重慶2024屆高二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

重慶2024屆高二上數(shù)學(xué)期末考試試題

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某市要對(duì)兩千多名出租車司機(jī)的年齡進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出100名司機(jī)，已知抽到的司機(jī)年齡都在［20,45］歲之

間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出司機(jī)的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示，利用這個(gè)殘缺的頻率分布直方圖估計(jì)該市出

租車司機(jī)年齡的中位數(shù)大約是（）

頻率

標(biāo)

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

O202530354045年齡（歲）

A.31.6歲B.32.6歲

C.33.6歲D.36.6歲

2.在一ABC中，A=60,a=46,b=2,滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1

C.2D.無數(shù)多

Sn_2〃

3.設(shè)等差數(shù)列｛q｝,也｝前〃項(xiàng)和分別是S〃Z，若，則,=（）

b

Tn3n+73

5

A.lB.—

11

22

C.—

178

4.“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而

成的三角形數(shù)陣，記見為圖中虛線上的數(shù)1,3,6,10,…構(gòu)成的數(shù)列｛4｝的第〃項(xiàng)，則的值為（）

1

11

i2,，r

13,3'1

14￡’41

1510Z1051

????????????

A.1225B.1275

C.1326D.1362

22

5.設(shè)雙曲線C：力〉o)的左、右焦點(diǎn)分別為耳,心，點(diǎn)尸在雙曲線C上，若線段P《的中點(diǎn)在y

ab

軸上，且大工為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為()

A.1+V2B.2

C.2+V2D.亞

22

6.如圖，"和工分別是雙曲線鼻-］〉0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和3是以。為圓心，以|。耳|為半徑的圓與

該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為()

A.逝B.&

C.(D.1+73

7.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線.已知ABC

的頂點(diǎn)A(2,0),3(0,4),若其歐拉線的方程為x—y+2=0,則頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

A.(T,0)B.(-2,-2)

C.(—3,1)D.(—4,—2)

8.已知函數(shù)/(乃=依3_3/+1,若/'(X)存在唯一的零點(diǎn)七,且5〉。，則。的取值范圍是

A.(2,-HX>)B.(1,+<?)

C.(TO,-2)D.(-oo,-l)

9.金剛石的成分為純碳，是自然界中存在的最堅(jiān)硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個(gè)等邊三角形組成的正八面體.若某金剛石

的棱長為2,則它外接球的體積為（）

8D晅兀

C.一幾

33

,、11

10.在等比數(shù)列｛%｝中，若。4%=-1，。5+〃6=3，則一+—=（）

a5a6

A.3B.—

3

C.——D.-3

3

11.已知片（，=1,2,3「-,2021）是拋物線。：/=2%上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若4戶+鳥戶+…+《027=0,

則麻|+|何+…+同丁卜（）

A.1011B.2020

C.2021D.2022

12.將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為（）

1B.2

A.-

49

15

C.—D.—

618

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線。：三一=l(a>0,Z?>0)的左,右焦點(diǎn)分別為月，工，過K且與圓

0:/+丁2=/相切的直線與雙曲線。的一條漸近線相交于點(diǎn)河（點(diǎn)”在第一象限），若耳，則雙曲線C

的離心率6=

14.已知某農(nóng)場某植物高度&~N(〃,0.04),且尸修<6)=尸但26),如果這個(gè)農(nóng)場有這種植物10000棵，試估計(jì)該

農(nóng)場這種植物高度在區(qū)間(6.2,6.4］上的棵數(shù)為.

參考數(shù)據(jù)：若4~N(〃,cr2),則P(〃一cr<J<〃+cr)=0.6826,P(〃-2cr<J<〃+2cr)=0.9544,

P(〃—3cr<J<〃+3cr)=0.9974.

15.已知p：是g：2Vxe3的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

16.已知函數(shù)/(x)=xcosx—sinx,則的值為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知橢圓與拋物線>2=4x有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，且該橢圓的離心率為:，

(I)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(II)求過點(diǎn)。(0,1)的直線與該橢圓交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若AP=2PB，求AO3的面積.

18.(12分)已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)。，焦點(diǎn)戶在x軸的正半軸上，。是拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)。到焦點(diǎn)產(chǎn)的距離

為L且到y(tǒng)軸的距離是:

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)假設(shè)直線/通過點(diǎn)與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),且Q4LO8,求直線/的方程

19.(12分)已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)%=2,an=3an_1+2(n^2,九eN*)，bn=log3(a?+l),cn=--)—.

(1)證明：｛%+1｝為等比數(shù)列；

(2)設(shè)數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和S,,求證：

22

20.(12分)若雙曲線二一二=1(“>0,方>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(—20,0)和(2JI,0),且該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)尸(3,1)

a"b'

(1)求雙曲線的方程；

(2)若歹是雙曲線的右焦點(diǎn)，。是雙曲線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)F,。的直線/與y軸交于點(diǎn)M,且MQ+2QR=0,求直

線/的斜率

21.(12分)已知等差數(shù)列｛4｝的公差dwO,前3項(xiàng)和邑=9,且％,%，生成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若b—,求數(shù)列仍“｝的前〃項(xiàng)和7；.

22.(10分)2021年7月29日，中國游泳隊(duì)獲得了女子4x200米自由泳接力決賽冠軍并打破世界紀(jì)錄.受奧運(yùn)精神的

鼓舞，某游泳俱樂部組織100名游泳愛好者進(jìn)行自由泳1500米測(cè)試，并記錄他們的時(shí)間(單位：分鐘)，將所得數(shù)據(jù)

分成5組：口5,25),[25,35),[35,45),[45,55),[55,65],整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求出直方圖中機(jī)的值;

(2)利用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)這100位游泳愛好者1500米自由泳測(cè)試時(shí)間的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組中的數(shù)

據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解題分析】先根據(jù)頻率分布直方圖中頻率之和為1計(jì)算出數(shù)據(jù)位于[25,30)的頻率，再利用頻率分布直方圖中求中位

數(shù)的原則求出中位數(shù)

【題目詳解】在頻率分布直方圖中，所有矩形面積之和為1，

所以，數(shù)據(jù)位于[25,30)的頻率為1-(0.01+0.07+0.06+0.02)x5=0.2,

前兩個(gè)矩形的面積之和為0.01x5+0.2=0.25,

前三個(gè)矩形的面積之和為0.05+0.2+0.07x5=0.6,

所以，中位數(shù)位于區(qū)間[30,35),設(shè)中位數(shù)為。，

則有0.05+0.2+(a—30)x0.07=0.5,解得。然33.6(歲)，故選C

【題目點(diǎn)撥】本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)和頻率分布直方圖中中位數(shù)的計(jì)算，計(jì)算時(shí)要充分利用頻率分布直方圖

中中位數(shù)的計(jì)算原理來計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題

2、B

【解題分析】利用正弦定理得到sin3=交，進(jìn)而5=45或135，由得A>5,即可求解

2

【題目詳解】由正弦定理得，.bsinA2X應(yīng),

sinBR=---------=—-^2―

a,62

.?.8=45或135，

a—A/6>b=2,

.?.5=45

故滿足條件的ABC有且只有一個(gè).

故選：B

3、B

【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式變形求解即可

【題目詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列｛凡｝，｛2｝的前n項(xiàng)和分別是Sn,Tn,

q+%5(%+%)

所以嗎.=_2_=___2___=鳥.=1°=A

所以仇—,+々―5他+。)一7；―15+7-11'

22

故選：B

4、B

【解題分析】觀察前4項(xiàng)可得an=如土D,從而可求得結(jié)果

2

【題目詳解】由題意可得。1=1,4=3=1+2,%=6=1+2+3,%=1。=1+2+3+4,

觀察規(guī)律可得4=1+2+3+…+〃=^^,

…50x51

所以生。=2=1275,

故選：B

5、A

【解題分析】根據(jù)△「￡鳥是等腰直角三角形，再表示出P耳,2心的長，利用三角形的幾何性質(zhì)即可求得答案.

【題目詳解】線段的中點(diǎn)在y軸上，設(shè)的中點(diǎn)為M,

因?yàn)?。為耳B的中點(diǎn)，所以O(shè)MPF],

而與耳，則,耳工，

△PKK為等腰三角形，故|PKI=IEKI=2C,

由|PEHPKI=2a,得|P4|=2a+2c,

又月心為等腰直角三角形，故|。耳|=&百心|,

即2a+2c=后x2c，解得工=應(yīng)+1，即6=&+1，

a

故選：A.

6、D

【解題分析】解：，設(shè)FIF2=2C,

VAF2AB是等邊三角形，

.?.ZAFIF2==30°,

.\AFI=C,AF2=^/3c,

???a=（百c?c）+2,e=2c?（Gc?c）=G+l,

故選D

7、A

【解題分析】設(shè)C（加，力，計(jì)算出重心坐標(biāo)后代入歐拉方程，再求出外心坐標(biāo)，根據(jù)外心的性質(zhì)列出關(guān)于W的方程,

最后聯(lián)立解方程即可.

【題目詳解】設(shè)。（加/）,由重心坐標(biāo)公式得，

__、Iy,.—_,,、、r.2+A7Z4+〃、

二角形ABC的重心為（二一，三一），

2+m4+n?八

代入歐拉線方程得:-----------+2=0,

33

整理得：加—〃+4=0①

AB的中點(diǎn)為(1,2),左方=土衛(wèi)=—2,

0-2

AB的中垂線方程為y—2=：(x—l),即x—2y+3=0

x-2y+3=0x=-l

聯(lián)立“cc，解得

%-y+2=0b=l

.?一ABC的外心為(TD

則(〃?+1)2+(〃—I)2=32+12=10,

整理得：m2+n2+2m—2n=8②

聯(lián)立①②得：m=-4,〃=0或M=0,〃=4

當(dāng)m=0,〃=4時(shí)5,C重合，舍去

「?頂點(diǎn)。的坐標(biāo)是(—4,0)

故選：A

【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是求出外心，二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.

8、C

【解題分析】當(dāng)〃=0時(shí)，/(%)=—3/+1,函數(shù)/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)正和—無，不滿足題意，舍去；當(dāng)〃>0時(shí)，

33

222

/(%)=3依2_6],令/'(x)=0,得無=0或尤=—.xe(T?,0)時(shí),f'(x)>0-xe(0,—f'(x)<0；xe(-,+co)

aaa

2

時(shí)，/'(X)>o,且/(0)>0,此時(shí)在xG(7,0)必有零點(diǎn)，故不滿足題意,舍去；當(dāng)a<0時(shí)，xe(-?)-)時(shí)，/'(%)<0；

a

2

xe(—,0)時(shí)，rU)>0；xe(0,+s)時(shí)，/'(x)<0,且/(0)>0,要使得f(x)存在唯一的零點(diǎn)?%,且毛〉。，只

a

2

需/(一)>0,即/>4,則a<—2,選C

a

考點(diǎn)：1、函數(shù)的零點(diǎn)；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；3、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

9、A

【解題分析】求得外接球的半徑，進(jìn)而計(jì)算出外接球體積.

【題目詳解】設(shè)AC3D=O,正八面體的棱長為2,

根據(jù)正八面體的性質(zhì)可知：OA=OB=OC=OD=OE=血，

所以。是外接球的球心，且半徑R=0,

所以外接球的體積為把義史=%乂26=晅垢

333

故選：A

11%+恁

【解題分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得〃5%=%%=-1，化簡一+—='—",代入數(shù)值求解.

C16^^6

/、11a.+a(-3

【題目詳解】因?yàn)閿?shù)列｛4｝是等比數(shù)列，所以。5。6=。4。7=-1，由題意，所以一+—==~~-=—=-3.

。605061

故選：D

11、C

【解題分析】結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算以及拋物線的定義求得正確答案.

【題目詳解】設(shè)4(4y)=(，=1,2,3,…,2021),因?yàn)?是拋物線C：V=2x上的點(diǎn)，

F是拋物線C的焦點(diǎn)，所以準(zhǔn)線為：尤=-;，

因此=—所以

用2021

即％]+^工2021二一―，

由拋物線的定義可得=歸刊=%+g,

所以|卡+…+比2F[+g〔+…+1》2021

(、202120212021

=(石+%+…+%2021)+(-----1-----=2021

22

故選：C

12、B

【解題分析】基本事件總數(shù)，z=6x6=36,再利用列舉法求出點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件的個(gè)

數(shù)，由此能求出點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率

【題目詳解】解：將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)之和，

基本事件總數(shù)“=6x6=36,

點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件有：

（1,3）,（3,1）,（2,6）,（6,2）,（3,5）,（5,3）,（4,4）,（2,2）,共8個(gè),

Q2

則點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為P=—=—

369

故選：B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

【解題分析】設(shè)切點(diǎn)N,根據(jù)N片NO=NKME=90。，可得ON〃/耳，在M。心中，利用余弦定理構(gòu)造齊次

式，從而可得出答案.

【題目詳解】解：設(shè)切點(diǎn)N,由"NO="MF]=90。，.?.ON//MF2,

丁。為耳心中點(diǎn)，則ON為△耳M8中位線，

AMF、=2a,cosNMOF,=-,

c

M。工中，4a~=C2+C2-2-C-C--,

c

2=F）—（g）,e2-e-2=0,S

故答案為：2.

14、1359

【解題分析】由已知求得〃=6,貝!J尸(6.2(弊6.4)=P(〃+CT<J〃+2(T),結(jié)合已知求得P(6.2<&6.4),乘以10000

得答案

【題目詳解】解：由PC<6)=P(；.6),得〃=6,

又6~N(〃,0.04),；.b=0.2,

貝！|P(6.2<舁h4)=P(〃+cr<J4+2b)=g[P("—2b<J釜山+2cr)-P(〃一b<J〃+b)]

=1(0.9544-0.6826)=0.1359,

估計(jì)該農(nóng)場這種植物高度在區(qū)間(6.2,6.4]上的棵數(shù)為10000x0.1359=1359

故答案為：1359

15-.(—8,2]

【解題分析】根據(jù)充分性和必要性，求得參數(shù)。取值范圍，即可求得結(jié)果.

【題目詳解】因?yàn)閜：x>a是q：2Vx<3的必要不充分條件，

故集合(2,3)為集合(a,+8)的真子集，故只需aW2.

故答案為：(—8,2].

【解題分析】先求出/(尤)的導(dǎo)函數(shù)/'(%),然后將T代入可得答案.

71.7171

【題目詳解】cosx-xsinx-cosx=-xsinx,所以/‘----sinx—

22~2

TC

故答案為:

2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22§

17、（I）—+^=1；（II）-

432

【解題分析】(I)根據(jù)題意可以求出橢圓的焦點(diǎn)，再根據(jù)橢圓的離心率公式，求出。的值，然后結(jié)合橢圓的關(guān)

系求出6,最后寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)根據(jù)平面向量共線定理可以得出A,5兩點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，再設(shè)出直線A3方程與橢圓方程聯(lián)立,

利用根與系數(shù)關(guān)系求出直線AB的斜率，最后根據(jù)三角形面積結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求出AOB的面積.

X2y2

【題目詳解】(I)由題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+二1,

ab2

c1

由題意可得c=l,又e=—=—

a2

22

:.a=2,b2=a2-c2=3,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為上+乙=1

43

一石=2X2

（II）設(shè)A6,%）,3（無2,%），由AP=2尸6得:j=2（%-1）

驗(yàn)證易知直線A5的斜率存在，設(shè)直線A5的方程為丁=依+1

（22

——%+—y=1

聯(lián)立橢圓方程，得：43整理得：（4Z:2+3）x2+8fcc-8=0,

y=kx+1

—8k

%+%2

-4左2+3

得：＜,將一占=2々代入得，左2=(

-8

止+3

所以AOB的面積s=-\OP\-\x-x\=&1+々）2-相.々=1癡2左2+6=3.

2111121224k2+32

【題目點(diǎn)撥】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求直線斜率和三角形面積問題,

考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

18、(1)y2=—X；(2)2x—y-5=0

"2'

【解題分析】(1)根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合Q到焦點(diǎn)、y軸的距離求寫出拋物線方程.

(2)直線/的斜率不存在易得Q4與。3不垂直與題設(shè)矛盾，設(shè)直線/方程聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理求X/%，

x,+x2＞進(jìn)而求％?%，由題設(shè)向量垂直的坐標(biāo)表示有石?%+%?%=0求直線方程即可.

【題目詳解】(D由己知，可設(shè)拋物線的方程為＞2=2px,又。到焦點(diǎn)產(chǎn)的距離是1,

點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離是1,又Q到y(tǒng)軸的距離是J,

O

=解得p=；,則拋物線方程是

(2)假設(shè)直線/的斜率不存在，則直線/的方程為x=3,與丁=1》聯(lián)立可得交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為卜，等;

3

，易得OAOB=—,可知直線Q4與直線03不垂直，不滿足題意，故假設(shè)不成立,

2

二直線/的斜率存在.設(shè)直線/為y—l=k(x—3),整理得丁=辰-3左+1,

y=kx-3k+l

設(shè)A(4yJ,B(x,y),聯(lián)立直線/與拋物線的方程得＜

2225

y=一1

2

,5

消去幾并整理得左2%2一，左2一2左+_|:+942一64+1=0,于是石-2="孚已6k2-2k+-

%+工2=----左--

22—15^+5

:.%?丁2=(2-3左+1)(京2—3k+1)=kxxx2-k(3k-1)($+x2)+(3k+1)=-------

2k

又OA上OB,因此OA.O5=0，即％?％2++%=。，

?9k2—6k+1—15k+5姐陽71-7c

--------、----+--------=0,解得左或左二2

k22k---------3

當(dāng)左=；時(shí)，直線/的方程是＞=：%,不滿足Q4LOB,舍去

當(dāng)％=2時(shí)，直線/的方程是y—l=2(x—3),即2x—y—5=0,

...直線/的方程是2%—匕5=0

19、(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解題分析】⑴利用已知條件證明以上1為常數(shù)即可;

an-\+1

⑵求出％和勾通項(xiàng)公式，再求出c“通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法可求S“，判斷S”的單調(diào)性即可求其范圍.

【小問1詳解】

?q=2,a.=3a“_]+2(”>2,)，

q+13azi_]+3

.,.當(dāng)“22時(shí),=3(常數(shù)),

an-\+1an-\+1

二數(shù)歹U{%+1}是公比為3的等比數(shù)列；

【小問2詳解】

由（1）知，數(shù)歹！J{%+1}是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)歹U,

/.an+l=3"，,bn=log3(tz,j+1)=〃,

1___1__-1MM

b2Mb2.(2n-l)(2n+l)2(2“-1+2n+l)

11

S”=q+c2+c3+...+cn

2n-l2n+l

1111n

斗-阜-+-----+…+

2（335572n—12〃+l

n

>0

2n+l

------<0

2n+l

1--------<1

2〃+l

1

S.<-.

2