2025屆山東省青州市高一數(shù)學第二學期期末復習檢測模擬試題含解析

2025屆山東省青州市高一數(shù)學第二學期期末復習檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知直線是平面的斜線，則內(nèi)不存在與（

）A．相交的直線 B．平行的直線C．異面的直線 D．垂直的直線2．在中，若，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．當時，是直角三角形 B．當時，是銳角三角形C．當時，是鈍角三角形 D．當時，是鈍角三角形3．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A． B．C． D．4．在銳角中，若，，，則（）A． B． C． D．5．已知A={第一象限角}，B={銳角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C關(guān)系是()A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C6．中國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行數(shù)里，請公仔細算相還”.其意思為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”，請問從第幾天開始，走的路程少于30里（）A．3 B．4 C．5 D．67．的值是()A． B． C． D．8．若關(guān)于的方程，當時總有4個解，則可以是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)f：R+→R+滿足：對任意三個正數(shù)x，y，z，均有f（）.設(shè)a，b，c是互不相等的三個正數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若a，b，c是等差數(shù)列，則f（a），f（b），f（c）一定是等差數(shù)列B．若a，b，c是等差數(shù)列，則f（），f（），f（）一定是等差數(shù)列C．若a，b，c是等比數(shù)列，則f（a），f（b），f（c）一定是等比數(shù)列D．若a，b，c是等比數(shù)列，則f（），f（），f（）一定是等比數(shù)列10．已知函數(shù)，正實數(shù)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，且滿足，若實數(shù)是方程的一個解，那么下列四個判斷：①；②；③；④中一定不成立的是（）A．① B．②③ C．①④ D．④二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)為，的反函數(shù)，則的值域為______.12．已知直線過點，且在兩坐標軸上的截距相等，則此直線的方程為_____________.13．在銳角中，則的值等于．14．已知一組數(shù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)的方差為______.15．已知，則.16．已知向量、滿足：，，，則_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，某地三角工廠分別位于邊長為2的正方形的兩個頂點及中點處.為處理這三角工廠的污水，在該正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）與等距的點處建一個污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道，記輔設(shè)管道總長為千米.（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：（i）設(shè)，將表示成的函數(shù)；（ii）設(shè)，將表示成的函數(shù)；（2）請你選用一個函數(shù)關(guān)系，確定污水廠位置，使鋪設(shè)管道總長最短.18．數(shù)列中，，，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列.（2）若，，且，求的值.19．一個工廠在某年里連續(xù)10個月每月產(chǎn)品的總成本y（萬元）與該月產(chǎn)量x（萬件）之間有如下一組數(shù)據(jù)：x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.87y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26（1）通過畫散點圖，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）①建立月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸方程；②通過建立的y關(guān)于x的回歸方程，估計某月產(chǎn)量為1.98萬件時，此時產(chǎn)品的總成本為多少萬元？（均精確到0.001）附注：①參考數(shù)據(jù)：=14.45，=27.31，=0.850，=1.042，=1.1．②參考公式：相關(guān)系數(shù)：r=．回歸方程=x+中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：=，=-20．在平面直角坐標系中，已知圓過坐標原點且圓心在曲線上.（1）若圓分別與軸、軸交于點、（不同于原點），求證：的面積為定值；（2）設(shè)直線與圓交于不同的兩點、，且，求圓的方程；（3）設(shè)直線與（2）中所求圓交于點、，為直線上的動點，直線、與圓的另一個交點分別為、，求證：直線過定點.21．設(shè)為等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，且數(shù)列的前項和為，求證：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)平面的斜線的定義，即可作出判定，得到答案．【詳解】由題意，直線是平面的斜線，由斜線的定義可知與平面相交但不垂直的直線叫做平面的斜線，所以在平面內(nèi)肯定不存在與直線平行的直線．故答案為：B【點睛】本題主要考查了直線與平面的位置關(guān)系的判定及應用，其中解答中熟記平面斜線的定義是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解析】

由正弦定理化簡已知可得，利用余弦定理，勾股定理，三角形兩邊之和大于第三邊等知識逐一分析各個選項即可得解．【詳解】解：為非零實數(shù)），可得：，由正弦定理，可得：，對于A，時，可得：，可得，即為直角，可得是直角三角形，故正確；對于B，時，可得：，可得為最大角，由余弦定理可得，可得是銳角三角形，故正確；對于C，時，可得：，可得為最大角，由余弦定理可得，可得是鈍角三角形，故正確；對于D，時，可得：，可得，這樣的三角形不存在，故錯誤．故選：D．【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的應用，考查了分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.點睛：此題考查等比數(shù)列的實際應用，解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數(shù)列是等比數(shù)列；（2）等比中項公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.4、D【解析】

由同角三角函數(shù)關(guān)系式,先求得,再由余弦定理即可求得的值.【詳解】因為為銳角三角形,由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得又因為,由余弦定理可得代入可得所以故選:D【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式應用,余弦定理求三角形的邊,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

由集合A，B，C，求出B與C的并集，判斷A與C的包含關(guān)系，以及A，B，C三者之間的關(guān)系即可．【詳解】由題BA，∵A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即BC，則B不一定等于A∩C，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等，故選：B．【點睛】此題考查了集合間的基本關(guān)系及運算，熟練掌握象限角，銳角，以及小于90°的角表示的意義是解本題的關(guān)鍵，是易錯題6、B【解析】

由題意知，本題考查等比數(shù)列問題，此人每天的步數(shù)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，由求和公式可得首項，進而求得答案．【詳解】設(shè)第一天的步數(shù)為，依題意知此人每天的步數(shù)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，所以，解得，由，，解得,故選B．【點睛】本題主要考查學生的數(shù)學抽象和數(shù)學建模能力．7、A【解析】由于==.故選A．8、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的解析式，寫出與的解析式，再判斷對應方程在時解的個數(shù)．【詳解】對，，，；方程，當時有4個解，當時有3個解，當時有2個解，不符合；對，，，；方程，當時有2個解，當時有3個解，當時有4個解，不符合；對，，，；方程，當時有4個解，當時有3個解，當時有2個解，不符合；對，，，；方程，當時恒有4個解，符合題意．【點睛】本題考查了函數(shù)與方程的應用問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的運用，對綜合能力的要求較高．9、B【解析】

令，，，若是等差數(shù)列，計算得，進而可得結(jié)論.【詳解】由題意，，令，，，若是等差數(shù)列，則所以，即，故，，成等差數(shù)列.若是等比數(shù)列，，，與，，既不能成等差數(shù)列又不等成等比數(shù)列.故選：B.【點睛】本題考查抽象函數(shù)的解析式，等差數(shù)列的等差中項的性質(zhì)，屬于中檔題.10、D【解析】

先判斷出函數(shù)的單調(diào)性，分兩種情況討論：①；②．結(jié)合零點存在定理進行判斷．【詳解】在上單調(diào)減，值域為，又．（1）若，由知，③成立；（2）若，此時，①②③成立．綜上，一定不成立的是④，故選D．【點睛】本題考查零點存在定理的應用，考查自變量大小的比較，解題時要充分考查函數(shù)的單調(diào)性，對函數(shù)值符號不確定的，要進行分類討論，結(jié)合零點存在定理來進行判斷，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

求出原函數(shù)的值域可得出其反函數(shù)的定義域，取交集可得出函數(shù)的定義域，再由函數(shù)的單調(diào)性可求出該函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)在上為增函數(shù)，則函數(shù)的值域為，所以，函數(shù)的定義域為.函數(shù)的定義域為，由于函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性相同，可知，函數(shù)在上為增函數(shù).當時，函數(shù)取得最小值；當時，函數(shù)取得最大值.因此，函數(shù)的值域為.故答案為：.【點睛】本題考查函數(shù)值域的求解，考查函數(shù)單調(diào)性的應用，明確兩個互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.12、或【解析】

分兩種情況考慮，第一：當所求直線與兩坐標軸的截距不為0時，設(shè)出該直線的方程為，把已知點坐標代入即可求出的值，得到直線的方程；第二：當所求直線與兩坐標軸的截距為0時，設(shè)該直線的方程為，把已知點的坐標代入即可求出的值，得到直線的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線的方程．【詳解】解：①當所求的直線與兩坐標軸的截距不為0時，設(shè)該直線的方程為，把代入所設(shè)的方程得：，則所求直線的方程為即；②當所求的直線與兩坐標軸的截距為0時，設(shè)該直線的方程為，把代入所求的方程得：，則所求直線的方程為即．綜上，所求直線的方程為：或．故答案為：或【點睛】此題考查學生會根據(jù)條件設(shè)出直線的截距式方程和點斜式方程，考查了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題．13、2【解析】設(shè)由正弦定理得14、【解析】

先根據(jù)平均數(shù)計算出的值，再根據(jù)方差的計算公式計算出這組數(shù)的方差.【詳解】依題意.所以方差為.故答案為：.【點睛】本小題主要考查平均數(shù)和方差的有關(guān)計算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】試題分析：兩式平方相加并整理得，所以.注意公式的結(jié)構(gòu)特點，從整體去解決問題.考點：三角恒等變換.16、.【解析】

將等式兩邊平方得出的值，再利用結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算律可得出結(jié)果.【詳解】，，，因此，，故答案為.【點睛】本題考查利用平面向量數(shù)量積來計算平面向量的模，在計算時，一般將平面向量的模平方，利用平面向量數(shù)量積的運算律來進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（i）（，其中）.（ii).（2）污水廠設(shè)在與直線距離處【解析】

（1）（i）設(shè)的中點為，則，，，，由此可得關(guān)于的函數(shù)；（ii）由題意，則，，由此可得關(guān)于的函數(shù)；（2）設(shè)，，則，然后利用基本不等式求最值．【詳解】解：（1）（i）設(shè)中點，則，，，，∴（，其中）；（ii），，；（2）設(shè)，，則，，當，即時，取最小值，∴污水廠設(shè)在與直線距離處時，鋪設(shè)管道總長最短，最短長度為千米．【點睛】本題主要考查根據(jù)實際問題選擇函數(shù)模型，訓練了利用換元法及基本不等式求最值，屬于中檔題．18、（1）見解析（2）9或35或133【解析】

（1）分別寫出和，做商，再用表示出，代入即可得q，由可得，得證；（2）由（1）得數(shù)列的通項公式，代入并整理，根據(jù)即得m+n的值?！驹斀狻浚?）證明：因為，所以，所以.因為，所以，所以.因為，所以.故數(shù)列是以2為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）可得.因為，所以，整理得，則.因為，，所以，則的值為2或4或6.當時，，，符合題意，則；當時，，，符合題意，則；當時，，，符合題意，則.綜上，的值為9或35或133.【點睛】本題考查求數(shù)列通項公式和已知通項公式求參數(shù)的和，解題關(guān)鍵在于細心驗證m取值是否滿足題干要求。19、（1）見解析；（2）①；②3.385萬元．【解析】

（1）由已知條件利用公式，求得的值，再與比較大小即可得結(jié)果；（2）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，做出變量的平均數(shù)，根據(jù)樣本中心點一定在線性回歸方程上，求出的值，寫出線性回歸方程；將代入所求線性回歸方程求出對應的的值即可.【詳解】（1）由已知條件得：，這說明與正相關(guān)，且相關(guān)性很強．（2）①由已知求得，所以所求回歸直線方程為．②當時，（萬元），此時產(chǎn)品的總成本為3.385萬元．【點睛】本題主要考查線性回歸方程的求解與應用，屬于中檔題.求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系；②計算的值；③計算回歸系數(shù)；④寫出回歸直線方程為；回歸直線過樣本點中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.20、（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.【解析】

（1）由題意設(shè)圓心坐標為，可得半徑為，求出圓的方程，分別令、，可得出點、的坐標，利用三角形的面積公式即可證明出結(jié)論成立；（2）由，知，利用兩直線垂直的等價條件：