江西省南昌市新建縣一中2024年高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

江西省南昌市新建縣一中2024年高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.地球上的風(fēng)能取之不盡，用之不竭.風(fēng)能是清潔能源，也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風(fēng)力發(fā)電，近10年來,

全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量連年攀升，中國更是發(fā)展迅猛，2014年累計(jì)裝機(jī)容量就突破了100GW,達(dá)到H4.6GW,

中國的風(fēng)力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟，在全球范圍的能源升級換代行動中體現(xiàn)出大國的擔(dān)當(dāng)與決心.以下是近10年全球風(fēng)

力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量與中國新增裝機(jī)容量圖.根據(jù)所給信息，正確的統(tǒng)計(jì)結(jié)論是（）

A.截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量達(dá)到峰值

B.10年來全球新增裝機(jī)容量連年攀升

C.10年來中國新增裝機(jī)容量平均超過20GW

D.截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量在全球累計(jì)裝機(jī)容量中占比超過工

3

2.正四棱錐尸-ABCD的五個頂點(diǎn)在同一個球面上，它的底面邊長為逐，側(cè)棱長為26，則它的外接球的表面積

為（）

A.4萬B.87rC.167rD.20%

3.在正方體ABC。-44GA中，球。I同時與以A為公共頂點(diǎn)的三個面相切，球。2同時與以G為公共頂點(diǎn)的三個

r,

面相切，且兩球相切于點(diǎn)尸.若以尸為焦點(diǎn)，A用為準(zhǔn)線的拋物線經(jīng)過Q，。2，設(shè)球。1，O2的半徑分別為？2，則,=

r2

()

A.避二1B.百—后C.1-—D.2-73

22

_1———_,—.

4.在AABC中，D為BC中點(diǎn),且=若=+貝!|丸+4=()

r2v2

5.已知耳，B是橢圓C：與+a=1（。>匕>0）的左、右焦點(diǎn)，過工的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)?若

IQ巴尸耳|,|即斯|依次構(gòu)成等差數(shù)列，且|PQI=|P?,則橢圓C的離心率為

6.已知向量a=（〃z,l）,6=（-1,2）,若（a—則。與b夾角的余弦值為（）

2^/132^/1367136V13

13136565

7T

7.將函數(shù)/（x）=sin（3x+：）的圖像向右平移加加>0）個單位長度，再將圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的6倍（縱

坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）的圖像，若g（x）為奇函數(shù)，則〃?的最小值為（）

TC27r717C

A.-B.—C.—D.—

991824

8.如圖，在’43c中，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)N，若AB=mAM，

AC=nAN>貝！1w+〃=（）

9.下列判斷錯誤的是（）

A.若隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N0,<4）=0.78,則尸（J<—2）=022

B.已知直線/，平面a,直線機(jī)//平面￡,貝！!"&//￡”是“/，機(jī)”的充分不必要條件

C.若隨機(jī)變量J服從二項(xiàng)分布：J,4,：；則￡?=1

D.am>bm是a>b的充分不必要條件

10.若復(fù)數(shù)2滿足（l+i）z=[3+4z],貝!|z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

_(3>

11.已知函數(shù)/(x)=W—皿根>0,且加W1)的圖象經(jīng)過第一、二四象限，則。="(逝)|"=f型，C=|/(O)|

I)

的大小關(guān)系為()

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

12.已知正四面體ABC。的棱長為1,。是該正四面體外接球球心，且AO=xAB+yAC+zAD,x,y,zeR,則

x+y+z=（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若正實(shí)數(shù)-，滿足一___:,貝!L：一的最大值是

14.［必一的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

15.若(2x+1)，—CLQ+<7j(x+1)+a,(x+1)24--卜4(%+1)6>貝(I/+%+2g+3a3+4%+5%+6%=.

16.已知正四棱柱的底面邊長為3cm,側(cè)面的對角線長是3&cm,則這個正四棱柱的體積是__cm3.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，已知橢圓=，二為其右焦點(diǎn),直線二二二二二-二二二m：與橢圓交于二二口二二二

兩點(diǎn)，點(diǎn)一在上，且滿足一=——二一一，一=.(點(diǎn)從上到下依次排列)

⑺試用二:表示二二|：

(〃)證明：原點(diǎn)二到直線/的距離為定值.

18.(12分)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，24,平面ABCD,四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)歹為線段PC上的點(diǎn),

過A,D,b三點(diǎn)的平面與pg交于點(diǎn)E.將①AB=AP,②BE=PE,③。5LED中的兩個補(bǔ)充到已知條件中，解答

下列問題:

(1)求平面ADEE將四棱錐分成兩部分的體積比；

(2)求直線PC與平面ADEE所成角的正弦值.

19.(12分)如圖，在四棱錐P—4BC。中，四邊形A5C￡>為平行四邊形，BD±DC,APCZ)為正三角形，平面PC。，

平面A5CZ>,E為PC的中點(diǎn).

(1)證明：AP〃平面E5O；

(2)證明：BE±PC.

20.(12分)已知點(diǎn)M(—1,O),N(1,O),若點(diǎn)尸(羽y)滿足|PM|+|PN|=4.

(I)求點(diǎn)尸的軌跡方程；

(II)過點(diǎn)Q(一質(zhì),0)的直線/與(I)中曲線相交于A,3兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求小面積的最大值及此時直

線/的方程.

X=-1+2COS69

21.(12分)在直角坐標(biāo)系X0V中，曲線C的參數(shù)方程為C.(。為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正

y=2sin0

半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(-2,0),過P的直線/與曲線C相交于"，N兩點(diǎn).

(1)若/的斜率為2,求/的極坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；

,、UULUUULV一q

(2)求PATPN的值.

22.(10分)在①GScosC—a)=csin8；②2a+c=2bcosC；?bsinA=j3asin^-^這三個條件中任選一

個，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問題.

在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足,b=2s/3,a+c=4,求AABC的面

積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

先列表分析近10年全球風(fēng)力發(fā)電新增裝機(jī)容量，再結(jié)合數(shù)據(jù)研究單調(diào)性、平均值以及占比，即可作出選擇.

【詳解】

年份2009201020112012201320142015201620172018

累計(jì)裝機(jī)容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1

新增裝機(jī)容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4

中國累計(jì)裝機(jī)裝機(jī)容量逐年遞增，A錯誤；全球新增裝機(jī)容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢，5錯誤；經(jīng)計(jì)算，10年來

中國新增裝機(jī)容量平均每年為19.77GW,選項(xiàng)C錯誤；截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量197.7GW,全球累計(jì)裝機(jī)

容量594.1—158.1=436GW,占比為45.34%,選項(xiàng)O正確.

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查條形圖，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

2、C

【解析】

如圖所示，在平面ABC。的投影為正方形的中心E,故球心。在QE上，計(jì)算長度，設(shè)球半徑為R,則

(PE-R?+BE2=R2,解得R=2,得到答案.

【詳解】

如圖所示：P在平面ABCD的投影為正方形的中心E,故球心。在PE上,

BD=41AB=2A/3,故BE=gBD=%,=y/pB2-BE2=3>

設(shè)球半徑為R,貝!I(PE—R)2+3E2=R2,解得尺=2,故S=4?R2=I6?.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了四棱錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.

3、D

【解析】

由題先畫出立體圖，再畫出平面A4G。處的截面圖，由拋物線第一定義可知，點(diǎn)。2到點(diǎn)歹的距離即半徑馬，也即

點(diǎn)02到面CODG的距離，點(diǎn)02到直線AB,的距離即點(diǎn)02到面ABB^的距離因此球。2內(nèi)切于正方體，設(shè)2=1,

兩球球心和公切點(diǎn)都在體對角線AG上，通過幾何關(guān)系可轉(zhuǎn)化出彳，進(jìn)而求解

【詳解】

根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)。2到點(diǎn)尸的距離與到直線A4的距離相等，其中點(diǎn)。2到點(diǎn)廠的距離即半徑G，也即點(diǎn)。2到

面CDDG的距離，點(diǎn)。2到直線A片的距離即點(diǎn)。2到面ABBA的距離，因此球°2內(nèi)切于正方體，不妨設(shè)弓=1,兩

個球心和兩球的切點(diǎn)r均在體對角線AG上，兩個球在平面AB1G。處的截面如圖所示，則

&歹=4=LAQ=苧=6,所以/=指一1?又因?yàn)锳尸=4°1+°吠=也4+4，因此（指+1）（=山一1，

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化，拋物線幾何性質(zhì)的使用，內(nèi)切球的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，直觀想象與數(shù)

學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)

4、B

【解析】

選取向量A3，AC為基底，由向量線性運(yùn)算，求出3E，即可求得結(jié)果.

【詳解】

BE=AE-AB=^AD-AB,AD=1(AB+AC),

:.BE=-^AB+^AC=AAB+juAC,

,512

663

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

如圖所示，設(shè)IQBI』尸耳依次構(gòu)成等差數(shù)列{q},其公差為d.

4+(q+d)+(q+2d)+(a1+3d)=4〃?

根據(jù)橢圓定義得q+%+q+%=4a,又4+4=%，貝叫，解得d=—Q,

q+(q+d)=4+2d5

4=-67,——<2,=—tZ,Cl^=~Cl以|。4|=—62,\PF^\=—Clf\PF?|=—tZ,|PQ\=~Cl,

(44+(9°)2T2c了(94+(94_(§.

5

在和即。中，由余弦定理得cos/片尸鳥=也——鼠-------=上------1,—,整理解得

=也比.故選D.

a15

6、B

【解析】

直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到向量;-2方的坐標(biāo)，利用(a-2?/=0求得參數(shù)m,再用cos〈a,b〉=」也計(jì)算即可.

\a\\b\

【詳解】

依題意，a-2Z?=(m+2,-3),而(a-2b)?b=0,即一加一2-6=0,解得m二一8,則

a-b10_2小

COS〈Q,Z?〉=

\a\\b\5辰—13'

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.

7、C

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則表示出g(x),根據(jù)g(x)是奇函數(shù)，可得機(jī)的取值，再求其最小值.

【詳解】

7T冗

解：由題意知，將函數(shù)/(x)=sin(3x+：)的圖像向右平移皿加＞0)個單位長度,y=sin3(x-7/z)+—,再將

6

71

y=sin3x-3m+-圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的6倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)的圖像，

_6

171

g(x)=sin(—x-3m-\——),

26

因?yàn)間O)是奇函數(shù)，

所以-3加+工=左乃，左eZ,解得?“=巴一旦,keZ,

6183

7T

因?yàn)榍校?,所以M的最小值為一.

18

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】

一1-

連接A。，因?yàn)?。為中點(diǎn)，可由平行四邊形法則得AO=](AB+AC),再將其用A",AN表示.由M、0、N

mri

三點(diǎn)共線可知，其表達(dá)式中的系數(shù)和一+—=1,即可求出m+〃的值.

22

【詳解】

連接AO,由。為3c中點(diǎn)可得，

--1--------rn--rj一

AO=-(AB+AC)=—AM+-AN,

M、。、N三點(diǎn)共線，

mn、

——卜一=1,

22

:.m+n=2.

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的線性運(yùn)算，由三點(diǎn)共線求參數(shù)的問題，熟記向量的共線定理是關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】

根據(jù)正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識，依次對四

個選項(xiàng)加以分析判斷，進(jìn)而可求解.

【詳解】

對于A選項(xiàng)，若隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布N（l,b）P（J<4）=0.78,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，有

P（^<-2）=P（^>4）=l-P（^<4）=l-0.78=0.22,故A選項(xiàng)正確，不符合題意；

對于3選項(xiàng)，已知直線/，平面口,直線根//平面/，則當(dāng)a//〃時一定有/，加，充分性成立，而當(dāng)加時，不

一定有。//〃，故必要性不成立，所以“&//尸”是“，機(jī)”的充分不必要條件，故3選項(xiàng)正確，不符合題意；

對于C選項(xiàng)，若隨機(jī)變量4服從二項(xiàng)分布：J.4,：；則￡（/=/卯=4x；=l,故C選項(xiàng)正確，不符合題意;

對于。選項(xiàng)，am>bm,僅當(dāng)7篦>0時有。>6,當(dāng)山<0時，不成立，故充分性不成立；若a>b,僅當(dāng)機(jī)>0

時有當(dāng)加<0時，am〉bm不成立,故必要性不成立.

因而>Zwz是a>6的既不充分也不必要條件，故D選項(xiàng)不正確，符合題意.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識，考查

理解辨析能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

10、D

【解析】

利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算、復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得答案；

【詳解】

（l+z）z=[3+4z[=5=>z="=g-3，

二z對應(yīng)的點(diǎn)§,—會,

二z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第四象限.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算、復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

11、C

【解析】

根據(jù)題意，得0<加<1,/（1）=0,則/（尤）為減函數(shù)，從而得出函數(shù)|/（九）|的單調(diào)性，可比較。和沙，而

c=|/(O)|=l-m,比較/(0),/(2),即可比較a1,c.

【詳解】

因?yàn)?(x)=>0,且加w1)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，

所以。(加<1,/(1)=0,

所以函數(shù)/■(%)為減函數(shù)，函數(shù)1/(%)I在(-8,1)上單調(diào)遞減，在(l,y)上單調(diào)遞增，

133

又因?yàn)?<逝=25<4,=2^<2，

所以。<6,

Xc=l/(O)|=I-m,"(2)|=nr-m,

則I"⑵|-"(0)|="-1<0,

BPl/(2)|<|/(0)|,

所以。<6<c.

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，還考查化簡能力和轉(zhuǎn)化思想.

12、A

【解析】

3

如圖設(shè)”，平面5CD,球心。在AF上，根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得A0=—AR,根據(jù)平面向量的加法的幾何意義,

4

重心的性質(zhì)，結(jié)合已知求出x+y+2的值.

【詳解】

如圖設(shè)”，平面5C。，球心。在AF上，由正四面體的性質(zhì)可得：三角形5CD是正三角形，

5F=|X^12-(1)2=^-,AF=J12—(gy=g在直角三角形尸08中，

OB2=OF2+BF20A2=(^--AO)2+(^-)2A0=^->

3

A0=-AF,AF=AB+BF>AF=AD+DF^AF=AC+CF>因?yàn)槭瑸橹匦?，因此FB+/C+ED=0,則

4

113

3AF=AB+AC+AD>因此A0=—(AB+AC+A。)，因此x=y=z=-，則x+y+z=—，故選A.

--4、''44

【點(diǎn)睛】

本題考查了正四面體的性質(zhì)，考查了平面向量加法的幾何意義，考查了重心的性質(zhì)，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、;

3

【解析】

分析：將題中的式子進(jìn)行整理，將.當(dāng)做一個整體，之后應(yīng)用已知兩個正數(shù)的整式形式和為定值，求分式形式和的

IU￥J

最值的問題的求解方法，即可求得結(jié)果.

詳解：__■■■■，當(dāng)且僅當(dāng)

+4)(二+/+23)=4-1(2+2+與4->7：'-7

一_-一?一；等號成立，故答案是.

AUU1/J

f

點(diǎn)睛：該題屬于應(yīng)用基本不等式求最值的問題，解決該題的關(guān)鍵是需要對式子進(jìn)行化簡，轉(zhuǎn)化，利用整體思維，最后

注意此類問題的求解方法一一-相乘，即可得結(jié)果.

14、135

【解析】

寫出展開式的通項(xiàng)公式，考慮當(dāng)x的指數(shù)為零時，對應(yīng)的值即為常數(shù)項(xiàng).

【詳解】

(2百6

%2--的展開式通項(xiàng)公式為：&1=CC，)61--

x

1XJI)

令廠=4,所以6『=135,

所以常數(shù)項(xiàng)為135.

故答案為：135.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)系數(shù)的求解，難度較易.解答問題的關(guān)鍵是，能通過展開式通項(xiàng)公式分析常數(shù)項(xiàng)對應(yīng)廠的

取值.

15、13

【解析】

由導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用得:設(shè)/(x)=(2x+l)6,g(x)=%+%(x+l)+%(x+l)2+…+%(x+l)6，

5

所以/'(x)=12(2尤+1)5,g'(x)—aj+1a2(x+1)+...+6a6(x+1),又/(x)=g(x),所以/'(x)=g，(x),即

12(2x+1)=q+2a,(x+1)+...+6a6(x+1)^,

由二項(xiàng)式定理：令x=0得：4+2a?+36+44+5a5+64,再由g(0)=/(O),求出4,從而得到

%+4+2a2+3a3+4%+5a5+6a6的值；

【詳解】

解：設(shè)/(X)=(2x+1)6,g(元)=%+4(%+1)+。2(*+1)2+…+&(尤+1)6,

55

所以f'(x)=12(2x+l),g'(x)=%+2a2(x+l)+...+6a6(x+l),

又y(x)=g(x),所以r(元)=g?),

即12(2x+1)5=4+2a,(x+l)+...+6必(尤+1)，,

取x=O得：q+2a2+3%+4/+5%+6&=12,

又g(O)=f(O),

所以%=1,

4+q+2a2+3a3+44+56+6%—1+12-139

故答案為：13

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用、二項(xiàng)式定理，屬于中檔題

16、54

【解析】

Aa設(shè)正四棱柱的高為h得到，9+?=3石=為=6,故得到正四棱柱的體積為7=9x6=54.

故答案為54.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(/)二二|=二-一二,；(〃)證明見解析

【解析】

⑺直接利用兩點(diǎn)間距離公式化簡得到答案.

(ID設(shè)二(口/口。OCAIU，聯(lián)立方程得到二:十二：=羔.二:：=告，二？+二，=與，代入化簡得到

□'=二.+3計(jì)算得到證明.

【詳解】

(7)橢圓二1-二’=：,故二：\；二1,

1-:--------?---------------z---------------1-------------------------?

ID口l=(15T”?口L.〔口L*J+/--□；=hQx-2fJaj+^=J-=Q|?

(卬設(shè)，一.，則將-代入三+二：得到：

4L*+力二?+8二二二+〈二”-4=0,故二「+二?=

LI4/二-

NT-匚

口口|=|口口|,故5^*-士士…得到二：+二，=?f.

|DQ|=|nob故、一二：1二.一二_卜=：_產(chǎn)二J,同理：、/?匚1二一二；卜=：-1二:,

由已知得：或.一，

故方+二；憶+Z.)-(Zj+C<)1=y|Z；-二」II，

即、7T?.［號+恐|=犯.埠：-二：化簡得到才=出+工

?4QMQ-+/■W

故原點(diǎn)二到直線I的距離為二=二二=-為定值.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓內(nèi)的線段長度，定值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

18、(1)-；(2)逅.

33

【解析】

若補(bǔ)充②③根據(jù)已知可得平面A5P,從而有結(jié)合PBLFD,可得

平面ADEE,故有而BE=PE,得到A3=AP,②③成立與①②相同，

①③成立，可得BE=PE,所以任意補(bǔ)充兩個條件，結(jié)果都一樣，以①②作為條件分析；

(1)設(shè)AP=A5=1,可得AE,進(jìn)而求出梯形AEED的面積，可求出/一包助，％.”“，即可求出結(jié)論;

(2)AB=AD=AP=1,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，求出反CP坐標(biāo)，由(1)得亞3為平面AD石廠的

法向量，根據(jù)空間向量的線面角公式即可求解.

【詳解】

第一種情況：若將①AB=AP,②5石=P石作為已知條件，解答如下:

(1)設(shè)平面ADEE1為平面a.

?/BC//AD,/.BC//平面a,而平面a平面PBC=EF,

：.EF//BC,又E為PB中點(diǎn).

設(shè)AP=AB=1,則石尸=L8。=L.

22

在三角形中，PB=s/2,AE=—=—,

22

由AD，B4,AD，AB知AD，平面？A3,

：.AD±AE,EF±AE,

二梯形AEED的面積

1

cAD+EF__i+2亞_30,

S----------xAE=x-

AEFFD2228

AB=AP,BE=PE,PB_LAE,AD_LPB,

ADAE=A,/.BB_L平面AEFD,

T713底01_111_1

Vp=-X-------X------=—>VpABCD=-x]x]=一,

P-AEFD382833

VEF-ABCD

3-8-24

1

V

ifrP-AEFD_8_3VEF-ABCD=9

nX-<——，i/o

^EF-ABCD___5P-AEFD

24

(2)如圖，分別以AB,AD,”所在直線為蒼軸建立空間直角坐標(biāo)系,

^AB=AD=AP=1,貝UC(1,1,O),P(O,O,1),8(1,0,0)

PB=(1,0,-1),PC=(1,1,-1),

由(1)得P3為平面ADEE的一個法向量,

PCPB2V6

因?yàn)閏os〈PC,PB〉=

\PC\\PB\~s/2-s/3~3

所以直線PC與平面ADEE所成角的正弦值為逅.

3

第二種情況：若將①AB=AP,③尸6LED作為已知條件，

則由A。J_ARAOLAB知平面A5P,AD±PB,

又PB工FD，所以平面ADEE,PB±AE,

又A3=AP,故E為PS中點(diǎn)，即BE=PE,解答如上不變.

第三種情況：若將②BE=PE,③尸8,立?作為已知條件，

由尸及第二種情況知PBLAE,又BE=PE,

易知AB=AP,解答仍如上不變.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，以及體積、直線與平面所成的角，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.

19、(1)見解析(2)見解析

【解析】

(1)連結(jié)AC交3。于點(diǎn)0,連結(jié)。E,利用三角形中位線可得A尸〃。E,從而可證AP〃平面E3。；

(2)先證明5O_L平面PCD,再證明PC_L平面BDE,從而可證BE±PC.

【詳解】

證明：(1)連結(jié)AC交50于點(diǎn)O,連結(jié)0E

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形

二。為AC中點(diǎn)，

又E為PC中點(diǎn)，

故A尸〃OE,

又AP<Z平面OEU平面E3￡)

所以AP〃平面EBD；

(2)為正三角形，E為PC中點(diǎn)

所以PCVDE

因?yàn)槠矫鍼CD_L平面ABCD,

平面PCD平面ABCD=CD,

又5Ou平面ABC。，BD±CD

平面PCD

又PCu平面PC。，故PCtBD

又BDDE=D,5OU平面5OE,OEu平面5OE

故PC_L平面BDE

又5Eu平面BDE,

所以BELPC.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，線面平行一般轉(zhuǎn)化為線線平行來證明，直線與直線垂直通常利用線面垂直來進(jìn)行

證明，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

22[7

20、(I)]+]=1；(II)AAC?面積的最大值為逝，此時直線/的方程為x=±苧y-6.

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的定義求解軌跡方程；

(2)設(shè)出直線方程后，采用]x|A3|xd(d表示原點(diǎn)到直線AB的距離)表示面積，最后利用基本不等式求解最值.

2

【詳解】

解：(I)由定義法可得，P點(diǎn)的軌跡為橢圓且2a=4,c=l.

22

因此橢圓的方程為上+乙=1.

43

22

(II)設(shè)直線/的方程為％=與橢圓\+]=1交于點(diǎn)A(%，%)，

5(X2,%)，聯(lián)立直線與橢圓的方程消去X可得(3r+4)V—6島-3=0,

-3

即68_

3r+4

AAOB面積可表示為SAAOB=^\OQ\-\y1-y2\=-j3--4%%

二6.以三匚三二亙于?歷有F4?祈i

2V3r+43?+423/+43產(chǎn)+4

_____6M6Vr-

令斤A=u，則a3l，上式可化為6+3—3、”，

l/Li

U

當(dāng)且僅當(dāng)〃=6，即/=±逅時等號成立，

3

因此AAO3面積的最大值為石，此時直線/的方程為x=±亞丁-有.

3

【點(diǎn)睛】

常見的利用定義法求解曲線的軌跡方程問題:

(1)已知點(diǎn)M(—c,0),N(c,0),若點(diǎn)PXy)滿足|PM|+|PN|=2^i^2a>2c,則P的軌跡是橢圓;

(2)已知點(diǎn)M(-c,0),N(c,0),若點(diǎn)P(x,y)滿足11PMl—|PN||二2a且2a<2c,則尸的軌跡是雙曲線.

21、(1)Z：2夕cos，一Qsin，+4=0,C：(x+1)2+/=4；(2)-3

【解析】

(1)根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線/的直角坐標(biāo)方程，并轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，利用sin20+cos20=l,將曲線C的參數(shù)方程

轉(zhuǎn)化為普通方程.

(2)將直線/的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，結(jié)合直線參數(shù)的幾何意義以及根與系數(shù)關(guān)系，求得PM.PN的值.

【詳解】

(1)/的直角坐標(biāo)方程為y=2(x+2),