------(x>0),

2x+l

24r

因?yàn)間'(x)=-~--2=--~-<0,

2x+l2x+l

所以g(x)=/(x)-2x(x>0)為減函數(shù).

,7“、224x

因?yàn)閔(x)=--------------------=-----------

2x+l(2x+l)2(2x+l)2

2x

所以h(x)=(x>0)為增函數(shù).

l+2x

2

(3)證明：由qa“+]=/(a")=ln(2a.+l),易得a“〉0.

5-2"i1c2"

<-----2oa“-

Ta.5

由(2)可知，g(x)=/(x)-2x=ln(2x+l)-2x在(0,+oo)上為減函數(shù).

因此，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)<g(0)=0,即/(x)<