2024江蘇南通如皋市高三第二學(xué)期學(xué)情調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（二十二）

2023?2024學(xué)年高三第二學(xué)期學(xué)情調(diào)研考試(二十二)

數(shù)學(xué)

(滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘)

2024.3

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1,已知復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=l—1則z2024=（)

A.iB.-1C.1D.~i

2.己知全集U=R,集合A,B滿足ARACB）,則下列關(guān)系一定正確的是()

A.A=BB.BQAC.An（［uB）=。D.(Ct/A)nB=0

3.若sin（雪+a）=得，貝Ucos（2a-聿）=（

)

11950八119r50

A———p———r—T)----

169169169u169

4.有5張相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次

取1張卡片.Ai表示事件“第一次取出的卡片上的數(shù)字為2”，4表示事件“第一次取出的

卡片上的數(shù)字為奇數(shù)”，&表示事件“兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為6"，4表示事件“兩

次取出的卡片上的數(shù)字之和為7"，貝|()

A.4與4為對(duì)立事件B.4與4為相互獨(dú)立事件

c.A2與A4為相互獨(dú)立事件D.4與4為互斥事件

5.夾彈珠游戲是兒童特別喜歡的游戲，夾彈珠能有效提高參與者的注意力與協(xié)調(diào)性,

調(diào)整邏輯思維判斷和空間控制平衡能力，鍛煉小肌肉，增強(qiáng)手眼協(xié)調(diào)，培養(yǎng)敏捷的反應(yīng)能力，

從而提高參與者的適應(yīng)能力，如圖，三個(gè)半徑都是小cm的玻璃彈珠放在一個(gè)半球面形狀

的容器(不計(jì)厚度)中，每顆彈珠的頂端恰好與容器的上沿處于同一水平面，則這個(gè)容器的表

面積(包括容器的內(nèi)部和外部?jī)刹糠?是()

A.(5+-721)ncm2B.2(5+y/21)ncm2

C.4(5+01)ncm2D.8(5+y/21)7tcm2

6.設(shè)數(shù)列｛斯｝滿足1ga”+i=l+lgan>且「21+022+023+024+025=1%■，則。1+。2+的

+。4+〃5=()

A.1B.V10C.10D.100

7.已知函數(shù)八x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意xeR,有/(x)—加>0,則“x<2”是“eg+l)>e%；2x

-3)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

8.已知離心率為2的雙曲線C：，一$=l(a>0,。>0)與拋物線E：V=2px(/?>0)有相

同的焦點(diǎn)尸，過(guò)尸的直線與C的右支相交于A,B兩點(diǎn)?過(guò)E上的一點(diǎn)M作其準(zhǔn)線I的垂線，

垂足為N,若MN=3。用。為坐標(biāo)原點(diǎn))，且△〃、下的面積為12小.則為C的左焦

點(diǎn))內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為()_

A.1B.乎C.乎D.1

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知圓Ci：/+^=1,圓C2：(無(wú)一3)2+。+4)2=/(r>0),P,。分別是圓Ci與圓C2

上的動(dòng)點(diǎn)，則()

1

A.若圓Ci與圓C2無(wú)公共點(diǎn)，則0<r<4

B.當(dāng)r=5時(shí)，兩圓公共弦所在直線方程為6尤一8y—1=0

C.當(dāng)r=2時(shí)，PQ的取值范圍是[2,8]

D.當(dāng)r=3時(shí)，過(guò)點(diǎn)尸作圓C2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則不可能等于1

12—3

10.設(shè)A,5是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且P(A)=],P(B)=],尸(A+B)=^，

則()

—1---------1

A.P(AB)=五B.尸(AB)=§

——1—3

C.P(B|A)=gD.P(A|B)=w

11.已知正四面體048。的棱長(zhǎng)為3,則下列說(shuō)法正確的是()

A.平面04B與平面ABC夾角的余弦值為g

3

B.若點(diǎn)尸滿足而^xOA+yOB+(l~X-y)OC,則|而|的最小值為#_

C.在正四面體OA8C內(nèi)部有一個(gè)可任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正四面體，則它的體積可能為*

D.點(diǎn)。在△ABC內(nèi)，且Q0=2QA,則點(diǎn)Q軌跡的長(zhǎng)度為^^兀

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(2/+尤―的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

13.某市統(tǒng)計(jì)高中學(xué)生身體素質(zhì)的狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標(biāo)值不小于60就認(rèn)為身體素質(zhì)

100

合格.現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值為0=1,2,3,100),經(jīng)計(jì)算著

方=7200,右？=100X(722+36).若該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值服從正態(tài)分布NQi,6),

則估計(jì)該市高中生身體素質(zhì)的合格率為.(用百分?jǐn)?shù)作答，精確到0.1%)

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(R?2),則P(N—◎WXW(1+0)心O.6827,P(^i

—2QWXW「I+20)-O.9545,P?i—3c〈XW「i+30)勺0.9973.

14.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別由a,b,c,若a=2,c=3,cosB=bcosC,

P,Q分別在邊AB和CB上，且PQ把AABC的面積分成相等的兩部分，則PQ的最小值為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答過(guò)程寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或者演算過(guò)

程.

15.(本小題滿分13分)

某設(shè)備由相互獨(dú)立的甲、乙兩個(gè)部件組成，若兩個(gè)部件同時(shí)出現(xiàn)故障，則設(shè)備停止運(yùn)轉(zhuǎn)；

若有且只有一個(gè)部件出現(xiàn)故障，則設(shè)備出現(xiàn)異常，在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，甲部件出現(xiàn)故障的概

率為卷，乙部件出現(xiàn)故障的概率為:，甲部件出現(xiàn)故障，檢修費(fèi)用為3千元；乙部件出現(xiàn)故

障，檢修費(fèi)用為2千元，在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，甲、乙兩個(gè)部件至多各出現(xiàn)一次故障.

(1)試估算一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的平均檢修費(fèi)用；

(2)求在設(shè)備出現(xiàn)異常的情況下，甲部件出現(xiàn)故障的概率.

2

16.(本小題滿分15分)

已知等差數(shù)列a｝和等差數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn,ai=l,祟=-^7.

1nHi1

(1)求數(shù)列｛an｝和數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式；

1?

(2)若Cn=(—2)bn—+—),nGN*,求數(shù)列｛金｝的前〃項(xiàng)和

anan+i

17.(本小題滿分15分)

在五棱錐PABCFE中，AB//CF,AE//BC,PELPF,AB±BC,PE=PF=AE=2,FC

=BC=4,AB=6,平面尸EF_L平面ABCFE.

(1)求證：PEVBF-,

(2)若前=XPB(A>0),且直線AM與平面PCP所成角的正弦值為今耍，求力的值.

3

18.(本小題滿分17分)

工2，1….

已知橢圓C：?+京=1(°>6>0)的離心率為5,A,B,。分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)和

坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上異于A,B的一動(dòng)點(diǎn)，△B4B面積的最大值為25.

(1)求C的方程.

(2)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)廠的直線/與C交于。，E兩點(diǎn)，記△OOE的面積為S,過(guò)線段

DE的中點(diǎn)G作直線x=4的垂線，垂足為N,設(shè)直線ON,EN的斜率分別為眉，k2.

①求S的取值范圍；

q

②求證：為定值.

\k\-ko\

4

19.(本小題滿分17分)

若X=7"時(shí)，函數(shù)式尤)取得極大值或極小值，則稱7%為函數(shù)/(X)的極值點(diǎn)，已知函數(shù)式尤)

9

=lnx+3二,g(x)=y[ax,其中〃為正實(shí)數(shù)?

(1)若函數(shù)八%)有極值點(diǎn)，求”的取值范圍；

(2)當(dāng)%2和的幾何平均數(shù)為Y&Xl，算術(shù)平均數(shù)為紅受■.

①試判斷|初一：與X2和?的幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的大小關(guān)系，并加以證明；

InX2-Inx\

②當(dāng)。21時(shí)，求證：危)Wg(%).

5

2023?2024學(xué)年高三第二學(xué)期學(xué)情調(diào)研考試（二十二）（如皋1.5模）

數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1.C2.C3.A4.B5.D6.B7.A8.D9.BC10.ACD11.ABC

12.8013.97.7%14.小

15.解:(1)設(shè)費(fèi)用為匕Y的分布列如下：

Y5320

—1—34—12

20202020

氏/）=二+2+&=@=n（5分）

,⑴20十20十202010刀）

答：一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的平均檢修費(fèi)用為1.1千元.（6分）

13417

（2）記出現(xiàn)異常情況為事件則P（M）4+9義彳分)

20，(9

133

此時(shí)甲出現(xiàn)故障，乙不出現(xiàn)故障為事件N,則P（N）=^⑴分)

20'

3

?203

故尸(N]M)=萬(wàn)=].(12分)

20

3

答：在異常情況下，甲出現(xiàn)故障的概率為反.（13分）

16.解：（1）（解法1）設(shè)｛飆｝的公差為4，｛與｝的公差為小

令〃=1,則言=1，:〃1=1，;?%=1;

2+di4

令〃=2,則:①;

2+〃23

1+Ji3

令〃=3,則

1+〃22

di=2,

由①②得

6?2=1，

??2〃1,bn~~n.(6,分)

(解法2)設(shè)｛斯｝的公差為義,｛兒｝的公差為4.

令〃=1,則胃=1,V<71=1,，"=1,

n(n—1)

n

二2小2n

則一化簡(jiǎn)得41層+2〃+2—"1=2必層+（4—2刈）小

n(n-1)〃+1'

2擊

d\—2d2，

di=2,

故X2=4—24，所以???斯=2〃11,瓦=〃.(6分)

&=1，

、2—"i=0,

12(-2)E(-2)〃

（2）金=（一2）〃一十，(12分)

2n-12〃+12n+1'

一2一24(—2)“r_(—2)n(—2)n

???尸產(chǎn)（—亍)+(亍一弓)+...+】~]=1—2〃+[”5分)

12n~12〃+1

6n-1*r?

注：若本題第二問(wèn)給出G尸大;(-2)d—1("GN),則

2(2n—1)+(2n+1)2〃2G

Cn=(-2)］，

~⑵一1)⑵+1)~"=(—D"[(2〃+1)(2〃-1)

6

2i222?3222〃2〃-1

p“=q+T)-(J+3)+(7+y)i"(T)”F⑵+1)+⑵—i)]=I+(T)”

2?+l-

17.（1）證明：如圖，在平面ABCFE內(nèi)，過(guò)點(diǎn)F作FGLAB于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)E作EQLFG

于點(diǎn)Q,

EF=2吸,又：ABLBC,AE//BC,：.AE1.AB.

在RtZVBAE中，AB=6,AE=2,；.BE=2y[Td,

又：AB1BCS.CF//AB,：.BCLFC.

在RtZVBCP中，BC=CF=4,；.BF=4P,

又BF-+EF2=BE2,；.BFLEF.

,/平面平面ABCFE,PEFHABCFE=EF,BFc^2?ABCFE,：.BFL

平面PEF,

又PEu平面PEF,：.BF±PE.(5分)

(2)解：如圖，過(guò)尸在平面尸E尸內(nèi)作FALLER垂足為F,以匠，F(xiàn)B,所為正交基

底建系，

則尸陋，0,也)，2(0,4小,0),PB=(一啦，4小,一地),

又蘇1=通,/.PM=(一嫄九4正九一也%),/.M(V2(1-A),4^2%,^2(1

T)),

又A（3取，/，0）,AM=（-2^2—也九4^2X~y[2,巾（1一勾）.（7分）

設(shè)平面尸CE的法向量為〃=（x,y,z）,

又C(-2^2,2巾,0),FC=(一2吸，2吸，0),FT=(也，0,陋),

(y[2x+y[2z=0,|y=x,

\—2y[2x-\-2\[2y=0,1%=-z,

令z=—l,則％=y=l,「?〃=(1,1,—1),(12分)

即噌_______|————丸————yfl(1——2)|________

小N(一2/一/％)2+(4業(yè)一也)2+陋(1—2)F

即25_L4/+4業(yè)|

[5y[^2(22+42+4+16^2——871+1+/12——27+1)

紅叵4^212-11

15y[3y)2(1822—62+6)

整理得3*—4+1=5儼-104+5,即(22—1)("4)=0,工4=,或;1=4.(15分)

r

c=l

a~T

cccf〃2=4,y

18.解：(1)由〈次=廿+〃，.????.c的方程為工

S=3,4

SAR48max=^X2〃X力=就=2小，

7

+5=1.(5分)

(2)①SAODE=3*0FX加一溺.

[x=my+l,

設(shè)I：x=my+1聯(lián)立得一(3m2+4)V+6my—9=0,

f〔3/+4戶12

SO,

?~6m

<處+k^T?

一9

〔叩k就斗？

~6m_96

2，（8分）

3m2+43m2+4]

9(蘇+1)

個(gè)m2+l

令/=療+1,則力21,令力(￡)=%+:+6,〃(。=9-">0,

3

???力⑺為增函數(shù)，???/i?)216,I.OVSW].(10分)

②設(shè)。(Xi，yi),E(X2,y2),則N(4,哼2)

s=2\yi-y2\>

yi+yi_y+”_――yi」——

2—%2―"22>2—yi11

一丁丁尸E-KI=I2E+鼻I，

=---------1---------=------------------>----------------,(14分)

肉―fol?1+1?6—m(乃+小)

4-為4~X2(3~myi)(3~my2)

八c/IxI?9-3mX2_L/I+^2XO214

S_913加(yi+竺)+Myiy2____________3稼+43稼+4

6~m(yi+v2)''

\ki-k2\1_6m'

6—mX.

3m2+4

27川+36+18加2—9/36(祖2+i)3八

=|24m2+24尸24(加+1)=207分)

19.(1)解：/(x)=F2f+2(4-1)x+〃2

(X+Q)2x(x+〃)2

???/(%)有極值點(diǎn)，???f+2(〃一l)x+〃2=0在(0,+8)內(nèi)有變號(hào)零點(diǎn).

令h(x)=^+2(a—l)x+a2,

a>0,

*.*/z(0)=〃2>0,/.<x=-〃+1>0,0<a<^.(5分)

J=4(〃-1)2—4/>0,

—eI----X2-XlX2+X1

(2)①斛：y[wc2<inx2—ln為<2，

也一1

X1

下證：要證：y[x2x[~F-，即證：'憐<r,

Ylnx2—InxiY%i[>2

vIn-

XI

令片器'則介L(zhǎng)即證：In￡<3一去,即證：Inf—3+今V。,

8

令"It+京，叭7—立一翥~

夕⑺在（1,+8）上單調(diào)遞減，夕⑺〈磯1）=0,In+~F<0恒成立.

即炳叫.(8分)

——1

由、T尤2-Xlx+xi口門、十）2一乃,1

要證ini為<2三即證2.+欠<lnX2-lnx\,即證2------<ln~,

及+]x\

xi

令片竟,>1,即證：鋁<lnt,即證：2—&<lnr，即證：In,+W—2>0,

..414(Ll)

令機(jī)⑺=ln/+7Tl—2,加⑺=7—。+1)2=/(葉1)2>°，

4

???小⑺單調(diào)遞增，m(0>m(l)=0,??.ln/+n—2>0恒成立,

???產(chǎn)”〈審.(11分)

InX2-Inx\2

22

②證明：(證法Inx+^+q^y[ax,