中考數(shù)學一輪復習專題4.4特殊三角形驗收卷(原卷版+解析)

專題4.4特殊三角形驗收卷注意事項：本試卷滿分100分，試題共23題，選擇10道．填空6道、解答7道.答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．答題時間：60分鐘一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2023秋·湖北隨州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，為邊上一點，連接，則下列推理過程中，因果關系與所填依據(jù)相符的是（

）A．（已知），（等角對等邊）B．平分，（已知），（角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等）C．，（已知），（線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等）D．，（已知），（等腰三角形三線合一）2．一塊三角板（含45°、45°角）和一把直尺擺放位置如圖所示，直尺與三角板的一角相交于點A，一邊與三角板的兩條直角邊分別相交于點D、點E，且DE＝2CD，點F在直尺的另一邊上，那么∠BAF的大小為（）A．10° B．15° C．20° D．30°3．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，I為的內(nèi)心，過點I作，分別交于D、E，則的周長為（）A．12 B．14 C．16 D．244．（2023秋·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點D在的邊上，點P在射線上（不與點A，D重合），連接，．下列命題中，假命題是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則5．（2023秋·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）《九章算術》中記載了一個“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？題意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？設折斷處離地面的高度為尺，則可列方程為（）A． B．C． D．6．（2023秋·安徽六安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為9的等邊三角形中，，，則的長為（

）A．6 B．7 C．7.5 D．87．（2023秋·云南昆明·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，點A在第一象限，與x軸的夾角為，點P是x軸上動點，若以P，O，A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．6個8．（2023春·河北廊坊·八年級廊坊市第四中學?？茧A段練習）如圖，在中，，分別以、、為直徑向外作半圓，它們的面積分別記作、、，其中，，（

）A． B． C． D．9．（2023·全國·九年級專題練習）已知是等邊三角形，點P在上，過點P作，垂足為D，延長至點Q，使，連接PQ交AC于點E，如圖所示．如果等邊的邊長為4，那么線段的長為（）A．1 B．2 C． D．10．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，點D為線段上一動點（不與點B，C重合），連接，作，交線段于點E．下面是某學習小組根據(jù)題意得到的結(jié)論：甲同學：；乙同學：若，則；丙同學：當時，D為的中點．則下列說法正確的是（

）A．只有甲同學正確 B．乙和丙同學都正確C．甲和丙同學正確 D．三個同學都正確二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，若點恰好在線段上，，則的度數(shù)為________；12．（2023春·八年級單元測試）如圖，在中，，將繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，則陰影部分的面積為_____．13．（2023秋·江蘇揚州·八年級?？计谀┤鐖D，將等邊放在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B在第一象限，將等邊繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到，則點的坐標是_____．14．（2023春·四川成都·九年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①分別以點A，B為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點E，F(xiàn)；②作直線；③以點B為圓心，以為半徑畫弧交直線于點G；④連接交于點P．則_________．15．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊上的中線，M是上的一個動點，N是上的一個動點，連接則的最小值是_____．16．（2023春·浙江衢州·九年級衢州市實驗學校教育集團（衢州學院附屬學校教育集團）校聯(lián)考階段練習）拓展課上，同學們準備用卡紙做一個底面為邊長為的正六邊形，高為的無蓋包裝盒，它的表面展開圖如圖1所示．（1）若選用長方形卡紙按圖2方式剪出包裝盒的表面展開圖，則的長為______；（2）若選用一塊等邊三角形卡紙按圖3方式剪出包裝盒表面展開圖，則這個等邊三角形的邊長為______．三、解答題（本大題共7小題，共62分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2023春·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在中，，平分，交于點D，過點D作于點E．(1)求證：；(2)若，求的長．18．（2023秋·湖北隨州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，已知，，，．(1)用直尺和圓規(guī)在圖中作出邊的垂直平分線交于點，連接（只保留作圖痕跡并標注字母即可）；(2)求的周長；(3)求的度數(shù)．19．（2023秋·四川樂山·八年級統(tǒng)考期末）“村村通”是我國的一項重要民生工程，如圖，、、三個村都分別修建了一條互通的公路，其中，現(xiàn)要在公路邊修建一個景點，（、、在同一直線上），為方便村村民到達景點，又修建了一條公路，測得：，，．(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)求公路的長．20．（2023秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）在中，，，，垂足為G，且．，其兩邊分別交邊，于點E，F(xiàn)．(1)求證：是等邊三角形；(2)求證：．21．（2023春·福建泉州·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，，是斜邊上的中點，、分別是、邊上的點，且(1)若，，求四邊形的面積.(2)求證：.22．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，點為中點，點在射線上運動，線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)當點與點重合時，請直接寫出與的數(shù)量關系；(2)當點在線段上時，請寫出線段，，的數(shù)量關系，并說明理由；(3)若，，請直接寫出的面積．23．（2023秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知等邊和等邊，連接，，，與交于點D，與交于點O，且．，垂足為點E．求證：(1)；(2)；(3)．專題4.4特殊三角形驗收卷注意事項：本試卷滿分100分，試題共23題，選擇10道．填空6道、解答7道.答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．答題時間：60分鐘一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2023秋·湖北隨州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，為邊上一點，連接，則下列推理過程中，因果關系與所填依據(jù)相符的是（

）A．（已知），（等角對等邊）B．平分，（已知），（角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等）C．，（已知），（線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等）D．，（已知），（等腰三角形三線合一）【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的三線合一逐項判斷即可得．【詳解】解：A、（已知），（等邊對等角），則因果關系與所填依據(jù)不相符，此項不符合題意；B、平分，（已知），（角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等），因為與不垂直，與不垂直，則因果關系與所填依據(jù)不相符，此項不符合題意；C、，（已知），（線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等），則因果關系與所填依據(jù)相符，此項符合題意；D、，（已知），（等腰三角形三線合一），因為條件沒有等腰三角形，則因果關系與所填依據(jù)不相符，此項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的三線合一，角平分線珠性質(zhì)定理，熟練掌握這些知識是解題關鍵．2．一塊三角板（含45°、45°角）和一把直尺擺放位置如圖所示，直尺與三角板的一角相交于點A，一邊與三角板的兩條直角邊分別相交于點D、點E，且DE＝2CD，點F在直尺的另一邊上，那么∠BAF的大小為（）A．10° B．15° C．20° D．30°【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)DE＝2CD，得出∠CED=30°，再根據(jù)DE∥AF，即可得到∠CAF=30°，最后根據(jù)∠BAC=45°，即可得出∠BAF的大?。驹斀狻拷猓河蓤D可得，CA=CB，∠C=90°，∠CBA=∠BAC=45°，∵∠C=90°，DE＝2CD，∴∠CED=30°，又∵DE∥AF，∴∠CAF=∠CED=30°，∵∠BAC=45°，∴∠BAF=45°-30°=15°，故選：B．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，同位角相等．3．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，I為的內(nèi)心，過點I作，分別交于D、E，則的周長為（）A．12 B．14 C．16 D．24【答案】B【分析】連接，根據(jù)內(nèi)心定義得到，，利用平行線的性質(zhì)得到，，推出，證得，即可求出答案．【詳解】解：連接∵I為的內(nèi)心，∴平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴的周長為，故選：B．【點睛】此題考查了三角形內(nèi)心的定義，平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)心的定義得到平分，平分是解題的關鍵．4．（2023秋·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點D在的邊上，點P在射線上（不與點A，D重合），連接，．下列命題中，假命題是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)逐項判斷即可．【詳解】解：若，，則是中點，∴是的垂直平分線，∴，∴故選項A是真命題，不符合題意；，即，又，∴是的垂直平分線，∴，∴故選項B是真命題，不符合題意；若，，則，是中點，∴是的垂直平分線，∴，∴故選項C是真命題，不符合題意；若，，不能得到，故選項D是假命題，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查命題與定理，解題的關鍵是掌握等腰三角形的“三線合一”定理．5．（2023秋·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）《九章算術》中記載了一個“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？題意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？設折斷處離地面的高度為尺，則可列方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合勾股定理列出方程即可．【詳解】解：設折斷處離地面的高度為尺，則斜邊為尺，根據(jù)勾股定理可得，，故選：C．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用及由實際問題抽象出一元二次方程的知識，根據(jù)題意正確應用勾股定理是解題關鍵．6．（2023秋·安徽六安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為9的等邊三角形中，，，則的長為（

）A．6 B．7 C．7.5 D．8【答案】B【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可知，，從而可得，．再根據(jù)，可求出，即證明，從而可證，得出，代入數(shù)據(jù)即可求出的長，最后由即可求解．【詳解】解：∵為邊長為9的等邊三角形，∴，，∴，．∵，∴，∴，∴，∴，即，解得：，∴．故選B．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應用，三角形相似的判定和性質(zhì)等知識．熟練掌握三角形相似的判定定理及其性質(zhì)是解題關鍵．7．（2023秋·云南昆明·八年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象限，與x軸的夾角為，點P是x軸上動點，若以P，O，A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．6個【答案】A【分析】由題意得：，從而利用等邊三角形的判定可得是等邊三角形，然后分三種情況：當時，當時，當時，即可解答．【詳解】解：如圖：由題意得：，∵是等腰三角形，∴是等邊三角形，分三種情況：當時，以點O為圓心，以長為半徑作圓，交x軸于點，；當時，以點A為圓心，以長為半徑作圓，交x軸于點；當時，作的垂直平分線，交x軸于點；綜上所述：以P，O，A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有2個，故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，坐標與圖形的性質(zhì)，分三種情況討論是解題的關鍵．8．（2023春·河北廊坊·八年級廊坊市第四中學?？茧A段練習）如圖，在中，，分別以、、為直徑向外作半圓，它們的面積分別記作、、，其中，，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由勾股定理得，再由圓面積公式得，，，即可得出結(jié)論．【詳解】解：在中，，，，，，故選C．【點睛】本題主要考查了勾股定理，掌握勾股定理及圓的面積公式是解決本題的關鍵．9．（2023·全國·九年級專題練習）已知是等邊三角形，點P在上，過點P作，垂足為D，延長至點Q，使，連接PQ交AC于點E，如圖所示．如果等邊的邊長為4，那么線段的長為（）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】如圖，過點P作，交于點F，利用已知條件可以得到是等邊三角形，然后可以證明，接著利用等邊三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：如圖，過點P作，交于點F，則，∵是等邊三角形，∴，∴，∴也是等邊三角形，而，∴，又∵，∴，∴，∵于D，是等邊三角形，∴，∴，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，同時也利用了全等三角形的性質(zhì)于判定，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．10．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，點D為線段上一動點（不與點B，C重合），連接，作，交線段于點E．下面是某學習小組根據(jù)題意得到的結(jié)論：甲同學：；乙同學：若，則；丙同學：當時，D為的中點．則下列說法正確的是（

）A．只有甲同學正確 B．乙和丙同學都正確C．甲和丙同學正確 D．三個同學都正確【答案】D【分析】在中，依據(jù)三角形外角及已知可得，結(jié)合等腰三角形易證；結(jié)合，易證，得到；當時，結(jié)合已知求得，易證，依據(jù)等腰三角形“三線合一”得【詳解】解：在中，，，，，，，甲同學正確；，，，，，乙同學正確；當時，，，，，，，D為的中點，丙同學正確；綜上所述：三個同學都正確故選：D．【點睛】本題考查了三角形外角、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；解題的關鍵是通過“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和”得到．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，若點恰好在線段上，，則的度數(shù)為________；【答案】##70度【分析】根據(jù)平行的性質(zhì)得到，進而得到，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，推出，，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了平行的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關鍵．12．（2023春·八年級單元測試）如圖，在中，，將繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，則陰影部分的面積為_____．【答案】25【分析】過A作于D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合圖形得出即可求解．【詳解】解：過A作于D，如圖：在中，，將繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，∴，∴，∴是等腰三角形，，∵，∴，∴，又∵，且，∴，故答案為：25．【點睛】題目主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關鍵．13．（2023秋·江蘇揚州·八年級?？计谀┤鐖D，將等邊放在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B在第一象限，將等邊繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到，則點的坐標是_____．【答案】【分析】過點作軸于點E，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得到，，進而得到，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，，從而得到，證明是等腰指直角三角形，最后利用勾股定理求出，即可得到點的坐標．【詳解】解：過點作軸于點E，點A的坐標為，，是等邊三角形，，，，繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，是等腰指直角三角形，，由勾股定理得，，，點在第四象限，點的坐標是，故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關鍵．14．（2023春·四川成都·九年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①分別以點A，B為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點E，F(xiàn)；②作直線；③以點B為圓心，以為半徑畫弧交直線于點G；④連接交于點P．則_________．【答案】105°##105度【分析】如圖，由題意易得，，，則有，進而問題可求解．【詳解】解：如圖所示：由題意得垂直平分，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)及線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．15．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊上的中線，M是上的一個動點，N是上的一個動點，連接則的最小值是_____．【答案】##【分析】連接由等腰三角形的性質(zhì)可知：是的垂直平分線，得，則，即當點三點共線,且時，最小值為的長，利用等面積法求出的長即可．【詳解】解：連接∵是中線，∴，∴是的垂直平分線，∴，∴，即當點三點共線時，=，∴時，最短，∴∴最小值為：故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，兩點之間，線段最短，垂線段最短等知識，將最小值轉(zhuǎn)化為的長是解題的關鍵．16．（2023春·浙江衢州·九年級衢州市實驗學校教育集團（衢州學院附屬學校教育集團）校聯(lián)考階段練習）拓展課上，同學們準備用卡紙做一個底面為邊長為的正六邊形，高為的無蓋包裝盒，它的表面展開圖如圖1所示．（1）若選用長方形卡紙按圖2方式剪出包裝盒的表面展開圖，則的長為______；（2）若選用一塊等邊三角形卡紙按圖3方式剪出包裝盒表面展開圖，則這個等邊三角形的邊長為______．【答案】

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##【分析】（1）如圖所示，設正六邊形的圓心為O，過點O作于N，交于M，連接，先證明四邊形是矩形，得到，求出，則可證明是等邊三角形，得到，，利用勾股定理求出，得到，則由對稱性可知；（2）如圖所示，設正六邊形的圓心為O，過點O作于N，于M，由（1）可得，先得到，證明，得到，求得，同理可得，則．【詳解】解：（1）如圖所示，設正六邊形的圓心為O，過點O作于N，交于M，連接，由題意得，四邊形是矩形，，，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，由正六邊形的性質(zhì)可得，又∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴由對稱性可知，故答案為：；（2）如圖所示，設正六邊形的圓心為O，過點O作于N，于M，由（1）可得，∵是等邊三角形，∴，在和中，，∴，∴，∴，同理可得，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線是解題的關鍵．三、解答題（本大題共7小題，共62分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2023春·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在中，，平分，交于點D，過點D作于點E．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)BD=10【分析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)求出，根據(jù)定理求出兩個三角形全等即可；（2）求出，，根據(jù)含角的直角三角形性質(zhì)求出即可．【詳解】（1）解：平分，，，在和中，；（2），，，，，．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定以及的直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．18．（2023秋·湖北隨州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，已知，，，．(1)用直尺和圓規(guī)在圖中作出邊的垂直平分線交于點，連接（只保留作圖痕跡并標注字母即可）；(2)求的周長；(3)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)27(3)【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的尺規(guī)作圖即可得；（2）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的周長公式即可得；（3）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)角的和差即可得．【詳解】（1）解：作圖如下：（2）解：邊的垂直平分線交于點，，，，的周長為．（3）解：，，，，，．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關鍵．19．（2023秋·四川樂山·八年級統(tǒng)考期末）“村村通”是我國的一項重要民生工程，如圖，、、三個村都分別修建了一條互通的公路，其中，現(xiàn)要在公路邊修建一個景點，（、、在同一直線上），為方便村村民到達景點，又修建了一條公路，測得：，，．(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)求公路的長．【答案】(1)是直角三角形，理由見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理進行解答即可；（2）根據(jù)勾股定理進行解答即可．【詳解】（1）解：是直角三角形，理由如下：在中，∵，，，∴，，∴，∴是直角三角形且；（2）設，則，在中，由勾股定理得，即，解得，答：公路的長為．【點睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應用，解題關鍵是理解并掌握勾股定理及其逆定理．20．（2023秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）在中，，，，垂足為G，且．，其兩邊分別交邊，于點E，F(xiàn)．(1)求證：是等邊三角形；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和已知條件得出，再由，即可得出結(jié)論；（2）由是等邊三角形，得出，，證出，由證明，得出，進而可證得．【詳解】（1）證明：∵，，∴．∵，∴．又∵，∴是等邊三角形．（2）證明：∵是等邊三角形，∴，．∵，∴．∴，∴．在與中，，∴．∴．又∵，∴，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關鍵．21．（2023春·福建泉州·九年級校考階段練習）如圖，在中，，是斜邊上的中點，、分別是、邊上的點，且(1)若，，求四邊形的面積.(2)求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）連接，在中，，為邊的中線，得出，，，繼而證明，得出，然后根據(jù)即可求解；（2）延長至點，使得，連接，，證明，由，則，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】（1）解：連接，如圖1，在中，，為邊的中線，，，，又，，