吉林省長春八中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

吉林省長春八中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是A． B． C． D．2．已知函數(shù)的值域?yàn)?，且圖像在同一周期內(nèi)過兩點(diǎn)，則的值分別為（）A． B．C． D．3．半圓的直徑，為圓心，是半圓上不同于的任意一點(diǎn)，若為半徑上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A．2 B．0 C．-2 D．44．圖1是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一幅“勾股圓方圖”（又稱“趙爽弦圖”)，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.受其啟發(fā)，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)圖形，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與中間一個(gè)小正三角形拼成一個(gè)大正三角形，如圖2所示，若，，則線段的長為（)A．3 B．3.5 C．4 D．4.55．在邊長為2的菱形中，，是的中點(diǎn)，則A． B． C． D．6．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為（）A． B．C． D．8．在中，，，，點(diǎn)P是內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且（），則的最大值為（）A．6 B． C． D．69．已知向量，，則與的夾角為（）A． B． C． D．10．在中，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則______.12．把一枚質(zhì)地均勻的硬幣先后拋擲兩次，兩次都是正面向上的概率為________.13．設(shè),則的值是____.14．設(shè)數(shù)列滿足,,,，______.15．如圖，，分別為的中線和角平分線，點(diǎn)P是與的交點(diǎn)，若，，則的面積為______.16．已知函數(shù)，該函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意，點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）已知數(shù)列滿足，若對任意，存在使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)是.（1）求；（2）求；19．已知函數(shù)，且.（1）求的值；（2）若在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，，求的取值范圍.20．在平面直角坐標(biāo)系中，直線截以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓所得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若直線與圓切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（3）設(shè)，是圓上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，若直線，分別交軸于點(diǎn)和，問是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.21．如圖，四面體中，，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）已知是邊長為2正三角形.（Ⅰ）若為棱的中點(diǎn)，求的大??；（Ⅱ）若為線段上的點(diǎn)，且，求四面體的體積的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

利用三角函數(shù)圖像平移原則，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可求解.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查三角圖像變換，誘導(dǎo)公式，熟記變換原則，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.2、C【解析】

先利用可求出的值，再利用、兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差的絕對值為周期的一半，計(jì)算出周期，再由可計(jì)算出的值，從而可得出答案．【詳解】由題意可知，，、兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差的絕對值為周期的一半，則，，因此，，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的解析式的求解，求解步驟如下：（1）求、：，；（2）求：根據(jù)題中信息求出最小正周期，利用公式求出的值；（3）求：將對稱中心點(diǎn)和最高、最低點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，若選擇對稱中心點(diǎn)，還要注意函數(shù)在該點(diǎn)附近的單調(diào)性．3、C【解析】

將轉(zhuǎn)化為，利用向量數(shù)量積運(yùn)算化簡，然后利用基本不等式求得表達(dá)式的最小值.【詳解】畫出圖像如下圖所示，,等號(hào)在，即為的中點(diǎn)時(shí)成立.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量加法運(yùn)算，考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題.4、A【解析】

設(shè)，可得，求得，在中，運(yùn)用余弦定理，解方程可得所求值．【詳解】設(shè)，可得，且，在中，可得，即為，化為，解得舍去），故選．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的余弦定理，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解析】

選取向量為基底，用基底表示，然后計(jì)算．【詳解】由題意，，．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，平面向量的線性運(yùn)算，解題關(guān)鍵是選取基底，把向量用基底表示．6、D【解析】

利用基本不等式求得的最小值，根據(jù)不等式存在性問題，解一元二次不等式求得的取值范圍.【詳解】由于，而不等式有解，所以，即，解得或.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用基本不等式求最小值，考查不等式存在性問題的求解，考查一元二次不等式的解法，屬于中檔題.7、B【解析】

設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的圓的圓心為，則由，求出的值，可得對稱圓的方程.【詳解】圓的圓心為，半徑，則不妨設(shè)圓關(guān)于直線對稱的圓的圓心為，半徑為，則由，解得，故所求圓的方程為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，需熟記圓的標(biāo)準(zhǔn)形式，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

利用余弦定理和勾股定理可證得；取，作，根據(jù)平面向量平行四邊形法則可知點(diǎn)軌跡為線段，由此可確定，利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得：如圖，取，作，交于在內(nèi)（包含邊界）點(diǎn)軌跡為線段當(dāng)與重合時(shí)，最大，即故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量模長最值的求解問題，涉及到余弦定理解三角形的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)平面向量線性運(yùn)算確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，根據(jù)軌跡確定最值點(diǎn).9、D【解析】

利用夾角公式計(jì)算出兩個(gè)向量夾角的余弦值，進(jìn)而求得兩個(gè)向量的夾角.【詳解】設(shè)兩個(gè)向量的夾角為，則，故.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩個(gè)向量夾角的計(jì)算，考查向量數(shù)量積和模的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

根據(jù)向量的三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】∵，∴，又則故選：B【點(diǎn)睛】本題考查向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義，靈活應(yīng)用向量運(yùn)算的三角形法則即可求解，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)之和與中間項(xiàng)的關(guān)系進(jìn)行化簡求解.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，又因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，故．【點(diǎn)睛】（1）在等差數(shù)列中，若，則有；（2）在等差數(shù)列.12、【解析】

把一枚質(zhì)地均勻的硬幣先后拋擲兩次，利用列舉法求出基本事件有4個(gè)，由此能求出兩次都是正面向上的概率．【詳解】把一枚質(zhì)地均勻的硬幣先后拋擲兩次，基本事件有4個(gè)，分別為：正正，正反，反正，反反，兩次都是正面向上的概率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算，求解時(shí)注意列舉法的應(yīng)用，即列舉出所有等可能結(jié)果.13、【解析】

根據(jù)二倍角公式得出，再根據(jù)誘導(dǎo)公式即可得解．【詳解】解：由題意知：故，即．故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角公式和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14、8073【解析】

對分奇偶討論求解即可【詳解】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，故故答案為8073【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系，考查分析推理能力，對分奇偶討論發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，是難題15、【解析】

設(shè),,求點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用換元法，求直線方程，再解出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積運(yùn)算求出，最后結(jié)合三角形面積公式求解即可.【詳解】解：由，可設(shè),,則，設(shè)，則，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線、方程解得，則，，可得，解得：，即，即，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)及三角形面積公式，屬中檔題.16、3【解析】

令，可得或；當(dāng)時(shí)，可解得為函數(shù)一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，可知，根據(jù)的范圍可求得零點(diǎn)；綜合兩種情況可得零點(diǎn)總個(gè)數(shù).【詳解】令，可得：或當(dāng)時(shí)，或（舍）為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，，為函數(shù)的零點(diǎn)綜上所述，該函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為：個(gè)本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)的求解，涉及到余弦函數(shù)零點(diǎn)的求解.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式得到，令，由可求出的值，令，由得，兩式相減得出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）利用分組求和法與裂項(xiàng)法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，由題意得出，判斷出數(shù)列各項(xiàng)的符號(hào)，得出數(shù)列的最大值為，利用函數(shù)的單調(diào)性得出該函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，然后解不等式可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式得到.當(dāng)時(shí)，，即，解得；當(dāng)時(shí)，由得，上述兩式相減得，得，即.所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，；（2），，因此，①，②由①②得，所以；（3）．令為的前項(xiàng)和，則.因?yàn)椋?，，，?dāng)時(shí)，，令，，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，，則，即，那么當(dāng)時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，此時(shí)，則.因此，數(shù)列的最大值為.又，函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)，函數(shù)的最大值為．因?yàn)閷θ我獾?，存在?所以，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用等比數(shù)列前項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)，同時(shí)也考查了錯(cuò)位相減法求和以及數(shù)列不等式恒成立問題，解題時(shí)要充分利用數(shù)列的單調(diào)性求出數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的值，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于難題.18、（1），（2）【解析】

（1）求得點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，根據(jù)三角函數(shù)的定義求值；（2）同（1）可求出，然后用誘導(dǎo)公式化簡，再代入值計(jì)算．【詳解】（1）（2），為第四象限，【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，考查誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）（2）【解析】

（1）利用降次公式、輔助角公式化簡表達(dá)式，利用求得的值.（2）令，結(jié)合的取值范圍以及三角函數(shù)的零點(diǎn)列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】（1），，，即.（2）令，則，，，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，，，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)零點(diǎn)問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）；（3）見解析【解析】

（1）利用點(diǎn)到直線距離公式，可以求出弦心距，根據(jù)垂徑定理結(jié)合勾股定理，可以求出圓的半徑，進(jìn)而可以求出圓的方程；（2）設(shè)出直線的截距式方程，利用圓的切線性質(zhì)，得到一個(gè)方程，結(jié)合已知，又得到一個(gè)方程，兩個(gè)方程聯(lián)立，解方程組，即可求出直線直線的方程；（3）設(shè)，，則，，，分別求出直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)、直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，求出的表達(dá)式，通過計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以圓的半徑為，故圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，即，由直線與圓相切，得，①.②由①②解得，此時(shí)直線的方程為.（3）設(shè)，，則，，，直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，，直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，，，為定值2.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的垂徑定理、圓的切線性質(zhì)、勾股定理，考查了求直線方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.21、（1）證明見解析；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，通過證明，證得平面，由此證得.（2）（I）通過證明，證得平面，由此證得,利用“直斜邊的中線等于斜邊的一半”這個(gè)定理及其逆定理，證得.（II）