2023年湖南桃江高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請按要求用筆。

3.請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合A={0,1,2,3},8=卜|尤=〃2-1,"6力，p=Ac8,則P的子集共有（）

A.2個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)

2.已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（3,〃。（根＜0）且S皿a=叵機(jī)，則sin2c=（）

10

4334

A.-B.-C.--D.一一

5555

3.如果直線+=l與圓C:*2+y2=1相交，則點(diǎn)與圓C的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)M在圓C上B.點(diǎn)M在圓C外

C.點(diǎn)M在圓C內(nèi)D.上述三種情況都有可能

4.已知拋物線的焦點(diǎn)為尸，拋物線上任意一點(diǎn)P,且尸。_Ly軸交y軸于點(diǎn)Q,則而?拜的最小值為（）

11

A.--B.--C.-ID.1

42

5.下列幾何體的三視圖中，恰好有兩個(gè)視圖相同的幾何體是（）

A.正方體B.球體

C.圓錐D.長寬高互不相等的長方體

6.關(guān)于圓周率萬，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，某同學(xué)通

過下面的隨機(jī)模擬方法來估計(jì)乃的值：先用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生20（）（）個(gè)數(shù)對（x,y）,其中x,3都是區(qū)間（0,1）上的均勻隨機(jī)

數(shù)，再統(tǒng)計(jì)X,）'能與1構(gòu)成銳角三角形三邊長的數(shù)對（x,y）的個(gè)數(shù)相；最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)〃?來估計(jì)乃的值.若機(jī)=435,

則萬的估計(jì)值為（）

A.3.12B.3.13C.3.14D.3.15

7.函數(shù)“"=35言與8（6=辰一％在［-6,8］上最多有〃個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)分別為（x,y）。=1,……，〃）,則

￡（七+止（）

i=］

A.7B.8C.9D.10

8.已知集合4=｛1|1<%<24｝,5=^x1^=',——>,則亳8=（）

.'y]-x2+6x-5,

A.｛x|x>5｝B.1x|5<x<24｝

C.｛x|xWl或x?5｝D.1x15<x<24｝

9.設(shè)和々為〃%）=8$由5-以九公《口>0）的兩個(gè)零點(diǎn)，且|看一xj的最小值為1,則①=（）

717171

A.7tB.一C.一D.一

234

22

10.若雙曲線號(hào)—￡=1（〃>0力>0）的漸近線與圓（x—2）2+y2=i相切，則雙曲線的離心率為（）

A,R石r26nR

A.2B?C?-------D?yj3

23

11.如圖示，三棱錐P-ABC的底面ABC是等腰直角三角形，NACB=90°,且PA=PB=A8=0,PC=6

則PC與面Q鉆所成角的正弦值等于（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在正方體ABCO-A&GA中，E,尸分別為棱A4,AA的中點(diǎn)，則直線￡口與直線AB所成角的正切值為

14.已知數(shù)列｛4｝滿足％=L對任意〃22,〃eN*,-——匚=2"\則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式a,=.

anan-\

15.在數(shù)列｛4｝中，卬=1,《m=2〃—a“，則數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式4=.

16.設(shè)數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“，已知％+%+%=99,生+%+%=93,若對任意〃eN*都有

s“<Sk成立，則％的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABC。是矩形，面底面ABC。，且AZAD是邊長為2的等

邊三角形，PC=在PC上，且巳4||面加6。.

（2）在以上是否存在點(diǎn)F,使二面角/一即-知為直角？若存在，求出工的值；若不存在，說明理由.

AP

18.（12分）如圖，四棱錐P—A3CZ）的底面為直角梯形AB7OC,NA5c=90。，AB=BC=l,8=2,PCI

底面ABC。，且PC=6,E為CO的中點(diǎn).

（1）證明：BE±APt

（2）設(shè)點(diǎn)M是線段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線AM與直線DP所成的角最小時(shí)，求三棱錐P-CQ歷的體積.

19.（12分）設(shè)aeR,函數(shù)/（x）=/六，一。（工一1）.

（1）當(dāng)i=l時(shí),求八幻在（22）內(nèi)的極值；

4

（2）設(shè)函數(shù)g（x）=0（x）+a（x—1-3?當(dāng)g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)玉,々（當(dāng)<々）時(shí)，總有Zgajwa/'a），求實(shí)數(shù)

2的值.

20.（12分）某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了了解某產(chǎn)品年產(chǎn)量x（噸）對價(jià)格y（千克/噸）和利潤z的影響，對近五年該產(chǎn)品的年產(chǎn)量和

價(jià)格統(tǒng)計(jì)如下表：

Xi2345

y17.016.515.513.812.2

（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程y=Bx+d；

（2）若每噸該產(chǎn)品的成本為12千元，假設(shè)該產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)測當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，年利潤w取到最大值?

nn

￡玉＞廠〃工亍工（七一可（＞，一》）

參考公式：b=上匕-----------=J-------------,a=y-bx

2—2V-'/—\2

之尤;-戒2ta-可

/=1/=!

21.（12分）在AABC中，。、b、c分別是角A、B、C的對邊，且（a+8+c）（a+》-c）=3他.

（1）求角C的值；

（2）若c=2,且AABC為銳角三角形，求a+力的取值范圍.

22.（10分）已知A/WC滿足_______,且b=瓜,A=上，求s%C的值及“WC的面積.（從①6=工，②。=百,

34

③。=3&s%B這三個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充到上面問題中，并完成解答.）

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

根據(jù)集合A中的元素，可得集合3,然后根據(jù)交集的概念，可得尸，最后根據(jù)子集的概念，利用2"計(jì)算，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：A=（0,1,2,3）,8=卜卜=-1,"eA}

當(dāng)〃=0時(shí)，x=-\

當(dāng)〃=1時(shí)，x=0

當(dāng)〃=2時(shí)，x=3

當(dāng)〃=3時(shí)，x=S

所以集合B=[x\x=〃2—eA}={-1,0,3,8}

則P=AcB={0,3}

所以P的子集共有2z=4

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的運(yùn)算以及集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算，當(dāng)集合。中有“元素時(shí)，集合P子集的個(gè)數(shù)為2"，真子集個(gè)數(shù)為

2"-1，非空子集為2"-1，非空真子集為2"-2,屬基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求出加=-1,得出口3,-1),得出sina和cosa,再利用二倍角的正弦公式，即可求出結(jié)

果.

【詳解】

根據(jù)題意，=解得/〃=-1,

3n1+910

所以加=(3,—1),

s-p..屈3V10

所以sma=-----,cosa=-----，

1010

3

所以sin2c=2sin?cos?=--.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式，考查計(jì)算能力.

3.B

【解析】

根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑可得。力滿足的條件，利用M(a,方)與圓心的距離判斷即可.

【詳解】

直線"+勿=1與圓C：/+,2=1相交,

I-H

圓心(0,0)到直線辦+勿=1的距離”<1,

Va2+b2

即\]a2+b2>1?

也就是點(diǎn)M（a,b）到圓C的圓心的距離大于半徑.

即點(diǎn)M（a,b）與圓C的位置關(guān)系是點(diǎn)M在圓C外.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

4.A

【解析】

設(shè)點(diǎn)則點(diǎn)Q（O,y）,F（1,O）,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得而?麗=布（V—2『一利用二次函

數(shù)的性質(zhì)可得最值.

【詳解】

/2\

解：設(shè)點(diǎn)P亍,y,則點(diǎn)Q（O,y）,F（1,O）,

V■

??.而-T°r

:.PQPF=-y----y-——AI/

16416v

當(dāng)＞2=2時(shí)，麗.所取最小值，最小值為--.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線背景下的向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

根據(jù)基本幾何體的三視圖確定.

【詳解】

正方體的三個(gè)三視圖都是相等的正方形，球的三個(gè)三視圖都是相等的圓，圓錐的三個(gè)三視圖有一個(gè)是圓，另外兩個(gè)是

全等的等腰三角形，長寬高互不相等的長方體的三視圖是三個(gè)兩兩不全等的矩形.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查基本幾何體的三視圖，掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.

6.B

【解析】

先利用幾何概型的概率計(jì)算公式算出x,)'能與1構(gòu)成銳角三角形三邊長的概率，然后再利用隨機(jī)模擬方法得到x,y

能與1構(gòu)成銳角三角形三邊長的概率，二者概率相等即可估計(jì)出乃.

【詳解】

因?yàn)閄,)’都是區(qū)間(()』)上的均勻隨機(jī)數(shù)，所以有0<x<l,0<y<l,若X,>能與1構(gòu)成銳角三角形三邊長，

則<22,，由幾何概型的概率計(jì)算公式知p4、兀m435,

［十',I1x14n2000

435

所以乃=4x(1---)=3.13.

2000

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何概型的概率計(jì)算公式及運(yùn)用隨機(jī)數(shù)模擬法估計(jì)概率，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一個(gè)中檔題.

7.C

【解析】

根據(jù)直線g(x)過定點(diǎn)(1,0),采用數(shù)形結(jié)合，可得最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后利用對稱性，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：直線g(x)=日—左過定點(diǎn)(1,0)

且/(x)=cos:在［-6,8］是關(guān)于(1,0)對稱

如圖

通過圖像可知：直線g(x)與/(x)最多有9個(gè)交點(diǎn)

同時(shí)點(diǎn)(1,0)左、右邊各四個(gè)交點(diǎn)關(guān)于(1,0)對稱

所以E（七+%）=2x4+1=9

i=l

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)對稱性的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合，難點(diǎn)在于正確畫出圖像，同時(shí)掌握基礎(chǔ)函數(shù)y=cosx的性質(zhì)，屬難題.

8.D

【解析】

首先求出集合B,再根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得；

【詳解】

解：,?,一X2+6%-5>0,解得l<x<5

二8={x[l<x<5},/.6AB={x15<x<24}.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

9.A

【解析】

先化簡已知得/(?=25足(松-2TT),再根據(jù)題意得出￡6)的最小值正周期T為1x2,再求出3的值.

6

【詳解】

TT

由題得,f(x)=2sin(vvx-7)，

6

設(shè)xi,X2為f(x)=2sin((ox--7)(o)>0)的兩個(gè)零點(diǎn)，且卜-耳的最小值為

6

T

?,.-=1?解得T=2；

2

24

=

--29

CD

解得(0=71.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

利用圓心(2,0)到漸近線的距離等于半徑即可建立間的關(guān)系.

【詳解】

\2b\=

由已知，雙曲線的漸近線方程為法士紗=0,故圓心(2,0)到漸近線的距離等于1,即=1,

yja2+b-

所以/=3此三=卜可=弓=當(dāng)

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線離心率的求法，求雙曲線離心率問題，關(guān)鍵是建立”,〃,c三者間的方程或不等關(guān)系，本題是一道基礎(chǔ)

題.

11.A

【解析】

首先找出PC與面所成角，根據(jù)所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系

求出所成角的正弦值.

【詳解】

由題知AAHC是等腰直角三角形且ZACB=90°,ZiABP是等邊三角形，

設(shè)A3中點(diǎn)為。，連接PO,CO,可知R?=亞，CO=—

22

同時(shí)易知A3,PO,AB1CO,

所以45上面POC,故NPOC即為PC與面Q4B所成角,

PO2+CO2-PC22V2

有cos/.POC=

2PoeO

故sinZPOC=Jl-cos/POC=-.

3

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

由題意，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式兒1=得(1一2x)7展開式的通項(xiàng)為〃用=(—2)"冊宗，貝!I

(1—2司展開式的通項(xiàng)為7；+1=(-2)",由攵一1=2,得左=3,所以所求一的系數(shù)為(—2)3《=—280.故選

x

點(diǎn)睛：此題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及組合數(shù)、整數(shù)幕的運(yùn)算等有關(guān)方面的知識(shí)與技能，屬于中低

檔題，也是?？贾R(shí)點(diǎn).在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中，注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)，先求出通項(xiàng)公式r+i=c/"7/,再根

據(jù)所求問題，通過確定未知的次數(shù)，求出廠，將廠的值代入通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算，從而問題可得解.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.G

【解析】

由中位線定理和正方體性質(zhì)得七///86，從而作出異面直線所成的角，在三角形中計(jì)算可得.

【詳解】

如圖，連接A2,BC,,4G，???￡尸分別為棱的中點(diǎn)，/〃42，

又正方體中A5//G2，A6=aQ,即ABqq是平行四邊形，??.ADJ/BCi，.?.EF//8G，NA^G(或其補(bǔ)角)

就是直線EF與直線48所成角，A4RG是等邊三角形，.?.乙418&=60。，其正切值為6.

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查異面直線所成的角，解題關(guān)鍵是根據(jù)定義作出異面直線所成的角.

1

14.-------

2"-1

【解析】

利用累加法求得數(shù)列，，，的通項(xiàng)公式，由此求得｛g｝的通項(xiàng)公式.

【詳解】

(11、

由題，-=+…++1

anq

1+2+2?+…+2"T=2"—1

1

所以

2"-1

1

故答案為:

2"-1

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

〃，/1為奇數(shù)

15.4

〃-為偶數(shù)

【解析】

由題意可得勺+1-a“_i2(〃..2),又q=1,數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，對“分奇數(shù)和

〃為奇數(shù)

偶數(shù)兩種情況，分別求出明，從而得到數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式a?=<

〃-1,“為偶數(shù).

【詳解】

解：???《用=2〃一4,

；.=2n①,an+an_t=2(n-l)(幾.2)②,

①-②得：an+]-a,,”=2(幾.2),又,.?％=1,

???數(shù)列｛??｝的奇數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為b公差為2的等差數(shù)列,

.,.當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，a,=n,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，則〃一1為奇數(shù)，二?！?2(〃一1)-a,-=2(〃-1)一(〃-1)=〃-1,

〃，“為奇數(shù)

數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為

〃一1,〃為偶數(shù)

n,〃為奇數(shù)

故答案為：

〃-為偶數(shù)

【點(diǎn)睛】

本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題關(guān)鍵是由已知遞推關(guān)系得出??+1-4一=2（〃..2）,從而確定數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差

數(shù)列，求出通項(xiàng)公式后再由已知求出偶數(shù)項(xiàng)，要注意結(jié)果是分段函數(shù)形式.

16.20

【解析】

由已知條件得出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解出這兩個(gè)量，計(jì)算出S“，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出S“的最大值及

其對應(yīng)的“值，即可得解.

【詳解】

〃]+%+%=3q+9d=994=39

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,由＜解得

生+。5+。8=3。1+12J=93d=-2

n(n-l}d

???S”=叫+---=39〃一〃(〃-1)=一/+40〃=-(〃-20『+400.

所以，當(dāng)〃=20時(shí)，s,取得最大值，

對任意〃eN'都有S,＜S,成立，則Sk為數(shù)列｛S.｝的最大值，因此，左=20.

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列前”項(xiàng)和最值的計(jì)算，一般利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

A/73

17.（1）見解析;（2）F==.

AP8

【解析】

試題分析：（1）連AC交60于E可得E是AC中點(diǎn)，再根據(jù)PA||面MB?？傻肞A||用E,進(jìn)而根據(jù)中位線定理可得結(jié)

果；（2）取AD中點(diǎn)O,由（1）知。AOE,OP兩兩垂直.以。為原點(diǎn)，。4,。石,。/＞所在直線分別為》軸,丁軸，二軸

建立空間直角坐標(biāo)系，求出面的一個(gè)法向量〃，用X表示面尸的一個(gè)法向量而，由五?歷=0可得結(jié)果.

試題解析：⑴證明：連AC交BO于E,連ME.A3CD是矩形，二￡是AC中點(diǎn).又以||面MBD，且ME是面PAC

與面ME歸的交線，，||ME,，M是PC的中點(diǎn).

⑵取A。中點(diǎn)。，由(1)知0AoE,OP兩兩垂直.以。為原點(diǎn)，0A所在直線分別為％軸,

)‘軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，則各點(diǎn)坐標(biāo)為

A(l,0,0),B(l,3,0),￡>(-l,0,0),C(-l,3,0),P(0,0,V3),M.

設(shè)存在尸滿足要求，且尊=4,則由而=4而得：F(l-A,0,>5/l),面M8D的一個(gè)法向量為萬=卜,一

Ar3J

2?―2、42-23

面EBD的一個(gè)法向量為玩=1,由而而=0,得l+x+-^=0,解得/1==,故存在F,使二面角

35瘋,9328

AU3

F—BD—M為直角,此時(shí)——=

AP8

18.(1)見解析；(2)2包.

9

【解析】

(1)要證明只需證明BE1平面P4c即可；

(2)以C為原點(diǎn)，分別以麗，而，麗的方向?yàn)閤軸、)，軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求

cos<AM,DP>，并求其最大值從而確定出8貶=；8戶使問題得到解決.

【詳解】

(1)連結(jié)AC、AE,由已知，四邊形A8CE為正方形，則AC_L6E①，因?yàn)镻C_L底面

ABCD,則PCJ_BE②，由①②知BE1平面以C,所以BEJ.AP.

(2)以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

X

則A(1,1,O),8(0,1,0),0(2,0,0),

P(0,0,V2),所以麗=(一1,0,0),而=(0,—1,正)，。戶=(—2,0,痣)，設(shè)兩=九而,

(O<A<1),貝！]磁=通+麗=(一1,—九④㈤，所以cos<R0，萬戶AMDP

>~\AM\\DP\

2+22V64+1...................................之+1t

7;一產(chǎn)=-0一，設(shè)4+]='e[l,2],貝!|/;-I,一

,1+3%.瓜3Jl+342VI+32-J31-6/+4

[_____234..

1—6~J~~2—訂—3?所以當(dāng)一=彳，即，=—時(shí)，cos(麗7,。戶〉取最大值，

\-——+3\(——r23

ttVt24

從而<A法,。戶〉取最小值，即直線AM與直線0P所成的角最小，此時(shí);l=/-l=g,

——1—

則BM=-8P,因?yàn)?C_LC。，BCLCP,則3CL平面POC,從而M到平面POC的

3

距離'=QBC=—,所以=V"-PC。=Qx5x2xMx—=~~~~?

JJJ乙JJZ

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直證線線垂直、異面直線直線所成角計(jì)算、換元法求函數(shù)最值以及等體積法求三棱錐的體積，考查的

內(nèi)容較多，計(jì)算量較大，解決此類問題最關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，是一道中檔題.

19.(1)極大值是/⑴=1,無極小值；(2)2=—

e+1

【解析】

(1)當(dāng)。=1時(shí)，可求得r(x)=(2"；?-e'',令〃(X)=(2X-X2)_，T,利用導(dǎo)數(shù)可判斷力(X)的單調(diào)性并得其零點(diǎn),

e

從而可得原函數(shù)的極值點(diǎn)及極大值；

(2)表示出g(x),并求得g，(x)=(-f+2x+〃)**,由題意，得方程-f+2x+a=0有兩個(gè)不同的實(shí)根玉，花(占<%),

從而可得A=4+%>0及石+々=2,由％<馬，得玉<1.則&g(%)，，)可化為玉[2/f-/?』+1)]?0對任意

的玉G(-8,l)恒成立，按照芯=0、玉6(0,1)、%€(-8,0)三種情況分類討論，分離參數(shù)X后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值

可解決；

【詳解】

(1)當(dāng)。=1時(shí)，r(x)=9-：一.

e

^h(x)=2x-x2-ex-},則l(x)=2—2x—,顯然〃'(x)在上(之,2)單調(diào)遞減，

4

又因?yàn)楣蕏w(3,2)時(shí)，總有/?'(x)<0,所以力(功在(之,2)上單調(diào)遞減.

42%44

3

由于〃(1)=0,所以當(dāng)x￡(一,1)時(shí)，Mx)>0；當(dāng)％w(l,2)時(shí),h(x)<0.

4

當(dāng)工變化時(shí)，/'(X)、的變化情況如下表:

X小)1(1,2)

f'M+-

/(x)增極大減

3

所以/⑴在憶2)上的極大值是")=1,無極小值.

(2)由于g(x)=(x2—a)ei,則((幻=(*+2X+”)/-*.由題意，方程-%2+2x+a=0有兩個(gè)不等實(shí)根西丹，貝!]

—A'"|+2Xj+a=0

A=4+4a>0,解得a>-l,且，-x、+2々+a=0,又玉<々，所以王<1.

玉+/=2

由X2g(%)<4/'(%),f'(x)=(2x-x2)el~x-a,可得.(M-aM*4〃(2項(xiàng)一小武為一0

2

又*2=2-玉,“=;<一2%.將其代入上式得：2玉(2-玉)4R(2X1-YDJF+(2x,-xl)].

Xllx1-X,

整理得x,[2e'--A(e-'+1)1<0,即丹[2廣為一Z(e+l)]<0,Vx(e(-oo,l)

當(dāng)％=0時(shí)，不等式XJ2/F-+l)]V0恒成立，即幾cR.

當(dāng)王e(0,1)時(shí)，2/小一43』+1)40恒成立，即----令-幻=:￡_,易證依x)是R上的減函數(shù).因

產(chǎn)+1人+1

此，當(dāng)xw(0,l)時(shí)，k(x)<k(0)=-^9故42—

e+1e+\

當(dāng)西6(-8,0)時(shí)，+1)20恒成立，即,

/F+1

r\r*

因此，當(dāng)XGj8,0)時(shí)，々(^，^((^=—幺所以4^一幺.

e+\e+\

綜上所述，2-—.

e+\

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、研究函數(shù)的極值等知識(shí)，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分

析問題解決問題的能力，該題綜合性強(qiáng)，難度大，對能力要求較高.

20.(1)y=18.69-1.23x(2)當(dāng)x=2.72時(shí)，年利潤z最大.

【解析】

(1)方法一：令2=丁-10,先求得二關(guān)于x的回歸直線方程，由此求得y關(guān)于x的回歸直線方程.方法二：根據(jù)回歸

直線方程計(jì)算公式，計(jì)算出回歸直線方程.方法一的好處在計(jì)算的數(shù)值較小.

(2)求得W的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)作出預(yù)測.

【詳解】

(1)方法一：取2=丁一10,則得X與2的數(shù)據(jù)關(guān)系如下

X12345

Z7.06.55.53.82.2

元=1(1+2+3+4+5)=3,

z=|(7.0+6.5+5.5+3.8+2.2)=5,

工xjzi=1x7.0+2x6.5+3x5.5+4x3.8+5x2.2=62.7,

5

JX,2=12+22+32+42+52=55.

/=1

Yx^Sxy

62.7-5x3x5

:.b=------------=-1.23,

55—5x3?

-5J2

；=i

4=三一癥=5-(—123)x3=8.69,

z關(guān)于A-的線性回歸方程是z=8.69—1.23x即亍—10=z=8.69—1.23x,

故)'關(guān)于X的線性回歸方程是y=18.69-1.23x.

方法二：因?yàn)樵?((1+2+3+4+5)=3,

y=-(17.0+16.5+15.5+13.8+12.2)=15,

5

1x17.0+2x16.5+3x15.5+4x13.8+5x12.2=212.7,

/=1

5

=12+22+32+42+52=55,

i=i

'XT百

212.7-5x3x15

b=y-------------=-1.23

55—5x3?

所以&=9一宸=15—(一123)x3=18.69,

故)'關(guān)于x的線性回歸方程是y=18.69-1.23%,

(2)年利潤w=x(l8.69-1.23x)-l2x=-1.23x2+6.69x,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當(dāng)x=2.72時(shí)，年利潤二最大.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查回歸直線方程的求法，考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

21.(1)C=1.(2)(273,4].

【解析】

(1)根據(jù)題意，由余弦定理求得cosC=L,即可求解c角的值；

2

(2)由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡得到a+b=4sin(A+?J,再根據(jù)ZVLBC為銳角三角形，求得

TTTT

利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.

62

【詳解】

(1)由題意知(4+。+。)(。+/?—<?)=3<2/?,.，.42+/一。2=4人，

〃2人2_21

由余弦定理可知，cosC=2+-—

lab2

n

又???Cc(0,%),，C=—?

3

，=上=3

(2)由正弦定理可知，sinAsin3.乃3即<7=—V3sinA,h=—\/3sinB

sm—33

3

JQ