河北省保定市定州市2023-2024學(xué)年高二年級上冊1月期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

河北省保定市定州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考

試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.直線X+百y-3=O的傾斜角為()

A.150°B.120°C.60°D.30°

2.已知直線心(t+4)x—2y+l=0和3x+(t+3)y—2=0互相垂直，貝|實數(shù)/=()

A.2B.-2C.3D.4

3.圓。一2+就=1與圓和：(%-3)2+(廣4)2=4的公切線條數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

,、2

4.已知數(shù)列｛%｝的首項為=3,且。用=匚丁，則q=()

a

乙n

4

A.3B.—2C.—D.—3

3

5.在三棱錐P—ABC中，M為AC的中點，貝1PM=()

A.-BA+-BC+BPB.-BA+-BC-BP

2222

C.-BA+-BC--BPD.-BA+-BC+-BP

222222

22

6.已知雙曲線C：A-2=1(?>0,b>0)的焦距是虛軸長的4倍，則C的離心率

ab

為()

A.亞B.述C.嶇D.應(yīng)

3415

7.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S",已知$2=4,S4=40,則其=()

A.144B.324C.400D.364

8.己知雙曲線C：f-y2=i的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,直線/：y=2x-〃z與C相

交于A，8兩點，若的面積是，面積的3倍，則旭=()

A.72B.472C.0或40D.0或2近

二、多選題

9.若橢圓石：三+二^=1的焦距為2應(yīng)，則機的值可能為（）

m3m+2

A.-1B.1C.3D.4

10.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）

A.若非零向量q,b,c滿足〃_Lb，c_L〃，則a〃c

121

B.若對空間中任意一點0,^OP=-OA+-OB--OC,則尸，A,B,。四點共

236

面

C.若空間向量。=（0,1』），6=（LL2）,則。在b上的投影向量為

D.已知直線/的方向向量為。=（2,1,T）,平面a的法向量為方=（_2,-1,-5），則/〃a

或/ua

11.在棱長為2的正方體ABC。-A笈G。中，瓦￡分別為棱A。。2的中點，G為線

段與C上的一個動點，則（）

A.三棱錐D-EFG的體積為定值

B.存在點G,使得平面EFG//平面A百2

C.當(dāng)CG=：C4時，直線EG與BC所成角的余弦值為遺

320

D.當(dāng)G為耳C的中點時，三棱錐A的外接球的表面積為22專兀

12.已知拋物線C：V=2px,點P。,-2）在C上，過點。（0,1）的直線/與C相交于A3兩

點，直線尸A依的斜率分別為左,右，則（）

A.kx+k2=—2

B.K+k2=—4

c.姑2的取值范圍為（Y，0）U（0,4）

D.也的取值范圍為（f,O）u（O,l）

三、填空題

試卷第2頁，共4頁

13.在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，已知4（2,0,2）,則|。4+。8卜.

14.已知A（4,l）,B（3,0）,M是拋物線C：V=12x上的一點，則周長的最小

值為.

15.某階梯大教室的座位數(shù)從第二排開始，每排的座位比前一排多3個，己知第一排有

5個座位，且該階梯大教室共有258個座位，則該階梯大教室最后一排的座位數(shù)

為.

16.在數(shù)列｛4｝中，4=1,an+an+l=e",其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，令

1(l+e)S-zze

S=a+-a+~a+

nle2e3

四、解答題

17.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，已知的=41，5=36.

⑴求｛%｝的通項公式；

13

（2）設(shè)或=不，數(shù)列｛2｝的前w項和為T,,若T“,WS求正整數(shù)機的最大值.

18.已知圓C與圓Q：（了一3）2+（、-1）2=4關(guān)于直線/：x-y=。對稱.

⑴求圓C的方程；

⑵若圓C與圓。相交于A,8兩點，求四邊形CAZJB的面積.

19.一動圓經(jīng)過點尸（0,2）且與直線廠-2相切，設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

（2）若直線/與C交于A,8兩點，且線段的中點坐標(biāo)為（2,2）,求直線/的方程.

20.在正三棱柱ABC-A4G中，AA1=AC,E為A3的中點.

⑴證明：BO"/平面AEC.

⑵求平面\EC與平面C.CBB.夾角的余弦值.

21.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且％=6,2S“=4S,T-/+3”+4"22).

⑴證明｛%~n\是等比數(shù)列，并求｛%｝的通項公式；

⑵若b?=(-1)".??,求數(shù)列也｝的前w項和r?.

22.已知橢圓0：5+，=1(“>6>0)經(jīng)過4(0,1),尸］|,一^］兩點.

⑴求C的方程；

⑵斜率不為。的直線/與橢圓C交于V,N兩點，且點A不在/上，AM±AN,過點尸作

y軸的垂線，交直線x=-l于點S,與橢圓C的另一個交點為T,記的面積為S-

S,

t

△7MV的面積為邑，求7.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】先由直線方程求解直線斜率，由斜率和傾斜角的關(guān)系，即得解

【詳解】設(shè)直線工+石y—3=0的傾斜角為夕，

貝°'

,1V3

由tan0n——尸—---,

V33

又04夕<乃，所以8=150°.

故選：A

2.B

【分析】利用兩直線垂直的充要條件列方程求解即可.

【詳解】因為直線4：(r+4)x-2y+l=0和*x+(t+3)y—2=0互相垂直,

所以(+4)x1—2(/+3)=0,

解得/=-2.

故選：B.

3.D

【分析】判斷兩圓的位置關(guān)系，即可判斷出答案.

【詳解】由題意知圓Q：/+9=1的圓心為(0,0),半徑為1,

圓。2：(工一3)2+(尸4)2=4的圓心為(3,4),半徑為2,

貝修。1勾=J32+42=5>1+2,所以圓J與圓。2外離，

則它們有4條公切線，

故選：D

4.A

【分析】求出。2,%，的，%，發(fā)現(xiàn)周期，根據(jù)周期來求解.

14

【詳解】由題可得“2=-2,a3=-,a4=-,%=3,

故｛%｝是以4為周期的周期數(shù)列，

答案第1頁，共14頁

故〃9=%=3.

故選：A.

5.B

【分析】連接根據(jù)空間向量的運算法則，準(zhǔn)確化簡，即可求解.

【詳解】連接根據(jù)向量的運算法則，可得PM=BM-BPJBA+LBC-BP.

22

故選：B.

6.C

【分析】根據(jù)C的焦距是虛軸長的4倍得。=46,再由/=/+〃可得答案.

【詳解】因為C的焦距是虛軸長的4倍，所以c=4),

貝Ua=\ll6b2—b1=\[15b，所以e==—^―?

故選：C.

7.D

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得到S2,S「S],Sf-S,成等比數(shù)列，從而得到方程，求出答案.

【詳解】因為邑，及-邑，$6-邑成等比數(shù)列，所以⑸-邑)2=S2(S6-SJ,

即(40-4)2=4(06-40),解得§6=364.

故選：D

8.B

【分析】設(shè)耳到直線AB的距離為4,F2到直線AB的距離為乙，根據(jù)題意得到4=3d2,

列出方程求得加，結(jié)合A>0,即可求解.

【詳解】依題意，雙曲線C：Y-y2=i的左、右焦點分別為川一衣0),居(近0),

答案第2頁，共14頁

設(shè)F1到直線AB的距離為4,尸?到直線AB的距離為d2,

|-2V2-m|

貝

“4=6，%=出，

因為耳AB的面積是.4A8面積的3倍，所以4=3%,

即k2血一加|=3|20-根|,解得機=應(yīng)或40,

聯(lián)立方程組,二21，整理得3尤2-+病+1=0,

【X=1

貝|公=16帆2-12（7，+1）>0,解得療>3,所以%=4&?

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是將面積比轉(zhuǎn)化為距離的比，從而得解.

9.CD

【分析】分別對橢圓焦點在尤軸、y軸上的情況進(jìn)行分類討論，解方程即可得結(jié)果.

【詳解】由焦距為20可得c=&，即02=2；

若m2>3m+2>0,貝！J根2—3根一2=2,解得m=4或相=一1（舍去）.

若3機+2>m2>o,則3m+2—加之=2,解得m=3或m=0（舍去）.

因此m的值可能為3或4.

故選：CD

10.BCD

【分析】根據(jù)a,c的方向不確定判斷A；根據(jù)空間向量共面定理判斷B；根據(jù)投影向量定

義判斷C；利用a=T—1+5=0,可得4_1_6，從而判斷D.

【詳解】對于A,非零向量a,b,c滿足a_L。，c_LZ?，a，c的方向不確定，則a,c不

一定平行，故A錯誤；

121121

對于B,OP=-OA+-OB——OC,-+------=1,所以P,A,B,。四點共面，故B正確；

236236

對于C,因為Q.b=0xl+lxl+lx2=3，W=1-+12+22=6,

a-bb1f11

所以a在b上的投影向量為=rJ，故C正確；

對于D,因為直線/的方向向量為。=（2,1,-1）,平面a的法向量為/,=（_2,-1,-5）,

答案第3頁，共14頁

所以“2=-4一1+5=0,所以a_L6，貝!1/〃a或/ua,故D正確.

故選：BCD.

11.ABD

【分析】對于A項，由等體積法％一即可判斷，對于B項，運用空間向量坐標(biāo)法

計算兩個平面法向量平行求解即可，對于C項，運用空間向量坐標(biāo)公式計算異面直線所成

角余弦值即可，對于D項，由1。41=1?！?=1。產(chǎn)1=1。6|列方程求解即可.

【詳解】對于A項，

因為平面BCC\B\H平面DEF,平面BCC}Bt,

所以2(//平面DEF,所以點G到平面DEF的距離h為定值,

又VD-EFG=VG-DEF=gS^DEF.h，的面積為定值，

所以三棱錐D-EFG的體積為定值，故A項正確；

建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，則42,0,0）,〃（0,0,2）,

A（2,0,2）,C（0,2,0）,E（l,0,0）*（0,0,1）,耳（2,2,2）,3（2,2,0）,〈（0,2,2）,

對于B項，A耳=（0,2,2）,ADj=（-2,0,2）,CB,=（2,0,2）,EF=（-1,0,1）,EC=（-1,2,0）,

設(shè)CG=tCBx=（2r,0,2/）,0</<1,則EG=EC+CG=（27-1,2,2。.

答案第4頁，共14頁

設(shè)平面EFG的法向量為”=（%,4）,

n-EF=-x,+Zi=0

令為=2,可得〃=（2,1-今,2）.

n.EG=⑵-1)%+2%+2tzi=0

設(shè)平面ABQ的法向量為根=（尤2，%，Z2），

m?AB=2y2+2z=0

由＜X2令％=1,可得質(zhì)=(1,-1,1).

m-ADX=-2X2+2Z2=0

若平面EFG〃平面A及2,則21解-4/2得t=3；,故B項正確；

1-114

對于C項，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)CG=；C4=1g,0,gj時,

EG=（-l,2,0）+f|,0,|^=卜QI1g=（-2,0,2）,

\EG-BC\23^2

設(shè)直線EG與8G所成的角為凡則8sO=

82>

即直線EG與8G所成角的余弦值為返，故C項錯誤;

82

對于D項，如下圖，當(dāng)G為用C的中點時，A（2,0,2）,E（l,0,0）,尸（0,0,1）,G。,2,1）.

設(shè)三棱錐A-EFG的外接球的球心為O（x,y,z）,半徑為r,

7

x=—

6

r2=(x-2)2+/+(z-2)2

r2=(x-l)2+j2+z2

解得

r2=x2+y2+(z-l)27

z=一

r2=(x-l)2+(y-2)2+(z-l)26

11

6

答案第5頁，共14頁

所以三棱錐A-EFG的外接球的表面積為4兀產(chǎn)=三，故D項正確.

故選：ABD.

12.BC

【分析】首先求出拋物線方程，再設(shè)直線聯(lián)立拋物線方程得到韋達(dá)定理式，再計算左+人將

4

韋達(dá)定理式代入計算即可判斷AB,同理化簡匕右=4,再根據(jù)，的范圍即可得到判斷CD.

【詳解】將（1,-2）代入/=2px,得。=2.設(shè)4（加％）,3伍,力）,

直線的方程為x聯(lián)立方程組[:￡T）,消去x得y2-4fy+4f=0.

由△>€）,得才>1或/<0,所以％+%=牝為為=4/

k+k,=%+21%+2乂+21必+2_4?4_4（必+%_4）

2

則'X]Tx2-l痔*y}-2y2-2%%-2（%+%）+4?

44

因為HM=4,所以匕+月=?=4（：：）=-4.

一%%+4-4Z+4

774416164

又因為/他=----x-----=-----―=「，且，>1或f<0,

X—2為—2%%—2（%+%）+44/—2x4/+41—t

所以人自4-力,0）。（0,4）.

故選：BC.

13.714

答案第6頁，共14頁

【分析】利用空間向量的線性運算的坐標(biāo)表示求出04+03=(3,2,1),再求向量的模即可.

【詳解】因為A(2,0,2),3(1,2,-1),

所以04=(2,0,2),O3=(1,2,T),

所以。1+03=(3,2,1),

\0A+/=A/32+22+12=根.

故答案為?：714.

14.7+V2/V2+7

【分析】利用拋物線的定義求解即可.

【詳解】由題可知3(3,0)為拋物線C的焦點，C的準(zhǔn)線方程為尤=-3.

設(shè)d為點M到C的準(zhǔn)線的距離，貝+=|必+d，7.

又|AB|=四，所以△M4B周長的最小值為7+0.

故答案為：7+亞.

15.38

【分析】該階梯大教室的座位數(shù)按照從小到大的順序依次成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前,

項和求出?,再利用通項公式計算可得答案.

【詳解】該階梯大教室的座位數(shù)按照從小到大的順序依次成等差數(shù)列，

且首項為5,公差為3,所以%=5+(〃-l)x3=3“+2,

設(shè)該階梯大教室共有"排，

答案第7頁，共14頁

貝15n+〃（7）x3=258,整理得（3〃+43）（?-12）=0,

因為”>0,所以〃=12,

所以該階梯大教室最后一排的座位數(shù)為5+（12-l）x3=38.

故答案為：38.

16.1-n

【分析】根據(jù)題意，得至UeS“=eq+o,+Ja3++3%，兩式相加，結(jié)合等比數(shù)列的求和

ee

公式和對數(shù)的運算法則，即可求解.

【詳解】由=4+—。29得eS〃=皿1+。2+—。3++~^2an?

eeeee

則（l+e）S"=eq+（4+々2）+!（。2+?）+…+，

eee

/、1（l+e）S-ne

則（l+e）S“="6+-^%，故卜-----------=\-n.

ea”

故答案為：1一〃.

17.⑴%=6〃

(2)9

【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式、前項和公式進(jìn)行求解即可.

（2）運用裂項相消法進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為“，

%+3d=4%/\a-6

依題意得,cN，解得＜i」,

3(%+d)=36[d=6

所以〃〃=6+(〃—1)x6=6〃.

（2）由（1）得5,=小詈）=（6+；5=3/+1）,

]

所以％

3〃(〃+1)

111

所以—+------+

223

令十一二需‘解得…,即正整數(shù)加的最大值為9?

答案第8頁，共14頁

18.(l)(x-l)2+(y-3)2=4

(2)4

【分析】(1)設(shè)圓C的圓心C(a,6),根據(jù)圓心C與圓心。關(guān)于直線/對稱求出可得答案；

(2)設(shè)點。到直線/的距離為d,利用點到直線的距離公式求出d,再由圓心距、弦長的一

半、半徑構(gòu)成的直角三角形計算出弦長可得答案.

【詳解】(1)易知圓。的圓心為。(3,1),設(shè)圓C的圓心C(a,b),

因為圓心C與圓心。關(guān)于直線/：x-y=O對稱，

CL—\

所以

b=3

所以圓C的方程為(x-l)2+(y-3)2=4；

3-1r-

(2)設(shè)點。到直線/的距離為d,則"=丁=&,

所以|4日=2〃-儲=272,

所以四邊形CADB的面積S=2x—x|AB|xd=2忘x拒=4.

19.(l)x2=8y

(2)x-2y+2=0.

【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程可以確定曲線C的方程.

(2)利用點差法結(jié)合中點坐標(biāo)公式和斜率公式求解.

【詳解】(1)依題意得該動圓的圓心到點尸(0,2)的距離到直線產(chǎn)-2的距離相等.

又點廠(0,2)不在直線y=-2上，

所以根據(jù)拋物線的定義可知該動圓圓心的軌跡是以尸(0,2)為焦點，

>=-2為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線C的方程為V=8y.

(2)設(shè)4(%,%),3(%,%)，則:"，

-^2=8y2

答案第9頁，共14頁

兩式相減得才—君=8（乂-%），即‘二包=土產(chǎn).

再一/O

因為線段的中點坐標(biāo)為（2,2）,所以占+4=4,

則21二&=；,即直線/的斜率為

xi-x222

所以直線I的方程為y-2=g（無一2）,即x-2y+2=0,

經(jīng)檢驗，直線/：x-2y+2=0與曲線C:/=8y相交，滿足題意，

所以直線/的方程為“2y+2=0.

20.（1）證明見解析;

⑵半；

【分析】（1）利用中位線性質(zhì)構(gòu)造線線平行即可證明線面平行；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算面面夾角.

【詳解】⑴連接AG，與*交于點凡連接E尸，則E為AG的中點.

因為E為A5的中點，所以EE//BG，

又3GU平面AEC,E尸u平面AEC,

所以BQ//平面AEC.

（2）取A片的中點。，連接即，則DE/MA，CEJ.AB.

又明，平面ABC,所以2底面ABC,

CEu底面ABC,所以DELCE,

則可以E為原點，EC,￡B,EO所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

令功=1,則￡（0,0,0）,C傍,0,0,［。，一：』叩,川,

答案第10頁，共14頁

所以EC=，EA=BBy=（0,0,1）,CB=

n-EAj=-；y+z=0

設(shè)平面AEC的法向量為〃=(x,y,z),則<

n?EC=——x=0

2

取y=2=x=0,z=l,即”=（0,2,1）.

m?BBX=c=0

設(shè)平面GCB瓦的法向量為根=(a,6,c),則m-CB=-^-a+—b=0

22

取a=1=>b==0,即根=,

n,加〃|273岳

貝UCOSm，n=--rr-7=—7==——，

|m||n|,5x25

即平面AEC與平面CCB旦夾角的余弦值為半.

n

21.⑴證明見解析，an=2+n

2m+6〃+3

⑵T（-1F

12

【分析】(1)根據(jù)S"T=S"-a“，化簡得到?！?2a,i-"+2"23),變形為

G?-n=2[a?_1-(n-l)](n>3),得到｛%-科為等比數(shù)列，并求出通項公式;

(2)錯位相減法求和及分組求和，得到答案.

【詳解】(1)將S,T=S“一%代入2s,=4S“_「/+3W+4(?>2)得，

2s“=4凡+〃2一3九一4"22)①，令〃=2,可得2s2=4g-6,

即2al+2a2=4%一6，

答案第11頁，共14頁

因為%=6,所以％=3.

2

當(dāng)時，2sl=4a?_1+(n-l)-3(77-l)-4@,

兩式①一②相減并化簡得a,=2ali+2(?>3),

則％=〃-1)](“23).

又%—2=2(勾—1),

所以｛%-科是以％T=2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以°"-”=2",gpan=T+n.

(2)由(1)知，”=(-2)"+小(-1)”,

所以北=112，

(2)>[；；__1+[1X(_I)+2X(-1)+

設(shè)用=1x(-1)+2x(一I?++nx(-l)M,

則=1x(-1)2+2X(-1)3++〃x(-If1,

所以2a=(-I)+(-1)2++(-1)"-nx(-l)n+1,

解得毛=」+(T)：(2〃+l),

所以T_2(-2)向1+(-1)向(2〃+1)―112m+6〃+3+i

"3341212V7

【點睛】方法點睛：數(shù)列中的奇偶項問題考查方向大致有：①等差，等比數(shù)列中的奇偶項求

和問題；②數(shù)列中連續(xù)兩項和或積問題；③含有(-1)"的問題；④通項公式分奇偶項有不同

表達(dá)式問題；含三角函數(shù)問題，

22.(1)—+/=1

4

⑵2

8

【分析】(1)待定系數(shù)法求出。:得到橢圓方程；

(2)先得到直線/_Lx軸時，AMAN為鈍角三角形，不合題意，設(shè)直線/的方程為>=辰+小，