《一次函數(shù)》教學(xué)案

一次函數(shù)

教學(xué)目標

知識與技能：理解一次函數(shù)、常值函數(shù)的概念；

過程與方法：理解一次函數(shù)與正比例函數(shù)的關(guān)系；

情感態(tài)度與價值觀：會利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式.

教學(xué)重點及難點

一次函數(shù)與正比例函數(shù)概念的關(guān)系；

用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習導(dǎo)入

問題1：汽車油箱里原有汽油120升，每行駛10千米耗油2升，如果汽車油箱的剩余是y

（升）汽車行駛的路程為x（千米），試用解析式表示y與x的關(guān)系.

分析：每行駛10千米耗油2升，那么每行駛1千米耗油0.2升，因此y與x的函數(shù)關(guān)

系式為：

產(chǎn)120—0.2x（0WxW600）

當然，這個函數(shù)也可表示為：

y=-0.2x+120（0W點600）

說明當一個函數(shù)以解析式表示時,如果對函數(shù)的定義域未加說明,那么定義域由這個函數(shù)

的解析式確定；否則，應(yīng)指明函數(shù)的定義域.

這個函數(shù)是不是我們所學(xué)的正比例函數(shù)它與正比例函數(shù)有何不同它的圖像又具備什么

特征從今天開場我們將討論這些問題.

二、學(xué)習新課

1.概念辨析

問題2：某人駕車從甲地出發(fā)前往乙地，汽車行駛到離甲地80千米的A處發(fā)生故障，

修好后以60千米/小時的速度繼續(xù)行駛.以汽車從A處駛出的時刻開場計時，設(shè)行駛的時間

為t1小時），某人離開甲地所走的路程為s（千米），那么s與匕的函數(shù)解析式是什么

類似問題1：這個函數(shù)解析式是

6601+80

思考：這個解析式和尸-0.2X+120有什么共同特點

說明通過討論使學(xué)生能夠從它們的函數(shù)表達式得出表示函數(shù)的式子都是自變量的一

次整式.

如果我們用在表示自變量的系數(shù)，方表示常數(shù).這些函數(shù)就可以寫成：y=kx+b（A^O）的

形式.

一般地，形如產(chǎn)k/bIk、b是常數(shù)，且kWQ）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)（linear

function）.一次函數(shù)的定義域是一切實數(shù).

當斤0時，尸即片衣是常數(shù)，且5W0）.所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一

次函數(shù).

當公0時，y等于一個常數(shù)，這個常數(shù)用。來表示，一般地，我們把函數(shù)尸c〔c是常

數(shù)）叫做常值函數(shù)（constantfunction）它的定義域由所討論的問題確定.

2.例題分析

例題1根據(jù)變量腔y的關(guān)系式，判斷y是否是x的一次函數(shù).

(1)y=2x；⑵y=l-L；(3)x--y-2；(4)y--+3.

23x

例題2變量x、y之間的關(guān)系式是產(chǎn)(濟1)戶a(其中a是常數(shù))，那么y是x的一次函數(shù)嗎？

例題3一個一次函數(shù)，當自變量產(chǎn)2時，函數(shù)值*T；當年5時，產(chǎn)8.求這個函數(shù)的解析式.

分析：求一次函數(shù)解析式，關(guān)鍵是求出A、6值.由此可列出關(guān)于不8的二元一次方程組，

解之可得.

解設(shè)所求一次函數(shù)的解析式為尸七什6；

由A=2時y=~l,得~l=2k+b；

由A=5時尸8,得8=54+6.

\-l=2k+b

解二元一次方程組1

S=5k+b

A=3,b=-7.

所以，這個一次函數(shù)的解析式是y=3x-7.

說明這里求一次函數(shù)解析式的方法是待定系數(shù)法.解析式中k,b是待定系數(shù),利用兩個

條件列出關(guān)于k、b的方程組再求解,可確定它們的值.

3.穩(wěn)固練習：1.以下函數(shù)中哪些是一次函數(shù)，哪些又是正比例函數(shù)

3

(1)y--Sx.(2]y=—.

x

(3)y=5x?+6.⑶y=-3x-l.

2.一個小球從斜坡由靜止開場向下滾動，其速度每秒增加2米.這個小球的速度「隨時間

t變化的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)嗎

3.汽車油箱中原有油50升，如果行駛中每小時用油5升，求油箱中的油量y(升)隨行

駛時間小時)變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.y是x的一次函數(shù)嗎

4.一次函數(shù)圖象過點(3,5)與(-4,-9),求這個一次函數(shù)的解析式.

4、自我評價,談?wù)劯?/p>

1?這節(jié)課你學(xué)會了什么2.你認為有哪些要注意的地方

3.你還有什么問題嗎

五、作業(yè)：練習冊：20.1

分層作業(yè)：

金牌一課一練B卷8題

教學(xué)反思：學(xué)生對根據(jù)實際問題列一次函數(shù)解析式，有的時候題意不理解，故此解析式不

正確，尤其定義域還是不是很準確，有待在今后的學(xué)習中，逐漸滲透！

20.2(1)一次函數(shù)的圖像

教學(xué)目標

1.了解一次函數(shù)圖像是一條直線，會用描點法畫一次函數(shù)圖像；

2.掌握直線的截距的概念，并能根據(jù)解析式寫出直線的截距；

3.理解一次函數(shù)圖像與x軸、y軸交點含義，并會求出交點坐標.

教學(xué)重點及難點

1.畫出一次函數(shù)圖像，寫出直線的截距；

2.會求直線與坐標軸交點坐標.

教學(xué)用具準備

三角板、ppt課件、多媒體設(shè)備

教學(xué)過程設(shè)計

一、情景引入

1.操作

按照以下步驟畫正比例函數(shù)y=gx和一次函數(shù)y=gx+3的圖像，并進展比照

(1)列表：取自變量x的一些值，計算出相應(yīng)的函數(shù)值y

X???-4-3-2-101234???

1……

y=-x

2

1…???

y=-x+3

2

(2)描點：分別以所取x的1直和相應(yīng)的函數(shù)值y作為點的橫坐標和縱坐才水，JSLH這些目乜標所

對應(yīng)的點.

(3)連線:用光滑的曲線(包括直線)把描出的的這些點聯(lián)結(jié)起來.(圖略)

2.觀察觀察表格和圖像，對于x的每一個一樣值，函數(shù)y=；x+3的對應(yīng)值比函數(shù)y=gx的對

應(yīng)值都大多少？

說明不管從表中或圖像上都可以看出，對于x的每一個一樣值，函數(shù)y=；x+3的對應(yīng)

值比函數(shù)y=；x的對應(yīng)值都大3個單位.因此，函數(shù)y=gx+3的圖像是由函數(shù)y=；x的圖像

向上平移3個單位得到的.

3.思考

我們知道，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，而正比例函數(shù)的圖像是一條直線，那么一次

函數(shù)的圖像是直線嗎？

二、學(xué)習新課

1.概念辨析

一般來說，一次函數(shù)y=kx+b(其中k、b是常數(shù)，且kWO)的圖像是一條直線.一次函數(shù)

y=kx+b的圖像也稱為直線y=kx+b.一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b稱為直線的表達式.

2.例題分析

2

例1在平面直角坐標系xOy中，畫一次函數(shù)y=§x-2的圖像.

分析因為兩點確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖像時，只要先描出直線上的兩點，再過兩

點畫直線就可以了.

2

解：由y=§x-2可知，當x=0時，y=-2；當y=0時，x=3.

2

所以A(0,-2)、B(3,0)是函數(shù)y=jx-2的圖像上的兩點.

2

過點A、B畫直線，則直線AB就是函數(shù)y=§x-2的圖像.(圖略).

說明(1)畫直線y=kx+b時，通常先描出直線與x軸、y軸的交點，如果直線與x軸、y軸的交

點坐標不是整數(shù)，為了畫圖方便、準確，通常是描出直線上的整數(shù)點.

(2)本例講述了求直線與坐標軸交點的方法，同時，為引出直線的截距概念作好鋪墊.

由點A的橫坐標x=0,可知點A在y軸上；由點B的縱坐標y=0,可知點B在x軸上.又點

22

A,B在直線y=1X-2上，所以點A、B是直線y=-x-2分別與y軸、x軸的交點.

3.概念辨析

一條直線與y軸的交點的縱坐標叫做這條直線在y軸上的截距，簡稱直線的截距.

一般地，直線y=kx+b(k#0)與y軸的交點坐標是(0,b).直線y=kx+b(k#0)的截距是b.

4.例題分析

例2寫出以下直線的截距：

(l)y=-4x-2；(2)y=8x；

(3)y=3x-a+l；(4)y=(a+2)x+4(aX-2).

解(1)直線y=-4x-2的截距是-2.

(2)直線y=8x的截距是0.

⑶直線y=3x-a+l的截距是-a+1.

(4)直線y=(a+2)x+4(“W-2)的截距是4.

說明本例是穩(wěn)固對直線截距概念的理解，直線的截距是由x=0,求得對應(yīng)的y值，同時，注意截

距與距離的區(qū)別.

例3直線y=kx+b經(jīng)過A(-20,5)、B(10,20)兩點，求：

(l)k、b的值；

(2)這條直線與坐標軸的交點的坐標.

分析直線經(jīng)過點,即點在圖像上，所以點的坐標滿足直線解析式，根據(jù)條件，建設(shè)k、b的方程

組，解方程組，就可求得k、b的值.

解⑴因為直線丫=1?+1)經(jīng)過點A(-20,5)、B(10,20),所以

-20k+b=51

解得k=-,b=15.

10k+b=202

(2)這條直線的表達式為y=-x+15.

2

由y=[x+15,令y=0,得Lx+15=0,解得x=-30；令x=0,得y=15.

22

所以這條直線與x軸的交點的坐標為(-30,0),與y軸的交點的坐標為(0,15).

說明本例進一步講述了求直線與坐標軸交點的方法.強化重難點.

三、穩(wěn)固練習

1.(口答)說出以下直線的截距：

⑴直線y=V3x+2；(2)直線y=-2x-V5；(3)直線y=3x+l-V2.

2

2.在平面直角坐標系xOy中，畫出函數(shù)y=?§x+2的圖像，并求這個圖像與坐標軸的交點的

坐標.

3.直線經(jīng)過點M(3』)，截距是?5,求這條直線的表達式.

4.直線y=kx+b經(jīng)過點A(-l,2)和B(1,3),求這條直線的截距.

2

四、課堂小結(jié)(學(xué)生歸納，教師引導(dǎo))

1、一次函數(shù)丫=1?+15(1<#())的圖像是什么樣的形狀？假設(shè)何畫一次函數(shù)的圖像？

2、什么叫直線的截距？假設(shè)何求直線的截距？

3、用什么方法求直線解析式？假設(shè)何求直線與坐標軸交點的坐標？

五、作業(yè)布置練習冊習題20.2(1)

分層作業(yè)：

直線y=mx+2與x軸、y軸的交點分別為A、B.點0為坐標原點，如果0A=10B,求直線的

2

表達式.

22

解：由y=mx+2,令y=0,得mx+2=0,解得x=-一，得點A坐標(-一,0)；令x=0,得y=2.

mm

得點B坐標為(0,2)

2

所以O(shè)A=|-—|,OB=2

m

12

由OA=-OB,得|--|=1,所以m=±2

2m

所以直線的表達式為y=2x+2或y=-2x+2

說明此題要求出直線的表達式，只要求出待定系數(shù)m的值即可，解決問題的關(guān)鍵是

正確運用點的坐標表示線段的長度.此題謹防漏解.

教學(xué)反思：對解析式求與坐標軸的交點，求與坐標軸圍成的面積，學(xué)生掌握很好，但面積

求解析式，經(jīng)常不會考慮兩種情況，忽略了坐標并不和距離是等同的。

20.2(2)一次函數(shù)的圖像

教學(xué)目標

知識與技能：.通過操作、觀察、探究直線相對于x軸的傾斜程度、直線上下左右平行移動,

%和力的變化關(guān)系，領(lǐng)會用運動變化觀點處理問題的方法.

過程與方法：知道兩條平行直線表達式之間的關(guān)系.

教學(xué)重點及難點

研究直線相對于x軸的傾斜程度及兩條平行直線表達式之間的關(guān)系.

教學(xué)用具準備

三角板、ppt課件、多媒體設(shè)備

教學(xué)過程設(shè)計

一、情景引入

1.操作

在同一直角坐標系中畫出以下直線

(1)直線y=；x+2；(2)直線y=3x+2；

(3)直線y=-2x+2；(4)直線y=-gx+2.

2.觀察

(1)觀察上述四條直線，發(fā)現(xiàn)截距一樣時，直線都過什么樣的點？

(2)觀察上述四條直線相對于x軸的傾斜程度，即直線與x軸正方向夾角的大小

3.思考

直線相對于x軸的傾斜程度，即直線與x軸正方向夾角的大小與k的大小有何關(guān)系

二、學(xué)習新課

1.b的作用

在坐標平面上畫直線y=kx+b(kWO),截距b一樣的直線經(jīng)過同一點(0,b).

2.k的作用

k值不同，則直線相對于x軸正方向的傾斜程度不同.

(l)k>0時，K值越大，傾斜角越大

(2)k<0時，K值越大，傾斜角越大

說明(1)傾斜角是指直線與x軸正方向的夾角；

(2)常數(shù)k稱為直線的斜率.關(guān)于斜率確實切定義和幾何意義，將在高中數(shù)學(xué)中討論.

3.例題分析例4在同一直角坐標系中畫出直線y=-'x+2與直線y=-^x,并判斷這兩條直

22

線之間的位置關(guān)系.

分析描出直線上的兩點，再過這兩點畫直線即可，問題在于假設(shè)何判斷這兩條直線之間的位

置關(guān)系.可以通過特殊點和任意點的坐標變化規(guī)律，進展判斷.

解直線y=--x+2與x軸的交點是A(4,0),與y軸的交點是B(0,2).畫出直線AB.

2

直線y=-'x過原點0(0,0)和點C(2,-l).畫出直線OC.

2

則直線AB、直線OC分別就是直線y=-1x+2與直線y=-^x(圖略)

22

在圖中，觀察點B相對于點O的位置，可知點。向上平移2個單位就與點B重合.

對于直線y=-1x上的任意一點P,設(shè)它的坐標為(XI,力),則yi=-1XL過點P作垂直于x軸的

22

直線，與直線y=-^x+2的交點記為Q,可知點Q與點P有一樣的橫坐標，設(shè)點Q的坐標

2

為(xi,y2),則y2=-yxi+2.

由y2-yi=(--x,+2)-(-^X1)=2,可知點Q在點P上方且相距2個單位，即點P向上平移2個

22

單位就與點Q重合.

因為P是直線y=-1x上的任意一點，所以把直線y=-1x"向上平移2個單位"，就與直線

22

y=-^x+2重合.因此，直線y=-1x+2與直線y=-1x平行.1可借助幾何畫板展示圖形的動態(tài)

222

變化過程)

4.直線平移

一般地，一次函數(shù)丫=1?+156=0)的圖像可由正比例函數(shù)丫=1?的圖像平移得到.當b>0時，向

上平移b個單位；當b<0時，向下平移|b|個單位.

5.直線平行

如果ki=k2,bi#bz，那么直線y=kix+bi與直線y=k2X+bz平行.

如果直線y=kix+b］與直線y=kzx+b2平行,那么ki=k2,b4b2.

6.例題分析

例5一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A(2,-l),且與直線y='x+l平行，求這個函數(shù)的解析式.

2

分析設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b(kWO),由平行條件可得k=L,再根據(jù)點A坐標求出

2

b,就可求出函數(shù)解析式.

解設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b(kWO).

因為直線y=kx+b與直線y二一x+1平行，所以k='.

22

因為直線y=kx+b經(jīng)過點A(2,-1),又k二工，所以Lx2+b=T.

22

解得b=-2所以這個函數(shù)的解析式為y=-x-2.

2

三、穩(wěn)固練習

1.指出以下直線中互相平行的直線：

⑴直線y=5x+l：(2)直線y=-5x+l；⑶直線y=x+5；

(4)直線y=5x-3；(5)直線y=x-3；(6)直線y=-5x+5.

2.直線y=(m-l)x+m與直線y=2x+I平行.

(1)求m的值；

(2)求直線y=(m-l)x+m與x軸的交點坐標.

3.一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點M(-3,2),且平行于直線y=4x-l.

(1)求這個函數(shù)的解析式；

(2)求這個函數(shù)圖像與坐標軸圍成的三角形面積.

四、課堂小結(jié)(學(xué)生歸納，教師引導(dǎo))

1.直線相對于x軸的傾斜程度與k的大小有何關(guān)系？

2.兩條直線平行需要滿足什么條件？

3.求直線與坐標軸圍成的三角形面積時，需要注意什么？

五、作業(yè)布置練習冊習題20.2(2)

分層作業(yè)：直線y=2x-3,把這條直線沿y軸向上平移5個單位，再沿x軸向右平移3個單

位，求兩次平移后的直線解析式.

教學(xué)反思

通過學(xué)生動手畫、以及觀察這些截距一樣直線的圖像，歸納直線與x軸正方向的傾斜程

度與k的關(guān)系.通過兩個例題的分析與解決，理解并掌握一次函數(shù)y=kx+b的圖像與正比例函

數(shù)丫=入的圖像之間的關(guān)系，并進一步得到兩條平行直線表達式之間的關(guān)系，學(xué)會利用這種

關(guān)系確定直線表達式.通過拓展內(nèi)容的學(xué)習，進一步穩(wěn)固兩條平行直線表達式之間的關(guān)系.

20.2(3)一次函數(shù)的圖像

教學(xué)目標

知識與技能：能借助一次函數(shù)，進一步認識一元一次方程、一元一次不等式的解的情況，并

理解一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)系.

過程與方法：通過研究一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)系，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)

合的數(shù)學(xué)思想,初步能用函數(shù)知識分析問題和解決問題.

教學(xué)重點及難點

能以函數(shù)觀點認識一元一次方程、一元一次不等式的解.

教學(xué)用具準備

三角板、PPt課件、多媒體設(shè)備

教學(xué)過程設(shè)計

一、情景引入

1.觀察

一次函數(shù)y=kx+b(k#0)變量x與y的局部對應(yīng)值如下表：

X-2-10123

y6420-2-4

(1)填空：方程kx+b=0的解為；

(2)填空：不等式kx+b>0的解集為；

(3)求這個一次函數(shù)的解析式.

2.思考

一次函數(shù)y=kx+b的自變量x的取值與方程kx+b=0的解或不等式kx+b>0的解集有何關(guān)系？

二、學(xué)習新課

1.一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系

通過上述表格和填空訓(xùn)練，我們可以看到：

一次函數(shù)y=kx+b的圖像與x軸交點的橫坐標就是一元一次方程kx+b=O的解；反之，一元

一次方程kx+b=O的解就是一次函數(shù)y=kx+b的圖像與x軸交點的橫坐標.兩者有著密切聯(lián)系,

表達數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

2.一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系

問題1如圖，直線1經(jīng)過點A(0,-1)和B(2,0),那么直線1在x軸上方的點的橫坐標的取值

范圍是什么在x軸下方的點呢

問題2關(guān)于x的一元一次不等式kx+b>0、kx+b<0與一次函數(shù)y=kx+b之間有什么關(guān)系

通過對問題1、問題2的思考、討論與探究，可以看到一次函數(shù)與一元一次不等式之間

也有著密切聯(lián)系，進一步表達數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.(可借助幾何畫板展示圖形的動態(tài)變化

過程)

由一次函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值y大于0(或小于0),就得到關(guān)于x的一元一次不等式kx+b>0

(或kx+b<0).在一次函數(shù)y=kx+b的圖像上且位于x軸上方(或下方)的所有點,它們的橫坐

標的取值范圍就是不等式kx+b>0(或kx+b<0)的解.

3.例題分析

(1)當x取何值時，函數(shù)值y=5

(2)當x取何值時，函數(shù)值y>5

2

(3)在平面直角坐標系xOy中，在直線y=-x+l上且位于x軸下方的所有點，它們的橫坐標

3

的取值范圍是什么

2?

解(1)要使函數(shù)y=—x+1的值y=5,只要使一x+l=5.

33

解方程&x+l=5,得x=6.所以當x=6時，函數(shù)值y=5.

3

22

(2)要使函數(shù)產(chǎn)一x+1的值y>5,只要使一x+l>5.

33

解不等式2X+I>5,得x>6.所以當x>6時，函數(shù)值y>5.

3

⑶因為所求的點在直線y=2x+1上且位于x軸下方，

3

23

所以一x+l<0.解得x<--,

32

3

即所有這樣的點的橫坐標的取值范圍是小于-一的一切實數(shù).

2

對例6進一步分析，在直線y=2x+l上，M(6,5)是以題(1)中所得的x的值為橫坐標的點，

3

以題(2)所得的x的值為橫坐標的點都位于這條直線上點M朝上一側(cè).

三、穩(wěn)固練習

1.一次函數(shù)解析式是y=3x+2.

(1)當x取何值時，y=l

⑵當x取何值時，y>l

(3)當x取何值時，y〈l

2.一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過點A(-3,0)和次0,-2).

(1)求該函數(shù)解析式；

(2)當x取何值時,y>-2?

3.一次函數(shù)的解析式為y=-^x+3,求在這個一次函數(shù)圖像上且位于x軸上方的所有點的橫坐

2

標的取值范圍.

四、課堂小結(jié)(學(xué)生歸納，教師引導(dǎo))

1.一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式之間有什么關(guān)系？

2.假設(shè)何從函數(shù)觀點來認識一元一次方程、一元一次不等式的解？

五、作業(yè)布置

練習冊習題20.2(3)

分層作業(yè)：

三條直線11：yi=2x-l,Lyz=-x+5,13：ya=kx-3

(1)如果求k的值

(2)如果都經(jīng)過同一點,求k的值

(3)當x取何值時，函數(shù)值1大于y2?

教學(xué)反思：

在熟悉一次函數(shù)圖像根基上，通過觀察表格和填空、以及問題1與問題2,從形和數(shù)兩

個角度探討一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)系.學(xué)會利用函數(shù)圖像幫助

分析和認識一元一次方程與一元一次不等式的解.

20.3(2)一次函數(shù)的性質(zhì)

教學(xué)目標

知識與技能：學(xué)會根據(jù)直線丁=區(qū)+人中的常數(shù)卜與b的正負情況，判斷直線在坐標系中的

位置;反之根據(jù)直線在坐標系中位置特征，確定常數(shù)k與b的正負符號；

過程與方法：在探索直線丁二人工+力在坐標系中位置特征與常數(shù)k、b符號關(guān)系的過程中，

領(lǐng)會由特殊到一般的分析問題解決問題的思維方法.

教學(xué)重點及難點

根據(jù)直線丁=""+"中的常數(shù)k與b的正負情況，判斷直線在坐標系中的位置;反之根據(jù)直

線在坐標系中位置特征，確定常數(shù)k與b的正負符號.

教學(xué)用具準備PPT幻燈片

教學(xué)過程設(shè)計：

復(fù)習引入

1、回憶一次函數(shù)y=Zx+6根據(jù)k的正負情況，說出y隨x變化而變化的規(guī)律.

2、填空：

一次函數(shù)y=；x-3經(jīng)過象限，當x逐漸增大時，函數(shù)值y逐漸；

y=inx-3,當x逐漸減小時，函數(shù)值y逐漸增大，則m的取值范圍是；

函數(shù)y=+〃與y=平行，截距為5,則一次函數(shù)解析式為，此時函數(shù)值y隨著x

的增大而.

二、學(xué)習新課

1.性質(zhì)教學(xué)

例4一次函數(shù)y=kx+b(b豐0)的圖像是與直線y=4x平行的直線.

(1)隨著自變量x的值的增大，函數(shù)值y增大還是減小

(2)直線y=Zx+2經(jīng)過哪幾個象限

(3)直線丁=履+。3。0)經(jīng)過哪幾個象限

說明對例題4的分析與討論，可以運用直線平移的知識.如因為直線y=4x+2可以由直

線y=4x向上平移2個單位得到，且直線y=4x經(jīng)過第一象限、原點與第二象限，所以直

線y=4x+2經(jīng)過第一、二、三象限.類似地，討論直線y=4x+Z?經(jīng)過的象限時，都可以

應(yīng)用直線平移的知識，這種運動的觀點，可借助多媒體來呈現(xiàn).同時第三問正好是本節(jié)課所

學(xué)的重要性質(zhì)的鋪墊，滲透分類討論的思想，引出討論直線丁=%了+仇。*0)經(jīng)過的象限.

2.議一議

在平面直線坐標系xQy中，直線y=kx+"女聲0力。0)的位置與&、6的符號有什么關(guān)系

直線y=Zx+Z?(左。0,b。0)過點(0,b)且與直線y=平行，由直線y=kx在直角坐

標平面內(nèi)的位置情況可知：

當k>0,且b>0時，直線y=經(jīng)過第一、二、三象限；

當k>0,且b<0時，直線y=Ax+b經(jīng)過第一、三、四象限；

當k<0,且b>0時，直線y=經(jīng)過第一、二、四象限;

當k<0,且b<0時，直線y=Zx+b經(jīng)過第二、三、四象限;

把上述判斷反過來表達，也是正確的.

說明根據(jù)圖像來總結(jié)性質(zhì)，將書本上的圖補充完整：

3.應(yīng)用性質(zhì)

例題5:一次函數(shù)y=(2—a)x—3的函數(shù)值y隨著自變量x的值的增大而增大.

(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)指出圖像所經(jīng)過的象限.

補充例題:根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，畫出以下直線的草圖：y=x+4,y=-43x-2,

y=(3-乃)x+4

三、穩(wěn)固練習課本書上P13練習20.312)

四、課堂小結(jié)總結(jié)直線y=kx+b(k。。力H0)經(jīng)過象限與k、b的關(guān)系.

五、作業(yè)布置練習冊20.3(2)

分層作業(yè)：金牌一課一練B卷13頁11.12

教學(xué)反思：學(xué)生對圖像過幾個象限能判斷K,b的符號，反之掌握也很好。但是不經(jīng)過某一

象限時，學(xué)生考慮情況不全面，還有根據(jù)一個圖像的情況來判斷另一個圖像的可能，不是準

確。

20.4(1)一次函數(shù)的應(yīng)用

教學(xué)目標：

知識與技能：經(jīng)歷把實際問題中的有關(guān)變量以及關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表示出來的過程，領(lǐng)會一次

函數(shù)的意義，掌握列函數(shù)解析式的方法和步驟,能根據(jù)題意正確熟練地列出函數(shù)解析式.

過程與方法：體會應(yīng)用一次函數(shù)的知識解決簡單的實際問題的作用，增強應(yīng)用函數(shù)方法解決

實際問題的意識.

情感態(tài)度與價值觀：會畫實際問題的函數(shù)圖像，注意實際問題中的定義域.

教學(xué)重點及難點

1、根據(jù)題意列出一次函數(shù)解析式.

2、應(yīng)用函數(shù)的思想方法解決簡單的實際問題.

教學(xué)用具準備

多媒體課件：PPt

教學(xué)過程設(shè)計

一、情景引入

1.問題：

2006年7月12日，劉翔以12秒88的成績獲得瑞士洛桑田徑超級大獎賽金牌，并打破沉睡

13年之久、由英國名將科林.杰克遜創(chuàng)造的12秒91的世界紀錄，這是中國人的驕傲.假設(shè)

劉翔在110米跨欄比賽中速度是勻速的，那么槍響后，劉翔離終點的距離y米與他所跑的

時間x秒之間的函數(shù)關(guān)系式是

2.思考:

審題分析，離終點的距離y=110-已跑過的路程，已跑過的路程=速度X時間.因為速度

13751375

=1104-12.88=-^(米/秒)，所以y=110—tx(O<x?12.88)

161161

說明創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生興趣，進一步領(lǐng)會一次函數(shù)的意義.

二、學(xué)習新課

例1：某市為鼓勵居民節(jié)約用水和加強對節(jié)水的管理，制定了以下每月每戶用水的收費

標準：①假設(shè)用水量不超過8立方米，每立方米收費0.8元，并加收每立方米0.2元的污水

處理費;②用水量超過8立方米時，在①的根基上,超過8立方米的局部,按每立方米收費1.6

元,并加收每立方米0.4元的污水處理費.

(1)設(shè)某戶一個月的用水量為x立方米，應(yīng)交水費為y元，試分別對①②兩種情況，寫出y

關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出函數(shù)的定義域.(2)假設(shè)某用戶某月所交水費為26元，則該居

民用戶該月的用水量是多少噸

1、審題，給學(xué)生讀題獨力思考、小組討論的時間.

2、分析：水費隨著所用水量的變化而變化，它們之間存在函數(shù)關(guān)系，且隨著用水量范圍的不

同，水費也有著不同的計算方式，實質(zhì)上它們是分段函數(shù).根據(jù)收費標準在①的情況

下，°<%<8,這時每立方米應(yīng)收費0.8+0.2=1(元)，故了=(0.8+0.2)%=%.丫與x是正

比例函數(shù).在②的情況下，%>8時，有8立方米的用水按①應(yīng)收費8元，超過8立方米的局

部每立方米水收費1.6+0.4=2(元)，應(yīng)收費2(x-8)(元)，所以y=8+2(x-8)=2x-8.y是x的一

次函數(shù).第2小問，學(xué)生應(yīng)考慮代入②式中的y求x.

3、解答：教師板演，標準書寫，特別是定義域不可遺漏.

4、指導(dǎo)學(xué)生畫出上述函數(shù)的圖像.實際問題函數(shù)圖像，根據(jù)定義域的不同，圖像可能是線段

或射線，且要注意端點是實心點還是空心點的問題.

5、小結(jié)：建設(shè)函數(shù)關(guān)系解題的步驟：

(1)仔細審題，確定變量.

⑵找出等量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式位(元)

(3)根據(jù)實際要求,寫出函數(shù)定義域

(4)一般可根據(jù)定義域的端點來取值，描點，作出實際問題的函數(shù)

像.

說明從學(xué)生熟悉的的水費計算問題中，學(xué)生初步體驗建設(shè)函8

系的過程就是把問題中的有關(guān)變量及其關(guān)系用數(shù)學(xué)的形式表示出

------------>

x(立方米)

(2)

過程也就是函數(shù)模型建設(shè)的過程.本例的學(xué)習為學(xué)生學(xué)習例2,用數(shù)學(xué)方法解決實際問題打

下良好的根基.

例2：據(jù)報道，某地區(qū)從1995年底開場，每年增加的沙漠面積幾乎一樣，1998年底

該地區(qū)的沙漠面積約為100.6萬公頃，2001年底擴展到101.2萬公頃，如果不進展有效治

理，試估計到2020年該地區(qū)的沙漠面積.

1、審題，學(xué)生獨立思考.

2、小組討論，全班交流.

解法一：（算術(shù)解法）（101.2-100.6）+3=0.2（萬公頃/年）

0.2X（2020-1998）+100.6=105（公頃）

答:估計到2020年該地區(qū)的沙漠面積為105萬公頃.

解法二:分析數(shù)量關(guān)系,合理確定變量和常量.其中1998年沙漠面積100.6萬公頃,2001年

101.2萬公頃,每年增加的沙漠面積是常量.沙漠面積隨著年數(shù)的增加而增加，所以,年數(shù)是

自變量,沙漠面積是年數(shù)的函數(shù).以1999年為第一年,第x年的沙漠面積=1998的沙漠面積+x

年內(nèi)增加的沙漠面積.

解:設(shè)該地區(qū)每年增長的沙漠面積為。萬公頃，以1999年為第一年，第x年的沙漠面積為y

公頃，那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系為y=以+100.6

2001年是第三年，當x=3時，y=101.2,即101.2=3a+100.6,解得a=0.2.所以

y=0.2x+100.6.2020年是第22年，當x=22時，y=0.2X22+100,6=105

答：估計到2020年該地區(qū)的沙漠面積為105萬公頃.

解法三：分析數(shù)量關(guān)系,建設(shè)函數(shù)模型,用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式后求解.

解：以1999年為第一年，設(shè)第x年的沙漠面積為y公頃，則y=Ax+b.再由

%=0時',丁=100.6;%=3時',丁=101.2,確定y=0.2%+100.6.當

x=22時，求出j=105.

答:估計到2020年該地區(qū)的沙漠面積為105萬公頃.

說明在教學(xué)過程中可能大局部學(xué)生樂意采用解法一，算術(shù)解法好理解，書寫簡單，答案易

求.但教師要善于引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)的數(shù)學(xué)思想來解決問題，讓學(xué)生體會根據(jù)函數(shù)解析式可

以預(yù)測未來任何一年的沙漠面積，知道函數(shù)是描述客觀世界的變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.逐

步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題的意識和能力.解法三對學(xué)生函數(shù)的建模能力要求比

照高,教師可根據(jù)學(xué)生的實際情況進展教學(xué).

三、穩(wěn)固練習

1、某地普通的收費標準如下：通話時間不超過3分鐘收費0.2元，3分鐘后每超過1

分鐘收費0.15元.寫出話費y（元）與通話時間x（分鐘）函數(shù)關(guān)系式.

解：此題分兩種情況：

（1）當0<xW3時，函數(shù)關(guān)系式是y=0.2；

（2）當x>3時，函數(shù)關(guān)系式是y=0.2+0.15（x-3）.

2、按國家1999年8月30日公布的有關(guān)個人所得稅的規(guī)定，全月應(yīng)納稅額（所得稅征收方

法規(guī)定：月收入元的局部不收稅；）不超過的稅率為5%,超過500元至2000元局部的稅率

為10%.設(shè)全月應(yīng)納稅額為x元，且500VxW2000,應(yīng)納個人所得稅為y元，求y關(guān)于x的函

數(shù)解析式和自變量的取值范圍；

解：y=500X5%+（x-500）X10%=0.lx-25（500<xW2000）

所求的函數(shù)解析式為y=0.lx-25,

自變量x的取值范圍為500<x<2000.

四、課堂小結(jié)

1、

法十而右哪此感1

2、通過本節(jié)工實際問題函數(shù)問題

五、作業(yè)布置

分層作業(yè)

金牌B卷16J

教學(xué)反思：解決實際問題_________?建設(shè)函數(shù)關(guān)系

根據(jù)實際問題/'J0：2V八八人/1JI國數(shù)的思想方法來/UT1八1"J-T"MJlvJ'1rMZJ?/'JI；IJ剛學(xué)習函

數(shù)的八年級學(xué)生來說還是有一定難度的，所以教學(xué)設(shè)計從學(xué)生感興趣的、熟悉的劉翔110米

跨欄這個具有實際背景的問題出發(fā)，分析變量以及它們的數(shù)量關(guān)系，建設(shè)函數(shù)關(guān)系.在問題

一的根基上進一步學(xué)習了例題1,學(xué)生體會了在不同的范圍內(nèi)，變量之間存在不同的依賴關(guān)

系，建設(shè)了不同的函數(shù)關(guān)系式，有利于學(xué)生深刻領(lǐng)會函數(shù)的概念，有利于提高列函數(shù)關(guān)系式

的能力.通過實際問題函數(shù)圖像畫法的學(xué)習，樹立學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，以上到達了本節(jié)課學(xué)

習的根本目標.

20.4（2）一次函數(shù)的應(yīng)用

教學(xué)目標：

知識與技能：經(jīng)歷把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，會應(yīng)用一次函數(shù)知識分析和處理一些

較為復(fù)雜的問題，提高應(yīng)用函數(shù)知識解題的能力.

過程與方法：能獲取一次函數(shù)圖像中信息，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想.

情感態(tài)度與價值觀:初步體會應(yīng)用函數(shù)思想分析和研究實際問題中的數(shù)量關(guān)系及其變化趨勢,

是為人們作判斷和決策而服務(wù)的，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性.

教學(xué)重點及難點

1、應(yīng)用一次函數(shù)知識分析和處理一些較為復(fù)雜的問題.

2、獲取一次函數(shù)圖象中信息，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想.

教學(xué)用具準備

多媒體課件,彈簧,刻度尺，一個質(zhì)量為2.5千克的祛碼.

教學(xué)過程設(shè)計

一、問題引入，探究新知

問題1：

彈簧在一定限度內(nèi)，它的長度y（厘米）與所掛重物質(zhì)量x（千克）是一次函數(shù)關(guān)系，

如果有一根彈簧、一把刻度尺和一個質(zhì)量為2.5千克的物體（在彈性限度內(nèi)），你能用這根彈簧

制作一把簡單的彈簧秤嗎？

1.思考分析

（1）材料準備：一根彈簧、一把刻度尺和一個質(zhì)量為2.5千克的物體（在彈性限度內(nèi)）.

（2）試一試:討論在制作彈簧秤的過程中，關(guān)鍵要確定什么？問題中“彈簧在一定限度內(nèi)，它的

長度y（厘米）與所掛重物質(zhì)量x（千克）是一次函數(shù)關(guān)系”這句話的實際意義是什么？

2、成果交流

制作彈簧秤的原理:制作彈簧秤時關(guān)鍵要知道每掛一千克的重物彈簧的長度，這樣就可以制作

出表示重量的刻度了.而“彈簧在一定限度內(nèi)，它的長度y（厘米）與所掛重物質(zhì)量x（千克）

是一次函數(shù)關(guān)系”說明彈簧在一定限度內(nèi)，每掛一千克重物彈簧伸長的量是一樣的.所以用

彈簧制作彈簧秤關(guān)鍵是確定彈簧長度與所掛重物質(zhì)量之間的函數(shù)解析式，可設(shè)

y=kx+b（kw0），通過兩組對應(yīng)值用待定系數(shù)法確定人與。，而利用手中的材料可得到

這兩組對應(yīng)值.

制作彈簧秤的方法：先量出彈簧不掛重物時的長度，假設(shè)長度為6（厘米），再量出彈簧掛上2.5

千克重物時的長度，假設(shè)長度為7.5（厘米），即得到兩組對應(yīng)

值：x=0時,y=6;x=2.5時,y=7.5,代入y=kx+b（k^0）中，得函數(shù)解析式

3<

y=+6.我們只要分別取X=l,2,3,…，得到對應(yīng)的y的值，標記出相應(yīng)的重量的刻度,彈

簧秤就制作成功了.當然利用函數(shù)解析式也可知，當彈簧的長度是7（厘米）時,重物的質(zhì)量為之

3

千克.說明動手操作，在“做中學(xué)"，學(xué)生經(jīng)歷把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，提高了應(yīng)用

函數(shù)知識的能力.

二、穩(wěn)固方法，學(xué)會應(yīng)用

問題2：一家公司招聘銷售員，給出以下兩種薪金方案供求職人員選擇，方案甲:每月的底薪

為1500元，再加每月銷售額的10%;方案乙:每月的底薪為750元，再加每月銷售額的20%，如

果你是應(yīng)聘人員，你認為應(yīng)該選擇假設(shè)何的薪金方案？

1、審題

首先確定實際問題轉(zhuǎn)化為假設(shè)何的數(shù)學(xué)問題？“假設(shè)何選擇"關(guān)鍵是看哪一種方案薪金高.

而每月薪金又依賴每月的銷售額.在明確常量和變量的根基上，用字母合理表示變量,尋找數(shù)

量之間的等量關(guān)系.

2、分析

變量:月薪y(tǒng)（元），月銷售額為x（元）

等量關(guān)系:每月薪金=每月底薪+銷售額X百分率

“選擇哪種方案"，實質(zhì)是比照兩個函數(shù)值y的大小.顯然，兩個函數(shù)值的大小，隨著x的變化而

變化，要比照它們的大小，可以先探索x取何值時，y尸y2,進而根據(jù)函數(shù)的圖像性質(zhì)探索函

數(shù)值的變化趨勢，判斷它們的大小.也可以先假設(shè)任意一種情形，例如y'y2,通過解不等式，求

得x的范圍，作出斷斷.還可以通過兩函數(shù)值的差的符號?來比照函數(shù)值的大小后作出判斷.

“解法一:設(shè)月薪y(tǒng)（元），月銷售額為x（元）

方案甲：y=1500+專道%>0）

方案乙:y=750+1%（%>0）

當yqi=yz,時;150°+歷X=750