福建省福州市2024屆高三第三次質量檢測數(shù)學試題（含答案解析）

福建省福州市2024屆高三第三次質量檢測數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知復數(shù)z滿足(z+l)i=l+i,貝！Jz=()

A.-1B.1C.-iD.i

2.已知角以的頂點在坐標原點，始邊與1軸非負半軸重合,cosa=為其終

邊上一點，則機=()

A.-4B.4C.-1D.1

/+3

3.函數(shù)=的圖象大致為()

4.在菱形ABCD中，若卜8-=|明，且AD在A8上的投影向量為,則X=()

A.~~B.4C.一包D.立

2222

5.己知。=logs2,)=logz。,。=[g]，貝!1()

A.c>b>aB.c>a>bC.a>b>cD.b>c>a

6.棱長為1的正方體ABC。-AgGA中，點尸為5R上的動點，。為底面ABC。的中

心，則。尸的最小值為()

A石R戈「瓜n琳

3362

7.若直線丁=辦+》與曲線y=e”相切，則〃+人的取值范圍為()

A.(-co,e]B.[2,e]C.[e,+oo)D.[2,+oo)

8.函數(shù)/(工)=25]!15：(?1110￥+以)5血：)3>0)在(0,鼻)上單調遞增，且對任意的實數(shù)4,

/（x）在m,a+兀）上不單調，則。的取值范圍為（）

￡5

A.B.c._L*D.

252254

二、多選題

2

9.雙曲線C:二1=1（。>0）的左、右焦點分別為用月，且C的兩條漸近線的夾角為

a3。

6,若困司=2e?為C的離心率），則（）

A.a=lB.嶗

C.e=0D.C的一條漸近線的斜率為G

10.定義在R上的函數(shù)〃尤）的值域為（y,0）,且〃2%）+〃%+h〃工-村=0,則（）

A.〃。)=-1B./(4)+[/(1)]2=0

C./(x)/(-%)=1D./(x)+/(-%)<-2

11.投擲一枚質地均勻的硬幣三次，設隨機變量

-J,黑黑黑（I，",記4表示事件“XT=?！?8表示事件5=1，，,

X.

C表示事件“X+X2+X3=-l”,則()

A.3和C互為對立事件B.事件A和C不互斥

C.事件A和B相互獨立D.事件8和C相互獨立

三、填空題

12.1+展開式中的常數(shù)項為.

13.己知圓錐的體積為立萬，且它的側面展開圖是一個半圓，則它的母線長為

3

14.設I,為數(shù)列｛%｝的前幾項積，若T.+a“=m,其中常數(shù)"2>0,則%=（結果

用機表示）；若數(shù)列為等差數(shù)列，則機=

四、解答題

2乃

15.TWC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且asinC=csinB,C=石.

試卷第2頁，共4頁

⑴求B;

⑵若，13c面積為主叵，求BC邊上中線的長.

4

16.如圖，在三棱柱ABC-A笈G中，平面Me。，平面460,48=40=6。=^=2,

A^B='Jf).

(1)設。為AC中點，證明：AC1WAOB；

⑵求平面AA片與平面ACC.A夾角的余弦值.

17.從一副撲克牌中挑出4張。和4張K,將其中2張。和2張K裝在一個不透明的

袋中，剩余的2張。和2張K放在外面.現(xiàn)從袋中隨機抽出一張撲克牌，若抽出。，

則把它放回袋中：若抽出K,則該撲克牌不再放回，并將袋外的一張。放入袋中.如此

操作若干次，直到將袋中的K全部置換為Q,

(1)在操作2次后，袋中K的張數(shù)記為隨機變量X,求X的分布列及數(shù)學期望；

⑵記事件“在操作”+l(〃eN*)次后，恰好將袋中的K全部置換為?！睘?,記

￡=P(A).

(i)在第1次取到。的條件下，求總共4次操作恰好完成置換的概率；

(ii)試探究匕+1與巴的遞推關系，并說明理由.

18.在直角坐標系xOy中，已知拋物線C：丁2=2"(0>0)的焦點為死過/的直線/

與C交于M,N兩點，且當/的斜率為1時，|"N|=8.

⑴求C的方程；

(2)設/與C的準線交于點P,直線P0與C交于點。(異于原點)，線段MN的中點為R,

若|少區(qū)3,求△MV。面積的取值范圍.

19.若實數(shù)集4,8對均有(1+a)空1+曲，則稱Af8具有Bernoulli

型關系.

⑴若集合M={x|尤叫,N={1,2},判斷MfN是否具有Bernoulli型關系，并說明理由;

⑵設集合5=口柱>-1},7={尤?>/},若SfT具有Bernoulli型關系，求非負實數(shù)f的

取值范圍;

(3)當weN*時，證明："<n+-

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的四則運算，即可求解.

【詳解】(z+l)i=l+i,

故選：C.

2.D

【分析】根據(jù)已知條件，結合任意角的三角函數(shù)的定義，即可求解.

【詳解】始邊與X軸非負半軸重合，cosa=旦,尸(九2)為其終邊上一點，

5

則芳==4，且機>0,解得根=1.

yjm+43

故選：D.

3.A

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域以及奇偶性即可求得答案.

Y2+3

【詳解】因為函數(shù)=的定義域為R,排除CD,

V%+i

又"-x)=/(x)，即/a)為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，排除B.

故選：A.

4.B

【分析】根據(jù)給定條件，結合向量減法可得=再利用投影向量的意義求出力.

【詳解】由卜8-4回=|明，得|。@=|叫，而A3CD是菱形，則是正三角形，

于是=工，ADAB=|AD||AB|cos-=-|AB|2,

332

因此4。在AB上的投影向量為四邛=所以2=

|AB|222

故選：B

5.B

【分析】判斷出Ovavl,b<0,c>l,即可求解.

答案第1頁，共13頁

【詳解】log5\<a=log52<log55=1,，0<a<1；

Z?=log2a<log2l=0,故b<0；

c=>d'故c>l，故c>a>6.

故選：B.

6.C

【分析】由題意可得OP的最小值為點。到線段BR的距離，借助相似三角形的性質計算即

可得.

【詳解】由題意可得。尸的最小值為點0到線段82的距離，

在平面OQ8內(nèi)過點。作OP，8R于點p,

由題意可得。2=1,DB=6,，BD、=6，平面ABC。,

因為D3u平面ABCD,則因為0pBs.RDB,

OPOB72

故---=----即CP0DD、X1

伙DD]BDT_^.

XBD,6一6

故選：C.

【分析】借助導數(shù)的幾何意義計算可得a+b=（2-m）e"',借助導數(shù)得到函數(shù)〃x）=（2-x）e*

的值域即可得解.

【詳解】對于y=el有y'=e：令切點為（也門，則切線方程為產(chǎn)6'"（>加）+心，

即y=e"'x+（l-m）e'",即有a+b=e"'=（2—m）e",

令/（尤）=（2-x）e*,則/⑺=（l—x）e"

答案第2頁，共13頁

當尤<1時，y,(x)>o,當x>i時，,

故〃X)在(-”,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，

故/⑺W/(l)=(2-l)ei=e,

又當x趨向于正無窮大時，“X)趨向于負無窮，

故/(x)e(-oo,e],即a+be(-co,e].

故選：A.

8.D

【分析】利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式可得/(x)=2sin(2s-?+6,由題

9/7)777TTT5

意利用正弦函數(shù)的單調性可得等-三4],所以。V：,利用正弦函數(shù)的周期性可求“X)的

周期T=§<2兀，解得/〉二,即可得解.

2G2

【詳解】因為/(九)=2sincox(上sincox+coscox)

=2百sin2cox+2sin5coscox

=sin2a)x-6cos2a)x+5/3

=2sin(26;x-q+6,

又因為且0>0,則2①1一]￡[一§,—^—\,

若了⑺在%)上單調遞增，

所以一、弓，所以°<o1，

因為對任意的實數(shù)。，f(x)在(。，。+兀)上不單調，

所以『3的周期7=三<2無，所以。>彳，

2。2

所以！<0

24

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查正弦函數(shù)單調性求參數(shù)，關鍵是整體思想的應用及對任意實

數(shù)。，/(無)在(。,。+兀)上不單調與周期間的關系.

9.ABD

【分析】求得雙曲線的焦點，漸近線方程，結合離心率公式，對選項判斷可得結論.

答案第3頁，共13頁

22,

【詳解】雙曲線C：t-與=1(“>0)的耳(-2",0),F,(2a,0),e=—=2,

a3aa

由|單冒=2e,可得4a=4,解得a=l,故A正確，C錯誤；

由雙曲線的漸近線方程>=±氐,則兩條漸近線的傾斜角為,

ITTT

故兩漸近線的夾角為H，可得。=§,故BD正確.

故選：ABD.

10.ACD

【分析】利用賦值法及基本不等式結合選項可得答案.

【詳解】令x=y=o,則有/⑼+[/(0)丁=0,解得"0)=0或/(o)=-1,

因為函數(shù)/(X)的值域為(—8,。)，所以〃0)=-1,A正確；

令x=l,y=0,則有〃2)+[/⑴丁=0,即/(2)=-"⑴T

令x=2,y=0,則有八4)+[/(2)了=0,即〃4)+"(1)]4=0,B不正確；

令x=o,則有f(o)+〃y)/(_y)=o,所以y)=l,即〃X)/(T)=1,C正確;

因為〃x)<0,所以一/(力>0,-/(-x)>0,

所以「〃切+卜〃一切22"(無)=2,當且僅當/(x)=T(r)時，取到等號，

所以/(x)+/(f)<—2,D正確.

故選：ACD

11.BC

【分析】根據(jù)題意，由對立事件的定義分析A,由互斥事件的定義分析B,由相互獨立事件

的定義分析CD,綜合可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，A表示事件“XI+X2=0”，即前兩次拋擲中，一次正面，一次反面，則

尸(A)=c；$=g,

B表示事件“乂2=1”，即第二次拋擲中，正面向上，則P(3)=；,

C表示事件“X]+X2+X3=-l"，即前三次拋擲中，一次正面，兩次反面，P(C)

答案第4頁，共13頁

依次分析選項：

對于A,事件8、C可能同時發(fā)生，則事件3、C不是對立事件，A錯誤；

對于B,事件A、C可能同時發(fā)生，則事件A和C不互斥，B正確；

對于C,事件A8,即前兩次拋擲中，第一次反面，第二次正面，P(AB)=gxg=(,

由于尸(A)尸(3)=尸(48),則事件A和8相互獨立，C正確；

對于D,事件3C,即三次拋擲中，第一次和第三次反面，第二次正面，P(BC)=ixlxl=l

ZZZO

尸(3)尸(C)wP(BC),事件8、C不是相互獨立事件，D錯誤.

故選：BC.

12.160

【分析】由題意利用二項式定理可得解.

【詳解】二項式(x+￡|6的展開式的通項公式&=&2,正2,,

令6-2廠=0,可得廠=3,

所以展開式中的常數(shù)項為C：X23=160.

故答案為：160.

13.2

【分析】由側面展開圖是一個半圓可得/=2r,再根據(jù)體積建立關系即可求出.

【詳解】設圓錐的底面半徑為人母線長為/,

因為它的側面展開圖是一個半圓，貝1」2口=兀/,即/=2r,

又圓錐的體積為！/產(chǎn)＞，/2一/=3,

33

則可解得r=尊=2,故母線長為2.

故答案為：2.

【分析】由已知遞推關系分別令〃=1,n=2,〃=3即可求解電，然后結合等差數(shù)列的性質

即可求解心，并檢驗.

【詳解】因為I為數(shù)列｛%｝的前〃項積，Tn+an=m,

答案第5頁，共13頁

幾=1時，Tx=ax=—

2m

當冏=2時，（+出=4。2+。2=^。2+。2=根，即%=,

m+2

m

cn-uT2m

〃=3tFJ，A+%=61a2%+%=—x----q+6=根，

1'2m+2'

則n,.右m念（m+篇2），

1211

若數(shù)列｛書｝為等差數(shù)列，則7=彳+7

4122123

所以2(m+2)_2+療+根+2

m2mm3

整理得，m2—3m+2—0>

解得〃z=l或加=2.

T1111

檢驗：當根=1時，Tn+an=l,貝！時，（+廣=1,則1+廠=弘，即〒-〒=1,

11〃-1nn-\

故為以2為首項，1為公差的等差數(shù)列;

T12

當機=2時，1+%=2,則〃之2時，］+宣~=2,則1+廠二7

4-14-1

1

故工+^~=2|—+x,得％=—1,

1111

即y--l=22-1,又5=1,故〈2-1卜為常數(shù)列，即5=1,易知其為等差數(shù)列.

\n74

2m

故答案為:;1或2.

m+2

【點睛】關鍵點點睛：本題考查數(shù)列遞推關系求通項，關鍵是特值思想求值并證明.

71

15.(DB=-

⑵與

【分析】（1）邊化角即可得到角B；

（2）根據(jù)A=B,得。=），再根據(jù)三角形面積公式即可得到a=b=VL再由正弦定理得邊

再由2A￡>=AB+AC，即可得到答案.

【詳解】（1）asinC=csinB,由正弦定理邊化角.31145畝。=5111。$1118,

sinCw0,sinA=sinB,

答案第6頁，共13頁

：.A=B^A+B=TI(舍)，

又，3=g

36

JL27T7T

(2)B=-,C=—,A=-,:.a=b,

636

：.S^^-absmC,即型=!/.且，得q=b=G，

2422

ac

由正弦定理一,

sinAsinC

得c=*=3,

sinA

設3c邊的中點為。，連接AD,如下圖:

2AD=AB+AC，即(2A￡>)2=(A8+AC)2,

IP4AD2^c2+b2+2/JCCOSA,解得AO=".

2

16.(1)證明見解析;

⑵￡

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質得出3DLAC,根據(jù)平面ACC、，平面A3C得出301

平面ACGA，BD±AiD,利用勾股定理得出AC，A。，從而證明AC,平面；

(2)建立空間直角坐標系，利用坐標表示向量，求出平面44瓦的法向量和平面ACGA的

一個法向量，利用向量求平面AA片與平面ACGA的夾角余弦值.

【詳解】(1)證明：因為。為AC中點，且AS=AC=3C=2,

所以在10ABe中，有3OLAC,且2。=相，

又平面AceaJ_平面ABC,且平面ACG4I平面ABC=AC，B￡)u平面ABC,

所以平面ACGA,

答案第7頁，共13頁

又ADU平面ACGA，則8。，Al。,

由4臺="，BD=-j3,得AD=6，

因為AD=1,AA=2,AD=K,所以由勾股定理，得AC_L4。，

又ACLBD,\D8O=D，AD.BDu平面A。B,所以AC,平面4。8；

(2)如圖所示，以。為原點，建立空間直角坐標系。-孫z,

可得A(1,O,O),4(0,0,73),8(0,73,0),

貝|的=(-1,0,⑹,A3=(-1,60),

設平面AAB1的法向量為〃=(x,y'z)’

由(1)知，8￡)/平面ACGA，

所以平面ACGA的一個法向量為8。=(0,-6,0),

記平面4人月與平面4口?0的夾角為a,

\n-BD\代卡

則cosa=----------=——產(chǎn)=——,

\n\\BD\V5xV35

所以平面AAB,與平面ACCH夾角的余弦值為￡.

513

(2)(i)—:(ii)匕+1=萍"+^匕’理由見解析.

答案第8頁，共13頁

【分析】(1)由題意可知，X的所有取值為0,1,2,求出相應的概率，進而得到X的分布

列，再結合期望公式求出E(X)即可；

(2)(i)利用條件概率公式求解；

(ii)設事件B表示“"次操作后袋中還剩1張K”，則尸(B)=4匕，￡向為〃+2次操作

后，恰好將袋中的K全部置換為Q,分2種情況求得月.=熹+P(B)x^,代入尸(8)

216

=4R,即可得到向與尸”的遞推關系.

【詳解】(1)由題意可知，X的所有取值為0,1,2,

71199935??1

貝|尸(*=0)=1,1=3，P(X=l)=-x-+-x-=-,X=2)=-x-=-,

448444484P4(4

所以X的分布列為：

1519

所以^(X)=0x-+lx-+2x—=—；

oo4o

(2)(i)記事件E表示“第1次取到Q”，事件/表示“總共4次操作恰好完成置換”，

則尸(E)=；,

依題意，若第一次取到Q,則剩余的3次操作，須將袋中K全部置換為Q,

①若第二次也取出Q,則第三次和第四次均須取出K,

廿如4AL12211

—2X—4X—4X—4=-3--2--,

②若第二次取出K,則第三次取出。，第四次取出K,

其概率為工x2x3xLa

KI—八244464

135

綜上所述,P(EF)=------1------=—

326464

5

一5

所以P(F|E)="^=64-一

一1

P(E)32

2-

即在第1次取到Q的條件下，總共4次操作恰好完成置換的概率為卷;

13

(ii)%=哀+衿理由如下：

答案第9頁，共13頁

設事件8表示“〃次操作后袋中還剩1張K”，

依題意，匕為〃+1次操作后，恰好將袋中的K全部置換為Q,而發(fā)生這樣的情況需“次操作

后袋中還剩1張K,且第〃+1次抽中K,

則勺=；尸（8）,即尸（8）=4匕，

匕為〃+2次操作后，恰好將袋中的K全部置換為Q,發(fā)生這樣需2種情況：

①“次操作后袋中還剩2張K（即前"次全取Q,概率為/）,并且第〃+1次和〃+2次全取

K,

②"次操作后袋中還剩1張K,第"+1次取。，第九+2次取K,

Io1aila

所以2+1=-^x-x-+尸（B）x-x-=——+P（B）x—

〃同2"44442計3v716

1Q

又因為尸（8）=4月，所以以=擊+制.

18.（l）/=4x

（2）（2,673]

【分析】（1）設出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，由焦點弦長公式

得到方程，求出。=2,得到答案；

（2）在（1）基礎上得到R（2加2+1,2時，進而求出Q（m2,2m），故QR〃犬軸，得到必|=療+1,

表達出5"畋=2（療+1）-"U=2|Q珅，結合1<|QR|V3,得到答案.

【詳解】（1）因為過尸的直線/與C交于M,N兩點，故直線/的斜率不為0,

不妨設/的方程為無=歿+言，,N（x2,y2）,

聯(lián)立/與C的方程，得9-2“卯y-p2=0,

2m

yi+y2=P>%%=-/，

貝=玉+尤2+/?=機（y+、2）+22=2"療+1）,

.??由題可知當根=1時，|肱V|=8,

:?P=2,

答案第10頁，共13頁

?,?C的方程為,2=4%.

(2)由(1)知力=/；%=2m,

將R的縱坐標2+代入口=沖+1,得網(wǎng)2m2卡1,2時，

易知C的準線方程為4-1,又/與。的準線交于點P,

IT]

則直線。尸的方程為x=聯(lián)立。尸與C的方程，得產(chǎn)=2沖,

：.Q,R的縱坐標相等，

...直線QR〃x軸，

2

.?.幽=|2m+l-trr\=nr+l,

?點。異于原點,

m0,

:儂<3,

???2<2以屋6白,即$MNQ￡(2,.

【點睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：

(1)幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決;

(2)代數(shù)法，若題目的條件和結論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù),

再求這個函數(shù)的最值或范圍.

19.⑴具有Bernoulli型關系,理由見解析；

答案第11頁，共13頁

(2)口，+8)

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)定義判斷是否滿足(1+/21+仍即可；

(2)4f(x)=(l+x)b-bx-],xeS,Z?e(O,-H?),再對其求導，分6=1,b〉l,0<b<l=

種情況分析單調性及最值，即可求解；

(3)化簡(7抬/=(1+5/，可得《>_1且根據(jù)(2)中的結論，可得

(1+J_)i<l+J_.±=l+_L,再根據(jù)％的范圍求出擊的范圍，進而可求出(1+5聲的范圍,

最后可得不(7裊尸的范圍.

【詳解】(1)依題意，MfN是否具有Be77Toidli型關系,等價于判定以下兩個不等式對于

Vx>l是否均成立：

?(1+x)1>1+x,(2)(1+尤)？>1+2x,

>1,(1+x)1=1+x,(1+x)2—l+2x+x2>1+2%

MfN具有Bernoulli型關系.

(2)令/(x)=(1+x)”-fcv-1,xeS,be(0,-H?),

則r(x)=fe[(l+x)w-l],

①當6=1時，顯然有(1+a)”=1