2024年高考第二次模擬考試卷：數(shù)學(xué)（全國(guó)卷）（理科）（全解全析）

2024年高考第二次模擬考試

數(shù)學(xué)（理科）?全解全析

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓

名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

4.測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知集合4=伊y=log5（x-l）},集合3={yeZ|0W”3},則￡A）C3=（）

A.（0,1）B.[0,1]C.0D.{0,1}

【答案】D

【分析】先表示出集合AB,再由交集和補(bǔ)集的運(yùn)算得出結(jié)果即可.

【詳解】集合A={x|y=log5（x-l）}={x|X>1},集合3={yeZ|0〈yW3}={0,l,2,3},

集合4A={x|x41},所以“A）c3={0,l}.

故選：D

2.設(shè)i為虛數(shù)單位，且z（l+i）=2,貝%=（）

A.-1-iB.1-iC.-1+iD.1+i

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求z,進(jìn)而可得共軌復(fù)數(shù).

【詳解】由題意可得：2=幣2=島2（1—號(hào)i）=1一,

所以z=1+i.

故選：D.

3.若向量￡出滿足|〃|=4,|〃|=3,且（2a-3&.（2〃+萬(wàn)）=61,貝!J〃在〃上的投影向量為（）

1-172727

A.——bzB.——bC.—bD.——b

2333

【答案】D

【分析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得分。=-6,再由投影向量的定義求〃在B上的投影向量.

【詳解】由（2a-3b）?（2a+b）=4J-4〃為一3/?2=61,貝=

,.r?n11—1b—61,2.

由〃在b上的投影向重一：-----=-x-b=--b.

\b\\b\333

故選：D

S

4.已知等比數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和為5"嗎+電=12且4，%+6,生成等差數(shù)列，則詈為（）

A.244B.243C.242D.241

【答案】A

【分析】首先根據(jù)條件求公比，再代入等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，即可求解.

【詳解】由題意可知,4+瞑=12且%+%=2（4+6）,

設(shè)等比數(shù)列的公比為4,

貝"％+%q2=2%q+%+%4,得g=3,

故選：A

5.第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，為了弘揚(yáng)“奉獻(xiàn)，友愛(ài)，互助，進(jìn)步”的志愿服務(wù)精神，5名大學(xué)生

將前往3個(gè)場(chǎng)館A民C開(kāi)展志愿服務(wù)工作.若要求每個(gè)場(chǎng)館都要有志愿者，則當(dāng)甲不去場(chǎng)館A時(shí),

場(chǎng)館B僅有2名志愿者的概率為（）

【答案】B

2

【分析】首先得甲去場(chǎng)館8或C的總數(shù)為150x1=100,進(jìn)一步由組合數(shù)排列數(shù)即可得所求概率.

【詳解】不考慮甲是否去場(chǎng)館A,所有志愿者分配方案總數(shù)為

2

甲去場(chǎng)館A,B,C的概率相等，所以甲去場(chǎng)館3或C的總數(shù)為150x§=100,

甲不去場(chǎng)館A,分兩種情況討論，

情形一，甲去場(chǎng)館8,場(chǎng)館8有兩名志愿者共有C：C；M=24種;

情形二，甲去場(chǎng)館C,場(chǎng)館8場(chǎng)館C均有兩人共有C：C；=12種,

場(chǎng)館B場(chǎng)館A均有兩人共有C：=6種，所以甲不去場(chǎng)館A時(shí),

24+12+64221

場(chǎng)館B僅有2名志愿者的概率為告。=W=三

故選：B.

6.已知函數(shù)/(勸=皿6+勸-111(6-工)，則/(x)是()

A.奇函數(shù)，且在(0,e)上是增函數(shù)B.奇函數(shù)，且在(0,e)上是減函數(shù)

C.偶函數(shù)，且在Qe)上是增函數(shù)D.偶函數(shù)，且在Qe)上是減函數(shù)

【答案】A

【分析】求出函數(shù)的定義域，利用奇偶函數(shù)的定義及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則判斷即可.

e-x>0

【詳解】若函數(shù)/a)=ln(e+x)-ln(e-x)有意義，則e+x>。'解得Y0<e,

即函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?-e,e),

因?yàn)?(一%)=ln(e-九)Tn(e+x)=—[ln(e+x)—ln(e—x)]=—/(x),所以函數(shù)九)是奇函數(shù),

函數(shù)/(x)=ln(e+x)-ln(e-x)=In|e+X|=ln|-1+|,

Ve-x)Ie-x)

因?yàn)楹瘮?shù)〃=-l+二上在(0,e)上遞增，函數(shù)y=ln〃在定義域上遞增，

e—x

所以函數(shù)/(X)在(0,e)上是增函數(shù).

故選:A

1一兀

7.“直線無(wú)sin，+—y-l=O與尤+ycosd+l=0平行"是"。=—"的()

.2"4

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)兩條直線平行，對(duì)應(yīng)方程系數(shù)的關(guān)系求解，分兩個(gè)方面判斷即可.

【詳角牟】若直線xsin9+；y—1=。與％+ycos6+l=0平行，

]_

易得:sin。wO,8sJwO,故：sin。_2-1，

1cos01

IIIJrJT

貝！Jsin0cos0=—sin2^=—,sin2^=1,2^=—+2kn(keZ),^=—+kn(kGZ)

得不到。故不是充分條件；

4

兀11

反之，當(dāng)。=?時(shí)$皿。一2.一1成立，故直線xsin6+彳y-1=0與尤+ycos6+l=0平行，是必要

4—W2

1cos61~

條件；

故"直線xsind+—1y-l=0與無(wú)+ycosd+l=0平行"是"0=匕兀的必要不充分條件，

24

故選：B.

r22

8.已知雙曲線C:「方=1(°>0*>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)?,A為C的右頂點(diǎn)，以它為直徑

的圓與C的一條漸近線交于P,。兩點(diǎn)，且NPAQ=亍，則雙曲線C的離心率為（）

A.6B.浮C.&D.3

【答案】C

【分析】聯(lián)立圓與漸近線方程，得到P（a,6）,Q（-a,-6）,進(jìn)而得到/。4。=￡,利用直線斜率得到

方程，求出6=2%得到離心率.

【詳解】由題意得，以久工為直徑的圓的方程為x2+y2=c2,A（?,0）,

b

漸近線方程為y=±±x,

a

x1+y2=c2

聯(lián)立＜b，解得x=±a,

y=-x

、a

不妨令尸（a,h）,Q（—G-》）,

jr

故NQA尸=大，

2

因?yàn)镹P4Q=乎，所以NOAQ=手一2=3，

4424

一b—07T

所以鐮=q'=tan?=l,解得6=2°,

—a—a4

9.[+J-1]展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）.

A.11B.-11C.8D.-7

【答案】B

【分析】將x+二看成一個(gè)整體，得至[]7；M=C（x+3）j（-l）’,再展開(kāi)（x+J）j得到

XXX

4-r-3m=0,分別取值得到答案.

【詳解】將尤+J看成一個(gè)整體，展開(kāi)得到：

X

（尤+與）』的展開(kāi)式為：

X

r-p廠tn4—r—m—2zn_廠m4—r—3m

，m+l=。4一/-X~/一/

取4——3加=0

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，r=4系數(shù)為：C：xC；x（-1）4=1

當(dāng)〃?=1時(shí)，廠=1系數(shù)為：C>C'x(-1)1=-12

常數(shù)項(xiàng)為1-12=-11

故答案選B

【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，將x+5看成整體展開(kāi)，再用一次二項(xiàng)式展開(kāi)是解題的關(guān)鍵，計(jì)

算較為復(fù)雜.

10.若函數(shù)〃x）=3cos[s+W（o>0）恒有〃*4〃2兀），且在一省上單調(diào)遞減，貝U。的

值為（）

15115Tli

66666

【答案】D

【分析】由題意可得當(dāng)x=2兀時(shí)，取得最大值，所以2%o+f7r=2E,可求出。="工1，再由

36

求出0的范圍，即可得出答案.

【詳解】由題意可得當(dāng)x=2兀時(shí)，/（X）取得最大值，所以2n0+?7T=2E，（D=k-1-,keZ.

36

由“X）在「吟鼻上單調(diào)遞減，得

一。5」

所以0<042.所以0或號(hào).經(jīng)檢驗(yàn)，0=金或二均滿足條件.

6666

故選：D.

11.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-AB]GA中，E、/分別為AB、2c的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法不正確的

是（）

A.當(dāng)三棱錐瓦-的所有頂點(diǎn)都在球0的表面1上時(shí)，球0的表面.積為3三jr

B.異面直線。2與37所成角的余弦值為平

c.點(diǎn)尸為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)。p〃平面瓦￡尸時(shí)，0P的最小值為￡1

D.過(guò)點(diǎn)2、E、F的平面截正方體ABCD-A4GA所得的截面周長(zhǎng)為3夜+行

【答案】D

【分析】對(duì)于A：轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球分析運(yùn)算；對(duì)于B：根據(jù)異面直線夾角分析運(yùn)算；對(duì)于C：

根據(jù)面面平行分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)平行關(guān)系求截面，進(jìn)而可得周長(zhǎng).

【詳解】對(duì)于A：三棱錐片-瓦小的外接球即為以8月、BE、M為鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球，

因?yàn)?瓦=1,BE=BF=g,

可得外接球的半徑R=；+BE2+BF1=1Jl+；x2=?，

所以外接球的表面積s=4無(wú)代=4￥7r，故A正確；

2

對(duì)于B：因?yàn)椤?〃2珥，則異面直線。，與耳尸所成角為N2與尸，且2月=1,BF=1,

2

可得BXF=JBB;+BF=A/1+^=—，所以cos/Bg尸=嶇=述,

V42Bp5

所以，異面直線。2與耳產(chǎn)所成角的余弦值為寺，故B正確；

對(duì)于C：取4月、44、GA的中點(diǎn)/、Q、N,連接AAf、MN、QN、DN,,

由題意可得：AE//B\M,AE=B}M,則為平行四邊形，所以與E//AM,

因?yàn)樗倪呅?耳GR為正方形，M、N分別為A耳、GA的中點(diǎn)，則A、M=D、N,

所以，四邊形A2NM為平行四邊形，所以，MNHAR,MN=AR,

又因?yàn)锳D〃4。，AD=\DX,可得MN=AD,

則4VWD為平行四邊形，所以AM//DN,可得用E//DN,

因?yàn)锽iEu平面片￡7"四0平面片或"則ZW〃平面用石廠，

因?yàn)锳V/CQ,M=CG，則四邊形A41GC為平行四邊形，則AC〃A￡,

因?yàn)镋、尸分別為AB、BC的中點(diǎn)，則瓦7/AC,同理可得QN/M.G，則用/小￡,可得QN//EF,

因?yàn)镋Fu平面片或"QNU平面用石尸，則QN〃平面瓦￡/，

因?yàn)镈N\QN=N,DN、QNu平面ONQ,所以平面。NQ〃平面片￡尸,

則點(diǎn)P在線段QN上，可得。N=；AG=￥，

DQ=QN=JDD；+DN=

所以當(dāng)點(diǎn)P為線段QN的中點(diǎn)時(shí)，DPLQN,

DP取到最小值，且最小值為J。。一];0N[=孚，故C正確;

對(duì)于D：連接AC、AG，

因?yàn)镋、F為AB、BC的中點(diǎn)，則及7/AC,

又因?yàn)锳4,//CG，AA,=CQ,則A4.GC為平行四邊形，可得AC//AC，

則EF//AG,

過(guò)2作KL//AG，設(shè)KL輻=K,KLB￡=L,則KL//EF,

可得陋二^勺，LC[=Be,

連接KE、LF,設(shè)KEAAj^G,LF「CC、=H,連接0。、DXH,

可得過(guò)點(diǎn)R、E、尸的平面截正方體ABC。-AAGA所得的截面為五邊形E/HAG,

79

因?yàn)橛?AE,L。=2C9則GA=2AG=：,HCX=2CH=-,

可得DiG=QH=叵,GE=HF=—,EF=皂,

362

所以截面周長(zhǎng)為2x巫+2x嫗+也=加+交，故D錯(cuò)誤；

3622

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作出截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面

幾何問(wèn)題求解，其解題思維流程如下：

（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的

距離相等且為半徑；

（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體

現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；

（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

22

12.若點(diǎn)P既在直線/1一＞+2=0上，又在橢圓C:=+々=1（。＞6＞0）上，C的左、右焦點(diǎn)分別為

ab

F?F2,\FtF2\=2,且/耳p工的平分線與/垂直，則C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）

A.叵B,如C,巫或色D.可或亞

2242

【答案】B

【分析】過(guò)點(diǎn)可、鳥(niǎo)分別作耳N、耳M垂直直線/于點(diǎn)N、M,由/與P鳥(niǎo)的平分線與/垂直可得

HPN=HPM,即可得與A鳥(niǎo)尸M相似，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離可得相似比，從而可求出

附、結(jié)合橢圓定義即可得長(zhǎng)軸長(zhǎng).

\PF2\,

【詳解】過(guò)點(diǎn)耳、B分別作耳N、耳M垂直直線/于點(diǎn)N、M,

作NFFB的平分線PH與x軸交于H,

由忸司=2,故舊（—1,0）、7^（1,0）,

則…―孝30

~2~

由尸"，/且尸"為/與P鳥(niǎo)的平分線，故“PH=NF?PH,

^ZF.PN=ZF2PM,

"Nil、F2MVI,故.百PN與，鳥(niǎo)尸M相似,

顯

故乩

NP\_\PF{2

\F2M\MP\\PF23723,

2

由/氏_,+2=0,令y=0,貝！Jx=—2,

故直線/與x軸交于點(diǎn)G(-2,0),故|NG|=

|MG|=

閨M_加尸|」尸耳

由

\F2M\~\MP\~\PF2-3,

故|NP|=：|MN|=孝,PM=>M=竽,

2

故|尸耳|=

由橢圓定義可知，|尸耳|+|尸閶=2。，故2〃=

即C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為m.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于作出aN、垂直直線/于點(diǎn)N、M,再將/耳「耳的平分線與

/垂直這個(gè)條件轉(zhuǎn)化為=從而得到相似三角形，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式及閨閶=2

得到忸耳|、戶(hù)閶的值.

第n卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知cos(?+2￡)=g,tan(a+〃)tan〃=-4,寫(xiě)出符合條件的一個(gè)角。的值為.

【答案】y（答案不唯一）

1o

【分析】根據(jù)題目條件得到cos（a+￡）cos4=:和sin（a+夕）從而求出

63

[21

cosa=cos\\a+p）-j3^=---=--,進(jìn)而求出角。的值.

【詳解】cos（o+20=cos[（a+0+；0]=cos（a+0cos尸-sin（a+⑶sin；0,

故cos（a+1）cos4一sin（a+尸）sin/?=—,

6

sin（a+夕）sin尸4

tan（a+尸）tan/?=T,即

cos（a+尸）cos尸

故sin（a+0sin/7=-4cos（a+4）cos4,

故5cos（a+尸）cos4=—,即cos（a+尸）cos、=—,

66

2

則sin（a+尸）sin尸=-4cos（cr+尸）cosP=——,

則cosa=cos[（a+/7）—4]=cos（a+力）cos4+sin（a+夕）sin/3J__2__J_

6-3~~2

可取a=飛-.

27c

故答案為：y

14.在正三棱臺(tái)ABC-44G中，AB=2,AB>4%側(cè)棱AA與底面ABC所成角的正切值為0.若

該三棱臺(tái)存在內(nèi)切球，則此正三棱臺(tái)的體積為

【答案】述

12

【分析】取2C和3G的中點(diǎn)分別為尸，Q,上、下底面的中心分別為。-02,設(shè)A4=x,內(nèi)切球

半徑為r,根據(jù)題意求出側(cè)棱長(zhǎng)以及。2P,。笈，再根據(jù)切線的性質(zhì)及等腰梯形BBCC和梯形AAOP

的幾何特點(diǎn)列方程組求出半徑即可.

【詳解】如圖，取BC和gG的中點(diǎn)分別為尸，Q,

上、下底面的中心分別為。一02,

設(shè)4瓦=彳，內(nèi)切球半徑為廣，因?yàn)閠anNAAOj=血，棱臺(tái)的高為2廠，

所以朋==CC]=J(2r)2+(V2r)2=后,

0.P=-AP=-^—AB=—,同理O]Q=3X.

33236

因?yàn)閮?nèi)切球與平面BCG用相切，切點(diǎn)在P。上，

A

所以尸Q=。2尸+。JQ=Y(尤+2)①，

在等腰梯形即C|C中，尸02=(歷)2②，

由①②得6/1]：=W匕

在梯形AAQP中，PQ2=(2r)2+(^-^x]③，

(36)

由②③得2-x=#r,代入得x=l,則棱臺(tái)的高〃=2r=乎,

所以棱臺(tái)的體積為y=g[￥+￥><4+￥)x,=吟.

故答案為：逑.

15.已知函數(shù)〃力=Y+&+b滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)”，〃都有

f(mn)=f(m)f(n)+2f(m)+2f(n)+2,貝！]曲線y=/(x)在x=-1處的切線方程為.

【答案】3x-y=0

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=/⑺+2,將已知等式轉(zhuǎn)化為g(帆7)=g(⑹g(?),再利用賦值法求得g(。)

與g(l),進(jìn)而求得6,再利用利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解.

【詳解】因?yàn)橛?mn)=于(m)/(〃)+2/(加)+2/(九)+2,

所以〃m〃)+2=(4m)+2)(/⑺+2),

設(shè)g(x)="尤)+2=V+OX1+b+2,

貝Ijg(nm)^g(ni)g(n),

令〃2=〃=0,則g(O)=g2(。),貝1g(0)=0,或g(0)=l,

若g(O)=l,則由g(o)=g(，〃)g(o),得g㈣=1,顯然不成立,

所以g(0)=0,即匕+2=0,則b=—2

令m=1,則g(〃)=g(l)g(〃),由于g(〃)不恒為0,

故=即l+a+b+2=l,貝lJa=0,

此時(shí)〃x)=V-2,經(jīng)檢驗(yàn)，滿足要求，

則-3,/'(x)=3f,所以/'(一1)=3,

所以曲線y=/（x）在x=—1處的切線方程為y+3=3（尤+1）,即3x-y=0.

故答案為：3x-y=0

16.在銳角ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,S為，ABC的面積，且2S=/一色一了,

Z,2,2

則」1的取值范圍為_(kāi)___.

be

【答案】用

【分析】利用三角形面積公式與余弦定理，可得sinA+28sA=2,再根據(jù)同角關(guān)系式可得sinA,然

后利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡(jiǎn)可得士b=廠4三十?3,結(jié)合條件可得tanC取值范圍，進(jìn)而

c5tanC5

bh*I^21

求得2的取值范圍，令J,則然后由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求出.

ccbet

【詳解】在ABC中，由余弦定理得"二廿十。?—2"COSA,

且,ABC的面積S=；Z?csinA,

由2s=/—0—op,得歷sinA=2Z?c—2A8sA,化簡(jiǎn)得sinA+2cosA=2,

又AE[。,,），sin2A+cos2A=1,聯(lián)立得5sin2A—4sinA=0,

4

解得sinA=w或sinA=0（舍去），

匚匚2bsinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC43

所以一=----=—k------=--------；-----------=------+一，

csinCsinCsinC5tanC5

因?yàn)锳BC為銳角三角形，

所以O(shè)vCv],B=7r-A-C,所以

13所以高b

所以tanC>tan，所以

tanA4c

、八b甘（35、二匚［、［〃+，bc1

設(shè)一=/，其中才W,所以--：---=--=t+—j

cC力becbt

由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知y=f+；在||，”上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

334534

當(dāng)

y-f-時(shí)y-

當(dāng)金1時(shí),5-1-5-t3-1-5-

—34、*+234、

所以ye2,—,即2*的取值范圍是2,f-.

_yjjbeL

故答案為：0",正34、）

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡(jiǎn)可得g6=丁4三+J3,進(jìn)

c5tanC5

而可以求解.

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.（12分）已知｛%｝是公差不為零的等差數(shù)列，4=1,且%出外成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

14/2

（2）若勿=（-1）"------,求也｝的前1012項(xiàng)和。12.

an'an+\

【答案】（1）4=2,7-1

2024

(2)71012

2025

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)即可得解;

（2）由裂項(xiàng)相消法可求出前1012項(xiàng)和.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

又囚=1,則。2=q+d=1+d,%=%+4d=l+4d,

因?yàn)?,%,生成等比數(shù)列，所以耐二%?%,

即（l+d）2=lx（l+4d）,

得/-2d=0,

又因?yàn)椋?｝是公差不為零的等差數(shù)列，所以d=2,

即%=q+（〃一l）d=l+（〃-l）x2=2〃-l.....................................................6分

（2）由（1）知

4r?4A?f11\

bn=（-DM+，——=（-Dn+10/°口、=（-Dn+1"+'，

an-an+l+\2n—l2n+lJ

1

+

2023

18.（12分）在直角梯形ABCD中，AD!IBC,BC=2AD=2AB=2非,ZABC=90°,如圖（1）.把

△AB。沿3D翻折，使得平面ABD_L平面BCD.

圖⑴圖⑵

⑴求證：CD1AB-,

BN

⑵在線段3c上是否存在點(diǎn)N,使得AN與平面AC。所成角為60。？若存在，求出”的值；若不存

nC

在，說(shuō)明理由.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

s、r廣BN1

⑵存在‘法=1

【分析】（1）利用勾股定理證明CDL8D,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得CD，平面鉆D,再根據(jù)線面

垂直的性質(zhì)即可得證；

（2）以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【詳解】（1）因?yàn)锳D〃BC,且BC=2AZ）=2AB=2忘,AB_LBC,

可得AD=A3=0，BD=dAB?+AD2=2，

又因?yàn)閆DBC=ZADB=45。，可得CD=,+（2及J-2x2x20cos45。=2,

所以=8C?,則CD_LBD,

因?yàn)槠矫鍭BD_L平面BCD,平面ABDc平面3CD=J?￡>,且CDu平面BCD,

所以CD_L平面ABD,

又因?yàn)锳Bu平面AB￡）,所以CD_LAB；......................................................6分

(2)因?yàn)镃D_L平面ABD,且瓦)u平面AB￡),所以CD_L8D,

如圖所示，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

可得4。,0,1),5(2,0,0),C(0,2,0),￡>(0,0,0),

所以C￡>=(0,-2,0),AD=(-l,0,-l)..............................7分

設(shè)平面ACD的法向量為〃=(x,y,z),則<,

n?AD=—x—z=0

令尤=1,可得y=0,z=-l,所以〃...........................9分

假設(shè)存在點(diǎn)N,使得AN與平面ACD所成角為60,

設(shè)弱=2詫?zhuān)?其中0WNW1),則N(2-2九240),SV=(1-22,22,-1),

\n-AN\|1—2A+1|乖)

所以sin60。二二十

^(1-22)2+(22)2+(-1)2x722

整理得82"-1=。，解得退或』:(舍去)'

所以在線段8C上存在點(diǎn)N,使得AN與平面ACD所成角為60。，此時(shí)

19.(12分)正態(tài)分布與指數(shù)分布均是用于描述連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布.對(duì)于一個(gè)給定的連續(xù)

型隨機(jī)變量X,定義其累積分布函數(shù)為尸(x)=P(XWx).已知某系統(tǒng)由一個(gè)電源和并聯(lián)的A,B,C

三個(gè)元件組成，在電源電壓正常的情況下，至少一個(gè)元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常運(yùn)行，電源及

各元件之間工作相互獨(dú)立.

⑴已知電源電壓X(單位：V)服從正態(tài)分布N(40,4)，且X的累積分布函數(shù)為尸(x),求F(44)-尸(38)；

(2)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時(shí)間間隔或等待時(shí)間.已知隨機(jī)變量T(單位：

Q/<0

天)表示某高穩(wěn)定性元件的使用壽命，且服從指數(shù)分布，其累積分布函數(shù)為G。)=]_j_f>Q.

(I)設(shè)％>芍>°,證明：P(T>t]\T>t2)=P(T>t}-t2).

(ii)若第”天元件A發(fā)生故障，求第〃+1天系統(tǒng)正常運(yùn)行的概率.

附：若隨機(jī)變量y服從正態(tài)分布N(〃,/),則尸(|丫_川<b)=o.6827,P(|y-〃|<2b)=0.9545,

P(\Y-H\<3b)=0.9973.

【答案】⑴0.8186

7

(2)(i)證明見(jiàn)解析；(ii)—.

16

【分析】(1)根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性即可結(jié)合F(x)=P(XWx)的定義求解，

(2)(i)根據(jù)條件概率的計(jì)算公式集合尸(x)=P(XWx)的定義以及G0的定義域即可求解，(ii)

根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式求解即可.

【詳解】(1)由題設(shè)得尸(38<X<42)=0.6827,P(36<X<44)=0.9545,

所以尸(44)-F(38)=P(XW44)-P(XW38)=P(40WXW44)+P(38WXW40)

=1x(0.6827+0.9545)=0.8186.............................3分

(2)(i)由題設(shè)得：

ir、尸尸［(7>GC(T>4)］尸(T>GI-P(T4GI-G(G

12

P(T>t2)P(T>t2)1-P(T<?2)1-G(r2)

P(T>tt-t2)=1-P(T<Z1-/2)=1-G(/1-Z2)=4'2f,

所以P(T>4|T>芍)=P(T>4—2)...............................8分

(ii)由(i)得P(T>〃+1［T>〃)=P(T>1)=1-尸(TW1)=1-G(1)=L,

4

所以第〃+1天元件B,C正常工作的概率均為;.

4

為使第”+1天系統(tǒng)仍正常工作，元件B,C必須至少有一個(gè)正常工作,

17

因此所求概率為1-(1-52=/................................12分

4Io

20.(12分)已知拋物線曰/=以的焦點(diǎn)為R若ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線E上，且滿足

FA+FB+FC=0,則稱(chēng)該三角形為"核心三角形

⑴設(shè)"核心三角形ABC"的一邊A3所在直線的斜率為2,求直線A3的方程；

(2)已知：ABC是"核心三角形"，證明：ABC三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于2.

【答案】⑴2x-y-1=0

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(I)設(shè)■的方程為y=2x+t,聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)尸(1,0)及

E4+FB+FC=0得到點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2+/2),代入拋物線方程，求出f=T,得到直線方程；

(2)設(shè)直線3C的方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為

(3-4m2-2n,-4m),代入拋物線方程，得到〃=1-4/，由根的判別式得到心_/，所以病<g,

所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)4〃5<2,同理可證另兩個(gè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)也小于2.

【詳解】（1）設(shè)直線A3的方程為y=2x+f,與V=4x聯(lián)立得y2-2y+2f=0,

由A=4—8f>0得/<—，

2

設(shè)A（%,%）,3（孫為），。（鼻,%），則K+%=2,%%=2’,

所以為+%=］（%+%—27）=1-/，

由題意知尸（1,0）,

因?yàn)橛?^8+歹。=0,7;>1=（玉_1,耳）,尸3=（%2_1,%）,尸。=（鼻_1,%）,

所以（%+%+電―3,%+%+%）=（°，°），

x+x+x=3毛=3-（1-f）=f+2

所以123故

.%+%+%=°.%=一2

即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2+.2）,代入拋物線E的方程得：4=4（2+。，解得好-1,

滿足條件

所以直線A3的方程為2x-y-l=0.........................................................6分

（2）證明：設(shè)直線5c的方程為1=沖+〃，與丁=4%聯(lián)立得/一4切—4〃=0,

2

A=16（”+〃）＞0,所以〃〉-m,y2+%=4m,y2y3=—4〃,

所以馬+毛=機(jī)（%+%）+2〃=4m2+2n.

%+%+%3=3=3-4m2-2n

由（1）知,所以

.%+%+%=°=-4m

即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3-4療一2〃,-4時(shí).

又點(diǎn)A在拋物線V=4x上，所以16/=4（3-4〃/-2〃），所以〃=|一4療，

乂77>-療，所以病<一,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)3-4〃/—2〃=4〃，<2,

2

同理可證，B,C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)也小于2.

所以ABC三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)均小于2..........................................................12分

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法：

（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；

（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)

函數(shù)的最值或范圍.

21.（12分）已知函數(shù)/（x）=lnx+d：-l）,<7>0.

⑴若/（x）20恒成立，求°的取值集合;

(2)證明：sin———I-sin---++sin—<ln2(nGN+).

n+1n+2In

【答案】⑴{1}

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)/（力的最小值，轉(zhuǎn)化恒成立條件列不等式可求，的取值集合；

（2）利用小問(wèn)（1）構(gòu)造不等式，賦值結(jié)合累加法證明ln2＞」7+—；+工++1,再結(jié)合正

弦函數(shù)性質(zhì)和不等式性質(zhì)即可證明結(jié)論.

【詳解】⑴由題可知函數(shù)“X）的定義域?yàn)閧尤I無(wú)＞0},

/'（x）=!一二=手，令/'。）=0,得x=a,

XXX

由X，“X）,廣（X）列表如下

(O,12)(a,+8)

Xa

/W—0+

r(x)遞減極小值遞增

/(Hnj/SMna-。+1，

因?yàn)?(力30恒成立，

所以In。-。+1?0,ae(0,+oo).

11—x

令g(x)=lnx-x+l,貝I]g，(x)=__l=--,

XX

由X,g(x),g'(x)列表如下

X(0,1)1(1,+e)

g(x)+0—

g'(x)遞增極大值遞減

?，?^(xL=^(1)=0-

又?a￡(0,1),=Ina-?+1<g(1)=0,

aG(1,+oo),g(a)=]na-a+l<g(l)=0,

故〃的取值集合為{1}..................................5分

(2)由(1)可知，當(dāng)a=l時(shí)，/(%)>0,

11v_1

即lnx+—―1>0,lnx>l一一=--,

XXX

X

??.ln(x+l)>——(當(dāng)％=0時(shí)，"=〃成立)，

x+1

令x=L(〃eN+),

n

1

Inf—+>-J1~―—--,貝1Jin]——>----,ln(l+?)-lnn>―^-―,

\n)，+]n+1v?Jn+1n+1

n

由累加法可知

1

>---

n+1

1

ln(2+〃)-ln(〃+l)>----

〃+2

1

ln(3+〃)-ln(〃+2)>----

〃+3

1

ln(2〃)-ln(2〃-l)>一

2n,

累力口可得1D(2H)—Inn>-----1------------1------------1-------1------,

n+1n+2〃+32n

皿c1111

即In2>-----1------------1------------FH------,

n+1n+2〃+32n

令h(x)=sinx-x,xG(0,+oo),

hr(x)=cos%-1<0恒成立,

???Kx)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，

/.h(x)<h(0)=0,

.\sinx<x,

1111.1.1.1.1

-----1-------1-------FH--->sin------Fsin------Fsin-----F+sin—,

n+1n+2n+32nn+1n+2n+32n

In2>sin----+sin-----+sin-----++sin——(neN)................................12分

n+1n+2H+32n

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)

性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題.注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證

明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問(wèn)題處理；（2）利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一般

將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，解題過(guò)程中要注意分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；（3