2024年高考數(shù)學(xué)基本不等式壓軸題專項訓(xùn)練

2024年高考數(shù)學(xué)基本不等式壓軸題專項訓(xùn)練

1.已知二次函數(shù)“X)滿足〃x+l)-/(x)=2x+l,且/(X)的圖象經(jīng)過點4(-2,4).

⑴求f(x)的解析式;

⑵若函數(shù)g(x)=4(x)+(2a-l)x+l,試判斷是否存在整數(shù)。，使得函數(shù)g(x)在區(qū)間

[0』上的最大值為3.若存在，求出。的值；若不存在，請說明理由;

1mA

⑶設(shè)函數(shù)〃(x)=〃x)H---——-mxH-----1-2若不等式/7(%)>0對任意的xe(1,可恒成立

/W尤

求實數(shù)加的取值范圍.

2.已知正整數(shù)集合5=佃,%,.,MjmNZ,eNbOvqv/v?<4”,對任意卬,%eS,

定義“火嗎)=――5.若存在正整數(shù)左，使得對任意即%eS(a產(chǎn)％),都有

d(q,?,)>/，則稱集合S具有性質(zhì)Fk.記d⑸是集合中的｛d(%％)W,%eS｝最大值.

⑴判斷集合A=｛1,2,3｝和集合B=｛4,6｝是否具有性質(zhì)工，直接寫出結(jié)論；

⑵若集合S具有性質(zhì)工，求證：或5)2某；

(3)若集合S具有性質(zhì)果，求"的最大值.

3.已知函數(shù)〃x)=9"—

⑴當(dāng)機(jī)=1時，求不等式/(“<27的解集；

(2)若電>%,>0且％9=7"。，試比較/(石)與/(%)的大小關(guān)系；

(3)令g(x)=/(x)+/(-x)，若y=g(x)在R上的最小值為T1,求機(jī)的值.

4.己知數(shù)列也｝是等差數(shù)列，數(shù)列低｝滿足仇=4+4+2-

⑴求證：數(shù)列出｝是等差數(shù)列；

16

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝、也｝的公差均為/0),且存在正整數(shù)型，使得q+為一3=-可詢

求%的最大值；

⑶在⑵的條件下，當(dāng)％取得最大值時，設(shè)％=3%+g,記數(shù)列占,勺前〃項和為4,

問：是否存在自然數(shù)。，%,使得%工>2成立？說明理由.

Tk~c

試卷第2頁，共8頁

5.已知函數(shù)，(x)為R上的偶函數(shù)，g(x)為R上的奇函數(shù)，且/(x)+g(x)=2x+1記

尸(x)=log2/(X).

⑴求尸(無)的最小值；

⑵解關(guān)于加的不等式P(%+2)>尸(3利-1)；

⑶設(shè)H(x)=-logos-2工+24(0>0),若F(x)的圖象與H(x)的圖象有2個交點，求。的

取值范圍.

6.已知函數(shù)〃力=》+三，aeR.

⑴4>0時，求/(回，/(7(&))的值；

⑵若0=1,用定義證明函數(shù)/(X)在區(qū)間［1,+向上單調(diào)遞增；

⑶若不等式“X)2。在［2,3)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

7.某服裝廠生產(chǎn)一批羽絨服，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會產(chǎn)生一些次品,

一--,0<x<m

12-x

其次品率P與日產(chǎn)量x（萬件）之間滿足關(guān)系:P=]（其中m為小于

3

—,x>m

A

12的正整數(shù)）.已知每生產(chǎn)1萬件合格的羽絨服可以盈利3萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品

將虧損1萬元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量（注：次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量，如P=01

表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，有1件為次品，其余為合格品）.

⑴試將生產(chǎn)這批羽絨服每天的盈利額y（萬元）表示為日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)；

⑵當(dāng)日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？

8.已知函數(shù)〃元）=log9（9，+l）+2E/eR）為偶函數(shù).

⑴求r的值；

⑵求“X）的最小值；

（3）若/（42'+4一2，）27（W（4'-4-'））對也€1＜恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

試卷第4頁，共8頁

9.在ABC中，角A,8,C所對的邊分別是a,b,c,acosC+s/3asinC-b-c=0.

⑴求角A；

(2)若a=7L求ABC周長的最大值；

、r.be—ab—CLC,,T-//rxn

(3)求-----——的取值范圍.

er

10.若存在實數(shù)私〃使得h(x)=ntf{x}+ng(x),則稱函數(shù)人⑺為/(x),g(尤)的“7(加,n)

函數(shù)

(1)若/i(x)=e*為/(x),g(x)的“7(2,1)函數(shù)”,其中〃x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù),

求〃尤),g⑴的解析式；

⑵設(shè)函數(shù)〃尤)=皿(1+1),g(x)=x,是否存在實數(shù)私"使得/?(%)為“X),g(x)的

"(/%")函數(shù)”，且同時滿足：(i)/z(x)是偶函數(shù)；(ii)7?(x)的值域為［ln2,+oo)?

若存在，請求出私”的值；若不存在，請說明理由.

11.已知二次函數(shù)丁=g2+法+。，其中a,〃,c￡R.

⑴若〃>方>c且a+b+c=O,

①證明：函數(shù)y=以2+Z?x+c必有兩個不同的零點;

②設(shè)函數(shù)尸加+法+c在x軸上截得的弦長為/,求/的取值范圍;

〃3b

(2)若a<b且不等式y(tǒng)<0的解集為0,求2++竺4c的最小值.

b-a

12.觀察數(shù)列：①-1,；②正整數(shù)依次被4除所得余數(shù)構(gòu)成的數(shù)列

1,2,3,0,1,2,3,0,;③弭=tan拳”=1,2,3,.

(1)對以上這些數(shù)列所共有的周期特征，請你類比周期函數(shù)的定義，為這類數(shù)列下一個周

期數(shù)列的定義：對于數(shù)列｛%｝,如果,對于一切正整數(shù)｛4｝都滿足

成立，則稱數(shù)列m｝是以T為周期的周期數(shù)列；

⑵若數(shù)列｛4｝滿足-a,,”eN*,S“為｛/｝的前｛%｝項和,且

邑=2028,$3=2030,求數(shù)列｛%｝的周期，并求邑覿；

(3)若數(shù)列｛%｝的首項，%=p,pe0,1,且4%)/eN*,判斷數(shù)列｛%｝是

否為周期數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

試卷第6頁，共8頁

13.如圖，在正二棱柱ABC-A^iG中，4臺=2,。為A3的中點，點“在人。上,

AC=3AE,點尸在直線4A上，對于線段BG上異于兩端點的任一點D，恒有尸D〃平

(1)求證：平面P8G〃平面AOE；

(2)當(dāng)AAPB的面積取得最大值時，求二面角G-5P-A的余弦值.

14.蜀繡又名“川繡”，與蘇繡，湘繡，粵繡齊名，為中國四大名繡之一，蜀繡以其明麗

清秀的色彩和精湛細(xì)膩的針法形成了自身的獨特的韻味，豐富程度居四大名繡之

首.1915年，蜀繡在國際巴拿馬賽中榮獲巴拿馬國際金獎，在繡品中有一類具有特殊

比例的手巾呈如圖所示的三角形狀，點。為邊BC上靠近B點、的三等分點，ZADC=60°，

AD=2.

A

BC

D

(1)若/4CD=45。，求三角形手巾的面積;

⑵當(dāng)限取最小值時，請幫設(shè)計師計算3。的長.

試卷第8頁，共8頁

參考答案:

1.Wf(x)=x2

⑵存在，a=l

⑶(f4]

【分析】(I)設(shè)/(%)=辦2+及+。，根據(jù)已知條件求得。,仇。，從而求得了(%).

(2)先求得g(x),對a進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得符合題意的。的值.

(3)先求得力(力，然后利用換元法，結(jié)合基本不等式求得，"的取值范圍.

【詳解】(1)設(shè)/(%)=依2+及+。(awO),則—/(x)=2dx+a+〃=2x+l,

2a=2a=1

/(x)=x2+c

\a+b=l'|Z?=0?

又圖象過點4(—2,4),2)=4+c=4,??.c=0.，/(x)=x2.

(2)由(1)可知g(x)=av：2+(2〃-1)1+1,xe[0,l]

當(dāng)a=0時，g(x)=-x+l在［0,1］上單調(diào)遞減，8(力皿=8(0)=1不成立；

當(dāng)a<0時，函數(shù)g(x)的對稱軸為尤=與四=上-1<0,圖象開口向下,

2a2a

函數(shù)g(x)在［0』上單調(diào)遞減,8(引0=8(0)=1,不成立;

當(dāng)a>0時，函數(shù)g(x)的圖象開口向上，對稱軸為x=(-1,g(元)的最大值在x=0或尤=1

處取得,

??,g(O)=lw3,.?.當(dāng)g(x)1rax=g6=3a=3，。=1成立.

綜上所述，存在整數(shù)a=l,使得函數(shù)g(x)在區(qū)間［0』上的最大值為3.

(3)由(1)可矢口函數(shù)〃(元)=/+二一〃a+'+2=

+4,

XXXX

令t=x—,Vxe(l,3],te

不等式>0對任意的X€(1,當(dāng)恒成立,

等價于產(chǎn)-根r+4z0對任意的優(yōu)|恒成立.

轉(zhuǎn)化為：m<t+^,fe/,|恒成立，只需m+即可，

Vr+y>2Jrx1=4,當(dāng)且僅當(dāng)即1=2時等號成立，，機(jī)W4,

即實數(shù)機(jī)的取值范圍是（-8,4].

【點睛】含有參數(shù)的一元二次函數(shù)的最值問題，需要利用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，分類討

論的標(biāo)準(zhǔn)的制定，可以考慮二次項系數(shù)、對稱軸、判別式等等，分類討論要做到不重不漏.

利用基本不等式求最值，要注意等號成立的條件.

2.⑴集合人={1,2,3}具有性質(zhì)4；集合8={4,6}不具有性質(zhì)用；

（2）證明見解析

⑶2%-1

【分析】（1）根據(jù)定義直接判斷得到答案.

(2)確定”(S)=,變換d(S)=*^----—=-----—+—-----—+

--------,計算得

aa

q冊q冊q\a2a3n-ln

到證明.

（3）確定d（G，a,）zg,得到：>皆，確定:〉等,再根據(jù)均值不等式計算最值得到

答案.

【詳解】（1）A={1,2,3},則"（4,42）=〃（“2,。1）=j-萬=彳2§;

e/（a3,a2）=^（a2,a3）==d（a,,a3）==-|>-,

故集合A={1,2,3}具有性質(zhì)用；

3={4,6},故d（仿也）=4色,々）==\<g，

故集合3={4,6}不具有性質(zhì)小

(2)S={%,%，M〃}("N2,"￡N),0<4<%<<an,

故上>L>>—>^,故"(％嗎)max=^---~9即d(S)=^----,

%%an%an%冊

集合S具有性質(zhì)F4,故,

答案第2頁，共20頁

111n-1

+-J---+---LH--=---

4an%an-lan16161616

（3）集合S具有性質(zhì)理,則d(q,%)N—,a>l,a>i,ZGN%

Kxt

1n-i

故上》n-i

ai

又g,故即;>*，ieN*,

當(dāng)，為偶數(shù)時當(dāng)且僅當(dāng)i=即〃=2i時等號成立，

當(dāng)w為奇數(shù)時等號不成立，,故％2>止二1,即川<43+1,

L\，」max44

故〃V2左一1,

綜上所述：〃W2Z-1,故〃的最大值為兼-1.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了集合綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)換能力和綜合

111c

應(yīng)用能力，其中根據(jù)集合中元素的大小關(guān)系，確定一>一>>—>0,再利用絕對值的性

Cl?^'n

質(zhì)計算是解題的關(guān)鍵.

3.(l)(-oo,2];

(2)〃石)</(9)；

(3)1.

【分析】（1）把相=1代入，結(jié)合一元二次不等式及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解不等式即得.

（2）利用差值比較法，結(jié)合基本不等式判斷出兩者的大小關(guān)系.

（3）利用換元法化簡g（x）的解析式，對3”進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得用的

值.

【詳解】（1）當(dāng)機(jī)=1時，函數(shù)〃x）=9-2?3用=（3）_6守,

不等式〃x）W27化為（3）一63-27W0,即⑶+3）（3：-9）V0,解得3y9,則xS2,

所以不等式（27的解集為（-92].

(2)依題意，/⑷寸⑸=9"-2A_9」+2.3i

=(33+3事)(33—3項)—2.3'"(3*-3也)=(3為-3次)(34+3H-2.3'"),

由%>占>0,得3、"一3*<0,又玉％=〃/,

則3%+3巧>2,3為?3==2,3'計也>2yl寸扁'=2^^"=2?3"'，因止匕/(玉)一/(xOv。，

所以/(西)</(%).

(3)令r=3"t>Q,則〃同=』一2.3",〃-月=9-，一2.3"=/一2.〉

于是g(x)=/(x)+〃f)=/-2.3"r+，-2.：

=(t-+4)-2-3m-(r+-)=(r+-)2-2-3m-(r+-)-2=(r+--3m)2-2-32m,

ttttt

而t+*2舊=2,當(dāng)且僅當(dāng)r=J,即r=l,x=O時取等號，

當(dāng)3"Y2,即〃zVlog?2時，貝I］當(dāng)f+；=2時，y=g(x)取得最小值，

13

w

4-4-3-2=-ll,m=log3—,矛盾；

當(dāng)3"'>2,即〃z>log32時，則當(dāng)f+；=3"'時，y=g(x)取得最小值-2-32"，=-11,

解得m=1,則〃z=1,

所以加的值是L

【點睛】思路點睛：含參數(shù)的二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題，按二次函數(shù)對稱軸與區(qū)間

的關(guān)系分類求解，再綜合比較即可.

4.(1)證明見解析；

⑵|；

(3)不存在，理由見解析.

【分析】(1)利用等差數(shù)列的定義證明即可；

(2)利用一次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式計算即可；

(3)利用等比數(shù)列求和公式先計算T“，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分類討論解不等式即可.

【詳解】(1)設(shè)｛q｝的公差為X,則由題意可知：4=3尤4+2尤2,

b”+「b”=%+2%+3-q；+i-(4+1q+2-

答案第4頁，共20頁

=(凡+1+%)(?！?1+2#一屋1

故{么}是以3XQ+2Y為首項，3d為公差的等差數(shù)列;

x=d]

(2)由上可得3f=d'且丘°,解得、="=屋

所以4+已-3=q+耳(s-1)+%+-+-(2r-l)-3

93V7

c1/M3116

=2qH—($+2。---=-(------r

i3、'93(s+"，

-------、714

<

311Zc、16<31_16---Z--

化簡得2%=了——(5+2Z)+--------7十/939

3v7(,s+才)~~9~s+t)?

2

當(dāng)且僅當(dāng)s+，=4/=l時取得最大值，此時s=3/=l,q=§；

11

(3)由(2)得=4-l)d=—n——

39n

=—,顯然［5］是:為首項，j為公比的等比數(shù)歹！J,

2C"2"{2{2l2c-J22

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：g］Ng］>007；e：/］，

所以當(dāng)ceN*時，不等式與匚^>2成立等價于

Tk-c

"c<2(『c)n2Wc=2-2~-(l-2?>c

=1-32&T—c>0①,

顯然cNl,32i>0,此時①式不成立;

當(dāng)c=0時，不等式與二〉？等價于

T「c

Tk+l>2￡n2￡-心=1-3.2+】<0②,

即21<3=>左=0,此時②式成立，

又上=0時，(無意義;

綜上所述，不存在c,M使得不等式盧2成立.

，-c

【分析】(1)先求得F(x)的解析式，然后利用基本不等式求得尸(X)的最小值.

(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷出尸(X)的單調(diào)性，由此求得不等式尸(〃7+2)>尸(3加-1)的解集.

(3)由砥x)="(x)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用換元法，結(jié)合一元二次方程根的情況列不等式來求得。

的取值范圍.

【詳解】(1)由題意知，f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),

由/(x)+g(x)=2R得1(-x)+g(-x)=2T+i,即/(x)-g(x)=2—。

兩式相加，得了(xX^QN+ZT+ibZ'+ZT,所以"x)=log2(2'+2T).

因為2*+2T2292、-2一工=2，當(dāng)且僅當(dāng)2*=2-工，即x=0時等號成立，

所以尸(無篇=1%2=1.

(2)因為P(-x)=log2(2f+2，)=尸(無)，所以尸Q)為偶函數(shù)，

x

A-1

因為尸(%)=21n2—2—1n2=F^ln2,

所以當(dāng)%>。時，>0,當(dāng)xvO時，/r(x)<0,

所以/(幻在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(—,0)上單調(diào)遞減，

所以F(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,在(-8,0)上單調(diào)遞減.

由/(根+2)>尸(3相—1),得|加+2|>|3相—1|,

,13

兩邊平方并整理得8相之—10相—3v0,解得-<m<—,

42

故不等式尸(加+2)>網(wǎng)3根-1)的解集為，:,￡).

(3)由題意知，方程1。82(2工+27)=1。82(G2'+20)(0>0)有2個不同的實數(shù)解，

答案第6頁，共20頁

即方程2"+2-”=〃?2、+2a（a>0）有2個不同的實數(shù)解.

設(shè)，=>0),貝股+1=成+2。，即(1-a)t2-2at+1=0W2個不同的正根.

t

1一〃w0

A=4a2-4(l-a)>0

la_

----->0,解得--<a<1,故。的取值范圍為

1—a2

-^―>0

、1-a

【點睛】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可以根據(jù)同增異減來進(jìn)行判斷.解含有函數(shù)符號的不等式，關(guān)鍵

是判斷出函數(shù)的單調(diào)性，由此去掉函數(shù)符號，從而求得不等式的解.一元二次方程根的分布

問題，可以考慮的有判別式、根與系數(shù)關(guān)系等等.

6.巫

2

（2）證明見解析

(3)a<4

【分析】（1）代入計算可得答案;

（2）用定義直接證明即可;

（3）aWO時，利用“X）在［2,+co）上單調(diào)性可得aW0；當(dāng)a>0時結(jié)合在尤>0的圖

象可得答案.

【詳解】（1）。>0時，/（6）=夜+^==26；

/(/畫)=26+眾=平

(2)若Q=l,/(x)=x+—,設(shè)玉>/21,

所以/㈤"㈤"+工

%工2

因為西〉工2之1，所以玉一工2>°，石工2>1，/（石）一/（%）=（石一1>。,

%42

所以/（%）>/（%），可得函數(shù)/（X）在區(qū)間［1，+8）上單調(diào)遞增；

（3）當(dāng)a?0時，因為y=%,y=—在［2,+oo）上單調(diào)遞增,

x

所以/（同7+￡在［2,+8）上單調(diào)遞增，

若不等式。在［2,.）上恒成立，可得〃尤）1mli=2+^2。，可得aWO；

當(dāng)。>0時，由x>0可得/（無）=》+922&,當(dāng)且僅當(dāng)尤=@即x=G時等號成立,

XX

而在工6（。,6）單調(diào)遞減，在無e（6,+oo）單調(diào)遞增,

/（X）在X>0時的圖象如下,

當(dāng)2w（ChG）即a>4時，若不等式/'（無）2。在［2,+8）上恒成立，貝112Gz0,

解得0<。<4,與。>4矛盾，故不成立;

當(dāng)?V2即0<aV4時，若不等式/⑺加在［2,+8）上恒成立,

則〃尤：L=/（2）=2+^N“,

解得aW4,可得0<。44時成立;

綜上所述，a<4.

—3d+32%

--------------,0<x<m

7.⑴y=12-x

0,x>m

（2）答案見詳解.

【分析】（1）由題意y=3?（l一。）x-Lpx=（3-40）x,再結(jié)合次品率p與日產(chǎn)量無（萬件）

之間的關(guān)系即可求解.

（2）利用換元法并對俄進(jìn)行分類討論即可求解.

一--,0<x<m

12-x

【詳解】（1）由題意可知y=3?。一0）x-l-px=（3—4Mx,又因為p=<

3

—,x>m

14

132x-3x2

因此當(dāng)OWxW加時，y=（3-4/7）x=3-4-x=------------

12—x12-x

答案第8頁，共20頁

3

當(dāng)光〉加時，y=（3-47）x=3-4x—|-x=0,

4

—3爐+32x

-------------,0<x<m

所以盈利額y（萬元）與日產(chǎn)量工（萬件）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=\12-x

0,x>m

（2）當(dāng)%>機(jī)時，每天的盈利額為0；

因止匕當(dāng)OWxWm時，設(shè)沆=12—%,0?%?相，貝!]]=12—〃，且〃c[12—m,12],

則尸-3（12-"）一+32（12-"）=+40“-48-7（a+3］+40,分以下兩種情形討論：

uuvu）

情形一：當(dāng)12—租<4,即8W〃z<12時，y=-3\?+—|+40<-3x2.Lx—+40=16,

<u）Vu

當(dāng)且僅當(dāng)"=?,即〃=4e［12-祖,12］時，,取最大值16,此時x=8.

情形二：當(dāng)12—機(jī)>4,即04機(jī)<8時，y=—3^wH1+40在［12—相,12］上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)必=12—加，即x="z時，y取最大值.

綜上所述，當(dāng)。時，日產(chǎn)量x=〃7（萬件）時，可獲最大利潤；當(dāng)8VHi<12時，日產(chǎn)

量x=8（萬件）時，可獲最大利潤.

8.（1）-1

（2）log92

(3)-2&V："W20

【分析】（1）運用偶函數(shù)的定義和對數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合恒等式的性質(zhì)可得所求值;

（2）運用對數(shù)運算性質(zhì)及均值不等式即可得到結(jié)果；

（3）先證明函數(shù)的單調(diào)性，化抽象不等式為具體不等式，轉(zhuǎn)求函數(shù)的最值即可.

【詳解】（1）因為〃尤）=上9（9工+1）+2立心2為偶函數(shù)，

Y

所以/（一力="力，則logg（尸+l）-2/.r=log9（9+1）+2及，

所以4比=log91裁-log9（9*+1）=log99T=_》，即（4f+l）x=。恒成立，

因為x不恒為0,所以由+1=0,故/

4

X

AJ

（2）由⑴得，/（x）=log9（9+1）-^=log9（9+1）-log992

,9r+l,以1)

=log9^^=log9^3+—j,

因為3，>0,則3*+*2^^=2,當(dāng)且僅當(dāng)3'=，，即x=0時，等號成立,

所以log9卜+(J2log92,故/(x)最小值為log92.

(3)因為/(x)=log9[3，+g),

任取不，%e（0,+co）且占，

所叩一中+丹（3-）+/；（3為-3也）.（3'收-1）

3西+巧

1

因為4赴e(0,+co)<x2,所以3*—3*<0,3*'+也-1>0,

<0,即3—<3*+&，

所以現(xiàn)廣+"＜log9（3*+（1,則〃x）在（。,+8）上為增函數(shù),

又因為為偶函數(shù)，f（42x+4^）＞f（m（4^-4^））,

所以產(chǎn)+4%閆加（4-4-1,

當(dāng)x=0時，2N0恒成立，則meR；

,2%+4-2尢

當(dāng)"0時，"-41＞0,所以同

—+4-2],4-『+2

二心4斗|2

設(shè)w(x)=>2y/2,

心仃一心仃11|4x-4-x|

當(dāng)且僅當(dāng)|4'-41=k匕

即[4―4-[=忘時,等號成立,

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易得y=4'-4T在R上單調(diào)遞增，

且當(dāng)x=0時，＞=0＜0,當(dāng)x=l時，＞=4-；＞夜，

所以4,-4T=拒有解，即p-4T卜友有解，所以等號能成立,

所以“（%）?*=2逝，故|叫42夜，貝1]一204加42后；

綜上，-2啦MmW2H

答案第10頁，共20頁

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第3小題的解題關(guān)鍵是利用函數(shù)單調(diào)性的定義證得了（x）在（0,+/）

上為增函數(shù)，結(jié)合〃x）的奇偶性將問題轉(zhuǎn)化為廣+4口卜,（4―4力，從而得解.

9.⑴A=

(2)3A/3

13,

⑶FT

【分析】（1）根據(jù)正弦定理與sin3=sinAcosC+cosAsinC得到百sinA-cosA=l,從而求

出A=5；

（2）由余弦定理和基本不等式求出8+cV2代，從而得到周長的最大值；

（3）利用正弦定理，結(jié)合三角恒等變換得到小"一比=會而（C+牙2sin（C+舁4,

a3v6Jv6J3

換元后，配方求出最值，得到取值范圍.

【詳解】（1）6ZCOSC+耳sinC—人一c=0,由正弦定理得，

sinAcosC+^3sinAsinC-sinB-sinC=0,

因為sin=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinAcosC+^3sinAsinC-sinAcosC-cosAsinC一sinC=0,

即V3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0,

因為（0,兀），所以sinCw。，故百sinA-cosA=1,

所以sin,-

因為Ae（。,兀），所以人-弓?］一/g）

故人_?=5,解得A=g；

663

（2）由（1）知A=5，

又a=6，由余弦定理得=優(yōu)+'）―2反-「，

2bc2bc

即1(b+c)—2bc—3

22bc

所以(Z?+c)2一3=3A,

2

由基本不等式可知beVb+c

所以3+C)2-3<；(HC)2,解得HcV2g,

當(dāng)且僅當(dāng)6=c=6時，等號成立,

故,ABC的周長最大值為3檔;

7T

(3)由(1)知人二三，

jjnADA/-sinBsinC(sinB+sinC)

bc-ab-acsinBsmC-smAsmB-sinAsinCov)

Il--------------------------=------------------------------------------------------------------------------=-------------------------------幺--------------------------

'Ja2si?n2AAQ3

4

)>

=-sinBsinC-^(sinB+sinC=-sinf-+C|sinC-^sin[+Cj+sinC

33v731.3)3

1(JicosC+—sinCsinC-cosC+—sinC+sinC

3(2

=~~~~sinCcosC+^sin2C-cosC-^3sinC

A/3.l-cos2cfr.

=——sin2CH----------------cosC-v3sinC

33

=--cosf2C+P]+!—2sin[c+巴]

3I3；3I6；

+j-2sin^C+^

=—sin2fC+—-2sinfC+—,

3I6)I6)3

令%=sin[c+e),

因為T。仔),所以C+短值，｝‘=sin(c+L，l

be—ab—ac4-14f3Y13

--------z------=-t2-2t一一=-t-------------，

"33314)12

答案第12頁，共20頁

t，、r,3rtbe—ab—etc/口口313

故當(dāng)t=:時，----------取得取小t值，取小值為一二，

4a212

...ybe—cib—CIC曰/+曰」/+、r

當(dāng)，=1時，-----2----取得zt=t取大值，取大值為T，

a

故”坐竺的取值范圍是.

【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)

的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，

常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；

②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形,

或其他的限制，通常采用這種方法；

③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.

10.(1)〃尤)=如-b),g(x)=g(e")

(2)存在，m=l,n=~

【分析】(1)利用〃尤)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，可得答案；

(2)假設(shè)存在實數(shù)私〃使得Mx)為“X),g(x)的”(機(jī)㈤函數(shù)”，可得

Zz(無)=〃?ln(e，+l)+2依，根據(jù)/?(“是偶函數(shù)，可得〃?=-2〃，再利用基本不等式可得答案.

【詳解】⑴因為解x)=e，為/⑺,g(x)的“7(2,1)函數(shù)”，

所以2f(x)+g(x)=e，①,所以2/(—x)+g(—x)=ef,

因為/(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù),所以/(-x)=-/(x),g(f)=g(x),

所以-2/(%)+8@)=小"^,

聯(lián)立①②，解得/(x)=：(e—e-)g(x)=g(「+ef；

(2)存在，且加=1,〃=-；，理由如下，

假設(shè)存在實數(shù)使得九(x)為〃力,g(x)的”(",")函數(shù)”,

則〃(無)=〃叭尤)+〃g(x)=〃zln(e*+l)+nx,

⑴因為人(x)是偶函數(shù)，所以/2(-x)=/z(x)，

即mln^e-x+1)-nr二根1口(e“+1)+nr,即mln~T~~+2nx=0,

又歷之壯二山也也

=Inex=x,可得(2〃+M)X=。，

e-x+lex+l

因為（2〃+根）％=。需對任意xwR成立，所以m=-2〃；

(ii)/z(x)=mln(ex+l)+nx=-2〃In(eX+l)+nx

:"In—J?\nln------\——

(e'+l)ze-+2

當(dāng)且僅當(dāng)e'=5即x=°時取等號,

由于/z（x）的值域為［ln2,~Hx））,所以—2〃ln2=ln2,所以〃=-：,

又因為m=—2n，所以機(jī)=1.

綜上所述，存在…滿足要求.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問解題關(guān)鍵點為根據(jù)〃（X）是偶函數(shù)，可得〃?=-2〃，再利用基本

不等式可得答案.

11.（1）①證明見解析，②（。3）

(2)5+2#

【分析】（1）①由題意可得。>0,。<0,進(jìn)而根據(jù)判別式為正判斷即可；

②由一a-c>c及a>0可得一2<￡<一1,再根據(jù)弦長/=1-￡求解范圍即可.

a2a

2

h22a+3〃+4「2+3--+（—）

（2）根據(jù)開口方向與判別式可得b>>>。且4c2生，進(jìn)而可得「之一不0

ab-a2_1

a

h

令±_l="0,結(jié)合基本不等式求解即可.

a

【詳解】（1）若且Q+b+c=O,則。>0,c<0,

①:A=〃—4改＞0,

函數(shù)y=以2+bx+c必有兩個不同的零點.

答案第14頁，共20頁

②由4>_C>C及Q>0,得1>—1-->—,

aa

...-2c<-。<——1,

a2

不妨設(shè)函數(shù)y=a=2+bx+c的零點為1,再，則］石=￡<o,

a

-c3

函數(shù)y=ax+bx+c^x軸上截得的弦長1=1一一G(-,3)

a2

(2)根據(jù)題意〃〉0且△=/—4々。<0,

/bb

b2.2a+3H4cJa+3麻72/+3"+/2+32+(1)2

Z?>a>04c>—，

ab—ab—aa(b-a)

a

h

令一一l=t>0,

a

r-t,i2^z+3b+4c2+3(/+1)+(1+1)?/+5。+6_6

貝U--------->-----——^―;———=--------=1+5+—

b-attt

>5+2JT1=5+2A/6,

當(dāng)且僅當(dāng)/=￡,即，="，也即2=1+6時取等號.

ta

2。+3b+4c

的最小值為5+2指

b-a

12.⑴存在正整數(shù)T,使%+r=a.

(2)以6為周期的周期數(shù)列；52038=1017

(3)不是周期數(shù)列，證明見解析

【分析】(1)類比周期函數(shù)的定義即可得出答案；

(2)先求出數(shù)列｛%｝是以T=6為周期的周期數(shù)列，再由周期性即可求出％B8；

(3)當(dāng)時，｛%｝是遞增數(shù)列，不是周期數(shù)列，再由數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

【詳解】(1)存在正整數(shù)T,使?！?r=4;

(2)由an+2=an+l-an,所以an+3=an+2-an+1=anA-an-an+l=-an,

所以an+6=-an+3=a?,所以數(shù)列｛%｝是以7=6為周期的周期數(shù)列；

由S2=2028,S3=2030=>%=2,%+〃2=2。28,由題意：a3=a2-a1=2f

所以％=1013,電—1015,

又以+W+1++%+6=°，左￡N*,因為q=-%,

以S2Q38=339(%+出+/+包+%+。6)+4+%+/+。4=6+%+/+。4

——%+〃2+03+04=1017；

(3)當(dāng)°=。時，｛4｝是周期數(shù)列，因為此時4=0(〃?N*)為常數(shù)列，

所以對任意給定的正整數(shù)T及任意正整數(shù)“，都有%+7=%,符合周期數(shù)列的定義。

當(dāng)pe［o,g］時，｛%｝是遞增數(shù)列，不是周期數(shù)列.

下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：

①當(dāng)〃=1時，因為q=p,pe(0,gj

所以%=2q(1—q)—q=2p(l-p)<2-1」+；——,

且生一4=2勾(1一%)-4=4(1-24)=p(l-2p)>0,

所以％<%且%Jo,；］

②假設(shè)當(dāng)〃=左時，結(jié)論成立，即％<的<<4，且見w(0,；］

則一—4=2%(1-%-ak=怎。一24)>0,即ak<ak+1,

所以當(dāng)〃=左+1時，結(jié)論也成立.

根據(jù)①、②可知，｛4｝是遞增數(shù)列，不是周期數(shù)列.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問解題的關(guān)鍵在于根據(jù)遞推關(guān)系得數(shù)列｛2｝是周期為6的數(shù)

列，再結(jié)合(2)中的條件，可求出前六項之和為0,求解即可.

13.(1)證明見解析

⑵孚,

【分析】(1)由面面平行的判定定理證明即可；

(2)依題意可知，A為4尸的中點，S^PB=25必助，即當(dāng)a4最大時,SA^PB最大，設(shè)AA=〃，

由基本不等式可求得當(dāng)A2=夜，5小網(wǎng)最大，取的中點A/,/NM4為二面角G-8P-A

的平面角，求解即可.

答案第16頁，共20頁

【詳解】（1）在線段上取異于兩端點的兩點EG,

因為對于線段BG上異于兩端點的任一點D，恒有BD//平面AOE.

所以尸尸〃平面AOE,PG//平面AOE,

又PFcPG=P，尸/u平面PBG，PGU平面尸BG，

所以平面PBQ//平面AOE.

P

（2）由（1）知平面PBC]//平面AOE,又平面PBGc平面=平面AOEc平面

AXPB=OA,所以8尸〃。4,

因為。為AB的中點，所以A為A7的中點.

所以,所以當(dāng)5人4?4最大時，S”/B最大.

設(shè)AA=〃，則A5=，4_/J2,所以%BA=gAj4_/?wg-+（；一右）二1，

當(dāng)且僅當(dāng)〃=