八年級(jí)下冊(cè) 專題. 平行四邊形的性質(zhì)與判定【十一大題型】（舉一反三）（人教版）（原卷版）13

專題18.1平行四邊形的性質(zhì)與判定【十一大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用平行四邊形的性質(zhì)求解】 2【題型2利用平行四邊形的性質(zhì)證明】 3【題型3平行四邊形的性質(zhì)的其他應(yīng)用】 4【題型4判斷能否構(gòu)成平行四邊形】 6【題型5添一個(gè)條件成為四邊形】 7【題型6數(shù)圖形中四邊形的個(gè)數(shù)】 8【題型7求與已知三點(diǎn)組成平行四邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】 9【題型8證明四邊形是平行四邊形】 10【題型9利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解】 12【題型10利用平行四邊形的判定與性質(zhì)證明】 13【題型11平行四邊形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用】 14【知識(shí)點(diǎn)1平行四邊形的性質(zhì)】性質(zhì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言圖示邊平行四邊形的對(duì)邊相等四邊形ABCD是平行四邊形，角平行四邊形的對(duì)角相等四邊形是平行四邊形，對(duì)角線平行四邊形的對(duì)角線互相平分四邊形ABCD是平行四邊形，【拓展延伸】（1）證明平行四邊形的性質(zhì)時(shí)，一般通過作對(duì)角線把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解答.（2）平行四邊形的性質(zhì)為證明線段平行或相等、角相等提供了理論依據(jù).（3）平行四邊形的每條對(duì)角線都將平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形.（4）平行四邊形被兩條對(duì)角線分成的四個(gè)小三角形的面積相等，每個(gè)小三角形的面積都等于平行四邊形面積的14；相鄰兩個(gè)三角形周長(zhǎng)之差的絕對(duì)值等于平行四邊形兩鄰邊之差的絕對(duì)值【規(guī)律方法】（1）平行四邊形的鄰角互補(bǔ)；（2）若一條直線經(jīng)過平行四邊形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則該直線平分平行四邊形的周長(zhǎng)和面積.【題型1利用平行四邊形的性質(zhì)求解】【例1】（2023上·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD=2AD，點(diǎn)E、點(diǎn)G分別是OC、AB的中點(diǎn)，連接BE、GE，若∠ABE=42°，則∠AEG的度數(shù)為（

）A．42° B．45° C．46° D．48°【變式1-1】（2024上·甘肅隴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，點(diǎn)O是□ABCD的對(duì)稱中心，AD>AB，E，F(xiàn)是AB邊的三等分點(diǎn)；G，H是BC邊的三等分點(diǎn)．若S1，S2分別表示△EOF和△GOH【變式1-2】（2023下·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC⊥BC，AB=10，

A．73 B．6 C．7 D．58【變式1-3】（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(-2,3)，B(-3,0)，C(3,0)，將平行四邊形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)【題型2利用平行四邊形的性質(zhì)證明】【例2】（2023下·安徽宿州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，平行四邊形ABCD中，CG⊥AB于點(diǎn)G,∠ABF=45°，點(diǎn)F在CD上，BF

(1)若BG=1,BC=(2)求證：△BCG(3)求證：CD-【變式2-1】（2023下·安徽蕪湖·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O

(1)△AEO(2)BE=【變式2-2】（2023下·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，AD=2AB,F是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB于點(diǎn)E①∠DFC②∠DFE③CF=④S【變式2-3】（2023下·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶一中校考階段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE、BF，若∠ADE與∠CBF的平分線DG、BG交于AC上一點(diǎn)G，連接EG．（1）如圖1，點(diǎn)B、G、D在同一直線上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的長(zhǎng)；（2）如圖2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求證：AD＝BF+DE．【題型3平行四邊形的性質(zhì)的其他應(yīng)用】【例3】（2023下·廣東廣州·八年級(jí)執(zhí)信中學(xué)?？计谥校┤鐖D，王老師用四根木棒搭成了平行四邊形的框架，量得AB=10cm，AD=8cm，固定AB．逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)AD，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，關(guān)于平行四邊形

A．甲說的對(duì) B．乙說的對(duì) C．甲、乙說的都對(duì) D．甲、乙說的都不對(duì)【變式3-1】（2023下·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，A，B兩點(diǎn)被大山阻隔，為了改善山區(qū)的交通，現(xiàn)擬開鑿一個(gè)貫穿A，B的隧道，修建一條高速公路．請(qǐng)你設(shè)計(jì)出一個(gè)方案，利用平移的有關(guān)知識(shí)測(cè)量出A，B之間的距離和隧道開鑿的方向．【變式3-2】（2023下·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖甲，試用一條直線把圖形分成面積相等的兩部分（至少三種方法）．【變式3-3】（2023下·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在所給的9×9方格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，按要求畫平行四邊形，使它的四個(gè)頂點(diǎn)以及對(duì)角線交點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)上．（1）在圖甲中畫一個(gè)平行四邊形，使它的周長(zhǎng)是整數(shù)．（2）在圖乙中畫一個(gè)平行四邊形，使它的周長(zhǎng)是無(wú)理數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)2平行四邊形的判定】判定方法數(shù)學(xué)語(yǔ)言圖形邊兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（定義）四邊形ABCD是平行四邊形.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.四邊形是平行四邊形.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.四邊形ABCD是平行四邊形.角兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.，四邊形ABCD是平行四邊形.對(duì)角線對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.四邊形ABCD是平行四邊形.【題型4判斷能否構(gòu)成平行四邊形】【例4】（2023下·湖北武漢·八年級(jí)校考期中）在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于O點(diǎn)，給出五組條件：?①AB=DC，AD②AB=CD，AB∥③AB∥CD，AD∥④OA=OC，OB=⑤AB=CD，AD能判定此四邊形是平行四邊形的有（

）組．A．1 B．2 C．3 D．4【變式4-1】（2023下·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列四邊形中分別標(biāo)注了部分?jǐn)?shù)據(jù)，根據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，則不能判斷該四邊形是平行四邊形的是（

）A．

B．

C．

D．【變式4-2】（2023上·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，點(diǎn)F是DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，不能判斷四邊形BCFD

A．BD∥CF B．DF=BC C．【變式4-3】（2023上·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）?ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上不同的兩點(diǎn)，下列條件中，不能得出四邊形AECF一定為平行四邊形的是（）A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE【題型5添一個(gè)條件成為四邊形】【例5】（2023下·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知點(diǎn)E、F在四邊形ABCD的對(duì)角線BD所在的直線上，且BE=DF，AE∥CF，請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件（不要在圖中再增加其它線段和字母），能證明四邊形ABCD是平行四邊形，并證明你的想法.你所添加的條件：；證明：【變式5-1】（2023下·黑龍江綏化·八年級(jí)統(tǒng)考期末）四邊形ABCD中，如果AB=DC，當(dāng)ABDC時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形．【變式5-2】（2023下·北京通州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．請(qǐng)你只添加一個(gè)條件（不另加輔助線），使得四邊形【變式5-3】（2023下·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AB=8cm，DC=10cm，E是DC上一點(diǎn)，且DE=3，P從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)Q從D點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)t=【題型6數(shù)圖形中四邊形的個(gè)數(shù)】【例6】（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，則圖中的平行四邊形（不包括四邊形ABCD）的個(gè)數(shù)共有（

）A．9個(gè) B．8個(gè) C．6個(gè) D．4個(gè)【變式6-1】（2023下·重慶江津·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形有個(gè)．

【變式6-2】（2023下·浙江杭州·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A，B，C在同一直線上，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G在同一直線上，且AC//DG,A．4 B．5 C．3 D．6【變式6-3】（2023下·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在圖（1）中，A1、B1、C1分別是△ABC的邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且A1C1∥AC，A1B1∥AB，B1C1∥BC，在圖（2）中，A2、B2、C2分別是△A1B1C1的邊B1C1、C1A1、A1B1上的點(diǎn)，且A2C2∥A1C1，A2B2∥A1B1，B2C2∥B1C1，…，按此規(guī)律，則第n個(gè)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)共有個(gè)．【題型7求與已知三點(diǎn)組成平行四邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】【例7】（2023下·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1，1)，B(3，2)．（1）如圖1，在y軸上是否存在－點(diǎn)P，使PA＋PB最小，若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（2）如圖2，點(diǎn)C坐標(biāo)為(4，1)，點(diǎn)D由原點(diǎn)O沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形；（3）點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在y軸上，且以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P以及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【變式7-1】（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）以不共線的三點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形共有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．無(wú)數(shù)【變式7-2】（2023下·浙江杭州·八年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O0,0,A-3,0【變式7-3】（2023上·遼寧大連·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A3，0，點(diǎn)B0，4，把△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△A'BO(1)如圖1，若α=90°，則點(diǎn)O'的坐標(biāo)為，點(diǎn)A'的坐標(biāo)為，AA(2)如圖2，若α=120°，求點(diǎn)O(3)在（2）的條件下，在坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)D，使A、B、O'、D四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)D【題型8證明四邊形是平行四邊形】【例8】（2023下·湖南張家界·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=kx+8k≠0經(jīng)過點(diǎn)C2，4，與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．線段CD平行于x軸，交直線(1)求直線AB的解析式；(2)求證：四邊形OCDA是平行四邊形；(3)點(diǎn)P為直線AC上一點(diǎn)，連接OP、PD，當(dāng)S△POD=2【變式8-1】（2023下·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知∠A=∠D

(1)求證：△AOB(2)作△BDC關(guān)于直線BC的對(duì)稱圖形△BEC，求證：四邊形【變式8-2】（2023下·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶一中?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，小谷想在平行四邊形ABCD里面再剪出一個(gè)以AE為邊的平行四邊形，小谷的思路是：在BC的左側(cè)作∠BCF

(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在BC左側(cè)作∠BCF，使∠BCF=∠DAE，CF與對(duì)角線BD交于點(diǎn)(2)根據(jù)（1）中作圖，求證：四邊形AECF為平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，①∴②．在△AED與△∵∠DAE∴△AED∴AE=CF，③∴180°-∠AED=180°-∠CFB∴④．∴四邊形AECF為平行四邊形．【變式8-3】（2023下·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)E，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)F，以AC為邊作等邊△ACD（A，C，D按順時(shí)針排列），連接AE，DF(1)如圖1所示，若點(diǎn)D，點(diǎn)A在BC兩側(cè)，當(dāng)a=150°①請(qǐng)直接寫出∠DAE②用適當(dāng)?shù)姆绞奖硎觯壕€段EF與AD之間的關(guān)系；EF所在直線與AB之間的關(guān)系；(2)如圖2所示，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，請(qǐng)判斷四邊形AEFD【題型9利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解】【例9】（2023下·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC的面積為5，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DFC，連接EA，DA，當(dāng)∠BAC

【變式9-1】（2023下·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校校考期中）如圖①，P為△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)(不在直線AC上)，∠ABC=90°，AC=2BC=4，D為AC邊中點(diǎn)，操作：以PA、PB為鄰邊作?PAMB，連接PD并延長(zhǎng)到點(diǎn)

(1)探究：判斷ME與BC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(2)應(yīng)用：如圖②，當(dāng)點(diǎn)P，M，E在同一條直線上，且M為PD中點(diǎn)時(shí)，平行四邊形【變式9-2】（2023下·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)校考期中）如圖，?ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，且BE=DF，連接EF交BD(1)連接BF、DE，判斷四邊形DEBF的形狀并說明理由．(2)若AE=6，BE=2，△BOF的面積為2(3)若BD⊥AD，∠A=45°，EF⊥AB，延長(zhǎng)EF交AD的延長(zhǎng)線于G，當(dāng)【變式9-3】（2023下·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠A=30°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向以每秒4個(gè)單位的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿CB方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，以BP，BQ為鄰邊作平行四邊形BPDQ，PD，QD分別交AC于點(diǎn)E(1)BQ=______(含t的代數(shù)式表示)(2)如圖2，連接AD，PF，PQ，當(dāng)AD∥PQ時(shí)，求(3)如圖3，連接PF，PQ，D點(diǎn)關(guān)于直線PF的對(duì)稱點(diǎn)為D'點(diǎn)，若D'落在△PQB的內(nèi)部(不包括邊界)時(shí)，則【題型10利用平行四邊形的判定與性質(zhì)證明】【例10】（2023下·廣東湛江·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E(1)求證：BE=(2)若BF恰好平分∠ABE，連接AC、DE，求證：四邊形ACED(3)若BF⊥AE，∠BEA=60°，【變式10-1】（2023上·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABE和△CDF是平行四邊形ABCD外的兩個(gè)三角形，且求證：四邊形AECF是平行四邊形．

【變式10-2】（2023上·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE，過點(diǎn)C作CF∥DE交AB于點(diǎn)F．(1)當(dāng)點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)時(shí)，如圖①，求證：EF＝CD．(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn)時(shí)（除B、C外），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【變式10-3】（2023上·北京海淀·八年級(jí)清華附中?？奸_學(xué)考試）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AP，BP，

(1)用等式表示AP'與BP(2)當(dāng)∠APB①直接寫出∠P'AP②若M為AB的中點(diǎn)，連接PM，依題意補(bǔ)全圖形，用等式表示PM與PP'【題型11平行四邊形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用】【例11】（2023上·浙江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，A，B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，使從A到B的路徑AMNB最短的是圖中的（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）（

）

B．

C．

D．

【變