量子力學(xué)期末復(fù)習(xí)

第一章緒論

1.量子力學(xué)的研究對(duì)象和適用范圍是什么？

量子力學(xué)（QuantumMechanics）是研究微觀粒子（分子、原子、原子核、基本粒子等）運(yùn)

動(dòng)變化規(guī)律的科學(xué)。量子力學(xué)規(guī)律同時(shí)適用于微觀世界與宏觀世界，即全部物理學(xué)都是量子

物理學(xué)。

2.什么是量子現(xiàn)象？

在研究原子、分子、原子核、基本粒子時(shí)所觀察到的關(guān)于微觀世界的系列特殊的物理現(xiàn)象。

凡是普朗克常數(shù)h在其中起重要作用的現(xiàn)象都可以稱為量子現(xiàn)象。

3.黑體：能夠全部吸收各種波長(zhǎng)的輻射，完全不發(fā)生反射和透射，且能發(fā)射各種波長(zhǎng)的熱

輻射能的物體稱為絕對(duì)黑體（黑體）。如：空腔上的小孔、煙煤、太陽。

4.普朗克量子假說

“能量子”假設(shè)：能量是分立的，不是連續(xù)的。

物體吸收或發(fā)射電磁輻射時(shí)，輻射的能量不是連續(xù)的，而是分立的，它的取值只能是能量子

e=hv的整數(shù)倍。

5.什么是光電效應(yīng)？它有哪兩個(gè)突出的特點(diǎn)？寫出愛因斯坦的光電效應(yīng)方程。

金屬被光（紫外光）照射時(shí)，有電子從金屬表面逸出，這種現(xiàn)象稱為光電效應(yīng)。這種電子稱

之為光電子。

突出特點(diǎn)：①存在臨界頻率vo：只有當(dāng)光的頻率大于一定值物時(shí)，才有光電子發(fā)射出來。

若光頻率小于該值時(shí)，則不論光強(qiáng)度多大，照射時(shí)間多長(zhǎng)，都沒有光電子產(chǎn)生。②光電子的

能量只與光的頻率有關(guān)，與光的強(qiáng)度無關(guān)。光的強(qiáng)度只決定光電子數(shù)目的多少。

1,

光電效應(yīng)方程：Ebn=-mev,n=hv-WQ

其中如為電子質(zhì)量，Dm為電子的最大初速度，V為光子的頻率，卬0為電子掙脫原子束縛

所需做的逸出功。

6.愛因斯坦光量子假說：

光（電磁輻射）不僅在發(fā)射和吸收時(shí)以能量E=%的微粒形式出現(xiàn)，而且以這種形式在空

間以光速C傳播，這種粒子叫做光量子，或光子。

7.什么是康普頓效應(yīng)？為什么用X射線來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)？

X射線投射到石墨上發(fā)生散射，在散射的X射線中，不但存在與入射光波長(zhǎng)相同的X

射線，同時(shí)還存在波長(zhǎng)大于入射光波長(zhǎng)的X射線，且波長(zhǎng)增量隨散射角增大而增大。這一

波長(zhǎng)改變的散射稱為康普頓效應(yīng)。

因?yàn)閄射線的能量遠(yuǎn)大于原子中電子的束縛能，光子的能量只能部分地被電子吸收，

能夠觀察到散射的X射線。

8.光電效應(yīng)和康普頓效應(yīng)的異同。

相同點(diǎn)：都涉及光子與電子相互作用

不同點(diǎn)：光電效應(yīng)中，入射光為可見光或紫外線，光子能量為eV量級(jí)，與原子中電子的束

縛能相差不遠(yuǎn)，光子能量全部交給電子使之逸出，并具有初動(dòng)能?？灯疹D散射中，入射光為

X射線或丫射線，光子能量為104eV量級(jí)，甚至更高，遠(yuǎn)大于原子中電子的束縛能，原子中

的電子可視為自由電子，光子能量只被電子吸收一部分并發(fā)生散射。

9.玻爾假定的基本內(nèi)容。

（1）原子具有能量不連續(xù)的定態(tài)的概念。電子在原子中只能沿著一組特定的軌道運(yùn)動(dòng)，此

時(shí)原子處于穩(wěn)定的狀態(tài)（定態(tài)）；原子的穩(wěn)定狀態(tài)只可能是某些具有一定分立值能量

E1,E2,……,En的狀態(tài)。處于這些狀態(tài)時(shí)電子不吸收也不發(fā)出輻射；而處于基態(tài)（能量最低

態(tài)）的原子，則不放出光子而穩(wěn)定的存在著。

（2）量子躍遷。原子處于定態(tài)時(shí)不輻射，但是因某種原因，電子可以從能量為Em的定態(tài)

躍遷到另一個(gè)較低（高）的能量為En的定態(tài)，同時(shí)將發(fā)射（吸收）一個(gè)光子。光子的頻

率為：”\En-E,?\

mn—j

10.德布羅意關(guān)系。（光和實(shí)物粒子的波粒二象性）

E=hv=：a

,h?,InvIn

hh=——a>=2兀vk=----n=——n

p=—n="ik2%c2

4

其中P和E為表現(xiàn)微觀粒子粒子性的動(dòng)量和能量，/7為普朗克常數(shù)，。、V、力和左分另IJ

表示微觀粒子波動(dòng)性的圓頻率、頻率、波長(zhǎng)和波矢。

11.戴維遜-革末實(shí)驗(yàn)和湯姆遜實(shí)驗(yàn)證明了什么？

證明電子具有波動(dòng)性，證明了德布羅意波的存在。

12.已知微觀粒子的能量求其德布羅意波長(zhǎng)。（課后習(xí)題1.2,1.3）

h12.26人

電場(chǎng)加速獲得能量的電子:彳=

《2meU~y/u

第二章波函數(shù)和薛定娉方程

1.量子力學(xué)的波函數(shù)與經(jīng)典的波場(chǎng)有何本質(zhì)性的區(qū)別？

答：量子力學(xué)的波函數(shù)是一種概率波，沒有直接可測(cè)的物理意義，它的模方表示概率，才有

可測(cè)的意義；經(jīng)典的波場(chǎng)代表一種物理場(chǎng)，有直接可測(cè)的物理意義。

2.波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋是什么？特性是什么？標(biāo)準(zhǔn)條件和歸一化條件分別是什么？

波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋：波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度(波函數(shù)模的平方)和在該點(diǎn)找到粒子的

概率成比例。描寫粒子的波是幾率波。

特性：常數(shù)因子不定性和相因子不定性。

標(biāo)準(zhǔn)條件：?jiǎn)沃敌?、連續(xù)性、有限性。

波函數(shù)的歸一化條件「力=1(2.1-7)

oo

3.寫出量子力學(xué)的態(tài)疊加原理。

若巧，嗎,…,叫，…是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加于=C1用+C2+2

+...+CnTn+...(其中Cl,C2,...,Cn,...為復(fù)數(shù))也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。

處于甲態(tài)的體系，部分的處于用態(tài)，部分的處于％態(tài)…，部分的處于巴態(tài)，…，

這導(dǎo)致疊加態(tài)下觀測(cè)結(jié)果的不確定性。

4.量子力學(xué)基本假定I：微觀粒子的狀態(tài)由波函數(shù)完全描述，由波函數(shù)可以得出體系的所

有性質(zhì)。波函數(shù)一般應(yīng)滿足單值性、連續(xù)性、有限性三個(gè)條件。

量子力學(xué)基本假定II：波函數(shù)隨時(shí)間的演化遵從Schrodinger方程。

5.求解定態(tài)問題的步驟

求解定態(tài)薛定評(píng)方程分四步：

(1)列出各勢(shì)域上的薛定青方程；

/+U(r)W(r)=修⑺匕(力)=〃“&)///'

(2)求解薛定謬方程；

本征值：昂片，…，E“，…

本征函數(shù)“2,…，甲…

(3)利用波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件(單值、有限、連續(xù))定未知數(shù)和能量本征值;

(4)由歸一化條件定出最后一個(gè)待定系數(shù)(歸一化常數(shù))o

6.分別寫出薛定娉方程和定態(tài)薛定娉方程，各自的適用條件是什么?

一般(含時(shí))薛定謂方程:

，

卜a廣(")=號(hào)內(nèi)拄小位叫

適用于一切量子力學(xué)系統(tǒng)

定態(tài)薛定青方程：

F--.................................1

；［V2+C/(r)Mr)=E</(r)；

L/L?.___適用于勢(shì)能不含時(shí)間的系統(tǒng)

7.本征方程、本征值和本征波函數(shù)：在量子力學(xué)中，若一個(gè)算符作用在一個(gè)波函數(shù)上，等于

一個(gè)常數(shù)乘以該波函數(shù)，則稱此方程為該算符的本征方程。常數(shù)人為該算符的第n個(gè)本征值。

波函數(shù)叫為人相應(yīng)的本征波函數(shù)。

8.什么是定態(tài)？定態(tài)的性質(zhì)什么？寫出定態(tài)一維無限深勢(shì)阱和線性諧振子薛定丹方程的解。

定態(tài):微觀體系處于具有確定的能量值的狀態(tài)稱為定態(tài)。描述定態(tài)的波函數(shù)稱為定態(tài)波函數(shù)。

定態(tài)的性質(zhì)：(1)能量有確定值，不隨時(shí)間改變；

(2)粒子在空間概率密度與時(shí)間無關(guān)；

(3)概率流密度與時(shí)間無關(guān)；

(4)任何不含t的力學(xué)量期望值與時(shí)間無關(guān)。

一維無限深勢(shì)阱的薛定謂方程的解為(-a<x<a))：

!紇=??？，+“(羽力=-^sin飪(x+a)e盧(?=1,2,3,)J

I8ma7a2a

線性諧振子薛定謗方程的解為

1紇=力0(〃+；),6(4)=乂「#〃“(4)("=0,1,2,…)［］忤|

9.什么是隧道效應(yīng)？

粒子能夠穿透比它能量更高的勢(shì)壘的現(xiàn)象。它是粒子具有波動(dòng)性的生動(dòng)表現(xiàn)。這種現(xiàn)象只在

一定條件下才比較顯著。

10.透射系數(shù)：透射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比。反射系數(shù)：反射波幾率流密度

與入射波幾率流密度之比。

11.束縛態(tài)：在無窮遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所描述的狀態(tài)。

體系的勢(shì)能在無窮遠(yuǎn)處為無限大，則波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處為0,使得體系的能級(jí)是分立的,

屬于束縛態(tài)。

體系的波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處為有限，則粒子可以在無窮遠(yuǎn)處出現(xiàn)，波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處不為

0,此時(shí)體系能量可以為任意值，組成連續(xù)譜，屬于散射態(tài)。

基態(tài)：體系能量最低的態(tài)。

12.證明：定態(tài)中，概率和概率流密度與時(shí)間無關(guān)。（課后習(xí)題2.1）

13.一質(zhì)量為根的粒子在一維無限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)求粒子的能量本征值和本征函數(shù)。（課后習(xí)

題2.3）

14.已知波函數(shù)的形式求概率分布函數(shù)，并給出幾率最大或最小的位置。（課后習(xí)題2.5）

15.一維無限深勢(shì)阱中粒子定態(tài)波函數(shù)為憶,（x）=、2sin吧，試求（1）粒子處于基態(tài)和

Vaa

第一激發(fā)態(tài)時(shí)，在x=0和x=a/3之間找到粒子的概率（2）概率密度最大值及其相應(yīng)的位置。

1137rx

16.已知粒子一維矩形無限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)為〃（幻=J-cos——（-a<x<a）,

Va2a

則（1）粒子在x=5a/6處的概率密度（2）發(fā)現(xiàn)粒子概率最大的位置？

第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量

L算符：作用在一個(gè)函數(shù)上得出另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號(hào)，量子力學(xué)中的算符是作用在波函數(shù)

上的運(yùn)算符號(hào)。

厄米算符：如果算符戶滿足下列等式向*方。衣=信/。及，則稱戶為厄米算符。式中產(chǎn)

和。為任意波函數(shù)，尤代表所有的變量，積分范圍是所有變量變化的整個(gè)區(qū)域。

量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符都是線性、厄米算符。

2.證明：厄米算符的性質(zhì)：（1）厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)。（2）厄米算符屬于不同本征值的本

征函數(shù)彼此正交。

證明：（1）本征值方程為由▽=可

由厄米算符定義式：

CO0000O0

jW*Wi/zdr=j（戶〃=J（幾⑺*“dr=/*j

—00—00—00—

直接代本征值方程的結(jié)果：

0000oo

j\//*Fy/dT=j二2j

-CO—00-00

88CO

A*j=y/*i/dr（/_/*）j=0

—00

則有(2-2*)=0證畢.

證明：厄不算符的本征值和本征函數(shù)已知，

片服=4裔〃=1,2,…

由厄米算符定義式：

J0*F（/>mdr="戶服）*</>mdT=J（-1）*adr

直接代本征值方程的結(jié)果：

f裔*戶想辦=J裔*=J—*娟T

（%-A,*）M*"/T=O

2X/lnf。*。dr=0證畢

3.算符與力學(xué)量的關(guān)系：當(dāng)體系處于算符戶的本征態(tài)。時(shí)，力學(xué)量F有確定值，這個(gè)值就是

算符戶在。態(tài)中的本征值晨力學(xué)量在一般的狀態(tài)中沒有確定的數(shù)值，而有一系列的可能值,

這些可能值就是表示這個(gè)力學(xué)量的算符的本征值。每個(gè)可能值都以確定的幾率出現(xiàn)。

4.什么是箱歸一化？

將粒子限制在三維箱中運(yùn)動(dòng)，同時(shí)加上周期性邊界條件，則可以將動(dòng)量的連續(xù)譜變?yōu)榉?/p>

立譜，用一般的歸一化方法來歸一，這種方法稱為箱歸一化。

5.寫出量子力學(xué)的第三條和第四條基本假定。

基本假定III：

若體系的狀態(tài)波函數(shù)甲用算符方的本征函數(shù)的展開為：

“=2%媒（戶媒=兒或）

n

則在步態(tài)中測(cè)量力學(xué)量廠時(shí)，得到結(jié)果為4的概率為除「。

即測(cè)量得到的所有可能值，都是相應(yīng)的線性厄米算符的本征值。

基本假設(shè)IV：

量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符是厄米算符，且它的本征函數(shù)構(gòu)成完備系。如果經(jīng)典

力學(xué)中相應(yīng)的力學(xué)量是坐標(biāo)r和動(dòng)量P的函數(shù)，則把經(jīng)典表達(dá)式中的坐標(biāo)保持不變，動(dòng)量

換為動(dòng)量算符就構(gòu)成了量子力學(xué)中相應(yīng)的力學(xué)量算符。

6.幾個(gè)常見的力學(xué)量算符的本征函數(shù)和本征值。

例1：動(dòng)量算針：上,a，a兩兩對(duì)易：

共同完備本征函數(shù)系：科》（尸）=八

（2九方）

各自的本證值：p?py,ps

例2：輒原子中：百，尸工z兩兩對(duì)易:

共同完備本征函數(shù)系：仁"）=&⑺二（&。）

各自的本證值：E/Q+DRmh

7.寫出一般求解力學(xué)量算符平均值的兩個(gè)公式。

F=ZIcJ4屋］V*（x聲叭x）dx

,'獷為歸一化波函數(shù)

尸屐=40"（x）=Ec。

n

8.算符對(duì)易關(guān)系：［a,用三a6一衣4?

可對(duì)易算符：如果［a,6］=o,則稱算符X與盲是可對(duì)易的；

不對(duì)易算符：如果［a,公］NO,則稱算符人與方是不對(duì)易的。

當(dāng)兩個(gè)算符不對(duì)易時(shí)，它們不能同時(shí)有確定值

9.一組力學(xué)量同時(shí)具有確定值的條件是什么？

如果一組力學(xué)量算符有共同的本征函數(shù)，而且這些共同本征函數(shù)組成完全系，則這組算

符中的任何一個(gè)和其余算符對(duì)易。這個(gè)定理的逆定理也成立。

或：

一組力學(xué)量算符具有共同完備本征函數(shù)系（即同時(shí)具有確定值）的充要條件是這組算

符兩兩對(duì)易。

10.測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：

[F,G]=ik=)(AF)2.(AG)2

4

寫出坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系

__________________.2

2

[x,px]=ihAx)?(△/?、.y>—

或?qū)懗桑?/p>

簡(jiǎn)記之：Ax-Ap>—

2

11.證明基本對(duì)易關(guān)系

(1)1①,a1=〃1a=x,y,z

(2)[La,Lfl]=ea/3ril.Lra,/3,y=x,y,z

(3)[Z?,LJ=O

(4)[44]=0

(5)［女,/(x)］=-

ox

13.證明本征態(tài)問題：判斷一個(gè)波函數(shù)是否是一個(gè)算符的本征函數(shù)，需要將其代入本征方程

中判斷是否滿足。

(1)證明收=無+》為角動(dòng)量算符乙=(回,-前。的本征值為/的本征態(tài)。

(2)證明〃=y+/z為角動(dòng)量算符A=(前二—功口的本征值為加的本征態(tài)。

(3)證明力=z+比為角動(dòng)量算符'=(zpx-xpz)的本征值為h的本征態(tài)。

12

(4)證明波函數(shù)中=§%(3,。)+§、1(氏。)是上的本征函數(shù)。

⑸證明匕加=&⑺43,9)是角動(dòng)量算符乙、2本征值分別為研、/(/+1訴的本

征函數(shù)。

14.設(shè)氫原子處于狀態(tài)巧

”(r,9)=萬，⑺。9)一3⑺兀(夕9)

求氫原子能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)

量的期望值。(課后作業(yè)3.9)

15.(1)在一維無限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)阱的寬度為a,如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)

〃(x)=Ax(a-x)描寫，

12

(2)設(shè)〃(x)=Ae2*

(3)若粒子在［0,a］之間的一維無限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，波函數(shù)為

..7C?

Asin—x0<x<a

0(x)=ja

0x<0,x>a

(4)一維運(yùn)動(dòng)的粒子處于狀態(tài).

/、「Axe-x>0

0x<0

(5)設(shè)cp(x)=Ae-5陵1為常數(shù))

求(1)歸一化常數(shù)A；(2)計(jì)算動(dòng)量的期望值百(3)%=?

第四章態(tài)和力學(xué)量表象

1.基底：設(shè)ei,e2,e3為線性無關(guān)的三個(gè)向量，空間內(nèi)任何向量v必是ei,e3e3的線性組合,

則ei,e2,e3稱為空間的基底。正交規(guī)范基底：若基底的向量互相垂直，且每一向量的長(zhǎng)度

等于1,這樣的基底叫做正交規(guī)范基底。

2.希耳伯特空間：如果把本征波函數(shù)中m看成類似于幾何學(xué)中的一個(gè)矢量(這就是波函數(shù)有

時(shí)稱為態(tài)矢量或態(tài)矢的原因)，則波函數(shù)的集合｛6m｝構(gòu)成的一個(gè)線性空間。

3.表象：量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象。Q表象就是以Q算符的本征函

數(shù)為基底的表象

在Q表象中Quq(尤)=qUq(x)

UI(X),"2(尤)，Mn(X),...是Q表象的基本矢量，簡(jiǎn)稱基矢

將中(XJ)按Q的本征函數(shù)展開：￥(%1)=2?！阿薓”(x)=*0)*(龍)心

"1(叫

(F

出⑺L11%耳32)

F?2F?3

n4。2

?！阿?F32F33%

1)

J\??7

F

,?n=\u,^x)Fun｛x)dx

厄米矩陣的對(duì)角元為實(shí)數(shù);而其余的各個(gè)非對(duì)角元素，對(duì)于主對(duì)角線是復(fù)數(shù)共輾反射對(duì)稱的。

力學(xué)量算符在自身表象中為對(duì)角陣。

力學(xué)量算符在自身表象中本征函數(shù)(基矢)為3函數(shù)，相應(yīng)的列矩陣只有一個(gè)非零元。

4.寫出坐標(biāo)表象和能量表象中各自的基矢、任意波函數(shù)、算符F矩陣元的狄拉克表示。

坐標(biāo)表象將矢：㈤

任意波函數(shù)s^(x)s(jr^)1y>=Sw(x)l6

算符F矩陣元：幾戶|力

能量友象基矢：忖.|5)

任意波函數(shù)：q=Glw>?M>=ZC1/1)

算符睢陣元：")

5.寫出下列各式的厄米共拆：

(c例方財(cái)+=〈同戶M。*(L乙附*=〈〃|匕〉仇|

6.粒子處于一維無限深勢(shì)阱的基態(tài)V^(x)=J-

sin—x(0<%<〃)，求該態(tài)在動(dòng)量和能量

Vaa

表象中的表示形式。

解：動(dòng)量表象：上

動(dòng)里本征函數(shù)：%⑴一(2防y》%⑴:00

Up)”")4?

展開系數(shù)：]6-------pa

?a--px.Jlan1+e*

C(P)=J%*(x)%(x)dx=0"2J,

e-sm—xdx=22

oa："2.pa/12

此展開系數(shù)即為動(dòng)量表象下波函數(shù)的表現(xiàn)形式。

能量表象：

2.n兀

.（X）—sm——x%(x)=Za”(M(x)

aa

本征函數(shù)：n

展開系數(shù)：（砌=J〃：⑴%（尤如=兀即波函數(shù)在自身表象中取6形式。

7.在Q表象的基矢有兩個(gè)：｛域,右｝，算符戶有如下性質(zhì)：戶域=3a+2人,戶。2=2域,

求戶的本征值和本征函數(shù)，并將F的矩陣對(duì)角化。

解：1）先求出Q表象中尸的矩陣表示，由公式：Fnm=^nF（/>udx

￡1=J6京虬dx=J。；(3必+2心dx=3

心=J(f\F(/>2dx=J我2Mx=2

%=J“”由=J”；(301+2我)加=2，32、

、20,

82=J°；F(f)2dx=J2Mx=0

算符的本征值方程為：

(32、(a\o'

二X▼

(20也

（3-22

二0

120-磯以

。和b有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零:

3-22,

=022-3/1-4=0=>(2-4)(2+1)=0

20—A

得到兩個(gè)本征值：4=4%=-1

把4=4代入本征方程，可得：742a=o_a+2b=Q^a=2b

羊口右CI20-4人引

于是有：%1J

6可以由歸一化條件來確定："1Vl==ln|2牙+|牙=ln/?=；

n=l,2A/5

得到第一個(gè)本征函數(shù)為

8.已知一力學(xué)量算符與在某表象中的矩陣表示為

，200、6010、

1“0-i'<01、

⑴B=b001(2)5=101⑶邑?(4)S,=—

正21，0,X2UOJ

、010J010,

’010、<0—I0、’100、

1010-i,L=000,（/=1伍上））表象

工飛z

,010>100J,00T,

求方的本征值及本征函數(shù)。

第五章微擾理論

1.微擾論：由E,）求出紇，由/°）求出力的近似求解方法。

Wr

H=H+HM=EMH

適用范圍：分立能級(jí)及所屬波函數(shù)的修正。

基本精神：逐級(jí)近似。

2.什么是斯塔克效應(yīng)？氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)下，第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的的躍遷譜線有什

么樣的變化？

斯塔克效應(yīng)：氫原子在外電場(chǎng)作用下產(chǎn)生的譜線分裂現(xiàn)象。

當(dāng)躍遷發(fā)生時(shí)，原來的一條譜線就變成了3條譜線。其頻率一條與原來相同，另外兩條中一

條稍高于原來頻率，一條稍低于原來頻率。

3.分別寫出非簡(jiǎn)并態(tài)的一級(jí)、二級(jí)能量修正表達(dá)式。

%=〕嫦*方'必出

4.簡(jiǎn)述變分法的步驟。

（1）根據(jù)體系Hamilton量的形式和對(duì)稱性推測(cè)合理的試探波函數(shù)（2）帶入能量期望值表達(dá)式

中并對(duì)變分參量求一階導(dǎo)數(shù)并令其等于0（3）求出能量最低狀態(tài)的能量即基態(tài)近似能量，

代回波函數(shù)表達(dá)式得到試探波函數(shù)

5.寫出含時(shí)微擾下的躍遷概率的定義式

設(shè)＜=0時(shí)體系處于月o第1個(gè)本征態(tài)中人

t時(shí)刻發(fā)現(xiàn)體系處于甲態(tài)

2

則發(fā)現(xiàn)體系處于①加態(tài)的概率即躍遷概率等于Iam(t)|

6.周期微擾產(chǎn)生躍遷的條件是：a)=±a)mk或%土方。，說明只有當(dāng)外界微擾含有

頻率?成時(shí)，體系才能從中上態(tài)躍遷到①”，態(tài)，這時(shí)體系吸收或發(fā)射的能量是方◎成，這

表明周期微擾產(chǎn)生的躍遷是一個(gè)共振躍遷。

7.寫出原子與輻射場(chǎng)相互作用引起的能級(jí)躍遷的三種形式。

自發(fā)發(fā)射：不受外界影響的由高能級(jí)到低能級(jí)的躍遷，放出光子；

受激發(fā)射：體系在外界作用下由高能級(jí)向低能級(jí)的躍遷，放出光子；

受激吸收：體系在外界作用下由低能級(jí)向高能級(jí)的躍遷，吸收光子；

8.求：設(shè)一個(gè)有微擾體系的哈密頓量為方=冗+百'，其中冗與方'在方。表象中的矩陣表

示已知，求微擾方'的作用下能量的二級(jí)修正。

00、'o04、

(1)

Ho=0E20H'=00%(E[<E?<E3)

Zoj

、0o/

00、0a、

(2)H'=00b(%<E2<E3)

Ho=0E20

、00匕b0?

￡00、(0%a?'

(3)H'=a*0a(Ej<E<E)

HQ=0E20323

**fl

、00%

0b、

(4)㈤H'=