實(shí)際問題與二元一次方程組經(jīng)典例題-針對各類型題型

實(shí)際問題與二元一次方程組經(jīng)典例題

目標(biāo)認(rèn)知

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．能夠借助二元一次方程組解決簡單的實(shí)際問題，再次體會(huì)二元一次方程組與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系和作用

2．進(jìn)一步使用代數(shù)中的方程去反映現(xiàn)實(shí)世界中等量關(guān)系，體會(huì)代數(shù)方法的優(yōu)越性

3．體會(huì)列方程組比列一元一次方程容易

4．進(jìn)一步培養(yǎng)化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題，解決問題的能力

5．掌握列方程組解應(yīng)用題的一般步驟；

重點(diǎn)：

1．經(jīng)歷和體驗(yàn)用二元一次方程組解決實(shí)際問題的過程。

2．進(jìn)一步體會(huì)方程（組）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型。

難點(diǎn)：正確找出問題中的兩個(gè)等量關(guān)系

知識(shí)要點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：列方程組解應(yīng)用題的基本思想

列方程組解應(yīng)用題是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系.一般來說，有幾個(gè)未知數(shù)就列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：(1)方程兩邊表示的是同類量；(2)同類量的單位要統(tǒng)一；(3)方程兩邊的數(shù)值要相等.

知識(shí)點(diǎn)二：列方程組解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系

1.行程問題：

(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段,用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是:兩者的行程差＝開始時(shí)兩者相距的路程；；；

(2)相遇問題:相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是相向而行。這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和＝總路程。

(3)航行問題：①船在靜水中的速度＋水速＝船的順?biāo)俣龋?/p>

②船在靜水中的速度－水速＝船的逆水速度；

③船的順?biāo)俣龋哪嫠俣龋?×水速。

注意：飛機(jī)航行問題同樣會(huì)出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順?biāo)叫?、逆水航行問題類似。

2．工程問題：工作效率×工作時(shí)間=工作量.

3．商品銷售利潤問題：

(1)利潤＝售價(jià)－成本(進(jìn)價(jià))；(2)；(3)利潤＝成本（進(jìn)價(jià)）×利潤率；標(biāo)價(jià)＝成本(進(jìn)價(jià))×(1＋利潤率)；(5)實(shí)際售價(jià)＝標(biāo)價(jià)×打折率；

注意：“商品利潤＝售價(jià)－成本”中的右邊為正時(shí)，是盈利；為負(fù)時(shí)，就是虧損。打幾折就是按標(biāo)價(jià)的十分之幾或百分之幾十銷售。（例如八折就是按標(biāo)價(jià)的十分之八即五分之四或者百分之八十）

4．儲(chǔ)蓄問題：

(1)基本概念

①本金：顧客存入銀行的錢叫做本金。②利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。

③本息和：本金與利息的和叫做本息和。④期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)。

⑤利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率。⑥利息稅：利息的稅款叫做利息稅。

(2)基本關(guān)系式

①利息＝本金×利率×期數(shù)

②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期數(shù)＝本金×(1＋利率×期數(shù))

③利息稅＝利息×利息稅率＝本金×利率×期數(shù)×利息稅率。

④稅后利息＝利息×(1－利息稅率)⑤年利率＝月利率×12⑥。

注意：免稅利息=利息

5．配套問題：

解這類問題的基本等量關(guān)系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。

6．增長率問題：

解這類問題的基本等量關(guān)系式是：原量×(1＋增長率)＝增長后的量；

原量×(1－減少率)＝減少后的量.

7．和差倍分問題：

解這類問題的基本等量關(guān)系是：較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數(shù)×倍量.

8．?dāng)?shù)字問題：

解決這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，奇數(shù)可表示為2n+1(或2n-1)，偶數(shù)可表示為2n等，有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個(gè)位數(shù)字

9．濃度問題：溶液質(zhì)量×濃度=溶質(zhì)質(zhì)量.

10．幾何問題：解決這類問題的基本關(guān)系式有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長、面積等計(jì)算公式

11．年齡問題：解決這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長數(shù)是相等，兩人的年齡差是永遠(yuǎn)不會(huì)變的

12．優(yōu)化方案問題：

在解決問題時(shí)，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案。

注意：方案選擇題的題目較長，有時(shí)方案不止一種，閱讀時(shí)應(yīng)抓住重點(diǎn),比較幾種方案得出最佳方案。

知識(shí)點(diǎn)三：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為“審、設(shè)、找、列、解、檢、答”七步.即：審：通過審題，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，分析已知數(shù)和未知數(shù)；設(shè)：根據(jù)題意設(shè)元（3）找：找出能夠表示題意兩個(gè)相等關(guān)系；依題意，得，解得點(diǎn)評：工程問題與行程問題相類似，關(guān)鍵要抓好三個(gè)基本量的關(guān)系，即“工作量=工作時(shí)間×工作效率”以及它們的變式“工作時(shí)間=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作時(shí)間”．其次注意當(dāng)題目與工作量大小、多少無關(guān)時(shí)，通常用“1”表示總工作量．舉一反三：

【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若只選一個(gè)公司單獨(dú)完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請你說明理由.

解：設(shè)甲、乙兩公司每周完成總工程的和，由題意得：

，解得：

所以甲、乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程分別需要10周、15周。

設(shè)需要付甲、乙每周的工錢分別是萬元，萬元，根據(jù)題意得：

，解得：

故甲公司單獨(dú)完成需工錢：（萬元）；乙公司單獨(dú)完成需工錢：（萬元）。

答：甲公司單獨(dú)完成需6萬元，乙公司單獨(dú)完成需4萬元，故從節(jié)約的角度考慮，應(yīng)選乙公司單獨(dú)完成.跟蹤訓(xùn)練〈〈一千零一夜〉〉中有這樣一段文字：有一群鴿子，其中一部分在樹上歡歌，另一部分在地上覓食，樹上的一只鴿子對地上覓食的鴿子說：“若從你們中飛上來一只，則樹下的鴿子就是整個(gè)鴿群的1/3，若從樹上飛下去一只，則樹上、樹下的鴿子就一樣多了?！蹦阒罉渖?、樹下各有多少只鴿子嗎？

類型三：列二元一次方程組解決——商品銷售利潤問題

1一件商品如果按定價(jià)打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，問此商品的定價(jià)是多少？分析：商品的利潤涉及到進(jìn)價(jià)、定價(jià)和賣出價(jià)，因此，設(shè)此商品的定價(jià)為x元，進(jìn)價(jià)為y元，則打九折時(shí)的賣出價(jià)為0.9x元，獲利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折時(shí)的賣出價(jià)為0.8x元，獲利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.解方程組，解得，因此，此商品定價(jià)為200元．總結(jié)：利潤率是相對于進(jìn)價(jià)而言的，利潤的計(jì)算一般有兩種方法，一是：利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)；二是：利潤=進(jìn)價(jià)×利潤率．特別注意“利潤”和“利潤率”是不同的兩個(gè)概念．2有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤率為5%,乙商品的利潤率為4%,共可獲利46元。價(jià)格調(diào)整后，甲商品的利潤率為4%，乙商品的利潤率為5%，共可獲利44元，則兩件商品的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

思路點(diǎn)撥：做此題的關(guān)鍵要知道：利潤＝進(jìn)價(jià)×利潤率

解：甲商品的進(jìn)價(jià)為x元，乙商品的進(jìn)價(jià)為y元，由題意得：

，解得：

答：兩件商品的進(jìn)價(jià)分別為600元和400元。

舉一反三：

【變式1】（2011湖南衡陽）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？

解：設(shè)李大叔去年甲種蔬菜種植了畝，乙種蔬菜種植了畝，則：

，解得

答：李大叔去年甲種蔬菜種植了6畝，乙種蔬菜種植了4畝．

【變式2】某商場用36萬元購進(jìn)A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：AB進(jìn)價(jià)（元/件）12001000售價(jià)（元/件）13801200（注：獲利=售價(jià)—進(jìn)價(jià)）

求該商場購進(jìn)A、B兩種商品各多少件；

解：設(shè)購進(jìn)A種商品件，B種商品件，根據(jù)題意得：

化簡得：解得：

答：該商場購進(jìn)A、B兩種商品分別為200件和120件。跟蹤訓(xùn)練打折前，買60件A商品和30件B商品用了1080元，買50件A商品和10件B商品用了840元，打折后，買50件A商品和50件B商品用了960元，比不打折少花多少錢？

2、

有甲、乙兩種債券，年利率分別是10％與12％，現(xiàn)有400元債券，一年后獲利45元，問兩種債券各有多少？

類型四：列二元一次方程組解決——銀行儲(chǔ)蓄問題

4．小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為2.25％的教育儲(chǔ)蓄，另一種是年利率為2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這兩種儲(chǔ)蓄各存了多少錢？（利息所得稅＝利息金額×20%，教育儲(chǔ)蓄沒有利息所得稅）

思路點(diǎn)撥：設(shè)教育儲(chǔ)蓄存了x元，一年定期存了y元，我們可以根據(jù)題意可列出表格：

解：設(shè)存一年教育儲(chǔ)蓄的錢為x元，存一年定期存款的錢為y元，則列方程：

，解得：

答：存教育儲(chǔ)蓄的錢為1500元，存一年定期的錢為500元.

總結(jié)升華:我們在解一些涉及到行程、收入、支出、增長率等的實(shí)際問題時(shí)，有時(shí)候不容易找出其等量關(guān)系，這時(shí)候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，題目中的相等關(guān)系隨之浮現(xiàn)出來.

舉一反三：

【變式1】李明以兩種形式分別儲(chǔ)蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息43.92元.已知兩種儲(chǔ)蓄年利率的和為3.24%，問這兩種儲(chǔ)蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應(yīng)繳利息所得稅=利息金額×20%）

思路點(diǎn)撥：扣稅的情況：本金×年利率×(1-20%)×年數(shù)=利息（其中，利息所得稅=利息

金額×20%）.不扣稅時(shí)：利息=本金×年利率×年數(shù).

解：設(shè)第一種儲(chǔ)蓄的年利率為x，第二種儲(chǔ)蓄的年利率為y，根據(jù)題意得:

，解得:

答：第一種儲(chǔ)蓄的年利率為2.25%，第二種儲(chǔ)蓄的年利率為0.99%.

【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用，在銀行同時(shí)用兩種方式共存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為2.70%.三年后同時(shí)取出共得利息303.75元(不計(jì)利息稅)，問小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元？

解：設(shè)第一種存款數(shù)為X元，則第二種存款數(shù)為y元，根據(jù)題意得：

，解得：

答：第一種存款數(shù)為1500元，第二種存款數(shù)為2500元。

類型五：列二元一次方程組解決——生產(chǎn)中的配套問題

1．某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個(gè)或衣袖5只.現(xiàn)計(jì)劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

思路點(diǎn)撥：本題的第一個(gè)相等關(guān)系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132米；第二個(gè)相等關(guān)系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的2倍(注意：別把2倍的關(guān)系寫反了).

解：設(shè)用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根據(jù)題意，得：

答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.

總結(jié)升華：生產(chǎn)中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等.各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關(guān)系表示出來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.2某廠共有120名生產(chǎn)工人，每個(gè)工人每天可生產(chǎn)螺栓25個(gè)或螺母20個(gè)，如果一個(gè)螺栓與兩個(gè)螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套？分析：要使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套，只須生產(chǎn)出來的螺栓和螺母全部配上套，根據(jù)題意，每天生產(chǎn)的螺栓與螺母應(yīng)滿足關(guān)系式：每天生產(chǎn)的螺栓數(shù)×2=每天生產(chǎn)的螺母數(shù)×1．因此，設(shè)安排ｘ人生產(chǎn)螺栓，ｙ人生產(chǎn)螺母，則每天可生產(chǎn)螺栓25ｘ個(gè)，螺母20ｙ個(gè)，依題意，得，解之，得．故應(yīng)安排20人生產(chǎn)螺栓，100人生產(chǎn)螺母．總結(jié)：解決配套問題的關(guān)鍵是利用配套本身所存在的相等關(guān)系，其中兩種最常見的配套問題的等量關(guān)系是：“二合一”問題：如果ａ件甲產(chǎn)品和ｂ件乙產(chǎn)品配成一套，那么一套中甲乙的數(shù)量比為a:b，要想生產(chǎn)出來的所有產(chǎn)品配套，就得滿足甲乙的總數(shù)量之比也為a:b.

舉一反三：

【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個(gè)盒身或22個(gè)盒底，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？

思路點(diǎn)撥：兩個(gè)未知數(shù)是制盒身、盒底的鐵皮張數(shù)，兩個(gè)相等關(guān)系是：①制盒身鐵皮張數(shù)+制盒底鐵皮張數(shù)=190；②制盒身個(gè)數(shù)的2倍=制盒底個(gè)數(shù).

解：設(shè)x張鐵皮制盒身，y張鐵皮制盒底，由題意得：

答：用110張制盒身，80張制盒底，正好制成一批完整的盒子.

【變式2】某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14個(gè)或螺母20個(gè)，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。

解：由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，可設(shè)生產(chǎn)螺栓的有x人，生產(chǎn)螺母的有y人，

則：，解得：

答：生產(chǎn)螺栓的有25人，生產(chǎn)螺母的有35人。

【變式3】一張方桌由1個(gè)桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做桌面50個(gè)，或做桌腿300條?，F(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少張方桌？

解：設(shè)用x立方米的木料做桌面，用y立方米的木料做桌腿，根據(jù)題意，得：

，解得：

∴可做50×3＝150張方桌。

答：用3立方米的木料做桌面，用2立方米的木料做桌腿，可做成150張方桌。類型六：列二元一次方程組解決——數(shù)字問題

8.兩個(gè)兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個(gè)四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個(gè)四位數(shù)，已知前一個(gè)四位數(shù)比后一個(gè)四位數(shù)大2178，求這兩個(gè)兩位數(shù)。

思路點(diǎn)撥：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。

問題1：在較大的兩位數(shù)的右邊寫上較小的兩位數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100x＋y

問題2：在較大數(shù)的左邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100y＋x

解：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。依題意可得：

，解得：

答：這兩個(gè)兩位數(shù)分別為45，23.

舉一反三：

【變式1】一個(gè)兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個(gè)兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1，這個(gè)兩位數(shù)是多少？

解：設(shè)十位數(shù)為x，個(gè)位數(shù)為y，則：

，解得：

答：這兩位數(shù)為56

【變式2】一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大5，如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9，求這個(gè)兩位數(shù)？

解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，根據(jù)題意得：

，解得：

答：這個(gè)兩位數(shù)為72.

【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0，其余兩個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和是9，如果百位數(shù)字減1，個(gè)位數(shù)字加1，則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，求原三位數(shù)。

解：設(shè)原三位數(shù)的百位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，由題意得：

，

答：所求三位數(shù)是504。

跟蹤訓(xùn)練1、

一個(gè)兩位數(shù)字，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大5，如果把這兩數(shù)字的位置對換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143，求這個(gè)兩位數(shù)．2、

甲乙兩盒中各有一些小球，如果從甲盒中拿出10個(gè)放入乙盒，則乙盒球就是甲盒球數(shù)的6倍，若從乙盒中拿出10個(gè)放入甲盒，乙盒球數(shù)就是甲盒球數(shù)的3倍多10個(gè)，求甲乙兩盒原來的球數(shù)各是多少？

類型七：列二元一次方程組解決——增長率問題

6.某工廠去年的利潤（總產(chǎn)值—總支出）為200萬元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？

思路點(diǎn)撥：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，則有總產(chǎn)值（萬元）總支出（萬元）利潤（萬元）去年xy200今年120%x90%y780根據(jù)題意知道去年的利潤和今年的利潤，由利潤=總產(chǎn)值—總支出和表格里的已知量和未知量，可以列出兩個(gè)等式。

解：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，根據(jù)題意得：

，解之得：

答：去年的總產(chǎn)值為2000萬元，總支出為1800萬元

總結(jié)升華：當(dāng)題的條件較多時(shí)，可以借助圖表或圖形進(jìn)行分析。

舉一反三：

【變式1】若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？

解：設(shè)今年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，由題意得：

，解得：

答：今年的總產(chǎn)值為2000萬元，總支出為1800萬元

思考：本問題還有沒有其它的設(shè)法？

【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬，估計(jì)一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%，農(nóng)村人口增加1.1%，這樣全市人口增加1%，求這個(gè)城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。

思路點(diǎn)撥：由題意得兩個(gè)等式關(guān)系，兩個(gè)相等關(guān)系為：

（1）城鎮(zhèn)人口+農(nóng)村人口=42萬；

（2）城鎮(zhèn)人口×(1+0.8%)+農(nóng)村人口×（1+1.1%）=42×（1+1%）

解：設(shè)現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口為x萬，農(nóng)村人口為y萬，由題意得：

解得

答：現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口14萬人，農(nóng)村人口為28萬人類型八：列二元一次方程組解決——年齡問題

1．今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，求現(xiàn)在父親和兒子的年齡各是多少？

思路點(diǎn)撥：解本題的關(guān)鍵是理解“6年后”這幾個(gè)字的含義，即6年后父子倆都長了6歲。今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列方程。

解：設(shè)現(xiàn)在父親x歲，兒子y歲，根據(jù)題意得：

，

答：父親現(xiàn)在30歲，兒子6歲。

總結(jié)升華：解決年齡問題，要注意一點(diǎn)：一個(gè)人的年齡變化（增大、減?。┝耍渌艘惨粯釉龃蠡驕p小，并且增大（或減?。┑臍q數(shù)是相同的（相同的時(shí)間內(nèi)）。

舉一反三：

【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后，他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.

思路點(diǎn)撥：本題的關(guān)鍵是兩句話，第一句：小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种唬坏诙洌核哪挲g變成爺爺?shù)娜种?。把未知?shù)設(shè)出來，已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個(gè)方程。

解：設(shè)今年小李的年齡為x歲，則爺爺?shù)哪挲g為y歲。根據(jù)題意得：

，解得：

答：今年小李的年齡為12歲。

類型九：列二元一次方程組解決——和差倍分問題

1.（2011年北京豐臺(tái)區(qū)中考一摸試題）“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計(jì)劃每周生產(chǎn)帳篷共9千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷．為此，全體職工加班加點(diǎn)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達(dá)到了原來的1.6倍、1.5倍，恰好按時(shí)完成了這項(xiàng)任務(wù)．求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂？

思路點(diǎn)撥：找出已知量和未知量，根據(jù)題意知未知量有兩個(gè)，所以列兩個(gè)方程，根據(jù)計(jì)劃前后，倍數(shù)關(guān)系由已知量和未知量列出兩個(gè)等式，即是兩個(gè)方程組成的方程組。

解：設(shè)原計(jì)劃“愛心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷x千頂,“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷y千頂，由題意得：

，解得：

所以：1.6x=1.65=8,1.5y=1.54=6

答：“愛心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷8千頂,“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷6千頂.

舉一反三：

【變式1】(2011年北京門頭溝區(qū)中考一模試題)“地球一小時(shí)”是世界自然基金會(huì)在2007年提出的一項(xiàng)倡議．號(hào)召個(gè)人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3月最后一個(gè)星期六20時(shí)30分—21時(shí)30分熄燈一小時(shí)，旨在通過一個(gè)人人可為的活動(dòng)，讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化，倡導(dǎo)低碳生活．中國內(nèi)地去年和今年共有119個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)，且今年參加活動(dòng)的城市個(gè)數(shù)比去年的3倍少13個(gè)，問中國內(nèi)地去年、今年分別有多少個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)．

解：設(shè)中國內(nèi)地去年有x個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)，今年有y個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)．

依題意得，解得：

答：去年有33個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)，今年有86個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)

【變式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？

思路點(diǎn)撥：本題關(guān)鍵之一是：小孩子看游泳帽時(shí)只看到別人的，沒看到自己的帽子。關(guān)鍵之二是：兩個(gè)等式，列等式要看到重點(diǎn)語句，第一句：每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多；第二句：每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍。找到已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個(gè)方程。

解：設(shè)男孩x人，女孩y人，根據(jù)題意得：

，解得：

答：男孩4人和女孩有3人。

類型十：列二元一次方程組解決——幾何問題

10．如圖，用8塊相同的長方形地磚拼成一個(gè)長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是多少？

思路點(diǎn)撥：初看這道題目中沒有提供任何相等關(guān)系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長相等，我們設(shè)每個(gè)小長方形的長為x，寬為y，就可以列出關(guān)于x、y的二元一次方程組。

解：設(shè)長方形地磚的長xcm,寬ycm，由題意得：

，

答：每塊長方形地磚的長為45cm、寬為15cm。

總結(jié)升華：幾何應(yīng)用題的相等關(guān)系一般隱藏在某些圖形的性質(zhì)中，解答這類問題時(shí)應(yīng)注意認(rèn)真分析圖形特點(diǎn)，找出圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，再列出方程求解。

舉一反三：

【變式1】用長48厘米的鐵絲彎成一個(gè)矩形，若將此矩形的長邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短邊上去，則得到一個(gè)正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？

思路點(diǎn)撥：此題隱含兩個(gè)可用的等量關(guān)系，其一長方形的周長為鐵絲的長48厘米，第二個(gè)等量關(guān)系是長方形的長剪掉3厘米補(bǔ)到短邊去，得到正方形，即長邊截掉3厘米等于短邊加上3厘米。

解：設(shè)長方形的長為x厘米，寬為y厘米，根據(jù)題意得：

，

所以正方形的邊長為：9+3=12厘米

正方形的面積為：=144厘米

長方形的面積為：159=135厘米

答：正方形的面積比矩形面積大144-135=9厘米

總結(jié)升華：解題的關(guān)鍵找兩個(gè)等量關(guān)系，最關(guān)鍵的是本題設(shè)的未知數(shù)不是該題要求的，本題要是設(shè)正方形的面積比矩形面積大多少，問題就復(fù)雜了。設(shè)長方形的長和寬，本題就簡單多了，所以列方程解應(yīng)用題設(shè)未知數(shù)是關(guān)鍵。

【變式2】一塊矩形草坪的長比寬的2倍多10m，它的周長是132m，則長和寬分別為多少？

解：設(shè)草坪的長為ym寬為xm，依題意得：

，解得：

答：草坪的長為m,寬為m

類型十一：列二元一次方程組解決——優(yōu)化方案問題：

12．某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元；經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達(dá)4500元；經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元.當(dāng)?shù)匾患肄r(nóng)工商公司收獲這種蔬菜140噸，該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進(jìn)行粗加工，每天可以加工16噸；如果進(jìn)行細(xì)加工，每天可加工6噸.但兩種加工方式不能同時(shí)進(jìn)行.受季節(jié)條件的限制，公司必須在15天之內(nèi)將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種加工方案

方案一：將蔬菜全部進(jìn)行粗加工；

方案二：盡可能多的對蔬菜進(jìn)行精加工，沒來得及加工的蔬菜在市場上直接銷售；

方案三：將部分蔬菜進(jìn)行精加工，其余蔬菜進(jìn)行粗加工，并恰好在15天完成

你認(rèn)為選擇哪種方案獲利最多？為什么？

思路點(diǎn)撥：如何對蔬菜進(jìn)行加工，獲利最大，是生產(chǎn)經(jīng)營者一直思考的問題.本題正是基于這一點(diǎn)，對綠色蔬菜的精、粗加工制定了三種可行方案，供同學(xué)們自助探索，互相交流，嘗試解決，并在探索和解決問題的過程中，體會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的樂趣.

解：方案一獲利為：4500×140=630000(元).

方案二獲利為：7500×(6×15)+1000×(140－6×15)=67