江蘇省如皋市2021屆4月新高考第二次適應(yīng)性考試(二模)數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析版)

如皋市2021年新高考第二次適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)學(xué)科試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求。

1.已知集合A={x|y=Vl^x},B={|y=2Lx>。},貝UACB=()

A.{x|x<l}B.{x|0<x<l}C.{x|0<x<l}D.{x|x<l}

2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z(2+i)=3+4i,記三為z的共朝復(fù)數(shù)，則口=

A回R5逐cV29X

335"

3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有厚八尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠

日半尺，大鼠日倍增，小鼠日自半，問(wèn)幾何日相逢？”意思是“今有土墻厚8尺，兩鼠從墻

兩側(cè)同時(shí)打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞比前一天多一

倍，小鼠之后每天打洞長(zhǎng)度是前一天的一半，問(wèn)兩鼠幾天打通相遇？”兩鼠相逢需要的天數(shù)最

小為()

A.2B.3C.4D.5

4.已知函數(shù)f(x)=xsinx,則f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的部分圖象大致為(

5.三位同學(xué)獲得學(xué)校數(shù)學(xué)競(jìng)賽的前三名，向老師詢問(wèn)結(jié)果，老師跟他們透露了3條信息：①甲

不是第三名；②乙是第三名；③丙不是第一名，并告知他們以上3條信息中有且只有一條信息

正確，那么該競(jìng)賽的第一名，第二名，第三名依次為(

A.甲、乙、丙B.丙、甲、乙C.甲、丙、乙D.乙、丙、

甲

3、10

6.已知a,?！?0,7t),cosa=-3^^,

若sin(2a+p)=—sin。廁a+P=(

10

,5277

A.—71B.171C.-71D.—71

4364

X.22

7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)Fi,F2分別是雙曲線C:—一與=l(a>0,b>0)的左，右焦

ab2

b

點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Fi且與直線/:y=--x垂直的直線交C的右支于點(diǎn)M,設(shè)直線I上一點(diǎn)N（N在第二象限）

a

滿足FiNLFzN,且（EN+&VO?跖V=0,則雙曲線C的離心率的值為（）

A.75B.-73C.72+1D.2

8.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別是邊CD,BC的中點(diǎn)，將AADM沿AM

翻折至！JAPAM在AADM翻折到APAM的過(guò)程中，tan/PND的最大值為。

4

二、多選題：本題共4小題，每小題5分共20分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合項(xiàng)目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.2020年突如其來(lái)的新冠肺炎疫情對(duì)房地產(chǎn)市場(chǎng)造成明顯的沖擊，如圖為某市2020年國(guó)慶節(jié)

7天假期的樓房認(rèn)購(gòu)量與成交量的折線圖，某同學(xué)根據(jù)折線圖對(duì)這7天的認(rèn)購(gòu)量（單位：套）

與成交量（單位：套）作出如下判斷，則下列判斷正確的是（）

A.日成交量的中位數(shù)是16

B.日成交量超過(guò)平均成交量的只有1天

C.10月7日認(rèn)購(gòu)量的增長(zhǎng)率大于10月7日成交量的增長(zhǎng)率

D.S認(rèn)購(gòu)量的方差大于日成交量的方差

10.已知a=log3e,b=log23,c=ln3,貝!J（）

A.a<b<cB.a<c<bC.a+c>bD.a+c<b

H.如圖，已知函數(shù)y=Asin（GX+0）（A>O,0>0.I。|<萬(wàn)）的圖象與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于

59

點(diǎn)C,若IOB|二7|OA|,0<|AB|<一,且tanNACB二一,則下列說(shuō)法正確的是（）

28

A.f(x)的最小正周期為4

TT

B.將f(x)的圖象向左平移一個(gè)單位后的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

6

C.f(x)在區(qū)間(—1,1)上的值域?yàn)椋邸?,、「)

D.f(x)在區(qū)間(6,7)上單調(diào)遞增

12、在四面體ABCD中，AABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，NADB=60。,二面角D-AB-C

的大小為60。,則下列說(shuō)法正確的是(

A.ABXCD

B.四面體ABCD的體積V的最大值為走

2

C.棱CD的長(zhǎng)的最小值為

52

D.四面體ABCD的外接球的表面積為一萬(wàn)

9

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

13.已知(x-2)(x+m)3=a6x6+a5x5+…+aix+ao,m為常數(shù)，若ao=2,則a4=.

14.某公司根據(jù)上年度業(yè)績(jī)篩選出業(yè)績(jī)出色的A,B,C,D四人，欲從此4人中選擇1人晉升該公司

某部門經(jīng)理一職，現(xiàn)進(jìn)入最后一個(gè)環(huán)節(jié)：A,B,C,D四人每人有1票，必須投給除自己以外的一

個(gè)人，并且每個(gè)人投給其他任何一人的概率相同，則最終僅A一人獲得最高得票的概率

為.

15在AABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，已知a=2,b2+c?-bc=4.若以AB.AC為邊向AABC

外分別作正AMAB,正AMAC,記AMAB,ANAC的中心分別為P,Q,則BPCQ的最大值

為.

16.設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=x-3—1在定域上有兩個(gè)零點(diǎn)m,n,函數(shù)g(x)=色吧-x+1有兩個(gè)零點(diǎn)p,q,e

xx

為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若m<p<n<q,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、

證明過(guò)程或演算步驟。

17.(本小題滿分10分)

在①-----二-----；②4S=J5(a2+b2-c2)；③csin.A=acos(C--)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充

cosBcosC6

在下面的問(wèn)題中，并解答_

在AABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，已知,a-b=6,且AABC的面積，

4

求AABC的周長(zhǎng)。

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分。

18.(本小題滿分12分)

已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,已知a2=3ai=3,且當(dāng)*2,n￡N*時(shí),Sn+i+2an-i+3Sn-i=4Sn.

(1)證明數(shù)列｛an+i-an｝是等比數(shù)列；

,a+1

(2)設(shè)a=j一，求數(shù)列｛bn｝的就n項(xiàng)和為Tn.

aa

n+!n

19.(本小題滿分12分)

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，NBAD=60。,四邊形BDEF

是矩形，BF=3,平面BDEFL平面ABCD,G和H分別是CE和CF的中點(diǎn).

(1)求證：平面BDGH//平面AEF;

(2)求二面角H-BD-C的大小.

20.(本小題滿分12分)

2020年新冠肺炎疫情爆發(fā)以來(lái)，國(guó)家迅速采取最全面，最嚴(yán)格，最徹底的防控舉措，堅(jiān)決遏

制疫情蔓延勢(shì)頭，努力把疫情影響降到最低，為全世界抗擊新冠肺炎疫情作出了貢獻(xiàn)。為普及

防治新冠肺炎的相關(guān)知識(shí)，某社區(qū)開(kāi)展了線上新冠肺炎防控知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從大批參與者中隨機(jī)

抽取了200名幸運(yùn)者的成績(jī)進(jìn)行分析，他們的得分(滿分100分)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：

得分人數(shù)頻率

[30,40]50.025

(40,50]300.150

(50,60]400.200

(60,70]500.250

(70,80]450.225

(80,90]200.100

(90,100]100.050

合計(jì)2001

(1)若此次知識(shí)競(jìng)賽得分X整體服從正態(tài)分布，用樣本來(lái)估計(jì)總體，設(shè)n，o分別為抽取的200

名幸運(yùn)者得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值代替)，求四,0的值(四舍五入

取整數(shù))，及P(37<X<79)的值；

(2)在(1)的條件下，為感謝大家積極參與這次活動(dòng)，對(duì)隨機(jī)抽取的200名幸運(yùn)者制定如下

獎(jiǎng)勵(lì)方案：得分低于R的獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，得分不低于四的獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).假定每次抽

獎(jiǎng)，抽到18元紅包的概率為工，抽到36元紅包的概率為工。已知張三是這次活動(dòng)中的幸運(yùn)者，

33

記Y為張三在抽獎(jiǎng)中獲得紅包的總金額，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望，并估算舉辦此次活動(dòng)所需

要的抽獎(jiǎng)紅包的總金額。

參考數(shù)據(jù)：P(|i-o<X<(i+o)=0.6827;P(n-2a<X<|i+2o)~0.9545;P(ji-3a<X<n+3a)~0.9973.

21.(本小題滿分12分)

已知橢圓Ci：與=l(a>b>0)的離心率為正，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,-l),過(guò)點(diǎn)A且斜率為k

a2b22

的直線h與拋物線C2：x2=2py(p>0)的交于點(diǎn)B,C,且C為AB中點(diǎn).

(1)求橢圓Ci的標(biāo)準(zhǔn)方程及點(diǎn)C的縱坐標(biāo)；

(2)若過(guò)點(diǎn)C且斜率為一k的直線/2與橢圓Ci交于M,N兩點(diǎn)，求四邊形AMBN的面積的最

大值及此時(shí)拋物線C2的方程.

22.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=ln(x+l)-kx-l,x>0

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于x的不等式f(x)+-^->0對(duì)任意xK)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

X+1

2021年新高考第二次適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)學(xué)科試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求.

l.已知集合/={x1=^/^^},8=卜3=2一戶>0},則/口8=()

A.1x|x<l|BJX|0<x<1}C.1x|0<x<1}D.|x|x<1|

【答案】C

2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)二滿足二(2+i)=3+4i,記三為z的共扼復(fù)數(shù)，則目=()

A叵B在c叵D6

335

【答案】D

3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題："今有厚八尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小

鼠日半尺，大鼠日倍增，小鼠日自半，問(wèn)幾何日相逢？"意思是"今有土墻厚8尺，兩鼠從墻

兩側(cè)同時(shí)打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞比前一天多一

倍，小鼠之后每天打洞長(zhǎng)度是前一天的一半，問(wèn)兩鼠幾天打通相遇？"兩鼠相逢需要的天數(shù)最

小為()

A.2B.3C.4D,5

【答案】C

4.已知函數(shù)/(x)=xsinx,則/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)的部分圖象大致為(y

【答案】A

5.三位同學(xué)獲得學(xué)校數(shù)學(xué)競(jìng)賽的前三名，向老師詢問(wèn)結(jié)果，老師跟他們透露了3條信息：①甲

不是第三名；②乙是第三名；③丙不是第一名，并告知他們以上3條信息中有且只有一條信息

正確，那么該競(jìng)賽的第一名，第二名，第三名依次為（）

A.甲、乙、丙B.丙、甲、乙C.甲丙、乙D.乙、丙、甲

【答案】D

6.已知w（0,萬(wàn)）,cosa=—彳3,若sin（2a+〃）=；sin尸，則a+夕=（）

5277

A.-71B.-7tC.171D.—71

4364

【答案】A

V-2V2,

7.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)6,工分別是雙曲線。：%-3=1（?！?力＞0）的左，右焦

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)片且與直線l:y^--x垂直的直線交C的右支于點(diǎn)M,設(shè)直線/上一/新《杼在

a

第二象限)滿足-N_LKN，且(片N+KM)-MN=O，則雙曲線。的離心率的值為()

A.V?B.-V3C.V2+1D.2

【答案】A

【解析】方法一：設(shè)N1,-g),f<0,

麗.哥=(/+4上卜一0,_匕卜2_02+勺2=0

/.t——ciiN(-%b)

M(x,y)

(不+可)?麗=o

/.((-a+c,b)+(x-c9y)](-a-x,b-^)=0,(x-a,^+y)=0

F}M\y=^x+

[b2-a2

(x-a)(x+Q)+y2-〃=0x=-----

a(,箱得：c

y=—(x+c)、2ab

J6、7y=---

-b2-a2Zab)-F—a」

M------,——在雙曲線上

Icc)

?9~2)24a1

-1

CT2C2C2

e=-=y/5，選A.

a

夕x+c),設(shè)A/[x<”*o+c)]

方法二：設(shè)直線的方程為丁=

設(shè)「，一3)，片(一，，0)，巴(c，0),由布，可,

btbt

而不=0+c,-"),可=(t-c,-----

a

______L2.2

nF.N-F、N=0=>Z2—c2H-----=0=>/=—a

a

???N(—4力)

-a-x,b-^-(x+c)

F}N=^c-a,b),F-M,MN=00

F、N+F2M/一%/+系+6回+鉆卜麗=0

2222

=/_xj+/>2_aac=Onc-Xo=%(xo+c)=xo=ba

尸土了

b2-a22ab

???M在雙曲線上

7

2

4「

->2—7=1=>e-=5；e=v5，選A.

CTC

8.如圖,在邊長(zhǎng)為2的正方形/8CO中，點(diǎn)”、N分別是邊CD,8c的中點(diǎn)，將△/。歷

沿AM翻折到APAM在翻折至IJ4PAM的過(guò)程中,tan4PND的最大值為（）

過(guò)P作尸01PN于點(diǎn)0，設(shè)NPED=9

c八2.八_32A2sin。

PQ=—f=sm0,ONxr=—7=r+—7=cos^=>tanZPND=---------=tn

yJ5V5<53+2COS。

=>2sin6-Imcos6=3，w=>,m<1=>5m2<4=>/?<----，選B.

V4+4m25

二、多選題：本題共4小題，每小題5分共20分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合項(xiàng)目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.2020年突如其來(lái)的新冠肺炎疫情對(duì)房地產(chǎn)市場(chǎng)造成明顯的沖擊，如圖為某市2020年國(guó)慶節(jié)

7天假期的樓房認(rèn)購(gòu)量與成交量的折線圖，某同學(xué)根據(jù)折線圖對(duì)這7天的認(rèn)購(gòu)量（單位：套）

與成交量（單位：套）作出如下判斷，則下列判斷正確的是（）

--?—認(rèn)購(gòu)?成交

A.日成交量的中位數(shù)是16

B.日成交量超過(guò)平均成交量的只有1天

C.10月7日認(rèn)購(gòu)量的增長(zhǎng)率大于10月7日成交量的增長(zhǎng)率

D.日認(rèn)購(gòu)量的方差大于日成交量的方差

【答案】BD

10.已知a=log3e,b=log23,c=ln3,則（）

A..a<b<cB.a<c<bC.a+c>bDa+c<b

【答案】BC

11.如圖，已知函數(shù)y=/sin（（yx+w）］/＞0,。＞0,|同＜、）的圖象與x軸交于點(diǎn)48，與y

軸交于點(diǎn)C，若=,0<|/15|<-，且tan4c8=-，則下列說(shuō)法正確的是()

8

y

AJ(x)的最小正周期為4

B.將/(x)的圖象向左平移？■個(gè)單位后的圖象關(guān)于原點(diǎn)

-4/_______________XB

-\

對(duì)稱

C./(x)在區(qū)間(-1,1)上的值域?yàn)椴?,g)

口./(工)在區(qū)間(6,7)上單調(diào)遞增

【答案】AC

OBOA

QQOC(OB—0A)9

【解析】4=2,tanZACB=tan(Z0C5-AOCA)=

空”—OC2+OAOB~8

1+-

C)COC

.?.(3OC-7CM)(OC-3N)=0

、1171

設(shè)OC=〃,OA=m,:.n=—或〃=3加

3

4(〃?,0)=>2sin(〃7/+/)=0=>mco+(p=k兀

l/nl,九兀i萬(wàn)人,c兀

\AB\=6/77=—=>mco—=>9=左］一7令攵=0=>e=7

./(x)=2sinf,故〃=/(O)=1

若加==，則"=一>:舍去，.?.〃?=；

7723

.../(x)=2sin生

故A正確，B錯(cuò)誤，C正確，D錯(cuò)誤

選AC

12、在四面體力8CO中，△/8C是邊長(zhǎng)為2的正三角形，408=60°，二面角C

的大小為60°,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.AB1CDB.四面體ABCD的體積V的最大值為g

2

C棱的長(zhǎng)的最小值為V3D.四面體ABCD的外接球的表面積為苧萬(wàn)

【答案】BCD

【解析】顯然A窗吳

對(duì)于B，要使小最大，只需高最大，此時(shí)*f."4歸4,B正確

此時(shí)CD也最小，C0,““=j'j+與=百，C正確

對(duì)于D,設(shè)的外心為M,E為AB中點(diǎn)

MA=MB=MD=^~

14

A2+13

=9-3-=9一

確

D正

選BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

13.已知(x-2)(x+〃?y+“5工5+…+平+%,〃7為常數(shù)，若旬=2，則

包=---------

【答案】20

【解析】：旬=-2〃/=2=＞加=-1

.?.%=C；_2c(_1)=20

14.某公司根據(jù)上年度業(yè)績(jī)篩選出業(yè)績(jī)出色的4,8,C,。四人，欲從此4人中選擇1人晉升該公

司某部門經(jīng)理一職，現(xiàn)進(jìn)入最后一個(gè)環(huán)節(jié)：48,C,。四人每人有1票，必須投給除自己以外

的一個(gè)人，并且每個(gè)人投給其他任何一人的概率相同，則最終僅/一人獲得最高得票的概率為

【答案】|

【解析】

最終/獲得兩票有12種，最終“獲得三票有3種，共15種

故一人獲得最高票的概率為3=捺

15在中，a,b,c分別為角43,C的對(duì)邊，已知a=2,從+，2-bc=4若以43.AC

為邊向。外分別作正△A//8，正4c，記△M48,的中心分別為P,。，

則旃?質(zhì)的最大值為.

4

【答案】y

【解析】

J77c7兀2A兀

'：b~-\-c-2/?ccos—=。~=><=—

33

麗?西=（前+訴）.（麗+闞=前?麗+前?而+訴?麗+而?而

.iA.^i.-be--be=-be

cb2+03c3b263

而6?+c2-be=4>2bc-be=>/?c<4

???（通西

\/max4J

16.設(shè)（7>0,函數(shù)/卜）=*-q-1在定域上有兩個(gè)零點(diǎn)加,〃，函數(shù)g（x）=@^?-x+1有

XX

兩個(gè)零點(diǎn),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若〃?<p<〃<q,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】（e2-e,+8）

【解析】由'一q一1=0=巴='一1

xx

四、解答題：本題共6小題，共70分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、

證明過(guò)程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

在①&--^~C—；②4s=百（/+/_。2）；③csin/=acos（c-&］這三個(gè)條件中

cos5cosC17L6）

任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答

在△NBC中，凡dc分別是角43,C的對(duì)邊，已知,a-b=6，且△ABC的面積

S=為3,求△NBC的局長(zhǎng).

4

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【解析】若選①

2a-b_c

cos5cosC

2acosC-6cosC=ccosB

2sinNcosC-sinBcosC=sinCeos5

2sin4csoC=sin（C+5）=sin4

1jr

/.COSC=—,CG（0,^）,C=y

c2=/+/-2abcosC=^a-b）2+lab-ab=^a-6）2+ab

百_9百

而=—ahs\nC=-ab

22

45=a12-hb2-2ab=(a+6y-3ab=(a+/?)'-27

a+b=65/2

周長(zhǎng)=6拒+3^5

若選②45=百(/+〃+/)二百ZbcosC

4?一"sinC=y/3-2ahcosC

2

sinC=VJcosC

tanC=V3,CE(0,I),C=~,下同①

若選②csinZ=acos(c-看)

?/(G「1?「1

csmA-a——cosC+—sine

122J

(拒]]

sinCsin^=sinJ——cosC+—sinC

122J

1?廠百?gòu)S

—sinC=——cosC

22

tanC=V3,Ce(0,^),C=y,下同①

18.(本小題滿分12分)

已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S〃，已知%=3q=3，且當(dāng)〃N2,〃EN*時(shí)，

S〃+]+2a〃_]+3Si=4S〃.

(1)證明數(shù)列｛。向一q｝是等比數(shù)列；

%+1

(2)設(shè)。，求數(shù)列也｝的就〃項(xiàng)和為卻

【解析】（1）S,用+%+3S,i=4S“

S"+i-S〃+2a=3S“-3S〃T

?,?丹+|+2%=3%

a“+i“=2（a“-a“_J

出-4=2w0

{a?-q-}是以2為公比的等比數(shù)列?

（2"〃—%T=2-2"T=2"

??=（?,.-）+（a,i-％.2）+…+（%—《）+/=、尸+1=2”-1

1—z

b2"_1______1_

"~（2n+l-l）（2n-l）-2"-\~2n+'-l

111111

"2'-122-122-123-12"-12"M-1

12""—2

=1--G-〃-+-l--i=-G-"-+1---i

19.(本小題滿分12分)

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，/助。=60°,四邊形BDEF

是矩形，BF=3，平面8DEE_L平面/8CO,G和〃分別是CE和Cb的中點(diǎn).

(1)求證：平面8OG/〃平面4跖；

(2)求二面角，一8。一C的大小.

【解析】方法一：(1)記〃,連MG.

??ABCD為菱形必為/C中點(diǎn)，又＜G為CE中點(diǎn)

.?.GM為△/EC的中位線

GM//AE,又；AE仁平面8DG",GMu平面6DG”

〃平面8OGH

vG,H分別為CF,CE的中點(diǎn)，則G〃為4CEF中位線

GH//EF，又■/EFU平面BDGH,u平面BDGH

:.EF〃平面BDGH

又；4ECEF=E,4E,EFu平面4EF

平面〃瓦'〃下面8DG〃

(2)取中點(diǎn)N,連MN,YBDEF為矩形，:.MNLBD

■：平面BDEF1平面ABCD,平面BDEFQ平面ABCD=BD

.?.MN_L平面N6C。

又ABCD為菱形，，MB

4M3,MN兩兩垂直,以M為坐標(biāo)原點(diǎn)建系,分別以為x,y,z軸

MN_L平面ZBCZ),.?.麗=(0,0,3)是平面ABCD后的一個(gè)法向量

Z5JP=60°,AB=AD=2,：.AB=\,F(0,l,3),￡)(0,-1,0),MA=>5

.?.C(-V3,0,0),:.H［且j_3

一萬(wàn)'5'5

設(shè)平面HBD的法向量為〃=(x,乂z)

y=0

n-DB=0

633c

n-DH=0------x+-y+-z=0

22.2

不妨設(shè)z=l,則y=0,x=M,?=(V3,0,l)

設(shè)二面角H—3?！狢為a

3

cosa

2^32

方法二：

(1)證明：ACEF中，GH^-EF=>G〃〃￡尸①

-2

記ZC與5。交于O,OH*AF=OH〃AF②

OH與GH相交于H,M與⑷7相交于尸，故平面8OG〃〃平面/斯

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，麗，灰，而為三建立空間直角坐標(biāo)系.

05=(0,1,0),歷=(0,-1,0),OC=(V3,0,0)

而=；.底+沔=州百,0,0)+(0,1,3)]=

記7為G”中點(diǎn)，

=討=?兩+網(wǎng)=悖,0,：卜/700=3

(tan/7OC=0)

??二面角〃一皿一。=二面角7-皿一0=/7℃=《

綜上：二面角〃—8。一C為。.

20.(本小題滿分12分)

2020年新冠肺炎疫情爆發(fā)以來(lái)，國(guó)家迅速采取最全面，最嚴(yán)格，最徹底的防控舉措，堅(jiān)決遏

制疫情蔓延勢(shì)頭，努力把疫情影響降到最低，為全世界抗擊新冠肺炎疫情作出了貢獻(xiàn).為普及

'"之玩?淵■/r=^i

防治新冠肺炎的相關(guān)知識(shí)，某社區(qū)開(kāi)展了線上新冠肺炎防控知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從大批參與者中醺機(jī)

抽取了200名幸運(yùn)者的成績(jī)進(jìn)行分析，他們的得分（滿分100分）數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表:

得分人數(shù)頻率

[30,40]50.025

(40,50]300.150

(50,60]400.200

(60,70]500.250

(70,80]450.225

(80,90]200.100

(90,100]100.050

合計(jì)2001

（1）若此次知識(shí)競(jìng)賽得分X整體服從正態(tài)分布，用樣本來(lái)估計(jì)總體，設(shè)〃,。分別為抽取的

200名幸運(yùn)者得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值代替），求〃,o■的值（四舍

五入取整數(shù)），及P（37<X<79）的值；

（2）在（1）的條件下，為感謝大家積極參與這次活動(dòng)，對(duì)隨機(jī)抽取的200名幸運(yùn)者制定如下

獎(jiǎng)勵(lì)方案彳導(dǎo)分低于〃的獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)彳導(dǎo)分不低于〃的獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).假定每次抽獎(jiǎng)，

21

抽到18元紅包的概率為§，抽到36元紅包的概率為1已知張三是這次活動(dòng)中的幸運(yùn)者，記丫

為張三在抽獎(jiǎng)中獲得紅包的總金額，求丫的分布列和數(shù)學(xué)期望，并估算舉辦此次活動(dòng)所需要的

抽獎(jiǎng)紅包的總金額.

參考數(shù)據(jù)：

尸（〃-b<X4〃+b）=0.6827;P（〃一2cr<X4〃+2o■卜0.9545；

?(〃-3cr<X4〃+3o?卜0.9973.

【解析】方法一：(1)

//=35x0.025+45x0.15+55x0.2+65x0.25+75x0.225+85x0.1+95x0.05=65

/=(65-35)2x0.025+(65-45)2x0.15+(65-55)2x0.2+(65-65)2x0.25

+(75-65)2x0.225+(85-65)2x0.1+(95-65)2x0.05=210

a=7210^14

37=65—28=〃—2。

79=65+14=〃+

P(37<X<79)=P(〃-2b<X<〃+b)

二P(〃-2cr<Xv〃+cr)+P(〃-b<X<〃+cr)

0.9545-0.6827八八

---------------------------F0.6X27=0.8186

2

(2)y可取18,36,54,72

P(X>〃)=0.025+0.15+0.2+gx0=0.5

121

；.p(y=i8)=--x-=-

'7233

尸…)"？7

18

P(Z=54)4XC；1X|=1

p(y=2)+1

18

y的分布列

Y18365472

721

P

3Ti918

1721

￡：r=18x-+36x—+54x-+72x—=36

318918

200EX=7200

舉辦此次活動(dòng)所需要的抽獎(jiǎng)紅包的總金額為7200元.

方法二：(1)

〃=0.025x35+0.15x45+0.2x55+0.25x65+0.225x75+0.1x85+0.05x95=65

cr=70.025x3O2+0.15x202+0.2x102+0.25x0+0.225x102+0.1x202+0.05x3(J

=14.

P(37<X<79)=一2cr<X<〃+cr)

2a<X<〃+2cr)+F(〃-b<X<R+cr)]=0.8186

]_721

p

318918

Y18365472

p(y=18)=|x|=|

P(Y=72)=g111

x—x—=

33Ti

1I22

P(y=54)=-x-x-x2

'72339

121117

p(y=36)=—X—+—X—X—

2323318

J(y)=；xl8+72127

x-+54x-+36x—=6+4+12+14=36

18918

21.(本小題滿分12分)

22py

已知橢圓加卞+方=1(。>6>0)的離心率為竽，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)次0,-1),過(guò)點(diǎn)/且斜率為左

的直線/,與拋物線C?:=2陟(0>0)的交于點(diǎn)8,C,且C為48中點(diǎn)

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及點(diǎn)C的縱坐標(biāo)；

(2)若過(guò)點(diǎn)C且斜率為—k的直線/2與橢圓G交于A1,N兩點(diǎn)，求四邊形AMBN的面積的最

大值及此時(shí)拋物線G的方程.

【解析】(1)b=\,土==,結(jié)合/=b2+c2推知a=2,c=G

a2

2

=>C]：?+V=1①

y=Ax—1與=2外聯(lián)立=>x，-2pAx+2P=0

C為中點(diǎn)，2yc=yA+yB,2xc=xA+xB=xB,xB-xc=2p

：.Xc=y[p,XB=2y[p或%=~\[p,XB=-2y[p

x+x=3x=2pknk=y=k-x—\=—1=——1=—@

cBc2pcc2p22

(2)不妨設(shè)左>0=>xc=y[p,yc=\,k=^-y[p=

22P

y=41一/)_；與Y+4/-4