甘肅省隴南市2024年高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含解析

甘肅省隴南市2024年高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。

4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

22

I.設(shè)片，工分別為雙曲線二—與=1">0,*>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)片作圓，+的切線與雙曲線的左

ab

支交于點(diǎn)P,若pE|=2|s|,則雙曲線的離心率為（）

A.V2B.73C.75D.76

2.已知函數(shù)〃x）=2sin（公v+0）-l（<y>0,。<。<萬(wàn)）的一個(gè)零點(diǎn)是（，函數(shù)丁=/（%）圖象的一條對(duì)稱軸是

TT

直線x=-生，則當(dāng)。取得最小值時(shí),函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

6

-,7C..7C3k*,3嶗

A.3k兀-----,3k兀----（左wZ）B.（左eZ）

36

2〃71

C.2k兀-----,2k兀----（左￡Z）D.2k兀,2k兀（左wZ）

3636

2x+1尤V0

3.已知函數(shù)/Xx）=??'，則方程/■[/（切=3的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（）

inx\,x>u

A.6B.3C.4D.5

4.已知全集0=1<,集合A={x|x<l},B={x|-1<%<2},貝！|（+A）B=（）

A.1x|l<x<2jB.{x|l<%<2}C.{x|-l<x<1}D.-1}

5.設(shè)集合M={x[l<x<2},N={x|x<a},若McN=M,則。的取值范圍是（）

A.（-<x>,l）B.（-co,l]C.（2,+oo）D.[2,+oo）

6.復(fù)數(shù)z的共輯復(fù)數(shù)記作1已知復(fù)數(shù)Z1對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)復(fù)數(shù)Z2：滿足2.則內(nèi)等于（）

A.72B.2C.710D.10

7.對(duì)于定義在R上的函數(shù)y=/（九），若下列說(shuō)法中有且僅有一個(gè)是錯(cuò)誤的，則鐐誤的一個(gè)是（）

A./（%）在（口,0］上是減函數(shù)B./（%）在（0,+。）上是增函數(shù)

C./（可不是函數(shù)的最小值D.對(duì)于xeR,都有/（x+l）=/（l—x）

8.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為（必+產(chǎn)丫=/丁給出下

列四個(gè)結(jié)論：

①曲線。有四條對(duì)稱軸；

②曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為上；

4

③曲線c第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為:；

④四葉草面積小于一.

4

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

*y

A.①②B.①③C.①③④D.①②④

9.正項(xiàng)等比數(shù)列｛。"｝中，+2%%+。5a9=16,且％與厚的等差中項(xiàng)為%則｛4｝的公比是（）

A.1B.2C.—D.J2

2

0］（〃€、）的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為（）

10.使得3x+—-

A.4B.5C.6D.7

11.“幻方”最早記載于我國(guó)公元前500年的春秋時(shí)期《大戴禮》中.“〃階幻方（“23,是由前“2個(gè)正整數(shù)組

成的一個(gè)〃階方陣，其各行各列及兩條對(duì)角線所含的幾個(gè)數(shù)之和（簡(jiǎn)稱幻和）相等，例如“3階幻方”的幻和為15（如

圖所示）.則“5階幻方”的幻和為（）

EN□

□H

H□□

A.75B.65C.55D.45

■rr11

12.已知AABC為等腰直角三角形，A=-,BC=2y/2>〃為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且。/=^底+]。4,

則地.跖4=（）

「751

A.2,2—4B.------C.------D.------

、222

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.四面體A—BCD中，底面BCD,AB=BD=?,CB=CD=1,則四面體A—BCD的外接球的表面積為

2

14.兩光滑的曲線相切，那么它們?cè)诠颤c(diǎn)處的切線方向相同.如圖所示，一列圓Cn.x+（y-a）=二（a?>0,r?>0,

2

n=lf2…）逐個(gè)外切，且均與曲線產(chǎn)X相切，若n=1,貝!JQ尸__,rn=

Xy

15.已知正實(shí)數(shù)羽y滿足移=1,貝!J（一+，）（」+X）的最小值為_(kāi)__.

yx

16.在正奇數(shù)非減數(shù)列｛1,3,3,3,5,5,5,5,5,…｝中，每個(gè)正奇數(shù)上出現(xiàn)左次.已知存在整數(shù)b、c、d,對(duì)所有的整數(shù)九

滿足an=b[6工卜d,其中國(guó)表示不超過(guò)x的最大整數(shù).則b+c+d等于.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）已知數(shù)歹U｛aJ滿足q=l,4什1=11+N*.

(I)證明：當(dāng)"22時(shí)，an>2(nGN

111cl

（H）證明：?,1=—?1+—+-（,1、舊“+2_R“GN*）;

1+1-22-3+2

43r-

（印）證明：/（瓦五-l,e為自然常數(shù).

18.（12分）在如圖所示的幾何體中，面C0E尸為正方形，平面A8C。為等腰梯形，AB/ICD,AB^2BC,點(diǎn)。為AE

的中點(diǎn).

（1）求證：AC//平面。。廠；

（2）若NA3C=60。，AC±FB,求3c與平面O0歹所成角的正弦值.

19.（12分）在直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)P（l,o）,若以線段PQ為直徑的圓與y軸相切.

（1）求點(diǎn)Q的軌跡。的方程；

⑵若。上存在兩動(dòng)點(diǎn)4B（A,3在X軸異側(cè)）滿足0408=32,且△蟲(chóng)的周長(zhǎng)為21ABl+2,求的值.

20.（12分）設(shè)函數(shù)/（x）=；x+l+|x-l|（XGR）的最小值為機(jī).

（1）求加的值；

（2）若“，b,c為正實(shí)數(shù)，且一:+'+'=2,證明：^+^+￡>1.

ma2mb3mc3993

21.（12分）某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計(jì)劃，需了解年研發(fā)資金投入量二（單位：億元）對(duì)年銷售額二（單

位:億元）的影響.該公司對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型:①---_-②-一一一，其中--------

均為常數(shù)，d為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

年箱售顛/億元

80

75?

70

65*

60?

—:................................X

On1015202530年研發(fā)資金/億元

現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額一的數(shù)據(jù)，一，并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理,

得到了右側(cè)的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.令二_=二"匚、=.-1=;;二，經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：

12

—y(C--二-—

n1一?

一，二■」

66■V460

￡(匚工-1)(1T-:)

Sq二J-Ir/(0-:?

J-

J二?1-三二?」

27JN0308

(1)設(shè)和:-的相關(guān)系數(shù)為-和一一的相關(guān)系數(shù)為-,請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個(gè)擬合程度更好的

模型；

(2)(i)根據(jù)(1)的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立二關(guān)于二的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)；

(ii)若下一年銷售額需達(dá)到90億元，預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量是多少億元？

附：①相關(guān)系數(shù)「二，回歸直線一中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

，一1%-

——1

，GILS*/(Da-S*

②參考數(shù)據(jù)：.,；；=…一一，、募.

22.(10分)如圖，在三棱柱ABC—AgG中，已知四邊形A&GC為矩形，44=6,AB=AC=4,

ZBAC=ZBAA[=60°,/4AC的角平分線A。交CQ于。.

(1)求證:平面平面MGC；

(2)求二面角A-4G-A的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

設(shè)過(guò)點(diǎn)《作圓￡+丫2=〃的切線的切點(diǎn)為丁，根據(jù)切線的性質(zhì)可得OT，3，且|OT|二a,再由戶閭=2|尸制和

雙曲線的定義可得IP耳l=2a,|Pg|=4a,得出T為耳P中點(diǎn)，則有。77/尸耳，得到即可求解.

【詳解】

設(shè)過(guò)點(diǎn)及作圓f+產(chǎn)=/的切線的切點(diǎn)為T(mén),

OT|=J|O與J―甘=a

冏|=2閥熙卜閥「力熙|=甸叫=2°,

所以T是耳P中點(diǎn)，，。7〃尸乙.1.尸耳，尸鳥(niǎo),

2

PF^+\PF21=20a2=1FR|=4r,

二=5,:.e=小?

a

故選:c.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì)，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.

2、B

【解析】

根據(jù)函數(shù)/（%）的一個(gè)零點(diǎn)是x=f,得出=再根據(jù)x=—￡是對(duì)稱軸，得出一fo—°=g+kez,

313J662

求出W的最小值與對(duì)應(yīng)的9,寫(xiě)出/（%）即可求出其單調(diào)增區(qū)間.

【詳解】

￡

依題意得，/?=2sin?+,-1=0,即sin——十(p

I372

RF/口TC(x)-7TC_TCG)-7t.ij

解得---卜(p=2k[7i—或----卜cp=2k?兀-----(其中％1,&￡Z).①

3636

又sin------+0=±1,

I6)

即—等+0=《%+1（其中左3CZ）.②

由①—②得曹=（2%一%3）萬(wàn)一（或曹=（2左2+y?

2?2

即G=2（2左］—左3）—飛或@=2（2左2—左3）+3（其中左1，女2，左3WZ）,因此0的最小值為

一,?(兀3/

冗|jr71JT71

因?yàn)閟in-------F(p=sin---+(p=±1,所以——*(p=—*k兀(^eZ).

\69J9922

/

7T7T27171271

又。＜0〈%，所以0=3+.,所以/(x)=2sin—x+—+—|-l=2cos—x+—|-1,

32939

27T57c7T

令2k兀一兀G—x'——<2k?i(A:GZ),則3左1------<x<3kjc-----(kEZ).

3936

57r

因此，當(dāng)。取得最小值時(shí)，/（九）的單調(diào)遞增區(qū)間是3k7T--,3k7V--(左￡Z).

36

故選:B

【點(diǎn)睛】

此題考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱點(diǎn)，在對(duì)稱軸處取得最值，對(duì)稱點(diǎn)處函數(shù)值為零，屬于較易題目.

3、D

【解析】

2x+l,xK0rir、r、

畫(huà)出函數(shù)/"(x)=|lnx|x〉0，將方程/[/(切=3看作f=/(x)，/?)=3交點(diǎn)個(gè)數(shù)，運(yùn)用圖象判斷根的個(gè)數(shù).

【詳解】

2x+1,x<0

畫(huà)出函數(shù)/(%)=<

|lnx|,x>0

令『=/(￡),.?./(。=3有兩解%?0,1)山?1,+8)，則彳=/(%)"(%)=/2分別有3個(gè)，2個(gè)解，故方程

/[/(x)]=3的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是3+2=5個(gè)

本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運(yùn)用，分類思想的運(yùn)用，數(shù)學(xué)結(jié)合的思想判斷方程的根，難度較大，屬于中檔題.

4、B

【解析】

直接利用集合的基本運(yùn)算求解即可.

【詳解】

解：全集U=R,集合A={M尤<1},B={x\-l<x<2],

=x>1)

則&A)8={x|x國(guó)}{x\-l諼2}={x|lx?2},

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

由McN=〃得出M0N,利用集合的包含關(guān)系可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

M={x|l<x<21,N={x|x<a}且AfcN=M,:.a>2.

因此，實(shí)數(shù)。的取值范圍是（2,”）.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6,A

【解析】

__2

根據(jù)復(fù)數(shù)Z1的幾何意義得出復(fù)數(shù)Z1,進(jìn)而得出Zj,由Z1/2=-2得出Z2=-=可計(jì)算出Z2,由此可計(jì)算出"卜

【詳解】

由于復(fù)數(shù)4對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)（―1,—1）,.?"]=-l—i,則）=—1+3

:44=-2,二2=/=口=（-）（1+y1+，，因此，上|=^/^=萬(wàn)

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考查了復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、共朝復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的除法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性和單調(diào)性的關(guān)系，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

由/（x+1）=/（I—x）得/（X）關(guān)于X=1對(duì)稱，

若關(guān)于x=1對(duì)稱，則函數(shù)/（尤）在（0,+8）上不可能是單調(diào)的，

故錯(cuò)誤的可能是3或者是。，

若。錯(cuò)誤，

則/（X）在（F,0]上是減函數(shù)，在/（X）在（0,+8）上是增函數(shù)，則/'（0）為函數(shù)的最小值，與C矛盾，此時(shí)。也錯(cuò)誤,

不滿足條件.

故錯(cuò)誤的是3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，結(jié)合對(duì)稱性和單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

8、C

【解析】

①利用尤,y之間的代換判斷出對(duì)稱軸的條數(shù)；②利用基本不等式求解出到原點(diǎn)的距離最大值；③將面積轉(zhuǎn)化為尤,y的

關(guān)系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；④根據(jù)九,y滿足的不等式判斷出四葉草與對(duì)應(yīng)圓的關(guān)系，從而判斷出面

1T

積是否小于一.

4

【詳解】

①：當(dāng)X變?yōu)閞時(shí)，(爐+丁)3=尤2,2不變，所以四葉草圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

當(dāng)y變?yōu)?y時(shí)，(/+＞2)3=/};2不變，所以四葉草圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；

當(dāng)y變?yōu)閄時(shí)，(x2+y2)3=x2y2不變，所以四葉草圖象關(guān)于y=x軸對(duì)稱；

當(dāng)y變?yōu)?X時(shí)，(f+y2)3=x2y2不變，所以四葉草圖象關(guān)于y=-x軸對(duì)稱；

綜上可知：有四條對(duì)稱軸，故正確；

/22、2

②：因?yàn)?%2+y2)3=兀2,2,所以(必+丁2V*十,,

I2J

所以爐+丁〈工，所以＞取等號(hào)時(shí)12=y2=L

428

所以最大距離為二,故錯(cuò)誤；

2

③：設(shè)任意一點(diǎn)P(x,y),所以圍成的矩形面積為孫，

因?yàn)?必+力'3=公產(chǎn),所以％2,2=(%2+,2)3之(2孫)3,所以孫^,

取等號(hào)時(shí)x=y=注，所以圍成矩形面積的最大值為-，故正確；

-48

④：由②可知好+?。?,所以四葉草包含在圓必+9=工的內(nèi)部，

44

141T

因?yàn)閳A的面積為：S=/：=T，所以四葉草的面積小于一，故正確.

444

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查曲線與方程的綜合運(yùn)用，其中涉及到曲線的對(duì)稱性分析以及基本不等式的運(yùn)用，難度較難.分析方程所表示曲

線的對(duì)稱性，可通過(guò)替換方程中％。去分析證明.

9、D

【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為q,q>0,運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得公比q.

【詳解】

由題意，正項(xiàng)等比數(shù)列｛aj中，a1a5+2a3a7+a5a9=16,

可得a；+2a3a7+a申=(a.^+a?)~=16,即+a7=4,

與ag的等差中項(xiàng)為4,即a§+a9=8,

設(shè)公比為q,貝！Jq2(a3+a7)=4q2=8,

則q=JI(負(fù)的舍去)，

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列通項(xiàng)公式，合理利用等

比數(shù)列的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

135

二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為C(3x)"-'(')「，若展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)，則〃-廠-7廠=0,解得“二^廠，當(dāng)r取2時(shí)，n

xyjx22

的最小值為5,故選B

【考點(diǎn)定位】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.

11、B

【解析】

計(jì)算1+2++25的和，然后除以5,得到“5階幻方”的幻和.

【詳解】

1+25

依題意“5階幻方”的幻和為1+2++25X'〉故選B.

----------=---------=OJ

55

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查合情推理與演繹推理，考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.

12、D

【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標(biāo)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可求得點(diǎn)"的坐標(biāo)，進(jìn)而求得MB,由平面向

量的數(shù)量積可得答案.

【詳解】

如圖建系，則4（0,0）,B（2,0）,C（0,2）,

IV

\、由+易得貝皿.^4m.-]=一；

，，、r4/L）、乙乙）、乙乙）乙

AB

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量基本定理的運(yùn)用、數(shù)量積的運(yùn)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)

算求解能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、4〃

【解析】

由題意畫(huà)出圖形，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，求其對(duì)角線長(zhǎng)，可得四面體外接球的半徑，則表面積可求.

【詳解】

解：如圖，在四面體A—BCD中，AB,底面5C。，AB=BD=亞，CB=CD=1,

可得N3CD=90°,補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，則過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為1,1,J5,

則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為+F+@）2=2,則三棱錐A-BCD的外接球的半徑為1.

其表面積為4萬(wàn)xF=4萬(wàn).

故答案為：4萬(wàn).

【點(diǎn)睛】

本題考查多面體外接球表面積的求法，補(bǔ)形是關(guān)鍵，屬于中檔題.

5

14、-n

4

【解析】

第一空：將圓G：V+(y—q)2=l與y=Y聯(lián)立，利用A=0計(jì)算即可；

第二空：找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系q=4T+*+小再將Cj尤?+(y—4)2=公與丁=必聯(lián)立，得到

,1

%=〃+%，與4=4-1+G-i+5結(jié)合可得G為等差數(shù)列，進(jìn)而可得明

【詳解】

當(dāng)n=l時(shí)，圓G:%2+(y-q)2=],

與y=x?聯(lián)立消去V得V—(24—12+4—1=0,

則A=(2a]_l)2_4(q2_i)=0,解得％二:;

由圖可知當(dāng)“22時(shí)，/=*+*+。①,

將C,,：9+(y—4丫=二與y=必聯(lián)立消去y得

y2_(2%_l)y+a“2F2=0,

則A=(2%—Ip—4(%2—眉=0,

整理得an=狀+；,代入①得Y+；=乙:+；+*+rn,

整理得G-*=1,

貝[=(+(〃T)=〃.

故答案為：—；〃.

4

【點(diǎn)睛】

本題是拋物線與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題，關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系，建立遞推式，由遞推式求通項(xiàng)公式，綜合

性較強(qiáng)，是一道難度較大的題目.

15、4

【解析】

由題意結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)和均值不等式的結(jié)論整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

【詳解】

Z\/\2233

-+y-+x=1+—+^+xy=2+A+y^2+x3+y3>2+2jx3y3=4.

（y八x）yxxyv-

當(dāng)且僅當(dāng)X=y=l時(shí)等號(hào)成立.

/V、

據(jù)此可知：一+yx的最小值為4.

㈠）

【點(diǎn)睛】

條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)

的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值.

16、2

【解析】

將已知數(shù)列分組為（1）,（3,3,3）,（5,5,5,5,5）,…，（2左一1,2左一1,…,2左一1）,

共2左-1個(gè)組.

設(shè)4在第左組，an=2k-T,

則有1+3+5+…+2左一3+lW〃<l+3+5+…+2左一1+1,

即（左一

注意到左>0,解得冊(cè)=T（左<+

所以，k=1+1]=[j”-1]+1.

因此，%=21&-1]+1.

故Z?+c+d=2+（-l）+l=2.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、（I）見(jiàn)解析（II）見(jiàn)解析（III）見(jiàn)解析

【解析】

（1）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得到結(jié)果

fr，1+1

（2）化簡(jiǎn)an+l=tan+—,運(yùn)用累加法得出結(jié)果

n+n2n

（3）運(yùn)用放縮法和累加法進(jìn)行求證

【詳解】

(I)數(shù)學(xué)歸納法證明“時(shí)，人」3

_31

①當(dāng)二時(shí)，生=—<1]+—=222成立;

22

②當(dāng)…:時(shí)，假設(shè)入22成立，則"=Jt+1時(shí)

k2+k+\11121、

做“=FT%+于=&+??/+產(chǎn)2+山+>>2

所以與=±+1時(shí)，%|>2成立

綜上①②可知，券之心時(shí)，a,>2

(II)由a.“=/：”+1%11.1

+-r=&+---------a?+-r

n+N2""m+廣2"

11

a.=--------a.+-

?(?+!)2*

11

所以與一勺二運(yùn)q+g；53^+7?

11

…=耘％+>

有1I1.11

故％”-%=—^+―a++--------+-r?-r-+…+---，又.=1

2?(?+!)2122,

19。-臺(tái)

所以=---al+----@2++--------a,+1+------r―

z12^232?(?+!)]_1

11

二---必4------a,+,,+---&+2——

121232?(?+!)'2"

，E、.+?+1八&+1/

?.+立不丁z&+"k("'笏

一+1一.1.1一，+”,11、1.1

=7^^+可+方=歷。'皿|+77；+源)<可+萍

,

ln(altl+l)-ln(a,+1)</二+pn

由累加法得：ln(a,+l)-ln(aj+l)<-+-<-

382

所以In”?

<5=%+i<@+i)W=記G故a,《竺8-i

dtj+1

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)列的綜合，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的成立，結(jié)合已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)求出化簡(jiǎn)后的結(jié)果，利用放縮法

求出不等式，然后兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)再進(jìn)行證明，本題較為困難。

18、(1)見(jiàn)解析(2)正

5

【解析】

(1)連接CE交。支于點(diǎn)"，連接QM,通過(guò)證明QM//AC,證得AC//平面PQE

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面。的法向量，計(jì)算出線面角的正弦值.

【詳解】

(D證明：連接CE交。歹于點(diǎn)連接因?yàn)樗倪呅蜟DE戶為正方形，所以點(diǎn)以為CE的中點(diǎn)，又因?yàn)?。?/p>

AE的中點(diǎn)，所以QM//AC；

QM<=平面DQF,AC<Z平面DQF,

,AC//平面。QB.

(2)解：AB=2BC,設(shè)3C=1,則AB=2,在ABC中，ZABC=6Q>，由余弦定理得:

AC2-22+l2-2x2xlxcos60°=3，

AC2+BC2AB2,:.AC1BC.

CD±FC,FC±平面ABCD.

如圖建立的空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

在等腰梯形A3CD中，可得CD=CB=1.

1/QQ

,--,0),E(0,0,1),5(三,-,0),C(0,l,0),F(0,l,l)則

?

那么BC=，-5,0),DQ=弓=?Li)

設(shè)平面DQF的法向量為〃=(x,y,z)，

n-DQ=0x——y+—z=0.<—

則有，即44-2，取y=i,得〃=(逐,1,—1).

n-DF=0八

設(shè)BC與平面DQF所成的角為。，貝!J|sin6=|cos<CB,n>|=—~工=—

|CB|.|n|5

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查線面平行的證明，考查線面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

19、(1)y2=4x；(2)|AB|=48

【解析】

(D設(shè)Q(x,y),則由題設(shè)條件可得J(x_i『+y2=2x浮,化簡(jiǎn)后可得軌跡。的方程.

(2)設(shè)直線A5:x=my+”,聯(lián)立直線方程和拋物線方程后利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)。4.03=32并求得〃=8,結(jié)合焦半徑

公式及弦長(zhǎng)公式可求加的值及|A目的長(zhǎng).

【詳解】

(%+]

(1)設(shè)Q(x,y),則圓心的坐標(biāo)為不

因?yàn)橐跃€段PQ為直徑的圓與y軸相切,

所以J(xTy+y2=2x,

化簡(jiǎn)得。的方程為V=4x.

(2)由題意心B#0,設(shè)直線AB:x=my+n,

聯(lián)立y2=4x得y2__4/2=0,

設(shè)A(x，yJ,B(x2,y2)(其中%%<0)

所以％+%=4根，%?%=-4〃，且〃>0，

22

因?yàn)?A,OB=32，所以O(shè)A-OB=石々+%為=■'1'_+%%=32>

16

“2_4〃=32,所以(〃-8)(〃+4)=0,故〃=8或〃(舍)，

直線AB:x=my+8,

因?yàn)锳B46的周長(zhǎng)為21A到+2

所以|上4|+阿|+|AB|=2\AB\+2.

^\PA\+\PB\=\AB\+2,

因?yàn)?=芯+x2+2=〃2(%+%)+18=4"，+18.

又|AB|=Jl+m21-%I=yjl+m~-J(4間2+128=45(1+疝)(8+療),

所以4機(jī)?+]8=4J(l+m2)(8+m2)+2,

解得m=±2^/2>

所以J=4^(l+m2)(8+m2)=4^(1+8)(8+8)=48.

【點(diǎn)睛】

本題考查曲線方程以及拋物線中的弦長(zhǎng)計(jì)算，還涉及到向量的數(shù)量積.一般地，拋物線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般可通過(guò)聯(lián)立

方程組并消元得到關(guān)于x或V的一元二次方程，再把已知等式化為關(guān)于兩個(gè)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系

中含有王々,為+々或%%，%+%，最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為某一個(gè)變量的方程.本題屬于中檔題.

3

20、(1)m=-(2)證明見(jiàn)解析

2

【解析】

(1)分類討論，去絕對(duì)值求出函數(shù)/(%)的解析式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，得出了(X)的單調(diào)性，得出/■(%)取最小值,

即可求力7的值；

(2)由(1)得出工+工+,=1,利用“乘1法”，令a+26+3c=(a+26+3c)H+3+3],化簡(jiǎn)后利用基本

a2b3c(a2b3c)

a2Z?c

不等式求出a+2b+3c29的最小值，即可證出一+一+上21.

993

【詳解】

—%,x?—2,

2

⑴解：f(x)=^-x+1+|x-l|=<1CC[

—x+2,—2<x<1,

2

3

—x,x>1,

2

當(dāng)xe(—s,l)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe[L+8)時(shí)，F(xiàn)W單調(diào)遞增.

3

所以當(dāng)X=1時(shí)，/(元)取最小值7"=一.

2

(2)證明：由(1)可知—I----1=1.

a2b3c

H-皿a2bc口2b3ca+2b+3c、i

要證明：一+—+->l,即證一+——+—=---------->1,

9939999

因?yàn)椤?，b,。為正實(shí)數(shù)，

所以a+2b+3c=(a+2b+3c)|—i---1|

\a2b3cJ

,aa2b2b3c3c

=3+——+—+—+—+—+——

2b3ca3ca2b

3

當(dāng)且僅當(dāng)a=26=3c,即a=3,b=—,c=l時(shí)取等號(hào)，

2

.<2lbc、,

所以一+—+->1.

993

【點(diǎn)睛】

本題考查絕對(duì)值不等式和基本不等式的應(yīng)用，還運(yùn)用“乘1法”和分類討論思想，屬于中檔題.

21、⑴模型一的擬合程度更好；(2)⑴二=姐二,(ii).；刀億元.

【解析】

(1)由相關(guān)系數(shù)求出兩個(gè)系數(shù)，比較大小可得;

(2)(i)先建立一關(guān)于二的線性回歸方程，從而得出二關(guān)于二的回歸方程;

(ii)把--?代入6)中的回歸方程可得-值.

【詳解】

本小題主要考查回歸分析等基礎(chǔ)知識(shí),考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力及應(yīng)用意識(shí)，考查統(tǒng)計(jì)與概率思

想、分類與整合思想，考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性.

解：(1),

則：-，因此從相