福建省漳州市八校2024年高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

福建省漳州市八校2024年高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

22

1.已知橢圓二+與=1（?！瞪场?）的左、右焦點(diǎn)分別為片、F2,過(guò)點(diǎn)月的直線(xiàn)與橢圓交于「、。兩點(diǎn).若APgQ的

ab

內(nèi)切圓與線(xiàn)段2心在其中點(diǎn)處相切，與R2相切于點(diǎn)可，則橢圓的離心率為（）

A0R6°6n

A.?15??\J?

2233

22

2.已知橢圓。:5+當(dāng)=1的短軸長(zhǎng)為2,焦距為2相，耳、耳分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P為C上的任意一點(diǎn),

a'b

11

則口羽+忸可的取值范圍為（）

A.[1,2]B.[夜,6]C.[四,4]D.[1,4]

4.復(fù)數(shù)滿(mǎn)足z+忖=4+8i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.已知拋物線(xiàn)C:V=6戈的焦點(diǎn)為準(zhǔn)線(xiàn)為/,A是/上一點(diǎn)，B是直線(xiàn)AF與拋物線(xiàn)C的一個(gè)交點(diǎn)，若E4=3EB，

則1所|=()

1_5

A.B.3C.D.2

22

8.已知數(shù)列｛4｝是公比為2的正項(xiàng)等比數(shù)列，若M、4滿(mǎn)足24<%<10244,貝!|（相—丁+〃的最小值為（）

A.3B.5C.6D.10

9.如圖所示，三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直

角三角形及一個(gè)小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為30。，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲500顆米粒（米粒大小忽略不

計(jì)，取6。1.732）,則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（）

A.134B.67C.182D.108

10.一個(gè)空間幾何體的正視圖是長(zhǎng)為4,寬為省的長(zhǎng)方形，側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，俯視圖如圖所示，則該

幾何體的體積為（）

4--------?

俯視圖

4小2石

B.

'亍"I-

11.已知函數(shù)/（x）=lnx,g（x）=（2m+3）x+〃，若對(duì)任意的xe（0,+oo）總有〃x）Wg（x）恒成立,記（2加+3）〃

的最小值為了（加,〃），則/（，風(fēng)”）最大值為（）

111

A.1B.-C.-yD.-『

ee7e

22

12.已知雙曲線(xiàn)C:與-土=1（。>0）的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)必=8y的焦點(diǎn)重合，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（）

a3

A.2B.73C.3D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖是九位評(píng)委打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均分為.

778

824468

934

14.已知函數(shù)/（%）=2。（111》一%）+%2（0>0）有兩個(gè)極值點(diǎn)再、x2（xt<x2）,則%）+/（X2）的取值范圍為

15.在AABC中，內(nèi)角A瓦。所對(duì)的邊分別是a/,c.若bsinA=asinC,c=l,則b=_,AABC面積的最大值

為一

16.已知｛?！埃堑缺葦?shù)列，且?！啊?,a2a4+2a3a5+a4a6=25,則%+%=,%的最大值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）貧困人口全面脫貧是全面建成小康社會(huì)的標(biāo)志性指標(biāo).黨的十九屆四中全會(huì)提出“堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，建

立解決相對(duì)貧困的長(zhǎng)效機(jī)制”對(duì)當(dāng)前和下一個(gè)階段的扶貧工作進(jìn)行了前瞻性的部署，即2020年要通過(guò)精準(zhǔn)扶貧全面消

除絕對(duì)貧困，實(shí)現(xiàn)全面建成小康社會(huì)的奮斗目標(biāo).為了響應(yīng)黨的號(hào)召，某市對(duì)口某貧困鄉(xiāng)鎮(zhèn)開(kāi)展扶貧工作.對(duì)某種農(nóng)產(chǎn)品

加工生產(chǎn)銷(xiāo)售進(jìn)行指導(dǎo)，經(jīng)調(diào)查知，在一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)，每售出一噸該產(chǎn)品獲利5萬(wàn)元，未售出的商品，每噸虧損2

萬(wàn)元.經(jīng)統(tǒng)計(jì)A，3兩市場(chǎng)以往100個(gè)銷(xiāo)售周期該產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量的頻數(shù)分布如下表：

A市場(chǎng):

需求量

90100110

（噸）

頻數(shù)205030

5市場(chǎng):

需求量

90100110

（噸）

頻數(shù)106030

把市場(chǎng)需求量的頻率視為需求量的概率，設(shè)該廠在下個(gè)銷(xiāo)售周期內(nèi)生產(chǎn)〃噸該產(chǎn)品，在4、3兩市場(chǎng)同時(shí)銷(xiāo)售，以X

（單位：噸）表示下一個(gè)銷(xiāo)售周期兩市場(chǎng)的需求量，Y（單位：萬(wàn)元）表示下一個(gè)銷(xiāo)售周期兩市場(chǎng)的銷(xiāo)售總利潤(rùn).

（1）求X>200的概率；

（2）以銷(xiāo)售利潤(rùn)的期望為決策依據(jù)，確定下個(gè)銷(xiāo)售周期內(nèi)生產(chǎn)量〃=190噸還是〃=200噸?并說(shuō)明理由.

18.（12分）如圖，在三棱柱ADE-BC/中，ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且44￡>=60。，CDE歹是矩形，ED=1,

且平面CDE/JL平面ABC。，P點(diǎn)在線(xiàn)段上移動(dòng)（P不與C重合），H是AE的中點(diǎn).

（1）當(dāng)四面體EDPC的外接球的表面積為5兀時(shí)，證明：HB//.平面EDP

（2）當(dāng)四面體EDPC的體積最大時(shí)，求平面HOP與平面EPC所成銳二面角的余弦值.

/7

19.（12分）已知AABC的面積為、2，且=—1.

2

（1）求角A的大小及長(zhǎng)的最小值；

（2）設(shè)m為的中點(diǎn)，且AM=Y3,N54C的平分線(xiàn)交于點(diǎn)N,求線(xiàn)段的長(zhǎng).

2

20.（12分）某公司打算引進(jìn)一臺(tái)設(shè)備使用一年，現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺(tái)10000元，乙設(shè)備每臺(tái)9000

元.此外設(shè)備使用期間還需維修，對(duì)于每臺(tái)設(shè)備，一年間三次及三次以?xún)?nèi)免費(fèi)維修，三次以外的維修費(fèi)用均為每次1000

元.該公司統(tǒng)計(jì)了曾使用過(guò)的甲、乙各50臺(tái)設(shè)備在一年間的維修次數(shù)，得到下面的頻數(shù)分布表，以這兩種設(shè)備分別在

50臺(tái)中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.

維修次數(shù)23456

甲設(shè)備5103050

乙設(shè)備05151515

(1)設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺(tái)購(gòu)買(mǎi)和一年間維修的花費(fèi)總額分別為X和F,求X和F的分布列；

(2)若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，希望設(shè)備購(gòu)買(mǎi)和一年間維修的花費(fèi)總額盡量低，且維修次數(shù)盡量少，則需要購(gòu)買(mǎi)哪種

設(shè)備？請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.(12分)如圖為某大江的一段支流，岸線(xiàn)4與近似滿(mǎn)足寬度為7k".圓。為江中的一個(gè)半徑為2加7的

小島，小鎮(zhèn)4位于岸線(xiàn)乙上，且滿(mǎn)足岸線(xiàn)/一。4,0A=3km.現(xiàn)計(jì)劃建造一條自小鎮(zhèn)A經(jīng)小島。至對(duì)岸〃的水上

通道ABC(圖中粗線(xiàn)部分折線(xiàn)段，B在A右側(cè))，為保護(hù)小島，8C段設(shè)計(jì)成與圓。相切.設(shè)

ZABC^7V-0\O<0<-\.

(1)試將通道ABC的長(zhǎng)L表示成。的函數(shù)，并指出定義域；

(2)若建造通道的費(fèi)用是每公里100萬(wàn)元，則建造此通道最少需要多少萬(wàn)元?

11]「10一

22.(10分)已知矩陣4=，二階矩陣3滿(mǎn)足.

0—101

(1)求矩陣3;

(2)求矩陣3的特征值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

可設(shè)心工。的內(nèi)切圓的圓心為/，設(shè)|尸耳卜孫歸閭=〃，可得加+〃=2a,由切線(xiàn)的性質(zhì)：切線(xiàn)長(zhǎng)相等推得加=g〃，

解得加、"，并設(shè)|Q周=/,求得/的值，推得APKQ為等邊三角形，由焦距為三角形的高，結(jié)合離心率公式可得所

求值.

【詳解】

可設(shè)AP且。的內(nèi)切圓的圓心為/,M為切點(diǎn),且為「工中點(diǎn)，.?」尸用=歸閘=眼引，

設(shè)|尸周=%歸閭=〃，則機(jī)=；〃，且有〃z+〃=2a,解得機(jī)=/，〃=F，

設(shè)|Q周=/，|。耳|=2aT,設(shè)圓/切。工于點(diǎn)N,^\NF2\=\MF2\=y,\QN\=\QF^t,

由2a—=|"|=|QN|+|Ng|=/+?,解得/=稱(chēng)，.?.歸@=加+\=?，

DJD

\PF2\=\QF2\=^,所以APKQ為等邊三角形，

所以，2c=旦也,解得工=走.

23a3

因此，該橢圓的離心率為走.

3

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的定義和性質(zhì)，注意運(yùn)用三角形的內(nèi)心性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，切線(xiàn)的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬

于中檔題.

2、D

【解析】

先求出橢圓方程，再利用橢圓的定義得到歸片|+怛月|=4,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求閆明|怛聞＜4,從而可得

11

----------1-----------的取值范圍.

KI|明

【詳解】

由題設(shè)有6=1,c=百，故。=2,故橢圓C:土+y2=i,

4-

因?yàn)辄c(diǎn)尸為C上的任意一點(diǎn)，故歸用+盧閭=4.

71?1」3mp閭.4.4

乂附||明|*|明附|附||明（4―附了

因?yàn)?—若《|兩區(qū)2+百，故1<怛周（4-怛&44,

,11,

所以1V1-------r+1-------\—4

1名^I,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，一般地，如果橢圓。：++營(yíng)=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)分別是片、鳥(niǎo)，點(diǎn)P為。上的

任意一點(diǎn),則有用+怛閭=2a,我們常用這個(gè)性質(zhì)來(lái)考慮與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題，本題屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

圖像分析采用排除法，利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再利用特值確定函數(shù)的正負(fù)情況。

【詳解】

/（-X）「+S1『=_X+*=_〃x）,故奇函數(shù)，四個(gè)圖像均符合。

1+x1+X-

X+cinX

當(dāng)xc（O,萬(wàn)）時(shí)，sinx>0,y=>0,排除C、D

1+X

X+cinx

當(dāng)（匹2萬(wàn)）時(shí)，sinx<o,>0,排除A。

1+x

故選B。

【點(diǎn)睛】

圖像分析采用排除法，一般可供判斷的主要有：奇偶性、周期性、單調(diào)性、及特殊值。

4、B

【解析】

22++b

設(shè)z=a+砥a/eR),貝!)z+目=a+萬(wàn)+y]a+b=4+8i,可得<："='即可得到z，進(jìn)而找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所

在象限.

【詳解】

設(shè)z=a+4(a,beR),則z+忖=a+4+>Ja2+b2=4+83

.a+y/a2+b2=4.fa=-6

b=8b=8

II

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-6,8)，在第二象限.

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限,考查復(fù)數(shù)的模，考查運(yùn)算能力.

5、D

【解析】

根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求得|”卜6,由此求得忸耳的長(zhǎng).

【詳解】

過(guò)3作3C，/,垂足為C,設(shè)/與x軸的交點(diǎn)為。.根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知忸司=忸。|.由于=所以

\AB\=2\BC\,所以NC4B=生，所以|AF[=2|ED|=6,所以忸刊=—仙川=2.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查拋物線(xiàn)的定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

6、D

【解析】

求（d—的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，可轉(zhuǎn)化為求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)和《項(xiàng)，再求和即可得出答案.

【詳解】

由題意，中常數(shù)項(xiàng)為=60,

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用和二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7,D

【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性可排除選項(xiàng)A,C,當(dāng)x->0+時(shí)，可分析函數(shù)值為正，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】

y=sin[x-?In|x|=-cosxln|x\,

-cos（-x）ln|-%|=-cosxln|x|,

即函數(shù)為偶函數(shù)，

故排除選項(xiàng)A,C,

當(dāng)正數(shù)x越來(lái)越小，趨近于0時(shí)，—cosx<0/n|x|<0,

所以函數(shù)丁=sin[x-1^）ln|x|〉0,故排除選項(xiàng)3,

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，識(shí)別函數(shù)的圖象，屬于中檔題.

8、B

【解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)塞的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得1（根-“<10再根據(jù)此范圍求（加-1）2+”的

最小值.

【詳解】

數(shù)列｛%｝是公比為2的正項(xiàng)等比數(shù)列，%、4滿(mǎn)足24<勺<10244,

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得2a「2"-1<q?2"一<1024%?2"^,即2"<2'7<2?!+9，

2<2m~n<210?可得1（加一〃<10,且相、"都是正整數(shù)，

求（加一1）~+”的最小值即求在1<加一〃<10,且加、”都是正整數(shù)范圍下求772-1最小值和”的最小值，討論小、”

取值.

二當(dāng)〃2=3且”=1時(shí)，（機(jī)-1）-+”的最小值為（3-1）-+1=5.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)塞的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力和分類(lèi)討論思

想，是中等題.

9、B

【解析】

根據(jù)幾何概型的概率公式求出對(duì)應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1,則小直角三角形的邊長(zhǎng)為工,且，

22

則小正方形的邊長(zhǎng)為走-工，小正方形的面積S=［且-工］=1-—,

22(22)2

則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為

500=^1-^x500-(1-0.866)x500=0.134x500=67)

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用，求出對(duì)應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.

10、B

【解析】

由三視圖確定原幾何體是正三棱柱，由此可求得體積.

【詳解】

由題意原幾何體是正三棱柱，V=-X2X73X4=4A/3.

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖，考查棱柱的體積.解題關(guān)鍵是由三視圖不愿出原幾何體.

11、C

【解析】

對(duì)任意的xe(0,+8)總有/(x)Wg(x)恒成立，因?yàn)閘nx<(2/n+3)x+”，對(duì)xw(0,+a。)恒成立，可得2m+3〉0,

令y=lnx—(2〃?+3)x—n,可得了=工—Q〃z+3),結(jié)合已知，即可求得答案.

【詳解】

對(duì)任意的xw(o,-HX))總有/(X)<g(X)恒成立

/.lnx<(2m+3)x+n,對(duì)X￡(0,+8)恒成立，

2m+3>0

令y=In%一(2m+3)x-n,

可得y=l-(2m+3)

X

i

令y=o,得％=

2m+3

1

當(dāng)九〉y<o

2m+3

1

當(dāng)Ovxvy>o

2m+3

1.1

「?x=-----,y=ln-------l-n<02根+3"-j

2m+3mmaaxx2m+3

故(2m+3)n>即=/(m,ft)

令斤=0,得〃=1

二當(dāng)〃>1時(shí)，f\m,n)<0

當(dāng)〃<1,f\rn,n)>0

二當(dāng)〃=1時(shí)，/(私叫?=!

e

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)不等式恒成立求最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立的解法和導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的解法，考

查了分析能力和計(jì)算能力，屬于難題.

12、A

【解析】

根據(jù)題意，由拋物線(xiàn)的方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)可得儲(chǔ)+3=4,解

可得。=1,由離心率公式計(jì)算可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，拋物線(xiàn)必=8＞的焦點(diǎn)為(0,2),

22

則雙曲線(xiàn)與—土=1的焦點(diǎn)也為(0,2),即c=2,

a23

則有。2+3=4,解可得。=1,

雙曲線(xiàn)的離心率0=￡=2.

a

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,關(guān)鍵是求出拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

寫(xiě)出莖葉圖對(duì)應(yīng)的所有的數(shù)，去掉最高分，最低分，再求平均分.

【詳解】

解：所有的數(shù)為：77,78,82,84,84,86,88,93,94,共9個(gè)數(shù)，

去掉最高分，最低分，剩下78,82,84,84,86,88,93,共7個(gè)數(shù),

Fjj".八位78+82+84+84+86+88+93_

平均分為-------------------------=8o5,

故答案為L(zhǎng)

【點(diǎn)睛】

本題考查莖葉圖及平均數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

14、(-oo,161n2—24)

【解析】

確定函數(shù)y=/(x)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用極值的定義，建立方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求/(%)+/(%)的取值

范圍.

【詳解】

函數(shù)〃x)=2a(lnx—x)+Y的定義域?yàn)?0,+“)，廣(力==2—2ax+2a,

(XJX

依題意，方程2*2—2依+2a=0有兩個(gè)不等的正根%、％(其中王＜々)，

則A=41—i6a＞0na＞4,由韋達(dá)定理得石+々=。＞0,玉％=。＞0,

所以

/(x1)+/(x2)=2<7111(尤1%2)+(尤;+尤;+x2)

=laIn(西龍2)+[(%+々-2a(石+%)=2aIna+/-2a-IcT=2aIna-a2-2a,

令Zz(a)=2alna-a2-2a(a>4),則/z'(a)=21na-2a,h"(a)=--2=^:—―?

aa

當(dāng)a>4時(shí)，h"(a)<0,則函數(shù)y=〃(a)在(4,+s)上單調(diào)遞減，貝！!”(a)</7(4)=41n2—8<0,

所以，函數(shù)y=〃(a)在(4,+?0上單調(diào)遞減，所以，%)</z(4)=161n2-24.

因此，/(%)+/(々)的取值范圍是(—』61n2—24).

故答案為：(^?,16In2-24).

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)極值點(diǎn)問(wèn)題，考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值，將/(%)+/(*2)的取值范圍轉(zhuǎn)化為以。為自變量的函數(shù)

的值域問(wèn)題是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

1

15、1—

2

【解析】

由正弦定理，結(jié)合AsinA=asinC,c=l,可求出b；由三角形面積公式以及角A的范圍，即可求出面積的最大值.

【詳解】

因?yàn)榧觟nA=asinC,所以由正弦定理可得ba=ac,所以b=c=l;

所以SAABC=g沙cs加A=gsz九4<g，當(dāng)s譏A=l，即4=90°時(shí)，三角形面積最大?

故答案為(1).1(2).!

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查解三角形的問(wèn)題，熟記正弦定理以及三角形面積公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.

2

16、5

2

【解析】

+aa2

a2a4+2%%46=25=a；+2%%=25=(a3+a5)=25,「an>0a3+a5=5

.1a：=%%?(%愛(ài)了=曰=%,即%的最大值為:

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)0.42；(2)〃=200噸，理由見(jiàn)解析

【解析】

(1)設(shè)“A市場(chǎng)需求量為90,100,110噸”分別記為事件A,4，4,“3市場(chǎng)需求量為90,100,110噸”分別記為

事件耳，B?,B.,由題可得P(A),p(4),P(A),P⑻,代入

P(B2),P(B3),

P(X>200)=P(A2B3+A.B2+^B3),計(jì)算可得答案；

(2)X可取180,190,200,210,220,求出〃=190噸和〃=200噸時(shí)的期望，比較大小即可.

【詳解】

(1)設(shè)“A市場(chǎng)需求量為90,100,110噸”分別記為事件A,A,A3,“3市場(chǎng)需求量為90,100,110噸”分別記為

事件與，B2,B3,則

p(4)=0.2,P(A)=0.5,P(A)=0.3,

P⑻=0.1,尸(%=0.6,P(B3)=0.3,

P(X>200)=P(A2B3+A}B2+A}B3)

=尸(4)尸(四)+P(A)尸(4)+尸(A)尸(四)

=0.5xO.3+0.3x0.6+0.3x0.3=0.42；

(2)X可取180,190,200,210,220,

P(X=18O)=P(A4)=O2XO.1=O.O2

P(X=190)=P(A,B1+A52)=0.5X0.1+0.2X0.6=0.17

當(dāng)“=190時(shí)，E(K)=(180x5-10x2)x0.02+190x5x(1-0.02)=948.6

當(dāng)〃=200時(shí)，￡(7)=(180x5-20x2)x0.02+(190x5-10x2)x0.17+200x5x(1-0.02-0.17)

=985.3.

948.6<985.3,

二〃=200時(shí)，平均利潤(rùn)大，所以下個(gè)銷(xiāo)售周期內(nèi)生產(chǎn)量〃=200噸.

【點(diǎn)睛】

本題考查離散型隨機(jī)變量的期望，是中檔題.

7

18、(1)證明見(jiàn)解析(2)-

【解析】

(1)由題意，先求得P為6C的中點(diǎn)，再證明平面"V出//平面EOP,進(jìn)而可得結(jié)論；

(2)由題意，當(dāng)點(diǎn)尸位于點(diǎn)3時(shí)，四面體￡DPC的體積最大，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量運(yùn)算即可.

【詳解】

(1)證明：當(dāng)四面體瓦)PC的外接球的表面積為5兀時(shí).

則其外接球的半徑為由.

2

因?yàn)锳BC。時(shí)邊長(zhǎng)為2的菱形，CDEF是矩形.

ED=1,且平面CDE/，平面ABC。.

則功，平面ABC。，EC=6.

則EC為四面體EDPC外接球的直徑.

所以NEPC=90°,即CBLEP.

由題意，CBLED,EPED=E,所以CBLDP.

因?yàn)?AD=N6CD=60°,所以P為的中點(diǎn).

記AD的中點(diǎn)為"，連接MH,MB.

則MBPOP,MHPDE,DEcDP=D,所以平面平面EDP.

因?yàn)镠Bu平面HMB，所以HB//平面EDP.

(2)由題意，EDL平面ABC。，則三棱錐E-DPC的高不變.

當(dāng)四面體瓦)PC的體積最大時(shí)，△0PC的面積最大.

所以當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)3時(shí)，四面體瓦)PC的體積最大.

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

則D（0,0,0）,￡（0,0,1）,3⑼,0）,以乎,—；,；,C（0,2,0）.

所以加=(0,1,0),DH=:y,--,-,EC=(O,2,-l),麗=(國(guó),T).

設(shè)平面電汨的法向量為加=(%i，X，zJ.

DB-m=乖a1+%=0,

則，^311

DH-m=——x.——y,+—z,=0,

〔212121

令為=1,得血=(1,—G,—2g).

設(shè)平面EBC的一個(gè)法向量為n=(x2,y2,z2).

ECn-2y?-z?=0,

則r

EB-n=,3%+%—z2=°，

令%=3,得〃=(石,3,6).

mn7

設(shè)平面HOP與平面￡P(guān)C所成銳二面角是9,貝!|cos。=

m^n8

7

所以當(dāng)四面體EDPC的體積最大時(shí)，平面印印與平面EPC所成銳二面角的余弦值為-.

8

【點(diǎn)睛】

本題考查平面與平面的平行、線(xiàn)面平行，考查平面與平面所成銳二面角的余弦值，正確運(yùn)用平面與平面的平行、線(xiàn)面

平行的判定，利用好空間向量是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

,2萬(wàn)LJ7

19、(1)A=—,BCmin=>/6；(2)MN

36

【解析】

（1）根據(jù)面積公式和數(shù)量積性質(zhì)求角A及最大邊〃；

（2）根據(jù)AM的長(zhǎng)度求出人，。再根據(jù)面積比值求BN仄而求出MN.

【詳解】

（1）在AABC中，由AB.AC=—1,得仍cosA=—1,

由3AA得。csinA=6,

所以(fee)2(cos2A+sin2A)=4,

所以Z?c=2,cosA=-^,

2

因?yàn)樵贏ABC中，0<A〈?，所以A=——

3

因?yàn)镮=Z,2+c2-2bccosA=b2+c2+2..2bc+2（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等）,

所以8C長(zhǎng)的最小值為標(biāo)；

(2)在三角形ABC中，因?yàn)闉橹芯€(xiàn)，

UUULUUUUUIU

所以AM=A3+3Af，AM=AC+CM<所以2AM=A3+AC，

因?yàn)锳M=—,所以(2AM)2=(A8+AC)2=〃+C2-2=3,

2

所以〃+。2=5，

由(1)知Z?c=2,所以5=1,c=2或Z?=2,c-\,

所以4=〃+-2)ccosA=不，

\7T\7T

因?yàn)棰萔為角平分線(xiàn)，=-AB.ANsin-3,S^CN=-AC.ANsin-,

.S.BN_￡_BN_

??晨1廠*/或

所以BM=①,BN=立或空,

233

所以MN=".

6

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，余弦定理解三角形及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

20、(1)X分布列見(jiàn)解析，F(xiàn)分布列見(jiàn)解析；(2)甲設(shè)備，理由見(jiàn)解析

【解析】

(1)X的可能取值為10000,11000,12000,F的可能取值為9000,10000,11000,12000,計(jì)算概率得到分布列;

(2)計(jì)算期望，得到E(X)=E(y)=10800,設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為鼻",計(jì)算分布列，計(jì)算

數(shù)學(xué)期望得到答案.

【詳解】

(1)X的可能取值為10000,11000,12000

P(X=10000)=,P(X=11000)=—=-,P(X=12000)=—=—

50105055010

因此X的分布如下

X100001100012000

331

P

10510

y的可能取值為9000,10000,11000,12000

51153153153

P(Y=9ooo)=—=—,p(y=10000)=—=—,p(y=11000)=—=—,p(y=12000)=—=—

5010501050105010

因此y的分布列為如下

Y9000100001100012000

1333

P

ioK)W10

331

(2)E(X)=10000X—+11000X-+12000x—=10800

10510

1333

E(y)=9000X—+10000X—+11000X—+12000x—=10800

10101010

設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為J,7

J的可能取值為2,3,4,5

)=冬=)=京=

PC=2)=三=±,P("31)=M31

=-，PG=4二—，PC=5

二777

50105055055010

則4的分布列為

2345

1131

P

105510

1131

E(^)=2x—+3x--^4x-+5x—=3.7

105510

〃的可能取值為3,4,5,6

?C、51~八153?八153/、153

p(n=3)=——二——,P⑺=4)=--=—,p(n=5)=——=——,/(77=6)=—?=-—

5010501050105010

則〃的分布列為

3456

1333

r

10101010

1333

E(rf)=3x----i-4x—-+5x—+6x—=4.8

10101010

由于E(X)=E(Y),EC)<E(〃)，因此需購(gòu)買(mǎi)甲設(shè)備

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)學(xué)期望和分布列，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

9—3cosf)(左、

21、(1)L(3)=———,定義域是4,彳.(2)60百萬(wàn)

sin6*<2J

【解析】

(1)以A為原點(diǎn)，直線(xiàn)4為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)A3=a(a>0),利用直線(xiàn)與圓相切得到

2_3ms0

a=一早吆，再代入L=AB+BC這一關(guān)系中，即可得答案；

sin