2025屆河南省洛陽市理工學院附中數學高一下期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

2025屆河南省洛陽市理工學院附中數學高一下期末學業(yè)質量監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知在中，，則的形狀是A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形2．在中，若，，，則（）A．， B．，C．， D．，3．如圖，點為正方形的中心，為正三角形，平面平面是線段的中點，則（）A．，且直線是相交直線B．，且直線是相交直線C．，且直線是異面直線D．，且直線是異面直線4．下列說法正確的是（）A．命題“若，則.”的否命題是“若，則.”B．是函數在定義域上單調遞增的充分不必要條件C．D．若命題，則5．若展開式中的系數為-20，則等于（）A．-1 B． C．-2 D．6．《九章算術》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內切圓的直徑為多少步？”現若向此三角形內隨機投一粒豆子，則豆子落在其內切圓外的概率是()A． B． C． D．7．我國古代名著《九章算術》中有這樣一段話：“今有金錘，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤．”意思是：“現有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構成等差數列，該金錘共重多少斤？（）A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤8．三棱錐則二面角的大小為()A． B． C． D．9．如圖，在平行四邊形中，下列結論中錯誤的是（）A． B． C． D．10．已知數列的前項和為，且，，則（）A．200 B．210 C．400 D．410二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若在區(qū)間（且）上至少含有30個零點，則的最小值為_____．12．一條河的兩岸平行，河的寬度為560m，一艘船從一岸出發(fā)到河對岸，已知船的靜水速度，水流速度，則行駛航程最短時，所用時間是__________（精確到）．13．已知向量、滿足：，，，則_________.14．若，則__________.（結果用反三角函數表示）15．函數的值域為______.16．在空間直角坐標系中，點關于原點的對稱點的坐標為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在等差數列中，已知,.（I）求數列的通項公式；（II）求.18．已知關于的不等式．（1）若不等式的解集為，求實數的值；（2）若不等式的解集為，求實數的取值范圍．19．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點.（1）求的值；（2）已知為銳角，，求的值.20．己知數列是等比數列，且公比為，記是數列的前項和.（1）若＝1，＞1，求的值；（2）若首項，，是正整數，滿足不等式|﹣63|＜62，且對于任意正整數都成立，問：這樣的數列有幾個？21．在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面積S=5，b=5，求sinBsinC的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

利用正弦定理可將已知中的等號兩邊的“邊”轉化為它所對角的正弦，再利用余弦定理化簡即得該三角形的形狀．【詳解】根據正弦定理，原式可變形為：所以整理得．故選．【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.2、A【解析】

利用正弦定理列出關系式，把與代入得出與的關系式，再與已知等式聯立求出即可.【詳解】∵在中，，，，∴由正弦定理得：，即，聯立解得：.故選：A.【點睛】本題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理是解本題的關鍵，屬于基礎題.3、B【解析】

利用垂直關系，再結合勾股定理進而解決問題．【詳解】如圖所示，作于，連接，過作于．連，平面平面．平面，平面，平面，與均為直角三角形．設正方形邊長為2，易知，．，故選B．【點睛】本題考查空間想象能力和計算能力，解答本題的關鍵是構造直角三角性．4、D【解析】“若p則q”的否命題是“若則”，所以A錯。在定義上并不是單調遞增函數，所以B錯。不存在，C錯。全稱性命題的否定是特稱性命題，D對，選D.5、A【解析】由，可得將選項中的數值代入驗證可得，符合題意，故選A.6、C【解析】

本題首先可以根據直角三角形的三邊長求出三角形的內切圓半徑，然后分別計算出內切圓和三角形的面積，最后通過幾何概型的概率計算公式即可得出答案.【詳解】如圖所示，直角三角形的斜邊長為，設內切圓的半徑為，則，解得.所以內切圓的面積為，所以豆子落在內切圓外部的概率，故選C．【點睛】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關的幾何概型問題關鍵是計算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；（2）基本事件對應的區(qū)域測度把握不準導致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤．7、D【解析】

直接利用等差數列的求和公式求解即可.【詳解】因為每一尺的重量構成等差數列，，，，數列的前5項和為．即金錘共重15斤，故選D．【點睛】本題主要考查等差數列求和公式的應用，意在考查運用所學知識解答實際問題的能力，屬于基礎題.8、B【解析】

P在底面的射影是斜邊的中點，設AB中點為D過D作DE垂直AC，垂足為E，則∠PED即為二面角P﹣AC﹣B的平面角，在直角三角形PED中求出此角即可．【詳解】因為AB＝10，BC＝8，CA＝6所以底面為直角三角形又因為PA＝PB＝PC所以P在底面的射影為直角三角形ABC的外心，為AB中點．設AB中點為D過D作DE垂直AC，垂足為E，所以DE平行BC，且DEBC＝4，所以∠PED即為二面角P﹣AC﹣B的平面角．因為PD為三角形PAB的中線，所以可算出PD＝4所以tan∠PED所以∠PED＝60°即二面角P﹣AC﹣B的大小為60°故答案為60°．【點睛】本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，確定出二面角的平面角是解答本題的關鍵．9、C【解析】

根據向量的定義及運算法則一一分析選項正誤即可.【詳解】在平行四邊形中,顯然有,,故A,D正確;根據向量的平行四邊形法則,可知,故B正確;根據向量的三角形法,,故C錯誤;故選:C.【點睛】本題考查平面向量的基本定義和運算法則,屬于基礎題.10、B【解析】

首先利用遞推關系式求出數列的通項公式，進一步利用等差數列的前項和公式的應用求出結果．【詳解】由題，，又因為所以當時，可解的當時，，與相減得當為奇數時，數列是以為首相，為公差的等差數列，當為偶數時，數列是以為首相，為公差的等差數列，所以當為正整數時，，則故選B.【點睛】本題考查的知識點有數列通項公式的求法及應用，等差數列的前項和公式的應用，主要考查學生的運算能力和轉化能力，屬于一般題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

首先求出在上的兩個零點，再根據周期性算出至少含有30個零點時的值即可【詳解】根據，即，故，或，∵在區(qū)間（且）上至少含有30個零點，∴不妨假設（此時，），則此時的最小值為，（此時，），∴的最小值為，故答案為：【點睛】本題函數零點個數的判斷，解決此類問題通常結合周期、函數圖形進行解決。屬于難題。12、6【解析】

先確定船的方向，再求出船的速度和時間.【詳解】因為行程最短，所以船應該朝上游的方向行駛，所以船的速度為km/h,所以所用時間是.故答案為6【點睛】本題主要考查平面向量的應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.13、.【解析】

將等式兩邊平方得出的值，再利用結合平面向量的數量積運算律可得出結果.【詳解】，，，因此，，故答案為.【點睛】本題考查利用平面向量數量積來計算平面向量的模，在計算時，一般將平面向量的模平方，利用平面向量數量積的運算律來進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.14、；【解析】

由條件利用反三角函數的定義和性質即可求解.【詳解】，則，故答案為：【點睛】本題考查了反三角函數的定義和性質，屬于基礎題.15、【解析】

由反三角函數的性質得到，即可求得函數的值域.【詳解】由，則，，又，，即，函數的值域為.故答案：.【點睛】本題考查反三角函數的性質及其應用，屬于基礎題.16、【解析】

空間直角坐標系中，關于原點對稱，每個坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?【詳解】空間直角坐標系中，關于原點對稱，每個坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?點關于原點的對稱點的坐標為故答案為：【點睛】本題考查了空間直角坐標系關于原點對稱，屬于簡單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（I）將已知條件轉為關于首項和公差的方程組，解方程組求出，進而可求通項公式；（II）由已知可得構成首項為,公差為的等差數列，利用等差數列前n項和公式計算即可.【詳解】（I）因為是等差數列，,所以解得.則,.（II）構成首項為,公差為的等差數列.則【點睛】本題考查等差數列通項公式和前n項和公式的應用，屬于基礎題.18、（1）（2）【解析】

（1）不等式的解集為說明和1是的兩個實數根，運用韋達定理，可以求出實數的值；（2）不等式的解集為，只需，或即可，解不等式組求出實數的取值范圍．【詳解】（1）若關于的不等式的解集為，則和1是的兩個實數根，由韋達定理可得，求得．（2）若關于的不等式解集為，則，或，求得或，故實數的取值范圍為．【點睛】本題考查了已知一元二次不等式的解集求參問題，考查了數學運算能力19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用三角函數的定義可求出，再根據二倍角的余弦公式即可求解.（2）由（1）可得，再利用同角三角函數的基本關系可得，由，利用兩角差的正切公式即可求解.【詳解】解：（1）依題意得，，，所以.（2）由（1）得，，故.因為，，，所以，又因為，所以，.所以，所以.【點睛】本小題主要考查同角三角函數關系、三角恒等變換等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉化思想等.20、（1）；（2）114【解析】

（1）利用等比數列的求和公式，進而可求的值；（2）根據滿足不等式|﹣63|＜62，可確定的范圍，進而可得隨著的增大而增大，利用，可求解．【詳解】（1）已知數列是等比數列，且公比為，記是數列的前項和，＝1，，，則；（2）滿足不等式|﹣63|＜62，．，，且，，得隨著的增大而增大，得，又且對于任意正整數都成立，得，，且是正整數，滿足的個數為：124﹣11+1＝114個，即有114個，所以有114個數列．【點睛】本題以等比數列為載體，考查數列的極限，考查等比數列的求和，考查數列的單調性，屬于中檔題．21、（1）（2）【解析】試題分析：（1）根據二倍角公式,三角形內角和,所以,整理為關于的二次方程，解得角的大?。唬?）根據三角形的面積公式和上一問角，代入后解得邊，這樣就知道,然后根據余弦定理再求，最后根據證得定理分別求得和.試題解析：（1）由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－