遼寧省大連市遼寧2023-2024學年高考仿真模擬數(shù)學試卷含解析

遼寧省大連市遼寧師大附中2023-2024學年高考仿真模擬數(shù)學試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.達芬奇的經典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑,，數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛好者

對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴角AC處作圓弧的切線,

兩條切線交于3點，測得如下數(shù)據(jù)：AB=6cm,BC=6cm,AC=10.392cm（其中且00.866）.根據(jù)測量得到的結

2

果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角大約等于（）

0.392cmy

/Dem

B

2.已知集合/={]|為2—3x+2<0},N={x|y=若McN=M,則實數(shù)"的取值范圍為（）

A.（-oo,l]B.（-oo,l）C.（1,-Hx>）D.[l,+oo）

3.已知函數(shù)/（%）=；”.下列命題：①函數(shù)/（x）的圖象關于原點對稱；②函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；③當x=g時,

X+12

函數(shù)”X）取最大值；④函數(shù)/（X）的圖象與函數(shù)y=L的圖象沒有公共點，其中正確命題的序號是（）

X

A.①④B.②③C.①③④D.①②④

4.一個圓錐的底面和一個半球底面完全重合，如果圓錐的表面積與半球的表面積相等，那么這個圓錐軸截面底角的大

小是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

5.已知全集0=2人={1,2,3,4},3=卜卜+1）@—3）＞0,.2},則集合ArXQB）的子集個數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

5兀4萬.2萬

A.B.——C.2+D.4+—

T3T3

“,設。=/(1114/=/(仿,。=/(111冷),

7.已知定義在R上的偶函數(shù)/（%）,當x20時,f(x)=ex-

則()

A.b>a>cB.b>a-cC.a=c>bD.c>a>b

|log3(x+l)|,xe(-l,8)

8.已知/(x)=<4若/［（加―1）/（力］一240在定義域上恒成立，則加的取值范圍是（)

——-,xe[8,+oo)

、%—6

A.(0,+oo)B.[1,2)C.[1,+<?)D.(0,1)

9.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上為減函數(shù)的是()

2

A.y=4x+lB.y=x-1C.y=D.y=log2%

10.設全集為R,集合A={x[0<x<2},B={x|x>l},則A(\B)=

A.1x|0<x<1}B.1x|0<x<1}C.1x|l<x<2jD.1x|0<x<2j

11.設兀0是定義在尺上的偶函數(shù)，且在(0,+oo)單調遞減，貝！I()

340Aa3

A./(log30.3)>/(2-°)>/(2-°-)B./(log30.3)>f(2~)>f(2-)

03A3

C.f(2~-)>C2*>/(log30.3)D.f(2~°)>f(2~°-)>/(log30.3)

12.已知集合4={-1,0,1,2},3=卜卜+1)(%—2)<0},則集合A8的真子集的個數(shù)是()

A.8B.7C.4D.3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在等比數(shù)列&｝中,03a4a5-64,a5=8,貝!）%=.

14.等邊AABC的邊長為2,則在方向上的投影為

15.等腰直角三角形ABC內有一點P,PA=1,PB=V2.PC=2,NA=90，則AABC面積為.

16.在長方體ABC。一4男如。中，AD=3,A4=A3=4,則異面直線4啰與AC所成角的余弦值為（）

.V2?2「2&n4

A?上5??----------U?

5555

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，三棱錐P—ABC中，PA=PC,AB=BC,ZAPC=120°,ZABC=9Q°，AC=^PB.

（1）求證：AC1PB；

（2）求直線AC與平面所成角的正弦值.

18.（12分）已知函數(shù)/'（x）=e?一xQaeR,e為自然對數(shù)的底數(shù)），g（x）=lnx+mx+l.

（1）若/（九）有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍；

（2）當a=l時，％[〃％）+%]?8（%）對任意的行（0,”）恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

19.（12分）已知0＜夕＜彳，函數(shù)/（x）=Y^sin（2x+9）-cos2》.

22

（1）若（p=9,求/（%）的單調遞增區(qū)間；

（2）若/["=一：，求sin。的值.

20.（12分）如圖，在四棱錐尸—ABCD中，平面ABC。，底面ABC。是矩形，AD=PD,E,尸分別是

CD,的中點.

（II）設45=65。=3，求三棱錐P—AEF的體積.

22

21.（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓「+4=1（。〉6〉0）的左、右頂點分別為A、B,焦距為2,直

a"b~

線/與橢圓交于C,。兩點（均異于橢圓的左、右頂點）.當直線/過橢圓的右焦點尸且垂直于工軸時，四邊形的

面積為6.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線AC,加的斜率分別為勺,心.

①若左2=3%,求證：直線/過定點;

②若直線/過橢圓的右焦點試判斷I是否為定值，并說明理由.

左2

22.（10分）在①J§（Z?cosC-a）=csin8；②2a+c=2bcosC；③1sinA=Gasin0這三個條件中任選一

個，補充在下面問題中的橫線上，并解答相應的問題.

在AABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足,b=25a+c=4,求AABC的面

積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

由已知AB=BC=6,設NABC=2，.可得sin6=—^—=0.866.于是可得。，進而得出結論.

【詳解】

解：依題意AB=BC=6,設ZABC=23.

貝！Isin=0.866?—.

72

：.e=-,2，="

33

設《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角為夕.

貝(Ia+28=4,

71

CL——.

3

故選：A.

【點睛】

本題考查了直角三角形的邊角關系、三角函數(shù)的單調性、切線的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

2、A

【解析】

解一元二次不等式化簡集合"的表示，求解函數(shù)>=4^二？的定義域化簡集合N的表示，根據(jù)"cN=〃可以得

到集合〃、N之間的關系，結合數(shù)軸進行求解即可.

【詳解】

M=|x|x2-3x+2<0|={x|1<x<2},N={x|y=Jx-a}=[x\x>a].

因為McN=M,所以有因此有aWl.

故選：A

【點睛】

本題考查了已知集合運算的結果求參數(shù)取值范圍問題，考查了解一元二次不等式，考查了函數(shù)的定義域，考查了數(shù)學

運算能力.

3、A

【解析】

根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確；由周期函數(shù)特點知②錯誤；函數(shù)定義域為R,最值點即為極值點，由/

知③錯誤；令g(x)=〃x)-L在％>0和x<0兩種情況下知g(x)均無零點，知④正確.

【詳解】

由題意得：/(九)定義域為R,

"-1)=/：2、=--=7=-/(X),.?./("為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，①正確；

(-X)+1X+17

y=sinx為周期函數(shù)，y=/+l不是周期函數(shù)，，/(九)不是周期函數(shù)，②錯誤；

(X?+l)cosx-2xsinx((兀、

rW=-——丁,~------,彳卜0,彳不是最值，③錯誤；

(%2+1)。⑺

1

sinx-x——

令g(x)=，(x)T=蜀-卜_________x_9

X2+1

當x>0時，sinx<x—>0,/.g(%)<0,此時/(%)與y=(無交點；

9x

g(H>0,此時〃尤)與y=：無交點；

當x<0時，sinx>x>—<0,/.

綜上所述：/(%)與？=:無交點，④正確.

故選：A.

【點睛】

本題考查函數(shù)與導數(shù)知識的綜合應用，涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點個數(shù)問題的

求解；本題綜合性較強，對于學生的分析和推理能力有較高要求.

4、D

【解析】

設圓錐的母線長為/,底面半徑為R,再表達圓錐表面積與球的表面積公式，進而求得1=2R即可得圓錐軸截面底角的大

小.

【詳解】

設圓錐的母線長為/,底面半徑為R,則有兀N+兀Rl=兀史+271K，解得1=2H,所以圓錐軸截面底角的余弦值是

R1

丁=一，底角大小為60°.

I2

故選：D

【點睛】

本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式，屬于基礎題.

5、C

【解析】

先求B.再求求得Ac(GB)則子集個數(shù)可求

【詳解】

由題CVB=|x|(x+l)(x-3)<0,xez}={x|-l<x<3,xeZ}=={-1,0,1,2,3},則集合AnfC^B)={1,2,3}，故

其子集個數(shù)為23=8

故選C

【點睛】

此題考查了交、并、補集的混合運算及子集個數(shù)，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵，是基礎題

6^A

【解析】

觀察可知，這個幾何體由兩部分構成，：一個半圓柱體，底面圓的半徑為1,高為2；一個半球體，半徑為1,按公式計

算可得體積。

【詳解】

設半圓柱體體積為匕，半球體體積為匕，由題得幾何體體積為

V=vy,=^-xl2x2x-+-x^-xl3x-=—,故選A。

1+-2323

【點睛】

本題通過三視圖考察空間識圖的能力，屬于基礎題。

7、B

【解析】

根據(jù)偶函數(shù)性質，可判斷a，C關系；由xNO時，/(x)="-土尤2+黃2x，求得導函數(shù)，并構造函數(shù)g(x)=e'-x-1,

由g'(x)進而判斷函數(shù)/(%)在x之0時的單調性，即可比較大小.

【詳解】

Ax)為定義在R上的偶函數(shù)，

所以a=c；

r2+2%

當xNO時，f(x)=ex-

則尸(x)=e-x—1,

令g(%)="_%_]

貝！|g'(x)=e*—1,當x?0時，g'(x)=ex-l>0,

貝!|g(x)=e、一為一1在時單調遞增，

因為g(O)=e°—0—1=0,所以g(x)="—x—120,

即/'(x)=/—x—120,

2

則/⑴=e-三X+產2x在x2。時單調遞增,

而O<ln0〈夜，所以

/(lnV2)</(V2),

綜上可知，/^ln^=/(lnV2)</(V2)

即a=c<Z>,

故選：B.

【點睛】

本題考查了偶函數(shù)的性質應用，由導函數(shù)性質判斷函數(shù)單調性的應用，根據(jù)單調性比較大小，屬于中檔題.

8、C

【解析】

QQ

先解不等式〃x)W2,可得出xN-求出函數(shù)y=/(x)的值域，由題意可知，不等式("7-§在定義

域上恒成立，可得出關于根的不等式，即可解得實數(shù)機的取值范圍.

【詳解】

|log3(x+l)|,xe(-l,8)

〃力=4,、，先解不等式〃x)W2.

——-,XG[8,+CC)

①當—l<x<8時，由/(尤)=|log3(%+l)|<2,得—2Wlog3(x+l)W2,解得—■|?xW8,此時—■|<x<8；

4

②當時，由/(%)=——<2,得]N8.

x-6

[8

所以，不等式y(tǒng)(x)W2的解集為§>.

下面來求函數(shù)y=f(x)的值域.

當—1<X<8時，0<x+l<9,則log3(x+l)<2,此時/(x)=|log3(x+l)|20；

當時，x-6>2,此時/（x）=^^e（O,2］.

x—6

綜上所述，函數(shù)y=/（x）的值域為［。，轉），

由于/■［（7〃一1）/（司］—2<0在定義域上恒成立，

Q

則不等式（機-§在定義域上恒成立，所以，加-120,解得加

因此，實數(shù)M的取值范圍是［L+8）.

故選：C.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，同時也考查了分段函數(shù)基本性質的應用，考查分類討論思想的應用，屬于中

等題.

9、C

【解析】

利用基本初等函數(shù)的單調性判斷各選項中函數(shù)在區(qū)間（0,+。）上的單調性，進而可得出結果.

【詳解】

對于A選項，函數(shù)y=在區(qū)間（0,+”）上為增函數(shù)；

對于B選項，函數(shù)丁=必—1在區(qū)間（0,+。）上為增函數(shù)；

對于C選項，函數(shù)y=在區(qū)間（0,+"）上為減函數(shù)；

對于D選項，函數(shù)y=10g2x在區(qū)間（0,+8）上為增函數(shù).

故選：C.

【點睛】

本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調性的判斷，熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調性是判斷的關鍵，屬于基礎題.

10、B

【解析】

分析：由題意首先求得CRB,然后進行交集運算即可求得最終結果.

詳解:由題意可得:QB={x|x<l},

結合交集的定義可得：An（QB）={0<x<l}.

本題選擇B選項.

點睛：本題主要考查交集的運算法則，補集的運算法則等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

11、D

【解析】

利用"%)是偶函數(shù)化簡/(log30.3),結合〃龍)在區(qū)間(0,+。)上的單調性，比較出三者的大小關系.

【詳解】

/(X)是偶函數(shù)，/(1叫0.3)=/(—log3T)=/(log3號)，

而log3y>l>2{3>2心>0,因為/(元)在(0,+8)上遞減，

t,304

.??/(log3y)</(2-)</(2-),

即/(心3。3)</(2")</(2<4).

故選:D

【點睛】

本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調性比較大小，屬于基礎題.

12、D

【解析】

轉化條件得AB=利用元素個數(shù)為〃的集合真子集個數(shù)為2"-1個即可得解.

【詳解】

由題意得3={x|(x+l)(x-2)<o}={x|-l<x<2},

.〔A3={0,1},.?.集合A8的真子集的個數(shù)為22—1=3個.

故選：D.

【點睛】

本題考查了集合的化簡和運算，考查了集合真子集個數(shù)問題，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

設等比數(shù)列{??}的公比為您再根據(jù)題意用基本量法求解公比,進而利用等比數(shù)列項之間的關系得出=/=*=1即

可.

【詳解】

設等比數(shù)列｛?！埃墓葹?.由％%%=64，得（的曠=64,解得%=4.又由%=8,得4=&=2.則

%一/_齊一L

故答案為：1

【點睛】

本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解方法,屬于基礎題.

14、-1

【解析】

建立直角坐標系，結合向量的坐標運算求解AB在8C方向上的投影即可.

【詳解】

建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意可知：A（0,0）,B（2,0）,C（16）,

貝！1：AB=（2,0）,BC=（-1,A/3）,ABBC=-2

且叫=2,3C=癡，

ABBC-2,

據(jù)此可知A3在BC方向上的投影為45一2一L

肛

2-C

;

?一i/—i-

-1-

【點睛】

本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，向量投影的定義與計算等知識,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

【解析】

利用余弦定理計算cosN上鉆3。5僅0°-NPAB),然后根據(jù)平方關系以及三角形面積公式，可得結果.

【詳解】

設AB=AC=x

由題可知：

+A3?-PB?

cosNPAB=

2PAAB

「42+4。2一尸。2

cos（90°-ZPAB）==sinZPAB

2PAAC

由sin2NPAB+cos2ZPAB=1,

PA=1,PB=?，PC=2

-2-22

所以

2x

化簡可得：X4-6X2+5=0

則為2=5或爐=1,即X=J?或x=1

由所以x=

所以。=”以0=3

故答案為：—

2

【點睛】

本題主要考查余弦定理解三角形，仔細觀察，細心計算，屬基礎題.

16、C

【解析】

根據(jù)//CQ確定ZAC。是異面直線與AC所成的角，利用余弦定理計算得到答案.

【詳解】

由題意可得AC=陰=5,=CD1=40.因為45//eq,

所以ZAC.是異面直線45與AC所成的角，記為氏

3+CD；-A。：_25+32-25_2后

故cos0=

2ACCDt-2X5X4A/2-5

故選：C.

【點睛】

本題考查了異面直線夾角，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見詳解；(2)好

5

【解析】

(1)取AC中點。，根據(jù)ACLPQACLB。，利用線面垂直的判定定理，可得AC，平面003,最后可得結果.

(2)利用建系，假設AC長度，可得AC，以及平面MB的一個法向量，然后利用向量的夾角公式，可得結果.

【詳解】

(1)取AC中點。，連接0R03,如圖

由？A=PC,AB=BC

所以AC，PO,AC，8。

由POBO=O,PO,BOcOPB

所以AC,平面O/歸，又PBu平面OPB

所以ACLP3

(2)假設AC=3,

由NAPC=120°,NABC=90°，AC=^PB.

所以尸3=6,03=3,OP=走

則P§2=o§2+op2,所以。

又OPLAC,ACc03=0,AC,06u平面ABC

所以尸0,平面ABC,所以POLOB,POLOC

又OB上OC,故建立空間直角坐標系O-孫z,如圖

「25J，I，2,y(2…J，(，，2

AC=(O,3,O),A5=f|,|,o\AP=k|,^

設平面PAB的一個法向量為n=(%,y,z)

f33

-+-y=0

rn-AB=O2x2“

則4=>4r-

n-AP=O

令z=g，所以”=(1,—1,6)

ri-AC=好

則直線AC與平面245所成角的正弦值為RM

【點睛】

本題考查線面垂直、線線垂直的應用，還考查線面角，學會使用建系的方法來解決立體幾何問題，將幾何問題代數(shù)化,

化繁為簡，屬中檔題.

18、(1))；(2)0°,1]

【解析】

(1)將/(%)有兩個零點轉化為方程。=皿有兩個相異實根，令G(x)=比求導，利用其單調性和極值求解；

XX

Inx1InY1

(2)將問題轉化為加《/-上土」對一切尤w(O,a)恒成立，令E(x)=/——-——(x>0),求導，研究單調性,

XXXX

求出其最值即可得結果.

【詳解】

(1)/(%)有兩個零點o關于X的方程em=x有兩個相異實根

由e">0，知x>0

???/(九)有兩個零點=。=——有兩個相異實根.

X

令G(x)=叱，則G，(x)=上乎，

XJC

由G(x)>0得：0<x<e,由G'(x)<0得：X>e,

???G(x)在(0,e)單調遞增，在(e,a)單調遞減

??口心=G(e)=j

又G(l)=0

，當0<x<l時，G(x)<0,當x>l時，G(x)>0

當％—>H~oo時，G(x)—>0

???/(x)有兩個零點時，實數(shù)”的取值范圍為[。,()；

(2)當。=1時，f(x)=ex-x,

原命題等價于xex>\nx+nvc+l對一切x￡（0,y）恒成立

]nY1

<^m<ex--------對一切xe(0,+8)恒成立.

xx

令*》)=/_巫_"x>0)

XX

(

:.m<F\xz)mi.n

戶（x）=/+華=表，+山》

Xx2

^h(<x^=x2ex+lnx,xe(0,+oo),則

h!(x\=2xe+x2ex+—>0

x

,五⑺在（0,+立）上單增

1-2

又/z(l)=e>0,hIe‘-l<e°-l=0

使人（X0）=0即+lnx（）=0①

當xe(O,x())時，/z(x)<0,當xe(xo，+ao)時，7z(%)>0,

即尸（九）在（0,%）遞減，在5,+8）遞增,

?/(xL=*%)=*-竺-J

A0人()

由①知片靖。=-lnx0

2In—

xTlnx?1,1,與

xoe0=------2-=—In—=

%0玉)工0、x0?

函數(shù)（p（x）=xe'在（0,+。）單調遞增

?1

玉)=In—即x0=-lnx0

/.F(x),=e“一二1」」+1」=1,

\/min

X。

:.m<\

實數(shù)加的取值范圍為

【點睛】

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，極值，最值問題，考查學生轉化能力和分析能力，是一道難度較大的題目.

19、(1)--+k7L,^+kn(左eZ)；(2)@±豆2.

_36」6

【解析】

(1)利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)y=f(x)的解析式為/(x)=1sinl2x+1

I，然后解不等式

--+2k7i<2x+-<-+2k7i(keZ),可得出函數(shù)y=/(x)的單調遞增區(qū)間;

262

⑵由=T得出sin[f=?，

并求出cos。。的值，利用兩角差的正弦公式可求出sin。的值.

【詳解】

(1)當0=2時,于(x)=H-cos2x=^1+cos2x

sinf2x+?-sin2x+—cos2x

2”22

3sin2x+^cos2x—L=Lsin12尤+工

4422I62

因此，函數(shù)y=/(x)的單調遞增區(qū)間為一§+左肛％+左萬(左eZ)；

V3.

7131sin(g+夕=是<6

-----Qs1in[]+°

244一石(3'

71715兀71715171^6

Q<(p<—9:.—<—+(0<—,—<—(D<—，cos—(p

336236(3一一彳'

n711.71_A/3出+3后

Sin(P=SinIy+^9|-y=—sin彳+。阿三+夕

32一方6

【點睛】

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵，屬中等題.

3

20、(I)見解析(II)-

4

【解析】

(I)取Q4中點G,連FG,GD,根據(jù)平行四邊形，可得EF//DG,進而證得平面上鉆，平面24。，利用面

面垂直的性質，得。G_L平面又由EF/1DG,即可得到EF_L平面上鉆.

(II)根據(jù)三棱錐的體積公式，利用等積法，即可求解.

【詳解】

(I)取E4中點G,連FG,GD,

由FG//AB,FG=-AB,ED//AB,ED=-AB,可得FG//ED,FG=ED,

22

可得EZJGb是平行四邊形，則EF//DG,

又PD，平面ABCD,；.平面上4。平面ABC。，

；ABLADnAB，平面ABu平面??.平面FAB,平面PA。，

VPD=AD,G是K4中點，則DGLB4,而。Gu平面B4￡>n￡)G，平面上45,

而EF//DG,；.EF上平面PAB.

(II)根據(jù)三棱錐的體積公式，

=X

得^P-AEF=VB-AEF=^F-BAE]^P-BAE=萬義§*S&BAEPD

=—x—x—x3x^/3X^/3=—.

2324

【點睛】

本題主要考查了空間中線面位置關系的判定與證明，以及利用“等體積法”求解三棱錐的體積，其中解答中熟記線面位

置關系的判定定理和性質定理，以及合理利用“等體積法”求解是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎

題.

22人]

21、(1)—+^=1；(2)①證明見解析；②U=￡

43A23

【解析】

22i2

(1)由題意焦距為2,設點C(l,%),代入橢圓+與=1(。〉6〉0),解得％=±￡_,從而四邊形的面積

aba

h2

6=25詔=2〃?一=2凡由此能求出橢圓的標準方程.

a

22

(2)①由題意AC:y=4(x+2),聯(lián)立直線與橢圓的方程'+二=1,得(3+4勺2)爐+16蜉-12=0,推導出

431

QK2_A\2k2—612k

以-田），D^，-E）'由此猜想：直線/過定點尸（1，°）,從而能證明〃C,D三點共

線，直線/過定點尸（L0）.

22

②由題意設。（占，%）,D（X2,女），直線/：%=沖+1，代入橢圓標準方程：、+二=1,得（3療+4）/+6〃9—9=0,

43

3口,6m9

推導出％+%=—而*'％%二一而富由此推導出&=工±1=史三J（吵T）」（定

3

&%%（占+2）%（〃彷+3）777yly2+3%

尤2-2

值）.

【詳解】

22

（1）由題意焦距為2,可設點C（l,%）,代入橢圓二+與=1（?！等恕?）,

ab

得二+至=1,解得為=±工，

aba

一h1

四邊形ACBD的面積6=2s=2〃?一=2b2，

Aa

/.b2=3942=4,

22

二橢圓的標準方程為L+2L=I.

43

（2）①由題意AC:y=《（x+2）,

22

聯(lián)立直線與橢圓的方程工+匕=1,得（3+41）尤2+16片-12=0,

431

16k^—12癡46-8%；_z?1、_12kl

?一2X=^^,解得s占=二詬'從H而％=7%（％+1）=直時，

以一矢六'3^），同理可得"（為/'一

JT*+兒]JIr?V]JTJ'r/V2

猜想：直線/過定點尸（1,0）,下證之:

12kl12k2

_3+4<-3+4武

,k

左2=3k1,?=8婷-6]-8%2_6-

-3+4^23+42一

他12k24K36kl4Al4K

2-22-22

I的4^2-91-4^36^-91-4^-1-4^

：.P,C,。三點共線，，直線/過定點P(1,O).

k.

②7r為定值，理由如下：

k2

由題意設C(X],%),D(X2,%)，直線/：%=沖+1,

22

代入橢圓標準方程：—+^-=1,得(3根2+4)V+6辦y—9=0,

43

-6m±J36M+36(3〃/+4)

一及2―2(3〃/+4)

6m9

?*-X+%=一3m2+4%%=-3m2+4

%

.左=%