押廣東省卷第22-23題（圓的綜合、二次函數(shù)的綜合）（解析版）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)臨考題號押題

押廣東省卷第22-23題押題方向一：圓的綜合問題3年廣東省卷真題考點命題趨勢2023年廣東省卷第22題圓的有關(guān)問題從近年廣東省中考來看，圓的有關(guān)問題綜合比較強，是?？碱}型，也是考查重點，難度一般。預(yù)計2024年廣東省卷還將繼續(xù)考查圓的有關(guān)問題，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實掌握。2022年廣東省卷第22題圓的有關(guān)問題2021年廣東省卷第22題圓的有關(guān)問題1．（2023·廣東·中考真題）綜合探究如圖1，在矩形中，對角線相交于點，點關(guān)于的對稱點為，連接交于點，連接．

(1)求證：；(2)以點為圓心，為半徑作圓．①如圖2，與相切，求證：；②如圖3，與相切，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②【分析】（1）由點關(guān)于的對稱點為可知點E是的中點，，從而得到是的中位線，繼而得到，從而證明；（2）①過點O作于點F，延長交于點G，先證明得到，由與相切，得到，繼而得到，從而證明是的角平分線，即，，求得，利用直角三角形兩銳角互余得到，從而得到，即，最后利用含度角的直角三角形的性質(zhì)得出；②先證明四邊形是正方形，得到，再利用是的中位線得到，從而得到，，再利用平行線的性質(zhì)得到，從而證明是等腰直角三角形，，設(shè)，求得，在中，即，解得，從而得到的面積為．【詳解】（1）∵點關(guān)于的對稱點為，∴點E是的中點，，又∵四邊形是矩形，∴O是的中點，∴是的中位線，∴∴，∴（2）①過點O作于點F，延長交于點G，則，

∵四邊形是矩形，∴，，∴，．∵，，，∴，∴．∵與相切，為半徑，，∴，∴又∵即，，∴是的角平分線，即，設(shè)，則，又∵∴∴又∵，即是直角三角形，∴，即解得：，∴，即，在中，，，∴，∴；②過點O作于點H，

∵與相切，∴，∵∴四邊形是矩形，又∵，∴四邊形是正方形，∴，又∵是的中位線，∴∴∴又∵，∴又∵，∴又∵，∴是等腰直角三角形，，設(shè)，則∴在中，，即∴∴的面積為：【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，中位線的性質(zhì)定理，角平分線的判定定理等知識，掌握相關(guān)知識并正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，．(1)試判斷的形狀，并給出證明；(2)若，，求的長度．【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；證明見解析；(2)；【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根據(jù)等弧對等角可得∠ACB=∠CAB，即可證明；（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；【詳解】（1）證明：∵AC是圓的直徑，則∠ABC=∠ADC=90°，∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，∴∠ACB=∠CAB，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=，∴AC=，Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，則CD=，∴CD=．【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識；掌握等弧對等角是解題關(guān)鍵．3．（2021·廣東·中考真題）如圖，在四邊形中，，點E、F分別在線段、上，且．（1）求證：；（2）求證：以為直徑的圓與相切；（3）若，求的面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】(1)設(shè)，進(jìn)而求得，再由即可求得；(2)取中點O，過點O作，由梯形中位線定理得到，利用得到，進(jìn)而，由此即可證明；(3)過點D，點A分別向作垂線交于點M，N，得到，分別求出，再代入求解即可．【詳解】解：(1)∵，設(shè)，∴，∵CD∥AB，∴，又∵，∴，∴，∴．(2)如圖，取中點O，過點O作，∵CD∥AB，∠ABC=90°，∴，又∵，∴OM∥AB，∴M為中點，∴，∵，又∵，∴，又∵，∴，∴以為直徑的圓與相切．(3)∵∠DFE=120°，CD∥EF∥AB，∴，又∵∴為等邊三角形，，∵CD∥EF，∴，由(2)得：，∴，∴，∵，在中，三邊之比為，∴，在中，三邊之比為，∴，如圖，過點D，點A分別向作垂線交于點M，N，∵，∴四邊形為矩形，∴，同理，四邊形BENA為矩形，∴，．【點睛】本題考查了等腰三角形等腰對等角、梯形中位線定理、割補法求四邊形的面積、圓的切線的證明方法等，熟練掌握各圖形的基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．1）在證明圓周角相等或弧相等時，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；2）當(dāng)已知圓的直徑時，常構(gòu)造直徑所對的圓周角；3）在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等；4）注意圓的相關(guān)知識和相似、三角函數(shù)、勾股定理結(jié)合解決相關(guān)計算問題。1．如圖，在中．，的平分線與以為半徑的交于、兩點，與交于點，連接，．(1)填空：與的位置關(guān)系為；(2)求證：；(3)若，的半徑為3．求的長．【答案】(1)與相切(2)見詳解(3)4【分析】（1）作于點，由角平分線的性質(zhì)得，則點在上，即可證明與相切，于是得到問題的答案；（2）由是的直徑，得，則，因為，所以，而，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明；（3）由的半徑為3，得，由相似三角形的性質(zhì)得，則，，所以，求得．【詳解】（1）解：作于點，，，平分交于點，，圓心到直線的距離等于的半徑，點在上，是的半徑，且，與相切，故答案為：與相切．（2）證明：是的直徑，，，，，，，．（3）解：的半徑為3，，，，，，，，，解得或（不符合題意，舍去），的長為4．【點睛】此題重點考查角平分線的性質(zhì)、點與圓的位置關(guān)系、切線的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)、同角的余角相等、相似三角形的判定與性質(zhì)、直徑所對的圓周角是直角等知識，推導(dǎo)出是解題的關(guān)鍵．2．如圖，點A在第一象限內(nèi)，與x軸相切于點B，與y軸相交于點C，D，連結(jié)，過點A作于點H．(1)求證：四邊形為矩形．(2)已知的半徑為4，，求弦的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到軸，由題意得，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)得，由勾股定理得，根據(jù)垂徑定理可得，計算求解即可．【詳解】（1）證明：∵與x軸相切于點B，∴軸，又∵，∴，∴四邊形是矩形；（2）解：如圖，連接，∵四邊形是矩形，∴，∵，由勾股定理得，，∵，∴，∴弦的長為6．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，熟練掌握切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理是解題的關(guān)鍵．3．如圖，為的直徑，點是上一點，與相切于點，過點作，連接，．(1)求證：是的角平分線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)的長為．【分析】（1）連接，先證明，然后由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)題目中的條件，可以得到，，從而可以得到，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出的長度．【詳解】（1）證明：連接，如圖1，與相切于點，為半徑，，又，∴，，，，，平分；（2）解：如圖2，平分，，是直徑，，，，，，，，，，，或（不符合題意，舍去），的長為．【點睛】本題是圓的綜合應(yīng)用，考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，角平分線定義等知識是解決問題的關(guān)鍵．4．如圖，在等腰中，，以為直徑的與相交于點D，過點D作交的延長線于點E，垂足為點F．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．(2)若的半徑，，求的長．【答案】(1)相切，理由見解析(2)【分析】本題主要考查了切線的判定，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理等等：（1）連接，根據(jù)等邊對等角得出，，等量代換得到，則，推出，即可得出結(jié)論；（2）連接，則，解直角三角形得到，設(shè)，則，可得，，證明，得到，可得，，證明，得到，即，則．【詳解】（1）解：與相切，理由：連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵D在上，∴是的切線；（2）解：如圖所示，連接，∵為的直徑，∴，∴，設(shè)，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，∴，，∵，∴，∴，即，∴．5.如圖1，點E在正方形的邊上，延長至點F，使得，連接，延長交于點G．(1)求證：；(2)如圖2，連接交于點H，以為直徑作圓O，連接，若平分．①求證：為圓O的切線；②若正方形的邊長為1，求的值．【答案】(1)見詳解(2)①見詳解；②【分析】（1）根據(jù)是正方形，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）①證明，得出，連接，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)是直徑運用圓周角定理得出，得出，，從而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)，即可證明；②過點C作交于點M，得出，設(shè)，則，在直角中，用勾股定理求出，即可求出，證明，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出，即，即可求解；【詳解】（1）是正方形，，在和中，，，，；（2）①，，平分，，由（1）知，，，，連接，則，，是直徑，，，，，，，，，，，為圓O的切線．②過點C作交于點M，，，，設(shè)，，在直角中，，，，，在中，，∵，，，，，．【點睛】該題主要考查了圓綜合，涉及的主要知識點有相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，圓周角定理，切線的證明，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等，解答該題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．6．綜合探究如圖，在扇形中，是上異于的動點，過點作于點，作于點，連接，點在線段上，且．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)當(dāng)點在上運動時，在中，是否存在長度不變的線段？若存在，請求出該線段的長度；若不存在，請說明理由．(3)求證：是定值．【答案】(1)見解析；(2)存在，1；(3)見解析．【分析】本題主要考查圓的基本性質(zhì)以及勾股定理：（1）道德證明四邊形是矩形，得，同理可證，得出四邊形是平行四邊形．（2）根據(jù)點A是上的點，，得出，由得出；（3）過點作于點．設(shè)，則，求出，，計算出，進(jìn)一步可得出結(jié)論【詳解】（1）證明：如圖，連接交于點．，，四邊形是矩形，．，，，四邊形是平行四邊形．（2）解：存在，線段的長度不變．∵點A是上的點，在矩形中，．，．（3）解：如圖，過點作于點．設(shè)，則．由，得，．，，，是定值．7．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，連接平分，過點C作交的延長線于點E．(1)求證：為的切線．(2)求證：．(3)若，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題主要考查了圓切線的判定、圓周角定理、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．（1）如圖：連接，先說明，再說明，進(jìn)而說明，再根據(jù)可得，即可證明結(jié)論；（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換可得，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，從而得到；（3）由直徑所對的圓周角為直角和角平分線的意義可得出是等腰直角三角形，由勾股定理可求出，再由三角形相似求出．【詳解】（1）證明：如圖：連接．∵平分，∴，∴；∵為直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴與相切，即為的切線；（2）證明：∵，∴，∵，∴；∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，∴，∴，（3）解：在中，在中，，∵，∴，∴，∴．8．如圖，矩形中，，點E是上的動點，以為直徑的與交于點F，過點F作于點G．(1)當(dāng)E是的中點時：的值為______；(2)在（1）的條件下，證明：是的切線；(3)試探究：能否與相切？若能，求出此時的長；若不能，請說明理由，【答案】(1)(2)詳見解析(3)能與相切，此時或【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，求出的值即可；（2）連接，證明，得出，則．證出．可得出，則結(jié)論得證；（3）先假設(shè)能與相切，則，即．設(shè)的長為，然后用表示出的長，根據(jù)勾股定理可得出一個關(guān)于的一元二次方程，若能與相切，那么方程的解即為的長；若方程無解，則說明不可能與相切．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，，，，是的中點，，．故答案為：．（2）證明：連接，

在矩形中，，，又，，，．，，．．，，是的切線．（3）解：若能與相切，由是的直徑，則，．設(shè)，則．，，由勾股定理得：，即，整理得，解得：，，或9，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，能與相切，此時或．【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理、矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定、解直角三角形的應(yīng)用等知識，熟練掌握切線判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．綜合探究：如圖，已知，以為直徑作半圓O，半徑繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到，點A的對應(yīng)點為C，當(dāng)點C與點B重合時停止．連接并延長到點D，使得，過點D作于點E，連接，．(1)如圖1，當(dāng)點E與點O重合時，判斷的形狀，并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)時，求的長；(3)如圖3，若點P是線段上一點，連接，當(dāng)與半圓O相切時，判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)是等邊三角形，理由見解析(2)的長為或(3)．理由見解析【分析】（1）由圓周角定理得到，結(jié)合已知條件和等腰三角形“三線合一”性質(zhì)推知，再由等腰“三線合一”性質(zhì)得到，即可得到結(jié)論；（2）分類討論：點E在線段和線段上，借助勾股定理求得的長度；（3）由三角形中位線定理知，又由切線的性質(zhì)知，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】（1）是等邊三角形，理由如下：如圖1，是圓O的直徑，，又，，點E與點O重合，，，，，，是等邊三角形；（2），，當(dāng)點E在上時，則，，，，在和中，由勾股定理得，即，解得，；當(dāng)點E在上時，同理可得，解得，；綜上所述，BC的長為或；（3）．理由如下：如圖3，連接．點C是的中點，點O是的中點，是的中位線，又與半圓O相切，．【點睛】此題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定，等腰三角形三線合一性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，切線的性質(zhì)等知識，根據(jù)點E的位置正確分類是解題的關(guān)鍵．押題方向二：二次函數(shù)的綜合3年廣東省真題考點命題趨勢2023年廣東省卷第23題二次函數(shù)綜合問題從近年廣東省中考來看，二次函數(shù)圖形和性質(zhì)綜合問題壓軸主要考查二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，試題以解答題壓軸形式呈現(xiàn)，難度較高；預(yù)計2024年廣東省卷還將繼續(xù)重視對二次函數(shù)圖形和性質(zhì)綜合問題的考查。2022年廣東省卷第23題二次函數(shù)綜合問題2022年廣東省卷第23題二次函數(shù)綜合問題1．（2023·廣東·中考真題）綜合運用如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點A在軸的正半軸上，如圖2，將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，交直線于點，交軸于點．

(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時，；（直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過程）(2)若點，求的長；(3)如圖3，對角線交軸于點，交直線于點，連接，將與的面積分別記為與，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及直角三角形全等的判定及性質(zhì)得出，再由題意得出，即可求解；（2）過點A作軸，根據(jù)勾股定理及點的坐標(biāo)得出，再由相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)及四點共圓條件得出O、C、F、N四點共圓，再由圓周角定理及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)得出，，過點N作于點G，交于點Q，利用全等三角形及矩形的判定和性質(zhì)得出，結(jié)合圖形分別表示出，，得出，再由等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵正方形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵交直線于點，∴，∴，即；

（2）過點A作軸，如圖所示：

∵，∴，∴，∵正方形，∴，，∴，∵，∴，∴即，∴；（3）∵正方形，∴，∵直線，∴，∴，∴O、C、F、N四點共圓，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，，過點N作于點G，交于點Q，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴∴，∵，，∴四邊形為矩形，∴，∴，，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴【點睛】題目主要考查全等三角形、相似三角形及特殊四邊形的判定和性質(zhì)，四點共圓的性質(zhì)，理解題意，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．2．（2022·廣東·中考真題）如圖，拋物線（b，c是常數(shù)）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，，，點P為線段上的動點，過P作//交于點Q．(1)求該拋物線的解析式；(2)求面積的最大值，并求此時P點坐標(biāo)．【答案】(1)(2)2；P（-1，0）【分析】（1）用待定系數(shù)法將A，B的坐標(biāo)代入函數(shù)一般式中，即可求出函數(shù)的解析式；（2）分別求出C點坐標(biāo)，直線AC，BC的解析式，PQ的解析式為：y=-2x+n，進(jìn)而求出P，Q的坐標(biāo)以及n的取值范圍，由列出函數(shù)式求解即可．【詳解】（1）解：∵點A（1，0），AB=4，∴點B的坐標(biāo)為（-3，0），將點A（1，0），B（-3，0）代入函數(shù)解析式中得：，解得：b=2，c=-3，∴拋物線的解析式為；（2）解：由（1）得拋物線的解析式為，頂點式為：，則C點坐標(biāo)為：（-1，-4），由B（-3，0），C（-1，-4）可求直線BC的解析式為：y=-2x-6，由A（1，0），C（-1，-4）可求直線AC的解析式為：y=2x-2，∵PQ∥BC，設(shè)直線PQ的解析式為：y=-2x+n，與x軸交點P，由解得：，∵P在線段AB上，∴，∴n的取值范圍為-6＜n＜2，則∴當(dāng)n=-2時，即P（-1，0）時，最大，最大值為2．【點睛】本題考查二次函數(shù)的面積最值問題，二次函數(shù)的圖象與解析式間的關(guān)系，一次函數(shù)的解析式與圖象，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．3．（2021·廣東·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象過點，且對任意實數(shù)x，都有．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若（1）中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點為A，與y軸交點為C；點M是（1）中二次函數(shù)圖象上的動點．問在x軸上是否存在點N，使得以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，求出所有滿足條件的點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，或或或【分析】（1）令，解得，可得函數(shù)必過，再結(jié)合必過得出，，即可得到，再根據(jù)，可看成二次函數(shù)與一次函數(shù)僅有一個交點，且整體位于的上方，可得，有兩個相等的實數(shù)根，再根據(jù)，可解得的值，即可求出二次函數(shù)解析式．（2）結(jié)合（1）求出點C的坐標(biāo)，設(shè)，①當(dāng)為對角線時，②當(dāng)為對角線時，③當(dāng)為對角線時,根據(jù)中點坐標(biāo)公式分別列出方程組，解方程組即可得到答案．【詳解】解：（1）令，解得，當(dāng)時，，∴必過，又∵必過，∴，∴，即，即可看成二次函數(shù)與一次函數(shù)僅有一個交點，且整體位于的上方∴，有兩個相等的實數(shù)根∴，∴，∴，∴，，∴．（2）由（1）可知：，，設(shè)，①當(dāng)為對角線時，∴，解得（舍），，∴，即．②當(dāng)為對角線時，∴，解得（舍），∴，即．③當(dāng)為對角線時，∴，解得，∴或，∴．綜上所述：N點坐標(biāo)為或或或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到二次函數(shù)與不等式組，考查了平行四邊形的存在性問題，利用中點公式，分類討論是解題關(guān)鍵．1.二次函數(shù)（含參）最值討論技巧：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)（下面以a＞0為例進(jìn)行討論）。圖1圖2圖3圖4圖51）如圖1，當(dāng)x的取值為全體實數(shù)時：當(dāng)時，y取最小值，最小值ymin=，無最大值。2）如圖2，當(dāng)時：當(dāng)時，y取最小值，最小值為ymin=ax22+bx2+c；當(dāng)時，y取最大值，最大值為ymax=ax12+bx1+c。3）如圖3，當(dāng)且時：當(dāng)時，y取最小值，最小值為ymin=；當(dāng)時，y取最大值，最大值為ymax=ax12+bx1+c。4）如圖4，當(dāng)且時：當(dāng)時，y取最小值，最小值為ymin=；當(dāng)時，y取最大值，最大值為ymax=ax22+bx2+c。5）如圖4，當(dāng)時：當(dāng)時，y取最小值，最小值為ymin=ax12+bx1+c；當(dāng)時，y取最大值，最大值為ymax=ax22+bx2+c。1．在山體中修建隧道可以保護(hù)生態(tài)環(huán)境，改善公路技術(shù)狀態(tài)，提高運輸效率．某城市道路中一雙向行駛隧道（來往方向各一車道，路面用黃色雙實線隔開）圖片如圖所示．隧道的縱截面由一個矩形和一段拋物線構(gòu)成。隧道內(nèi)路面的總寬度為，雙向行駛車道寬度為（路面兩側(cè)各預(yù)留給非機動車），隧道頂部最高處距路面，矩形的高為．(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出該段拋物線的解析式；(2)為了保證安全，交通部門要求行駛車輛的頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少要有．問：通過隧道的車輛應(yīng)限制高度為多少？【答案】(1)(2)通過隧道的車輛應(yīng)限制高度為【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用；（1）根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）將代入解析式，求得的值，根據(jù)交通部門要求行駛車輛的頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少要有，結(jié)合函數(shù)圖象，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，隧道頂部最高處距路面6m，矩形的高為2m．∴頂點坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，將點代入，得，，解得：，∴拋物線解析式為；（2）解：依題意，當(dāng)時，，∵交通部門要求行駛車輛的頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少要有．∴通過隧道的車輛應(yīng)限制高度為，答：通過隧道的車輛應(yīng)限制高度為2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于，兩點（點在軸上），與軸交于點，且．(1)求拋物線的解析式；(2)若為直線下方拋物線上的一個動點，過點作交于點，交軸于點．①求線段的最大值；②是否存在點，使得四邊形為等腰梯形？若存在，請求出點的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)；存在符合條件的點，其橫坐標(biāo)為【分析】（）先求出、的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解即可；（）設(shè)．求得直線的解析式為．①證．利用相似三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：直線中，令得，解得，∴點，拋物線中，當(dāng)時，，∴點．如圖，設(shè)直線與軸交于點，直線中，當(dāng)?shù)?，∴點．∴．又∵，∴．∴．又∵，∴是等腰直角三角形．∴點在的垂直平分線上，即點的縱坐標(biāo)為．又∵點在直線上，∴，解得，∴點的坐標(biāo)為．∴拋物線過點，．∴解得∴拋物線的解析式為．（2）解：設(shè)直線為：，把，代入得，，解得∴直線的解析式為，設(shè)．由，可設(shè)直線的解析式為，把代入，得，∴，可得直線的解析式為．①聯(lián)立解得，∴．如圖，過點作軸于點，過點作于點．∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．∴．∵，，，∴，∴．∴當(dāng)時，為最大值．②由為直線：與軸的交點，可知點的坐標(biāo)為，∵，，，∴，．∵，∴，即，解得或或．∵，∴．∴或．當(dāng)時，，此時四邊形為平行四邊形，不符合條件；當(dāng)時，，此時四邊形為等腰梯形，符合條件．∴存在符合條件的點，其橫坐標(biāo)為．【點睛】本題主要考查了勾股定理，待定系數(shù)法求二次函數(shù)，求一次函數(shù)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)以及等腰三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握，平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線經(jīng)過點，直線交拋物線于點P，交x軸于點Q，點P關(guān)于點Q的對稱點為點C，過點P、C分別作的垂線，交過點A且垂直于x軸的直線于點E、D．(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該拋物線的頂點坐標(biāo)；(3)當(dāng)線段的長隨m值的增大而增大時，求m的取值范圍；(4)拋物線在點P、A之間的部分（包括點P、A）的最低點到x軸的距離記為，四邊形PCDE截該拋物線的圖象（包括邊界的點）的最低點到x軸的距離記為，若，直接寫出m的值．【答案】(1)(2)(3)或(4)或【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．（1）將代入，求出b和c的值，即可解答；（2）將（1）中得出的函數(shù)解析式化為頂點式，即可解答；（3）令，求出x的值，得出該拋物線與x軸的另一個交點的坐標(biāo)為．根據(jù)該拋物線的對稱軸為直線，結(jié)合二次函數(shù)的增減性，即可解答；（4）根據(jù)題意進(jìn)行分類討論：①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，④當(dāng)時，即可解答．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，∴將代入得，，解得，∴該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝．（2）解：，∴該拋物線的頂點坐標(biāo)為．（3）解：令，則，解得，∴該拋物線與x軸的另一個交點的坐標(biāo)為．∵該拋物線的對稱軸為直線，∴當(dāng)或時，線段的長隨m值的增大而增大．（4）解：①當(dāng)時，，∵，∴此時不成立．②當(dāng)時，，∴此時不成立．③當(dāng)時，，，∵，∴，解得（舍去）．④當(dāng)時，，，∵，∴，解得（舍去）．綜上，或．4．【建立模型】（1）如圖1，點B是線段上的一點，，，，垂足分別為C，B，D，．求證：；【類比遷移】（2）如圖2，點在反比例函數(shù)圖象上，連接，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到，若反比例函數(shù)經(jīng)過點B．求反比例函數(shù)的解析式；【拓展延伸】（3）如圖3拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于C點，已知點，連接，拋物線上是否存在點M，便得，若存在，求出點M的橫坐標(biāo)．【答案】（1）見解析；（2）；（3）M的坐標(biāo)為或．【分析】（1）根據(jù)題意得出，，證明，即可得證；（2）如圖2，分別過點A，B作軸，軸，垂足分別為C，D．求解，，．利用，可得；由反比例函數(shù)經(jīng)過點，可得，可得答案；（3）如圖3，當(dāng)M點位于x軸上方，且，過點Q作，交于點D，過點D作軸于點E．證明，可得，，可得，求解，令，可得M的坐標(biāo)為；如圖，當(dāng)M點位于x軸下方，且，同理可得，為．由，可得M的坐標(biāo)是．【詳解】證明：（1）如圖，

∵，，，∴，∴，∴，又∵，∴．（2）①如圖2，分別過點A，B作軸，軸，垂足分別為C，D．將代入得：，∴，，．同（1）可得，∴，，∴，∵反比例函數(shù)經(jīng)過點，∴，∴；（3）存在；如圖3，當(dāng)M點位于x軸上方，且，過點Q作，交于點D，過點D作軸于點E．

∵，，∴，∴，∵軸，，∴，，∴，∵，∴，∴，，令，得，，∴，又，∴，∴，設(shè)為，則

解得：，∴令，得，(舍去)，當(dāng)時，，∴；如圖，當(dāng)M點位于x軸下方，且，

同理可得，為．由，得，(舍去)∴當(dāng)時，，∴．綜上：M的坐標(biāo)為或．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的解法，熟練的利用類比的方法解題是關(guān)鍵．5．綜合運用在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（b，c是常數(shù)）與x軸交于點，，與y軸交于點C．P為x軸上方拋物線上的動點（不與點C重合），設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．(1)填空：，．(2)如圖，直線l是拋物線的對稱軸，當(dāng)點P在直線l的右側(cè)時，連接，過點P作，交直線l于點D．若，求m的值．(3)過點P作x軸的平行線與直線交于點Q，線段的長記為d，求d關(guān)于m的函數(shù)解析式．【答案】(1)2；3(2)(3)【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式即可；（2）過點作于點，過點作交的延長線于點，先證明，得，根據(jù)，表示出點的橫坐標(biāo)即可；（3）先根據(jù)待定系數(shù)法求出直線的解析式為，再分當(dāng)時，點在點的左側(cè)，當(dāng)時，點在點的右側(cè)兩種情況討論．【詳解】（1）解：拋物線（b，c是常數(shù)）與x軸交于點，，拋物線的解析式為，∴，故答案為：2；3；（2）解：過點作于點，過點作交的延長線于點，，，，，，，，，，∴點的橫坐標(biāo)為，∵直線的解析式為，點在直線上，，且點P在直線l的右側(cè)時，即，；（3）解：拋物線解析式為，當(dāng)時，，即，設(shè)直線的解析式為，，解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，點在點的左側(cè)，，當(dāng)時，點在點的右側(cè)，，∴．6．如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點，點A，B分別位于原點的左、右兩側(cè)，與y軸相交于C，已知拋物線對稱軸為直線，直線經(jīng)過B、C兩點．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線上找一個點D（不與點C重合），使得，請求出點D的坐標(biāo)；(3)如圖2，點E是直線上一動點，過E作x軸的垂線交拋物線于F點，連接，將沿折疊，如果點E對應(yīng)的點M恰好落在y軸上，求此時點E的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由直線的解析式求出、點的坐標(biāo)，由對稱軸得，代入拋物線的解析式，解方程組，即可求解；（2）作直線關(guān)于軸對稱直線，交軸于，交拋物線于，由對稱的性質(zhì)得，，設(shè)直線的解析式為，求出直線的解析式，聯(lián)立直線和拋物線的解析式，解方程組，即可求解；（3）①當(dāng)在軸下方時，由平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)得，，由等腰三角形的判定方法得，設(shè)，則，求出和，即可求解；②當(dāng)在軸上方時，同理可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，解得：，當(dāng)時，，，；設(shè)拋物線的解析式為，則有，解得：，拋物線的解析式為；（2）解：如圖，作直線關(guān)于軸對稱直線，交軸于，交拋物線于，，，設(shè)直線的解析式為，則有，解得：，直線的解析式為，聯(lián)立直線和拋物線的解析式得：，解得：或，．（3）解：①如圖，當(dāng)在軸下方時，軸，，由折疊得：，，，設(shè)，則，，，，解得：，（舍去），；；②如圖，當(dāng)在軸上方時，同理可證：，設(shè)，則，，，，解得：，（舍去），；；綜上所述：E的坐標(biāo)為或．【點睛】本題考查二次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法，平行于坐標(biāo)軸上兩點距離，勾股定理，等腰三角形的判定等，掌握待定系數(shù)法，能根據(jù)點的不同位置進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．7．綜合應(yīng)用．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，連接．

(1)求A，B，C三點的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點P是二次函數(shù)圖象上的一個動點，請問是否存在點P使？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，作出該二次函數(shù)圖象的對稱軸直線l，交x軸于點D．若點M是二次函數(shù)圖象上一動點，且點M始終位于x軸上方，作直線，，分別交l于點E，F(xiàn)，在點M的運動過程中，的值是否為定值？若是，請直接寫出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)，，，(2)存在，點的坐標(biāo)為或(3)的值是定值；【分析】（1）當(dāng)時，即，解方程可得圖象與軸交于點，，當(dāng)時，，從而得圖象與軸交于點，利用待定系數(shù)法即可求解直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）分點在上方時和點在下方兩種情況討論求解即可；（3）由（）得拋物線的對稱軸為直線，從而，設(shè)且，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求得直線和直線的解析式，從而得，于是即可得．【詳解】（1）解：當(dāng)時，即，解得：．∴圖象與軸交于點，，當(dāng)時，，∴圖象與軸交于點，設(shè)直線為：，把，代入得，解得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：存在，理由如下：當(dāng)點在上方時，

∵，∴，即軸，∴點與點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∵，∴拋物線的對稱軸為直線；∵，∴；當(dāng)點在下方時，設(shè)交軸于點，

則，．∵，∴．在中，，∴，解得：，∴，設(shè)直線的解析式為，，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，得，解得：舍去，，∴．綜上所述，點的坐標(biāo)為或；（3）解：存在，的值為定值，理由如下：由得拋物線的對稱軸為直線，∴，設(shè)且，設(shè)直線的解析式為，將和點的坐標(biāo)代入得：，解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時，，∴，同理，直線的解析式為：，當(dāng)時，，∴，∴，∴，∴的值是定值，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二元一次方程組的應(yīng)用以及勾股定理，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過，兩點且與軸的正半軸交于點．(1)求的值及拋物線的解析式．(2)如圖①，若點為直線上方拋物線上一動點，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；(3)如圖②，若是線段的上一個動點，過點作直線垂直于軸交直線和拋物線分別于點、，連接．設(shè)點的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)為何值時，線段有最大值，并寫出最大值為多少；②是否存在以，，為頂點的三角形與相似，若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理