2024年中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練-平行線四大模型（能力提升）（原卷版+解析）

03平行線四大模型（能力提升）

1.將一把直尺和一塊含30°和60°角的三角板ABC按如圖所示的位置放置，如果/CDE

=40°,那么NBA尸的大小為（）

A.25°B.20°C.15°D.10°

2.如圖，人〃/2,將一副直角三角板作如下擺放，圖中點(diǎn)A、B、C在同一直線上，Zl=80°,

A.100°B.120°C.130°D.150°

3.如圖，AB與HN交于點(diǎn)、E,點(diǎn)G在直線CD上，Gb交AB于點(diǎn)Af,ZFMA=ZFGC,

ZFEN=2ZNEB,ZFGH=2ZHGC,下列四個(gè)結(jié)論：?AB//CD-,②NEHG=2/EFM；

@ZEHG+ZEFM=90°；?3ZEHG-ZEFM=180°.其中正確的結(jié)論是()

C.①②④D.①④

4.如圖，AB//EF,ZC=90°,則a、0、丫的關(guān)系為（）

A.B=a+yB.a+p-Y=90°C.a+0+Y=18O°D.P+Y-a=90°

5.如圖，AB//EF,ZC=90°,則a、0、y的關(guān)系是（)

AB

EF

A.P+Y-a=90°B.a邛+Y=180°C.a+p-y=90°D.0=a+y

6.如圖，AB//CD,EMNF是直線A3、CD間的一條折線.若/I=40°,Z2=60°,Z3

=70°,則/4的度數(shù)為（）

3>Ar

A.55°B.50°C.40°D.30°

7.為了落實(shí)“雙減”政策，促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng)，各學(xué)校積極推行“5+2”模式，立足學(xué)生

的認(rèn)知成長(zhǎng)規(guī)律，滿足學(xué)生多樣化的需求，打造特色突出、切實(shí)可行的體育鍛煉內(nèi)容.晉

中市的某學(xué)校將“抖空竹”引入陽光體育一小時(shí)活動(dòng)，如圖1是一位同學(xué)抖空竹時(shí)的一

個(gè)瞬間，小麗把它抽象成圖2的數(shù)學(xué)問題：已知,/石（a=110°,

則/E的度數(shù)是30°.

8.如圖，直線PQ〃MN,直角三角尺ABC的/BAC=30°,ZACB=90°.

（1）若把三角尺按圖甲方式放置，則90°；

（2）若把三角尺按圖乙方式放置，點(diǎn)Q,E,尸是三角尺的邊與平行線的交點(diǎn)，若/AEN

=ZA,求尸的值；

（3）如圖丙，三角尺的直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線之間，點(diǎn)G在線段C。上，連接

EG,適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)三角尺，使得CE恰好平分NMEG,求/GEN的值.

ZBDF

圖丙

圖甲圖乙

9.如圖，AB//CD,點(diǎn)￡為兩直線之間的一點(diǎn).

(1)如圖1,若/BAE=35°,ZDCE=20°,貝Ij/AEC=

(2)如圖2,試說明，ZBAE+ZAEC+ZECD=360°；

(3)①如圖3,若/BAE的平分線與/OCE的平分線相交于點(diǎn)尸，判斷/AEC與/AFC

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

②如圖4,若設(shè)ZBAF=1ZFAE,ZDCF=1ZFCE,請(qǐng)直接用含相、”的代

nn

數(shù)式表示Nb的度數(shù).

10.已知AM〃CN,點(diǎn)8在直線AM、CN之間，AB_LBC于點(diǎn)2.

(1)如圖1,請(qǐng)直接寫出/A和/C之間的數(shù)量關(guān)系：.

(2)如圖2,/A和/C滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

(3)如圖3,AE平分/MAB,CH平分/NCB,AE與CH交于點(diǎn)、G,則/AG”的度數(shù)

為-.

11.已知直線EF分別與直線AB,CD相交于點(diǎn)G,M,并且/AGE+/C”/=180°.

(1)如圖1,求證：AB//CD；

(2)如圖2,點(diǎn)M在直線AB,C。之間，連接GM,HM,求證：ZM=ZAGM+ZCHM-,

(3)如圖3,在(2)的條件下，若射線G8恰好是的平分線，在MX的延長(zhǎng)線

上取點(diǎn)N,連接GN,若NN=/AGM,則/M、4N、/FGN的數(shù)量關(guān)系是(直

接寫答案).

圖1圖2圖3

12.問題情境

我們知道，”兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，

所以在某些探究性問題中通過“構(gòu)造平行線”可以起到轉(zhuǎn)化的作用.

已知三角板ABC中，ZBAC=60°,ZB=30°,ZC=90°,長(zhǎng)方形。EFG中，DE//

GF.

問題初探

（1）如圖（1）,若將三角板ABC的頂點(diǎn)A放在長(zhǎng)方形的邊GF上，BC與OE相交于點(diǎn)

M,ABLDE于點(diǎn)N,求NEMC的度數(shù).

分析：過點(diǎn)C作CH〃GF.則有C；/〃。E,從而得NC4P=NHCA,ZEMC=ZMCH,

從而可以求得NEMC的度數(shù).

由分析得，請(qǐng)你直接寫出：/CAP的度數(shù)為,/EMC的度數(shù)為.

類比再探

（2）若將三角板ABC按圖（2）所示方式擺放（AB與。E不垂直），請(qǐng)你猜想寫/C4F

與NEMC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）請(qǐng)你總結(jié)（1）,（2）解決問題的思路，在圖（3）中探究/BAG與的數(shù)量

關(guān)系？并說明理由.

13.已知AB〃C。，直線EF與AB、C。分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)G為落在直線AB和直線CD

之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)如圖1,點(diǎn)G恰為和的角平分線的交點(diǎn)，則/EGF=；

(2)若點(diǎn)G恰為和/DFE的三等分線的交點(diǎn)，有如下結(jié)論：①/EGP一定為鈍

角；②/EGF可能為60°；③若/EGF為直角，則EFLCD.其中正確結(jié)論的序號(hào)

為.

(3)進(jìn)一步探索，若EP_LCZ),且點(diǎn)G不在線段所上，記NAEG=a,ZCFG=p,EM

為NAEG最接近EG的”等分線，尸N是/CFG最接近CF的〃等分線(其中〃22).直

線EM、FN交于■點(diǎn)、P",是否存在某一正整數(shù)小使得/EP”尸=90°?說明理由.

03平行線四大模型（能力提升）

1.將一把直尺和一塊含30°和60°角的三角板A5C按如圖所示的位置放置，如果/CDE

=40°,那么NBA廠的大小為（）

【答案】D

【解答】解：由題意知：ZCAB=60°,ZC=90°.

VZC￡>E=40°,

：.ZCED=50°.

'：DE//AF,

：.ZFAE=ZCED^50°.

ZBAF=ZCAB-FAE

=60。-50°

=100.

故選：D,

2.如圖，h//l2,將一副直角三角板作如下擺放，圖中點(diǎn)A、3、。在同一直線上，Zl=80°,

A.100°B.120°C.130°D.150°

【答案】C

【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作

VZiZ/fe,

：.AD//l2,

：.ZFNA+ZNAD=1SO°,

9：AD//h，

：.ZEMA+ZAM￡>=180°,

AZEMA+ZMAD+ZDAN+ZANF=180°+180°=360°,

VZEMA^ZEMC+ZCMA=?,0o+60°=140°,

ZMAD+ZDAN=90°,

AZFNA=360°-140°-90°=130°,

即/2=130°,

故選：C.

3.如圖，AB與HN交于點(diǎn)、E,點(diǎn)G在直線CD上，GF交AB于點(diǎn)M,ZFMA=ZFGC,

ZFEN=2ZNEB,ZFGH=2ZHGC,下列四個(gè)結(jié)論：?AB//CD-,?ZEHG=2ZEFM；

③NEHG+/EFM=90°；?3ZEHG-ZEFM=180°.其中正確的結(jié)論是()

A.①②③B.②④C.①②④D.①④

【答案】D

【解答】解：

J.AB//CD

...①正確；

過點(diǎn)/作FP〃AB,HQ//AB,

\'AB//CD,

J.FP//AB//HQ//CD,

設(shè)/NEB=x,ZHGC=y,則NBEN=2x,ZFGH=2y

：.ZEHG=ZEHQ+ZGHQ=ZAEH+ZHGC=ZNEB+ZHGC=x+y,

ZEFM=ZBEF-ZFME=NBEF-ZAMG=NBEF-(180°-ZFGC)=x+2x-(180°

_y-y)=3x+3y-180°,

/.2ZEFM=6x+6y-360°,

/EHGW2NEFM

.?.②錯(cuò)誤；

/.ZEHG+ZEFM=x+y+3x+3y-180°=4x+4y-180°W90°,

③錯(cuò)誤；

：.3ZEHG-ZEFM=3（無+y）-（3x+3y-180°）=180°,

.?.④正確.

綜上所述，正確答案為①④.

故選：D.

4.如圖，AB//EF,ZC=90°,則a、0、y的關(guān)系為（）

A.p=a+YB.a+p-y=90°C.a+B+y=180°D.p+Y-a=90°

【答案】B

【解答】解：延長(zhǎng)DC交AB于G,延長(zhǎng)C。交所于X.

△EHD中,Z2=p-Y>

\'AB//EF,

AZ1=Z2,

90°-a=p-y>

即a+P-y=90°.

故選：B.

5.如圖，AB//EF,ZC=90°,則a、0、y的關(guān)系是（）

A.p+Y-a=90°B.a邛+丫=180°C.a+p-y=90°D.p=a+y

【答案】C

【解答】解：如圖，過點(diǎn)C、。分別作AB的平行線CG、DH,

'JAB//EF,

C.AB//CG//DH//EF,

Zl=Za,N2=N3,N4=Ny,

VZ2=90°-Zl=90°-Na,

Z3=Zp-Z4=Zp-Zy,

A90°-Na=N0-Zy,

.*.a+P-y=90°.

故選：C.

6.如圖，AB//CD,EMNF是直線AB、CO間的一條折線.若Nl=40°,N2=60°,Z3

=70°,則/4的度數(shù)為（）

【答案】B

【解答】解：如圖2,過M作?！啊ˋB,PN//AB,

'：AB//CD,

：.AB//OM//PN//CD,

：.Z1=ZEMO,Z4=ZPNF,Z0MN=ZPNM,

：.ZEMN-ZMNF=(N1+/MNP)-(NMNP+/4)=Z1-Z4,

.?.60°-70°=40°-Z4,

/.Z4=50°.

7.為了落實(shí)“雙減”政策，促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng)，各學(xué)校積極推行“5+2”模式，立足學(xué)生

的認(rèn)知成長(zhǎng)規(guī)律，滿足學(xué)生多樣化的需求，打造特色突出、切實(shí)可行的體育鍛煉內(nèi)容.晉

中市的某學(xué)校將“抖空竹”引入陽光體育一小時(shí)活動(dòng)，如圖1是一位同學(xué)抖空竹時(shí)的一

個(gè)瞬間，小麗把它抽象成圖2的數(shù)學(xué)問題：已知A2〃cr>,NE4B=80°,NECr>=110°,

則/￡的度數(shù)是30。.

【答案】300

【解答】解：延長(zhǎng)OC交AE于點(diǎn)凡

/.Z￡FC=ZA=80°,

由外角的性質(zhì)得，NDCE=/E+NEFC,

：.ZE=110°-80°=30°.

故答案為：30°.

8.如圖，直線PQ〃MN,直角三角尺ABC的/BAC=30°,ZACB=9Q°.

(1)若把三角尺按圖甲方式放置，則/MAC+/PBC=90°；

(2)若把三角尺按圖乙方式放置，點(diǎn)Q,E,尸是三角尺的邊與平行線的交點(diǎn)，若NAEN

=ZA,求NBOE的值；

(3)如圖丙，三角尺的直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線之間，點(diǎn)G在線段C。上，連接

EG,適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)三角尺，使得CE恰好平分/MEG,求孕型的值.

ZBDF

圖丙

圖甲圖乙

【解答】解：(1)延長(zhǎng)BC交于點(diǎn)D,

?:PQ//MN,

，ZPBC=ZADC,

,：NACB是△AC。的一個(gè)外角,

ZACB=ZADC+ZMAC,

：.ZACB=ZPBC+ZMAC=90°,

故答案為：90；

(2)VZAEN=ZA,ZBAC=30°,

ZAEN=ZA=30°,

：.ZCEM=ZAEN=3O°,

利用(1)的結(jié)論可得：

ZACB=ZPDC+ZMEC,

：.ZPDC=ZACB-ZMEC=60°,

:.NBDF=NPDC=6Q°,

比用的度數(shù)為60°；

(3)YCE平分/MEG,

ZCEM=ZCEG,

設(shè)/CEM=/CEG=尤，

；./GEN=180°-ZCEM-ZCEG=180°-lx,

利用(1)的結(jié)論可得：

NACB=/PDC+/MEC,

：.ZPDC=ZACB-ZMEC=9O°-x,

ZBDF=ZPDC=90°-x,

.ZGEN_1800-2x

ZBDF90°-x

:.傘生的值為2.

ZBDF

9.如圖，AB//CD,點(diǎn)￡為兩直線之間的一點(diǎn).

(1)如圖1,若NBAE=35°,ZDCE=20°,則NAEC=

(2)如圖2,試說明，ZBAE+ZAEC+ZECD=360°；

(3)①如圖3,若NBAE的平分線與4DCE的平分線相交于點(diǎn)F,判斷NAEC與NABC

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

②如圖4,若設(shè)ZBAF=1ZFAE,ZDCF=^ZFCE,請(qǐng)直接用含辦”的代

nn

數(shù)式表示/F的度數(shù).

圖/圖2圖3圖4

【解答】解：

(1)55°

ZBAE=Z1,ZECD=Z2,

：.ZAEC=Z1+Z2=ZBAE+ZECD=35°+20°=55°,

故答案為55°.

(2)如圖所示，過點(diǎn)E作EG〃AB,

/.ZA+Zl=180°,ZC+Z2=180°,

ZA+Z1+Z2+ZC=360°,

BPZBAE+ZAEC+ZECD=360°.

(3)@2ZAFC+ZAEC=360°,理由如下:

由(1)可得，ZAFC=ZBAF+ZDCF,

?..AF平分/BAE,CF平分/OCE,

：.ZBAE=2ZBAF,ZDCE=2ZDCF,

???ZBAE-^-ZDCE=2ZAFC,

由（2）可知，ABAE+ZAEC+ZDCE^360°，

：.2ZAFC+ZAEC=360°.

②由①知//+N以E+NE+N/CE=360°,

*.?ZBAF=

/DCF=L/FCE,ZBAF+ZDCF=ZF,

nn

/.ZF=-LCXFAE+ZFCE）,

n

ZFAE+ZFCE=nZF,

：.ZF+ZE+nZF=360°，

：.(n+1)ZF=360°-ZE=360°-m,

■/尸3600-m

n+1

10.已知AM〃CN,點(diǎn)2在直線AM、CN之間，AB_LBC于點(diǎn)2.

(1)如圖1,請(qǐng)直接寫出/A和/C之間的數(shù)量關(guān)系：.

(2)如圖2,/A和/C滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

(3)如圖3,AE平分NM4B,CH平用NNCB,AE與CH交于點(diǎn)G,則NAG8的度數(shù)

為45°.

圖1

圖2

如圖,

圖1

'：BE//AM,

：.ZA=ZABE.

'：BE//AM,AM//CN,

：.BE//CN.

：.ZC=ZCBE.

9：AB±BC,

：.ZABC=90°.

???NA+NC=/ABE+NCBE=ZABC=90°.

故答案為：ZA+ZC=90°；

(2)NA和NC滿足：ZC-ZA=90°.理由:

過點(diǎn)3作如圖，

U：BE//AM,

：.ZA=ZABE.

9：BE//AM,AM//CN,

：.BE//CN.

AZC+ZCBE=180°.

AZCBE=180°-ZC.

VAB±BC,

AZABC=90°.

：?NABE+/CBE=90°.

AZA+1800-ZC=90°.

：.ZC-ZA=90°.

(3)設(shè)?！迸cAB交于點(diǎn)R如圖,

TAE平分NM45,

：.ZGAF=-ZMAB.

2

?:CH平分/NCB,

：.NBCF=L/BCN.

2

VZB=90°,

：.ZBFC=90°-ZBCF.

'：ZAFG=ZBFC,

：.ZAFG=9Q°-ZBCF.

ZAGH=ZGAF+ZAFG,

：.ZAGH=^ZMAB+90°-^ZBCN=9Q°-工（NBCN-NMAB）.

222

由（2）知：NBCN-/MAB=90°,

：.ZAGH^90°-45°=45°.

故答案為：45°.

11.已知直線EF分別與直線AB,CD相交于點(diǎn)G,M,并且/AGE+/C”尸=180°.

（1）如圖1,求證：AB//CD；

（2）如圖2,點(diǎn)M在直線AB,CD之間，連接GM,HM,求證：NM=/AGM+/CHM；

（3）如圖3,在（2）的條件下，若射線G"恰好是/BGM的平分線，在的延長(zhǎng)線

上取點(diǎn)N,連接GN,若NN=/AGM,則/M、/N、/FGN的數(shù)量關(guān)系是（直

接寫答案）.

又/AGE+/C〃F=180°,

：.ZBGF+ZEHD=ISO0,

：.AB//CD-,

(2)證明：過點(diǎn)〃作MK〃CD,

又AB〃CD；

J.AB//MK-,

：.ZAGM=ZGMK,

ZGMH=ZAGM+ZKMH

：.ZGMH=ZAGM+ZCHM.

(3)解：如圖3,令/4GM=2a,ZCHM=^,則NN=2a,/M=2a邛，

,/射線GF是NBGM的平分線，

AZFGM=AZBGM=A(180°-ZAGM)=90°-a,

22

/.ZAGH=ZAGM+ZFGM=2a+90°-a=90°+a,

NGMH=ZN+A/FGN,

2

.,.2a+p=2a+-lzFG7V,

NFGN=20,

：.NM=2c^B=NN+3/FGN,

即：ZM=ZN+—ZFGN.

2

12.問題情境

我們知道，"兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，

所以在某些探究性問題中通過“構(gòu)造平行線”可以起到轉(zhuǎn)化的作用.

已知三角板A2C中，ZBAC=60°,/B=30°,ZC=90°,長(zhǎng)方形DEFG中，DE//

GF.

問題初探

(1)如圖(1),若將三角板ABC的頂點(diǎn)A放在長(zhǎng)方形的邊GF上，BC與OE相交于點(diǎn)

M,ABLDE于點(diǎn)N,求NEMC的度數(shù).

分析：過點(diǎn)C作CH〃GP.則有CH〃OE,從而得NCAP=N//CA,ZEMC=ZMCH,

從而可以求得/EMC的度數(shù).

由分析得，請(qǐng)你直接寫出：NCAF的度數(shù)為,NEMC的度數(shù)為.

類比再探

(2)若將三角板ABC按圖(2)所示方式擺放(A3與。E不垂直)，請(qǐng)你猜想寫NC4P

與/EMC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)請(qǐng)你總結(jié)(1),(2)解決問題的思路，在圖(3)中探究NBAG與/剛〃)的數(shù)量

關(guān)系？并說明理由.

-60°=30°，

ZEMC=ZBCH=90°-30°=60°；

故答案為：30°,60°；

(2)ZEMC+ZCAF=90°，理由:

過C作CH〃GH則NCAb=NAC”,

9：DE//GF,CH//GF,

J.CH//DE,

：.NEMC=/HCM,

：./EMC+/CAF=ZMCH+ZACH=ZACB=90°；

(3)ZBAG-ZBMD^30°，理由:

過3作BK〃GF,則NBAG=NK3A,

■:BK〃GF,DE//GF,

J.BK//DE,

：.ZBMD=ZKBM,

，ZBAG-ZBMD=ZABK-ZKBM=ZABC=3Q°.

13.已知A3〃CZ）,直線防與A3、CD分別交于點(diǎn)E、R點(diǎn)G為落在直線AB和直線CD

之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）如圖1,點(diǎn)G恰為和的角平分線的交點(diǎn)，則/EGF=；

（2）若點(diǎn)G恰為/BEF和/DFE的三等分線的交點(diǎn)，有如下結(jié)論：①/EGF一定為鈍

角；②NEGF可能為60°；③若/EGF為直角，則EFLCD.其中正確結(jié)論的序號(hào)

為.

（3）進(jìn)一步探索，若EP_LC￡>,且點(diǎn)G不在線段所上，記NAEG=a,ZCFG=p,EM

為/AEG最接近EG的〃等分線，F(xiàn)N是/CFG最接近CF的〃等分線（其中〃22）.直

線EM、FN交于點(diǎn)尸”，是否存在某一正整數(shù)〃，使得/EP,/=90°?說明理由.

【解答】解：（1）-AB//CD,

：.ZBEF+ZDFE=18Q°,

；點(diǎn)G恰為NBEF和/。莊的角平分線的交點(diǎn)，

ZFEG+ZEFG=^-X180°=90°,

2

AZ￡GF=180°-90°=90°.

故答案為：90°.

(2)若點(diǎn)G恰為和NDPE的三等分線的交點(diǎn)，

AZFEG+ZEFG=^-X180"或者/FEG+/E尸G=2X180°,

33

/FEG+N