2024屆湖北省高三年級下冊4月高考模擬考試數(shù)學試題【解析版】

2024屆湖北省高三下學期4月高考模擬考試數(shù)學試題【解

析版】

本試題卷共4頁，19小題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

?？荚図樌?/p>

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考

證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答

案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫

在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個

選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設(shè)a=（l,-2）,6=（-3,4）,c=（3,2）,則（a+26”等于（）

A.(-15,12)B.0C.-3D.-11

2.已知集合A={y|y=|xl+|x+2|},B=<Xy=------,則AB=()

[VlO-x

A.即,+qB.[3,啊C.[3,+00)D.(-710,3]

3.下面四個數(shù)中，最大的是()

A.In3B.In(ln3)C.-——D.(ln3)2

4.數(shù)列｛4｝的首項為1,前〃項和為S",若S"+黑=S”+,"，C",〃eN*）則，％=（）

A.9B.1C.8D.45

5.復數(shù)"需"R）在復平面上對應的點不可能位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.函數(shù)F（x）=e，_e、lnx2的圖象大致為（）

7.能被3整除，且各位數(shù)字不重復的三位數(shù)的個數(shù)為（）

A.228B.210C.240D.238

8.拋物線「：/=2y上有四點A,B,C,D,直線AC,3。交于點Q，且PC=2PA，

S2

PD=APB（0<A<t）.過A8分別作:T的切線交于點0,若則2=（）

DABQ3

A.在B.-C.立D.-

23*633

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項

中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯

的得0分.

9.平行六面體中，各個表面的直角個數(shù)之和可能為（）

A.0B.4C.8D.16

C兀兀r-r3

10.已矢口函數(shù)/（x）=0sin（。尤+p）+fG>0,—~~,ZGZ有最小正零點“

/（o）=l,若“X）在卜目上單調(diào)，則（）

B.。=不C."9）=1D./（9）=-1

A.0=兀

11.如圖，三棱臺ABC-A4G的底面A3C為銳角三角形，點"E分別為棱AA，

BC,CA的中點，且BC=2瓦G=2,AC+AB=4;側(cè)面BCG用為垂直于底面的等腰

梯形，若該三棱臺的體積最大值為遞，則下列說法可能但不一定正確的是（）

6

B.DH=—

2

=D,即/逑盧］

c.VE—ADH丞'AMGI44J

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.寫出函數(shù)/(x)=]-￡-lnx的一條斜率為正的切線方程：.

13.兩個連續(xù)隨機變量X,丫滿足X+2F=3,且XNg,4),若P(X+140)=0.14,

則p(y+2>o)=.

22

14.雙曲線C:￡-方=1(”,b>0)的左右焦點分別為月，F(xiàn)2,以實軸為直徑作圓0,過

圓。上一點E作圓O的切線交雙曲線的漸近線于48兩點(8在第一象限)，若Bg=c,

A耳與一條漸近線垂直，則雙曲線的離心率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程及

演算步驟.

15.數(shù)列｛《,｝中，4=1,%=9,且4+2+?！?2?！?1+8,

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式;

⑵數(shù)列｛2｝的前〃項和為S“，且滿足彳=。“，bnbn+1<0,求s..

16.已知橢圓G：[+y2=i和。2。+y=1(。>方>0)的離心率相同，設(shè)C1的右頂點為

A，G的左頂點為4,B(O,I),

(1)證明：BA^BA,.

(2)設(shè)直線網(wǎng)與C?的另一個交點為P,直線氏^與6的另一個交點為Q,連PQ,求|尸。|

的最大值.

參考公式：>n3+n3=(m+n)^m2—mn+n2)

17.空間中有一個平面a和兩條直線相，n,其中m,n與a的交點分別為A,B,AB=l,

(1)如圖1,若直線如〃交于點C求點C到平面。距離的最大值；

(2)如圖2,若直線m,n互為異面直線,直線m上一點P和直線n上一點Q滿足PQ//af

尸Q_L九且尸。_L根，

(i)證明：直線相，〃與平面。的夾角之和為定值；

(ii)設(shè)尸。=d(o<d<l),求點P到平面a距離的最大值關(guān)于］的函數(shù)/(d).

18.已知函數(shù)/'(x)=ax2-x+ln(x+l),aeR,

⑴若對定義域內(nèi)任意非零實數(shù)4，演，均有"&D>0,求a；

XyX2

(2)記7〃=1+2+…+—，證明：^--<ln(n+l)<^.

2n6

19.歐拉函數(shù)在密碼學中有重要的應用.設(shè)〃為正整數(shù)，集合X“={1,2,…1},歐拉

函數(shù)。5)的值等于集合X“中與”互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)；記"(x,y)表示尤除以y的余數(shù)

(x和y均為正整數(shù))，

⑴求夕⑹和夕(15)；

(2)現(xiàn)有三個素數(shù)p,q,e(p<q<e),n=pq,存在正整數(shù)d滿足“(龍,。("))=1；已知

對素數(shù)。和xwX“，均有=證明：若xeX“，則x=,")；

(3)設(shè)〃為兩個未知素數(shù)的乘積，J,e?為另兩個更大的已知素數(shù)，且2%=34+1；又

e2

q=M(無。,〃)，c2=M(x,n),xwX",試用G，c?和"求出x的值.

1.c

【分析】先求出a+26的坐標，然后根據(jù)向量數(shù)量積坐標運算公式求解即可

【詳解】因為a=(l,-2),6=(-3,4),

所以a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),

因為c=(3,2),

所以(a+2b)c=-5x3+6x2=-3,

故選：C

2.B

【分析】由絕對值三角不等式求得A=[3,”)，然后由解析式有意義求得2=卜風,所卜

再由交集運算可得.

【詳解】由|x-l|+|x+2閆(x-l)-(x+2)|=3,

當且僅當(x-l)(x+2)W0,即—時，等號成立，得A=[3,+?))；

由10-Y>0得-而<x<,即3=卜^/IU,.

所以Ac5=[3，W

故選：B

3.D

【分析】先根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求得l<ln3<2,然后可判斷最大項.

【詳解】因為lnevln3vIne?,即lvln3<2,

所以In(ln3)<ln2<l,白<1,故B,C錯誤；

X(ln3)2-ln3=(ln3-l)ln3>0,所以(回>ln3.

故選：D

4.B

【分析】根據(jù)題意，令機=1,得至等差數(shù)列｛S*是等差數(shù)列，求得s,=〃，

結(jié)合為=Sg-S8，即可求解.

【詳解】由題意知，數(shù)列｛4｝的首項為1,且s“+S“=s”+?,,

令加=1,可得S,+H=S同，即s”+「/=1=1,

所以數(shù)列｛S,｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，所以斗=1+(7-1)><1=〃，

則。9=S9—&=1.

故選：B.

5.A

【分析】先利用復數(shù)代數(shù)形式乘除運算法則求出復數(shù)2,由此能求出結(jié)果.

a—2i_(tz—2z)(l—2/)a—4—2(a+l)i_Q—42a+2.

［詳斛］Z=1T27=(1+20(1-2/)=5=工廠

當。>4時，一>0,-亮丑<0,則復數(shù)對應的點在第四象限；

當-2<。<4時，”<0,一經(jīng)薩<0,則復數(shù)對應的點(—，一型在第三象限；

當a<-2時，一<0,-(^>0,則復數(shù)對應的點］一,-幺在第二象限；

當a=-2或。=4時，一=0或-&^^=0,則復數(shù)對應的點(F，-在在坐標軸上，

不屬于任何象限.

故復數(shù)Z=―-在對應的點(一，-3等)不可能位于第一象限.

故選：A.

【點睛】本題考查復數(shù)在復平面上對應的點所在象限的判斷，考查復數(shù)代數(shù)形式乘除運算法

則及復數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【分析】根據(jù)九<0時的單調(diào)性可排除BC；再由奇偶性可排除D.

一i_

xx

/、x-9e-e-21n(V-x),x<0

［詳解］/(x)=e-e--W=1,

ex-ex-2lnx,x>0

1

因為當x<0時,y=e，,y=-eZy=-21n(-x)都為增函數(shù),

1

所以，y=e*-e*-21n(-x),x<0單調(diào)遞增，故B,C錯誤；

又因為/(_%)=e-"-ex-Inx2'

所以/(x)不是奇函數(shù)，即圖象不關(guān)于原點對稱，故D錯誤.

故選：A

7.A

【分析】根據(jù)題意將10個數(shù)字分成三組：即被3除余1的；被3除余2的；被3整除的，

若要求所得的三位數(shù)被3整除，則可以分類討論：每組自己全排列或每組各選一個，求出3

的倍數(shù)的三位數(shù)個數(shù)即可.

【詳解】然后根據(jù)題意將10個數(shù)字分成三組：

即被3除余1的有1,4,7；被3除余2的有2,5,8；被3整除的有3,6,9,0,

若要求所得的三位數(shù)被3整除，

則可以分類討論：每組自己全排列，每組各選一個，

所以3的倍數(shù)的三位數(shù)有：（A；+A；+A：-A；）+（C；C；C：A；-C；C；A；）=228個.

故選：A.

8.D

【分析】由題意可得A5〃C。，取弦AS,C￡>的中點分別為設(shè)直線A3的方程為:

2

y=Ax+小代拋物線，由韋達定理可得X”=k,yM=k+m,xN=k,從而得尸在直線初V上，

根據(jù)切線方程可得加=左，作出圖象，可得，?=0-㈤;-2功,再根據(jù)=|

求解即可.

【詳解】解：由PC=/IPA,PD=2PB（O<2<1）,可知AB〃CD,

設(shè)弦A3,CD的中點分別為

設(shè)直線48的方程為：y=kx+m,

代入彳2=2丫，得/一2質(zhì)-2〃z=0,

貝（|xA+xB=2k,xAxB=-2m,

=kx2

所以》M=%，yMM+m=k+m,

同理可得%=左，

由拋物線的幾何意義可知點尸在直線MN上，

所以辱=左，

因為f=2力所以y=y=x,

所以物線在A處的切線為4，即丫一;二乙仁-乙），

1,

y=xAx-^xA>即wf+y

同理可得物線在8處的切線為4：了=4工-；其，即/無=%+九

12\X4+Xo

>=%尤一/x==k

由7,解得，

y=V--xjy=^L=-m

X=X=x=X=

綜上，MNpQ,yQ=-m,

所以M,N,P,。四點共線，且所在直線平行于y軸,

由尸？=APA，得（2一%，/一丹）="尤A一/，力一?。?/p>

AP

貝[]%=%X+(1-2)X，yc=AyA+(1-X)yp,

又x；=2yc,

所以有［ZxA+(1-4)%］2=2、+2(1-㈤力，

又入；=2yA,

化簡得2AxpxA—271yA+(1--2yp—0，

同理有2AxpxB—24yB+(1-X)%；-2yp—0,

由兩式知直線A5的方程為：

-2Xy+(1-X)］；—2y尸=0,

因為Xp=k,

所以2屬-2Xy+(l-板2-2%=0,

又直線A5過點”(左,女之十㈤,

代入得多=(一㈤;一22加,

—2—

,2=，

2

sABQQMyM-ygk+m-(-m)3

整理得-k2-2m+3Ak2+62m=0,

即(32—1)伏2+2%)=0,

由題可得y°=-根<。，

所以〃z>0,

所以1—32=0,

解得2.

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及直線與圓錐曲線的問題，作出圖象，結(jié)合韋達定理求解.

9.ACD

【分析】根據(jù)平行六面體的性質(zhì)考察矩形個數(shù)的可能情況即可.

【詳解】平行六面體的六個面都是平行四邊形，且相對的平行四邊形全等，

所以六個平行四邊形中的矩形個數(shù)可能為0,2,4,6,

所以各個表面的直角個數(shù)之和可能為。,8,16,24.

故選：ACD

10.BC

【分析】確定re(l-0,&],ZGZ,故t=0或r=l,當f=o時，不滿足單調(diào)性，排除；當t=l

時，計算。=。，0=3兀，代入計算得到答案.

33

[詳角軍】f(0)=A/2sin(p+t—1,故/￡(1一+,f(—)=A/2sin(—co+(p}+t=Q,故

F-衣仿，

故/c(l—tsZ,故/=0或"1,

當1=0時，sin(p=<(p<^,

故°=/(x)=0sin3x+?),①>0,/(%)有最小正零點一，

444

3兀77、T4.兀77*T、9/1

—a)+—=k7i,keN*,a)=—kn——，攵cN,—>——4=—,

4433222

故丁=9之1,G)<2TI,故幻=兀，/(x)=V2sin(7ix+-),

CD4

當xe(4,g),m+(手,粵)，函數(shù)不單調(diào)，排除；

2444

TT冗

當，=1時，sin0=O,--<(p<-,故0=。，

./3、03ci5?！?—7兀

sin(—cd)=----，—①=2KTIH----或一co=2KJI------,

424444

8.5兀7NT58.7兀7NTT、9yli

CO=-KJI-\--，攵cN或G=-EH---，攵,—>——4=—,

3333222

27r

故T=—21,①427r，

CD

故0=g,/(x)=0sin(gx)+l,驗證滿足條件，此時/(9)=后sin(157t)+l=l.

綜上，AD錯誤，BC正確.

故選：BC.

11.BD

【分析】根據(jù)題意可得點A的軌跡為橢圓，由橢圓的幾何性質(zhì)從而可確定A的坐標范圍，設(shè)

三棱臺的高為人由三棱臺的體積最大值確定"的范圍，從而可判斷A；建立空間直角坐標

系，根據(jù)兩點之間的距離公式求解。包硒的取值范圍，從而可判斷B,D；將三棱臺補成

三棱錐，根據(jù)棱錐與棱臺的體積關(guān)系即可判斷C.

【詳解】由AC+/1B=4,BC=2,可得點A的軌跡為橢圓，如圖

則橢圓方程為二+二=1，由于6=有>。=1則0。</&4（7<90。，

43

又因為ABC為銳角三角形，則0。</45（7<90。且0°<NAC8<90。，

所以|<區(qū)區(qū)6,0<|xA|<l,

所以（5詼）2=92></=6，由于BC=2片G=2,所以S.°=；SAB"手，

設(shè)S=SA'B'C'，則S/XABC=4s,設(shè)三棱臺的高為h,

則%…4G=m（S+4S+后）=g〃S,

因為該三棱臺的體積最大值為拽，S”昱,所以%x=2,

由于SM無最小值，故該三棱臺的體積無最小值，故A不正確；

對于三棱臺ABC-44G有側(cè)面NCGA為垂直于底面的等腰梯形,

則如圖，以H為原點，在平面A8C上作“￥，面3。。4，在面3CG4作Hz_L面A8C,

則x(o,o,o),2(i,o,o),c(-i,o,o),g，,o,“c\g,1o,“,

2

3x3yhw，“，

設(shè)A(x,y,o),則D,E

T，~4,2

2

2\h19〃/)/

所以m=AX

由于k?O,l),/ze(O,2］,所以HDJ羋,里］,又"J攣,%］，故B可能正確;

4o724o

又'孚筌Hl，用故D可能正確;

如圖，將三棱臺補成三棱錐P-ABC,

設(shè)點C到平面PAH的距離為d,

7777

======

則^ABC-\BXCX~^^P-ABCT^P-ACHT,^D-ACH^D-ACH^C-ADHT.ADH,

O44J

=］

又％—ADH=~^^CX-ADH~7^C-ADH，所以^E-ADH=QQ匕BC-1c，故C—'TH正確.

Z4Zo

故選：BD.

【點睛】思路點睛：本題考查空間幾何與平面解析幾何綜合運用，解決本題中的問題涉及的

思路有：

（1）根據(jù)橢圓的定義確定動點A的軌跡，利用解析幾何的性質(zhì)縮小點A坐標范圍；

（2）建立合適的空間直角坐標系，利用空間中兩點距離公式確定線段長的取值范圍；

（3）體積關(guān)系的建立，需將三棱臺補成三棱錐，由三棱錐的體積轉(zhuǎn)換特點分析體積比例.

x-22

12.y=~+l一—一ln2（答案不唯一）

e~e

【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義結(jié)合導數(shù)運算求導函數(shù)，取定義域內(nèi)的點作切點，求斜率與切

點坐標即可得切線方程.

【詳解】/W=1-4-1IU-x＞。，則-（無）=；-=」，

乙e/ex

取切點為（2,”2））,則斜率為左=尸（2）=）-管一g=

222

又“2）=7---\n2=l—^--ln2,

2ee

則切線方程為：y-l+-+ln2=4(^-2),即y=^+l-2-ln2.

eeee

x-22

故答案為：y=—+1——ln2(答案不唯一)

ee

43

13.0.86##—

50

【分析】利用期望和方差的性質(zhì)可得然后由對稱性即可求解.

【詳解】因為X+2Y=3,所以X+1=4—2V,

因為尸(X+lVO)=0.14,所以尸(4—2^40)=0.14,gpP(K>2)=0.14

i313112

又y=-5X+5,所以磯y)=—E(X)+5=O,D(Y)=-D(X)=-(T,

乙乙乙乙一卜?

所以

所以p(y+2>o)=尸(y>—2)=1—尸(y<-2)=1—p(y>2)=1—0.14=0.86.

故答案為：0.86

14.2

【分析】先根據(jù)幾何關(guān)系證明點E必為雙曲線的右頂點，再結(jié)合離心率計算公式，直接求解

即可.

【詳解】記A片與漸近線02的交點為根據(jù)題意，作圖如下：

222

則在△8。鳥中，設(shè)|OB|=x,又怛閶=c,由余弦定理可得cos/BOF,=x+'一’=4,解

2cxc

得x=2a,即|。@=2°；

在△30E中，cosZBOE=(^-=^-=^-,又NBOEe(0,*,i^ZBOE=-；

OBla2'，3

/、b,be

又左焦點(-c,0)到直線y=1X的距離d=[a2s="

即寓M=6,又|O；|=C,i^\OH\=y/c2-b2=a,則H在圓。上，即A耳與圓0相切;

7T

顯然AHO^AEO,則ZAO"=/EOA,XZAOH+ZEOA+ZBOE=it,5LABOE=~,

TT1717r

故可得/AOH=—,根據(jù)對稱性，ZBOy=-ZAOH=-,故/20瑪=—,

3263

故O,E,居三點共線，E點是唯一的，根據(jù)題意，E必為雙曲線右頂點；

此時顯然有2=tanW=VL故雙曲線離心率為￡=、6M=2.

a3a\a2

故答案為：2.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是能夠AG與漸近線垂直，以及忸&|=c,確定點E的

位置，進而求解離心率.

15.（l）a?=4n2-4/1+1

⑵答案見解析

【分析】⑴依題意可得4+2-4用=4”「%+8,即可得到｛。向-?！埃秊榈炔顢?shù)列，即可得到

an+i-an=8"，再利用累加法計算可得；

（2）由（1）可得2=±（2〃-1）,由以％|<。，得到么與A.同號，再對印分類討論，利用

并項求和法計算可得.

aa

【詳解1（1）因為n+i+n=2??+i+8,所以an+2-an+l=an+l-+8,

所以數(shù)列｛。加-??）是公差為8的等差數(shù)列，其首項為g-4=8,

于是4+1-4=8〃,

則。.一4-1=8（"-1）,=8（〃-2）,L,

a3-a2=8x2,a2-ax=8,

所以%-4=8（1+2HFn-1）=8x°+"~~=4n2-4〃，

所以〃〃=4/-4"+1；

2

（2）由（1）問知，an=（2n-l）,則2=±（2〃-1）,

又么%<。，則％<0,兩式相乘得2%%2>0，即他+2〉。，

因此么與a+2同號,

2〃-為奇數(shù)

因為他2<0，所以當々=1時，d=-3,此時2=

1-2幾,"為偶數(shù)'

當〃為奇數(shù)時，S"=(bl+b2)+(b3+b4)+---+(bn_2+bn_l)+bn=bn-2x^-=n,

當〃為偶數(shù)時，S,=伍+4)+僅3+仇)+…+(2-1+2)=-2x]=-〃；

l-2n,〃為奇數(shù)

當仇=-1時，4=3,此時勿=

2n-l,〃為偶數(shù)

當〃為奇數(shù)時，S.=(4+62)+僅3+4)+…+(2.2+%)+d=2+2x3-=f,

當〃為偶數(shù)時，S.=(4+b2)+(b3+b4)+---+(bn_l+bn)=2x^=n；

綜上，當」=1時,S“=(-l)f；當」=-1時,Sn=(-l)"-n.

16.(1)證明見解析;

Q)巫.

2

【分析】（1）根據(jù)離心率相等可得〃％2=1,然后求出直線BA和B4的斜率，利用斜率即可

得證;

（2）聯(lián)立直線和橢圓方程求出P,Q的坐標，從而可得PQ的中點坐標，根據(jù)（1）中結(jié)論可

得忸0|=2忸。，利用導數(shù)即可求解.

【詳解】（1）當。>1時，G的離心率G=J一

Va

當0<“<1時，G的離心率G=^/^/;

當6>1時，C?的離心率

當0<%<1時，C?的離心率6={1-及;

因為出b,所以J1-6I白,得/"=1,

a

又a>Z?>0,所以次7=1,且a>l>b>0；

由題意知A(“,0),A(-^o),即為

=依+1,L:y=-

Ba

它們的斜率之積為—[=T,

因此84，

蜂

B

22

(2)由(1)問知，C2:ax+y2=1,

y=--+l

聯(lián)立3與G的方程'a,將y消去得：-°

片/+y2=

解得占=0,x2=^~,

a+1

4

2axp.a-1

又3(?！?在曲線C?上，則/="，力一?1一4斗，

+1a<7+1

y=ax+1

將y消去得：^a2+-^x2+2ax=0,

聯(lián)立/&B與G的方程尤22

—+y=1

解得占=0,々=一三，

CL+1

2/,1一/

又3(°』)在曲線G上，則為=-41，)。_aXQ11_14，

a+1l+a

c

a—[■,()],連BC,因為BA，BA?,即

因此PQ的中點C—

所以PQ=2BC=21

3

記〃")=/+](">1],當/(〃)最大時，PQ也最大；

/+1)-4/(/_Q)

可知■/?'(〃)=("T(

(?4+l)2

3a4+3<22-(a6+l)(Q2+1)(_Q4+4Q2_])

(a4+l)2(?4+l)2,

令廣(，)>0得—/+4/—1>0,解得2—6</<2+6,

又貝

令廣(a)<0得ae

因此/(。)在“=j2+g處取得最大值,

。+回2+6_祝2+@2_也,

且最大值為/（72+V3）=

8+4石-8+4君-4

因此|尸。|最大值為1Poi

m卡￥

17.

⑵⑴證明見解析，(H)f⑷=出丁(Md—)

【分析】(1)設(shè)點c到平面。的距離為力，結(jié)合余弦定理、三角形，面積公式，基本不等式

即可求得大值；

(2)利用空間直線之間的位置關(guān)系、線面垂直的性質(zhì)定理與判定定理確定線面夾角即可證

明結(jié)論；再根據(jù)點到平面的距離，結(jié)合(1)中結(jié)論即可得答案.

【詳解】(1)設(shè)點C到平面a的距離為心作LAB于點X,可知〃VC〃，

設(shè)C4=6,CB=a,在ABC中，由余弦定理可知：a2+b2-2abcosZACB=AB2-1>

由于直線相與”之間的夾角為三，且它們交于點C,則=

從而a?+/一仍=1,又a1-abNab,則abWl(a=b時取等)；

因為右筋。加inNAC5=！A3-C"，所以C"=

2222

所以點C到平面。的距離立，其最大值為長；

22

(2)(i)證：如圖，過點尸作直線"/〃，由題知直線/與平面a必相交于一點，設(shè)其為點

連接ZM,DB,貝UP,Q,D,B共面，又PQI1a且DBua,于是尸。〃

又〃小，則四邊形尸為平行四邊形，則。3=尸。=d,

因為尸Q_L〃且PQJ_w,所以BZ)_L〃且3Z)_L?7,所以

又/m=P,所以平面PAD,

作尸于X,則PHJ.3D,又ADBD=D,則P"_La,

設(shè)尸”=〃，則P到平面a的距離也為/?,且直線m,n與平面?的夾角分別為Zft4H和ZPDH；

由于直線機與"之間的夾角為:，則直線機與/之間的夾角也為三,

JT2兀

則/APQ=—,ZPAH+ZPDH=TI-ZAPD=—,

33

即直線m,n與平面。的夾角之和為定值2年兀；

(ii)因為平面PAD,所以3￡>_LA￡>,

△ABD中，AD2=AB2-BD2=l-d2,則AD=Jl-/，

又NAPD=g,由(1)問同法算得PH43JT二產(chǎn)=13-3/，

322

即點P到平面a距離h的最大值為=3丁2(0</<1).

18.(l)a=—

2

(2)證明見解析

【分析】(1)求導可得/(。)=。，再分與。>0兩種情況分析原函數(shù)的單調(diào)性，當a>0

時分析極值點的正負與原函數(shù)的正負區(qū)間，從而確定。的值；

(2)由(1)問的結(jié)論可知，+再累加結(jié)合放縮方法證明即可.

【詳解】(1)〃X)的定義域為(-1,+8),且/'(0)=0；

/'(x)=2ax—1H-------=2ax-----=----,因止匕/'(0)=0；

i.aWO時，2a——^-<0,則止匕時令/｛了)>0有xw(-l,0),令/'(x)<0有尤e(0,+oo),

則/(x)在(T，0)上單調(diào)遞增，(0,+8)上單調(diào)遞減，又〃0)=0,

于是/(x)W0,此時令玉％<。，有〃?:㈤<0,不符合題意；

ii.a>0時，/'(%)有零點。和%o=----1,

若％<0,即a>g,止匕時令/'(x)<0有x€(Xo,O),/'(x)在(天),0)上單調(diào)遞減,

又"0)=0,則”改,)>0,令玉>0,x2=x0,有/等上1<0,不符合題意;

若無0>。，即0<a<；,此時令r(x)<0有X€(O,Xo),/'(X)在(O,Xo)上單調(diào)遞減,

又〃0)=0,貝廳(%)<0,令一1<%<0,9=苫。，有〃?*)<。,不符合題意；

若為=0,即。=；,此時尸(x)=￡>0,在(一1,m)上單調(diào)遞增，又了(0)=0,

2x+1

貝ljx>o時/(x)>0,x<0時/(￡)<0；則時以3〉0,也即對工遇2。0,"")"/)>0,

x石％2

綜上，

2

(2)證：由(1)問的結(jié)論可知，，=0時，/(x)=-x+ln(x+l)<0；

且時％>0,/(x)=^x2-x+ln(x+l)>0；

貝Ux>0時，X——X2<ln(x+l)<x,令％有―<ln|—F1|<—,

2nn2n\nJn

即工--1<ln(n+l)-lnn<—,

n2nn

于是占一而"nln(l)$

l--<ln2<l

2

將上述〃個式子相加，乙一;11+[+…+*)<ln(幾+1)</；

^iiE^-|-<ln(H+l)<^,只需證、一■|<(一〈(1+。+???+』],只需證1+上+???+4<：;

。ozkzn)zn5

14411

因為~r=—7<—2—=2

n24n24H2-12n-l2n+l

所以I+±+…+3<I+2(：111525

-----1---------1-…+32幣<<得證:

1n\55572n--\--2nM+lJ

于是得證r“-1<In(〃+1)<r,.

6

【點睛】方法點睛:

(1)此題考導數(shù)與函數(shù)的綜合應用，找到合適的分類標準，設(shè)極值點，并確定函數(shù)正負區(qū)

間是解此題的關(guān)鍵;

(2)對累加結(jié)構(gòu)的不等式證明，一般需要應用前問的結(jié)論，取特定參數(shù)值，得出不等式累

加證明，遇到不能累加的數(shù)列結(jié)構(gòu)，需要進行放縮證明.

19.(1)0(6)=2,奴15)=8；

⑵證明見解析；

(3)尤=加(。0。：，〃).

【分析】(1)利用歐拉函數(shù)9(九)的定義直接求出。(6)和。(15).

(2)分析求出x與〃不互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)，求得設(shè)M(x,p)=s,

M(x,q)=t,結(jié)合二項式展開式證明/卜奴"),〃)=1,再按stH0與4=0分類求證即得.

(3)利用M(x,y)的定義，記弭=嫉，n0=n,令k=M(0-,0),那么做eN+，且久>%旬，

的