2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一模試卷

2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一模試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

題號(hào)一二三四總分

得分

留意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，

用橡皮擦潔凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷

上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合用=-2）<0},N=（x\x-1<0},則下列Uerm圖中陰影部分可以表示

集合{x|lW久<2}的是（）

2.己知一個(gè)圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸截面是等邊三角形，則這個(gè)

圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為（）

1

A.2-B.￥C.VD"

23

nx%>0

3.已知函數(shù)/（%）'「％<0若/（。）</（6—。），則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.(-3,4-00)B.（-00,-3）C.(3,+8)D.(-oo,3)

B.從2018年開(kāi)頭，中國(guó)汽車的出口量大于進(jìn)口量

C.2012-2024年中國(guó)汽車出口量的第60百分位數(shù)是106萬(wàn)輛

D.2012-2024年中國(guó)汽車進(jìn)口量的方差大于出口量的方差

5.在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)z滿足,一1|=憶+"@為虛數(shù)單位），記20=2+?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)20,

z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)Z,則點(diǎn)Z。與點(diǎn)Z之間距離的最小值為（）

A.殍B.T2C.亨D.2c

6.如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的

六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有中間一列兩個(gè)數(shù)字之和為5”

的不同的排法有（）

A.96種B.64種C.32種D.16種

7.已知雙曲線C：捻一，=l（a>0,6>0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,6）,若C上的任意一點(diǎn)P都滿

足|PB|26,貝"C的離心率取值范圍是（）

A.B.[￡|±lj+cx））C.（1,6D.C+8）

8.水平桌面上放置了4個(gè)半徑為2的小球，4個(gè)小球的球心構(gòu)成正方形，且相鄰的兩個(gè)小球相

切.若用一個(gè)半球形的容器罩住四個(gè)小球，則半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小值為（）

A.4B.2。+2C.2AT3+2D.6

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.如圖，彈簧下端懸掛著的小球做上下運(yùn)動(dòng)（忽視小球的大?。趖（s）時(shí)

刻相對(duì)于平衡位置的高度/i（cni）可以田h=2si嗚t+今）確定，則下列說(shuō)法正高

確的是（）

A.小球運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離為2sl\

B.小球經(jīng)過(guò)4s往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次‘〃<0

C.tG(3,5)時(shí)小球是自下往上運(yùn)動(dòng)

D.當(dāng)t=6.5時(shí)，小球到達(dá)最低點(diǎn)

10.在四棱錐S-4BCD中，SD1平面4BCD,四邊形4BCD是正方形，若SD=4D,貝!］()

A.AC1SD

B.AC與SB所成角為60。

C.BD與平面SCD所成角為45。

D.BD與平面S4B所成角的正切值為?

11.已知拋物線E：必=8x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)尸與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)C的直線/與拋物線E交

于a,B兩點(diǎn)(點(diǎn)4和點(diǎn)C在點(diǎn)B的兩側(cè))，則下列命題正確的是()

A.若B尸為△4CP的中線,則|4F|=2|BF|

B.若BF為乙4FC的角平分線，則|4F|=6

C.存在直線/,使得|2C|=，攵

D.對(duì)于任意直線］,都有|AF|+\BF\>2\CF\

12.已知定義在R上的函數(shù)/'(久)，對(duì)于給定集合4,若x2ER,當(dāng)時(shí)都有

/(/)一〃久2)€4,則稱f(x)是“4封閉”函數(shù).則下列命題正確的是()

A.=/是"［-1,1］封閉”函數(shù)

B.定義在R上的函數(shù)/(X)都是“｛0｝封閉”函數(shù)

C.若f(x)是“｛1｝封閉”函數(shù)，則f(x)肯定是“仇｝封閉”函數(shù)(k6N*)

D.若f(x)是句封閉”函數(shù)(a,beN*),則/(x)不肯定是“｛ab｝封閉”函數(shù)

第n卷(非選擇題)

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量落3滿足|方|=2,|3|=4,9—泊?五=0，則N與石的夾角為一.

14.在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形48c的邊4B所在直線斜率為2「，則邊4C所在直線

斜率的一個(gè)可能值為_(kāi).

15.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(久)在［0,2］上單調(diào)遞減，〃久+2)為偶函數(shù)，若

/(久)=在［0,12］上恰好有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根XpX2,x3,X4,則+%2+%3+%4=___-

16.已知?jiǎng)訄AN經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(一6,0)及原點(diǎn)。，點(diǎn)P是圓N與圓M：x2+(y-4)2=4的一個(gè)公共點(diǎn)，

則當(dāng)N0P4最小時(shí)，圓N的半徑為一.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

在A4BC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cos24+cos2B—cos2C—1—2sinAsinB.

(1)求角C的大??；

(2)求siriA+sinB+sinC的取值范圍.

18.(本小題12.0分)

已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列｛an｝,前n項(xiàng)和又滿足嗎=2Sn-an(neN*).

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

(2)記B是數(shù)列心｝的前兀項(xiàng)和，Qn是數(shù)列｛上｝的前n項(xiàng)和.當(dāng)n>2時(shí)，試比較6與冊(cè)的大小.

)九271-1

19.(本小題12.0分)

如圖所示的在多面體中，AB=AD,EB=EC,平面力BD_L平面BCD,平面BCE1平面BCD,

點(diǎn)尸，G分別是CD,BD中點(diǎn).

(1)證明：平面2FG〃平面8CE；

(2)若BC1BD,BC=BD=2,AB=H,BE=，虧求平面2FG和平面4CE夾角的余弦值.

20.(本小題12.0分)

某商場(chǎng)為了回饋寬敞顧客，設(shè)計(jì)了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在抽獎(jiǎng)箱中放10個(gè)大小相同的小球，其中5

個(gè)為紅色，5個(gè)為白色.抽獎(jiǎng)方式為：每名顧客進(jìn)行兩次抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)從抽獎(jiǎng)箱中一次性摸

出兩個(gè)小球.假如每次抽獎(jiǎng)摸出的兩個(gè)小球顏色相同即為中獎(jiǎng)，兩個(gè)小球顏色不同即為不中獎(jiǎng).

(1)若規(guī)定第一次抽獎(jiǎng)后將球放回抽獎(jiǎng)箱，再進(jìn)行其次次抽獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)

期望；

(2)若規(guī)定第一次抽獎(jiǎng)后不將球放回抽獎(jiǎng)箱，直接進(jìn)行其次次抽獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)次數(shù)丫的分布列和

數(shù)學(xué)期望；

(3)假如你是商場(chǎng)老板，如何在上述問(wèn)兩種抽獎(jiǎng)方式中進(jìn)行選擇？請(qǐng)寫出你的選擇及簡(jiǎn)要理由.

21.(本小題12.0分)

已知點(diǎn)4,點(diǎn)B和點(diǎn)C為橢圓C：真+，=l(a>6>0)上不同的三個(gè)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)4點(diǎn)B和點(diǎn)C為

橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，△ABC恰好是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.

(1)求橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若。為原點(diǎn)，且滿足瓦？+南+雙=6,求ATlBC的面積.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(%)=xex+1.

(1)求/(%)的極值；

(2)當(dāng)％>0時(shí)，/(%)>(a+l)x+Inx+2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合M={x|x(x-2)<0}={x|0<x<2],N={x\x-1<0}=(x\x<1},

?1.CRM=(x\x<0或x>2},CRN={x\x>1],

對(duì)于a,Uerm圖中陰影部分可以表示集合為MCN={x[0<x<1},故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,Uezm圖中陰影部分可以表示集合為MC(CRN)={X|1Wx<2},故B正確；

對(duì)于C,Uezm圖中陰影部分可以表示集合為NC(CRM)={X|XW0},故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,Uerm圖中陰影部分可以表示集合為{x|xeMuN,且比《MCN},

,:MUN={x\x<2},MCN={%|0<%<1},

：.{x\xEMkJN,且x《MCN}={x|xW0或1Wx<2},故。錯(cuò)誤.

故選：B.

先求出集合M,N,再利用集合的基本運(yùn)算逐個(gè)推斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

本題主要考查圖表達(dá)集合的關(guān)系和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為r,

由于圓錐的軸截面是等邊三角形，

所以圓錐的母線長(zhǎng)為Z=2r,

則圓錐和圓柱的1W1為拉=V4r2—r2——V-

所以圓錐的側(cè)面積為Si=|X2nrXI=2nr2,

圓柱的側(cè)面積為S2=2nrxh=2^nr2,

所以圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為生=

故選：C.

依據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積公式求解即可.

本題考查圓柱與圓錐的側(cè)面積的求解，屬中檔題.

3.【答案】D

【解析】解：依據(jù)函數(shù)/(久)的圖象，可得/0)在R上單調(diào)遞增,

若/'(a)<f(6—a),則有a<6—a,

???2a<6,a<3,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,3).

故選：D.

結(jié)合圖象，可知/(久)在R上單調(diào)遞增，由此解不等式f(a)<f(6-a).

本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：由條形圖可知2012—2024年中國(guó)汽車進(jìn)口量和出口量都是有增有減的，所以選項(xiàng)A

正確；

由條形圖可知從2018年開(kāi)頭，中國(guó)汽車的出口量大于進(jìn)口量，所以選項(xiàng)2正確；

2012—2024年中國(guó)汽車出口量由小到大排列為：72.3,73,89.7,92,99,104,108,115,121.5,

212,因此第60百分位數(shù)是空翌=106,所以選項(xiàng)C正確；

由條形圖可知2012-2024年中國(guó)汽車進(jìn)口量的波動(dòng)小于出口量的波動(dòng)，因此2012-2024年中國(guó)

汽車進(jìn)口量的方差小于出口量的方差，所以選項(xiàng)。不正確，

故選：D.

依據(jù)條形圖，結(jié)合百分位數(shù)、方差的性質(zhì)逐一推斷即可.

本題主要考查了統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，考查了百分位數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：設(shè)z=光+yi(x,yeR),

|z-1|=|z+i|,

|x-1+yi|=|x+(y+1)牛即J(x一1)2+*=J刀2+⑶+1)2,化簡(jiǎn)整理可得，x+y=0,

二復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡x+y=0,

z0=2+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)Z0(2,l),

|2+1|37-2

???點(diǎn)Zo與點(diǎn)Z之間距離的最小值為了工1.

故選：C.

依據(jù)已知條件，集合復(fù)數(shù)模公式，求出點(diǎn)Z的軌跡方程，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：依據(jù)題意，分3步進(jìn)行，

第一步，要求“只有中間一列兩個(gè)數(shù)字之和為5"，則中間的數(shù)字只能為兩組數(shù)1,4或2,3中的

一組，共有2席=4種排法；

其次步，排第一步中剩余的一組數(shù)，共有慫&=8種排法；

第三步，排數(shù)字5和6,共有掰=2種排法;

由分步計(jì)數(shù)原理知，共有不同的排法種數(shù)為4x8x2=64.

故選：B.

分3步完成，每步中用排列求出排法數(shù)，再利用分步計(jì)數(shù)原理即可求出結(jié)果.

本題主要考查了排列組合學(xué)問(wèn)，考查了分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：設(shè)P(x,y),|PB|>/?=>yjx2+(y—by>bx2+y2-2by>0(*),

由盤—,=1今％2=a2q+3),代入不等式*中，

2

整理得3ry2-2by+a2>0恒成立，

b

4aC42222

則/=4b2—2<0b<a2c2b<acc—a<ace—e—1<0f解得匕G<

bz2-

?1+V-5

”丁，

又e>l,貝

故選：A.

依據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合一元二次不等式的性質(zhì)、雙曲線離心率公式進(jìn)行求解，即可得出答案.

本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和方程思想，考查規(guī)律推理力量和運(yùn)算力量，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：要使半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小，只需保證小球與看球各面(含球面部分)都相切,

O

此時(shí)，如上圖示，。為半球的球心，力為其中一個(gè)小球球心，貝I。力是棱長(zhǎng)為2的正方體的體對(duì)角線，

且該小球與半球球面上的切點(diǎn)與0,4共線，

所以半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小值為小球半徑與04長(zhǎng)度之和，即2「+2，

故選：C.

依據(jù)題設(shè)要使半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小，保證小球與:球各面(含球面部分)都相切，進(jìn)而求半

徑最小值.

本題主要考查了球的結(jié)構(gòu)特征，考查了同學(xué)的空間想象力量，屬于中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解：小球運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離為2-(-2)=4cm,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

27r

由于開(kāi)=4,所以小球經(jīng)過(guò)4s往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次，因此選項(xiàng)B正確；

2

當(dāng)t6(3,5)時(shí)，所以是自下往上到最高點(diǎn)，再往下運(yùn)動(dòng)，因此選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

當(dāng)t=6.5時(shí)，/i=2smgx6.5+^)=-2,所以選項(xiàng)。正確.

故選：BD.

依據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一推斷即可.

本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解力量，屬于中檔題.

10.【答案】ACD

【解析】解：選項(xiàng)A,由于SD1底面ABC。，ACc^ABCD,

所以AC1SD,由于四邊形力BCD是正方形，

所以4C1BD,又BDCSD=D,BD,SDu平面SBD,

所以AC1平面SBD,又SBu面SBD,

所以4CLSB,選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)8,由于4C1平面SB。，又SBu面SB。，

所以4clsB,故選項(xiàng)2錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,由于SD1底面4BCD,BCu面力BCD,

所以BC1SD,又四邊形4BCD是正方形，

所以BCJ.CD,又CDCSD=D,CD,SDu平面SCO,

所以BC1平面SCO,所以80與平面SCO所成角為4BDC,

易知NBDC=45。，故選項(xiàng)C正確；

選項(xiàng)。，如圖，取S4中點(diǎn)K,連DK,BK,

由于SD1底面力BCD,ABu面4BCD,所以481SD,

雙四邊形2BCD是正方形，所以4B14D,又力DdSD=D,

所以AB1平面S力D,DKa^SAD,所以AB1DK,

又SD=AD,所以DK1S4SACtAB=A,所以DK1面S4B,

所以BD與平面S48所成角為ADBK,

不妨設(shè)SD=40=a,易知DK=2^,BK=萼,

在RtADKB,tanNDBK=1J=普=￥，故選項(xiàng)O正確.

DKV6a3

2

故選：ACD.

對(duì)于選項(xiàng)A,利用線面垂直的判定定理得到AC，平面SB。，進(jìn)而可判定選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)8,

由2C,平面SBD,知4C1SB,故可得選項(xiàng)8錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C和D,利用線面角的定義，找出

線面角，從而轉(zhuǎn)化成平面角，在相應(yīng)的三角形中進(jìn)行求解，即可推斷選項(xiàng)的正誤.

本題考查線線垂直的證明，線線角的求解，線面角的求解，屬中檔題.

11.【答案】AD

【解析】解：由題意，不妨令2(%i，yi),8(%2，%)都在第一象限，

又C(-2,0),0(2,0),設(shè)/：x=ky-2,

聯(lián)立E：y2=8x,可得y?—8/cy+16=0,

則4=64(1—1)>0,即42>1,

???yi+丫2=8/c,y1y2=16,

%1+%2=8k2-4,xrx2=4,如圖所示,

力：若8F為的中線，則%=*

???乃=4，7，所以久1=4,故4(4,4/7),

.-.5(1,2<2),則|AF|=2田尸|=6,故A正確；

B-.若BF為N4FC的角平分線，則囂=黑，

14yl|/1?|

作ZD,BE垂直準(zhǔn)線》=—2于。，E,則|4F|=|4。|且罌；=黑，

,\CF\_=\CE\_.|笆=\CE\_=\BE\

"\AD\—\DE\f"\AD\+\CF\~\CD\一\AD\J

???W=然，將右=^>°代入整理得：

十。第1十Z%]

xf—4x1—12—(x1—6)(%i+2)=0,二Ki=6,

\AF\=xt+2=8,故8錯(cuò)誤；

C：若|4C|=/攵|49|,即MC|=42/W|,即△ACD為等腰直角三角形,

此時(shí)|CD|=|2D|,即4(%-2,%)，*=8%一16,

比一8yi+16=0,；.%,=4,二%=4,則此時(shí)4B為同一點(diǎn)，不合題設(shè)，故C錯(cuò)誤;

2

D：\AF\+\BF\=\AD\+\BE\=X1+x2+4=8k,又2|CF|=8,

結(jié)合I>]可得8k2>8,即+|BF|>2|CF|恒成立，故。正確.

故選：AD.

設(shè)/x=ky-2,不妨令力(%],乃)，3(久2，%)都在第一象限，C(-2,0),F(2,0),聯(lián)立拋物線,依

2

據(jù)已知及韋達(dá)定理得/>1、y1+y2-8k,yry2=16,則與+x2=8fc-4,xrx2=4,再依據(jù)

各項(xiàng)描述、拋物線定義推斷它們的正誤.

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬中檔題.

12.【答案】BC

G

【解析】解:A：當(dāng)％1=4,%2=3時(shí)，%1-%2=1[-1,1]，而/(%1)-/(%2)=16-9=7W[-1,1],

錯(cuò)誤；

B：對(duì)于區(qū)間{0},v%i，久2eR使K1一%2=0，即％i=%2，必有/(丁)一/(%2)=0,

所以定義在R上的函數(shù)/(%)都是“{0}封閉”函數(shù)，正確；

C：對(duì)于區(qū)間{1},v%i，&￡R使久1一%2e{1},則％I=%2+L

而/(%)是“{1}封閉”函數(shù)，則/(%2+1)-/。2)=1，即v%eR,都有+1)=/(x)+1,

對(duì)于區(qū)間{曷，V%i，x2GR使%i-％2E{哥，則/=%2+匕kEN*,

而f(%2+k)=f(%2+上一1)+1，f(%2+k-1)=f(X2+k—2)+1,?,f(%2+1)=f(%2)+1，

所以/(%2+k)+/(%2+k-1)+…+/(%2+1)=/(%2+k-1)+/(%2+k-2)+…+/(%2)+k—

1,

即/(%2+k)=/(%2)+k,故f(%2+左)一f(X2)=k,/(%)肯定是“{k}封閉”函數(shù)(AeN*),正確；

D：對(duì)于區(qū)間[a,b],存在一個(gè)/(%)滿足在V/,x2GR使久i-x2=a,都有f(%2+。)一f(%2)=b,

且a,bGN*,

此時(shí)，上述/(%)為一個(gè)“[a,可封閉”函數(shù)，且該函數(shù)在V%ER,有/(%+a)=/(%)+/?恒成立，

對(duì)于區(qū)間{ab},結(jié)合上述函數(shù)，V%i，x2￡R使%i—x2=ab,貝！J/(%+ab)=/(x+a(b—1))+h,

f(x+a(b-1))=f(x+a(b-2))+b,/(%+a)=/(%)+b,

將上述各式，兩邊分別累加并消項(xiàng)得/(%+ab)=/(x)+ab,故/(到+ab)-/(x2)=ab成立，

所以/(%)肯定是“{?}封閉”函數(shù)，故錯(cuò)誤.

故選：BC.

A特殊值%=4,冷=3推斷即可；B依據(jù)定義及函數(shù)的性質(zhì)即可推斷；C、O依據(jù)定義得到

都有/(%+1)=/(%)+1>VxGR有f(x+a)=f(x)+b,再推斷所給定區(qū)間里是否有f(%2+k)-

/(%2)=k、f(x2+ab)—/(x2)=ab成馬上可推斷.

本題考查以新定義為載體，考查函數(shù)的性質(zhì)以及命題的真假推斷，對(duì)于C、D,依據(jù)給定的條件得

至Ijv%eR,都有/(%+1)=/(%)+1以及V%GR,有f(%+a)=/(%)+b恒成立，利用遞推關(guān)系及

新定義推斷正誤，考查規(guī)律推理力量和運(yùn)算求解力量，屬于中檔題.

13.【答案嗎

【解析】解：由④一方).五=0=>另.五一方2=O=B.N=4，

設(shè)五與石的夾角為仇貝bos。==與=；，

|a||D|4XZZ

由于0<9<n,

所以

故答案為：?

依據(jù)平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合平面對(duì)量夾角公式進(jìn)行求解即可.

本題主要考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】—看或早

【解析】解：設(shè)直線力B的傾斜角為a,由已知得/CRB=tana=2，q，

設(shè)直線AC的傾斜角為氏則%c=tcm。，

由于在等邊三角形48c中，ABAC=60°,所以9=a±60。，

--

當(dāng)"a+60°,tanO=tan(cr+60°)=tana+tan60°_2V3+V33<3

1—tanatan60°1—2V-3xV~~35'

所以%c=tan?=---—，

iizz-no,.r,cc、tana—tan60°2V-3—V-3V-3

n=a-60°,tanO=tanfcr-60°)=--------F==，

'Jl+tanatan601+2<3X<37

所以七c=tan?=3^,

綜上，%c=—或k4c=??

故答案為：-?或

由等邊三角形的性質(zhì)和直線的傾斜角與斜率的關(guān)系以及兩角和與差的正切公式，得出邊4C所在直

線斜率.

本題主要考查直線的斜率，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】24

【解析】解：由f(x+2)為偶函數(shù)，貝仔(一久+2)=f(x+2),

故/'(一X)=f(x+4),

又/(久)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(x)=-/(-%),

所以/(久)=—/(x+4),故/(x+4)=—/(>+8),即有/(%)=

/(%+8),

綜上，/(?的周期為8,且關(guān)于x=2對(duì)稱的奇函數(shù),

由/(久)在［0,2］上單調(diào)遞減，結(jié)合上述分析知：在［2,6］上遞增，［6,10］上遞減，口0,12］上遞增，

所以f(x)在［0,12］的大致草圖如下：

要使f(x)=6在［0,12］上恰好有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即f(x)與y=爪有4個(gè)交點(diǎn)，

所以，必有兩對(duì)交點(diǎn)分別關(guān)于久=2,久=10對(duì)稱，則久1+久2+久3+均=24.

故答案為：24.

由題設(shè)可得/(%)的周期為8,且關(guān)于x=2對(duì)稱的奇函數(shù)，結(jié)合區(qū)間單調(diào)性推斷［0,12］上單調(diào)狀況,

依據(jù)/(久)與y=巾有4個(gè)交點(diǎn)，及函數(shù)的對(duì)稱性求根的和.

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，周期性及對(duì)稱性在函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)推斷中的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】5

【解析】解：如圖：

一、^Bx

記圓N半徑為R,/.OPA=e,則乙4NO=28,Z.BNO=9,

所以sin/OPA=sin/BN。=晟=J,

當(dāng)N0P4最小時(shí)，R最大,此時(shí)兩圓內(nèi)切.

由已知設(shè)動(dòng)圓N的圓心為N(-3,t),

又圓心M(0,4)可得R-2=\MN\,

即J(一3—0)2+(t—0)2-2=7(-3-0)2+(t-4)2,

解得t=4,所以R=5,即圓N的半徑為5.

故答案為：5.

利用兩圓的位置關(guān)系確定兩圓內(nèi)切時(shí)NOP力最小，依據(jù)位置關(guān)系可得圓N的半徑.

本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化力量，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)由于cos2Z+cos2B—cos2C=1—2sinAsinB,

所以1—2sin2A+1-2sin2B—(1—2sin2C)=1—2sinAsinB,

整理得sin?/+sin2B+sin2c=sinAsinB,

22

由正弦定理得M+b-c=ab,

由余弦定理得cosC=fl2+fc2~c2=

2ab2

由于C￡（0,7T）,所以

(2)si?iZ+sinB+sinC=sinA+sin(專一A)+?

....2n.27r.4?V-3

=sinA+sin—cosA—cos—sinA+—

3.y/~3A、'

=-sinAA+t—cosA+—

=VBsinCX+$+y,

在AABC中，由于c=：所以0<4〈學(xué),

1

兀

所以

所以A

一<+7r-<57-T-

6662sin(i4+-)<1,

所以C<CsinQ4+蘇+三三苧，

所以sizM+sinB+siziC的取值范圍為女/].

22

【解析】（1）依據(jù)三角恒等變換和正弦定理得到彥+b-c=ab,進(jìn)而由余弦定理得到CE（0,兀）,

求出C=*

（2）由三角函數(shù)和差公式求出sizM+sinB+sinC=V_Zsin（A+g）+f，由0<A<?求出取值范

6L3

圍.

本題主要考查解三角形，屬于中檔題.

18.【答案】解：（1）當(dāng)?1=1時(shí)，嫉=2S]—41=a1，所以%,=1或％_=0（舍去），

當(dāng)心2時(shí)，有『產(chǎn)方J。二

（。九-1一，3九一1一a九—1，

兩式相減得磷-嫌_]=2an-an+an_r=an+an-r,

整理得（冊(cè)+冊(cè)—1）（冊(cè)-冊(cè)-i）=an+an_r,

由于｛a九｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，所以冊(cè)-an_r=1,

所以｛即｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,

所以冊(cè)=1+1?(n—1)=71；

(2)由(1)得%=厘，則上=品=2?—缶)，

111111111

所以分=白+2+…+9=2(1-2+U+…+±-士)=2(1-4-),

a

SiS?Sn'223nn+r'n+r

11

由(1)得中=市，

1

所以+°+-+-++

a2

-1

?1。2?22n

由于2n=(1+l)n=1+n++??->1+n>0(n>2),

所以玄＜3?故1-次＞1一士

所以當(dāng)nN2時(shí)，Pn＜Qn.

【解析】（1）依據(jù)與與?！钡年P(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可;

（2）依據(jù)裂項(xiàng)相消法，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和、二項(xiàng)式定理進(jìn)行求解即可.

本題考查等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式的應(yīng)用，裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用，屬中檔題.

19.【答案】解：（1）證明：如圖，取BC中點(diǎn)“，連接E”，由于EB=EC,所以EH1BC,

又由于平面BCE1平面BCD,平面BCEC平面BCD=BC,E”u平面BCE,

所以EH_L平面BCD,

同理可得力G_L平面BCD,

所以EH〃4G,

又由于4G仁平面BCE,EHu平面BCE,所以4G〃平面BCE,

由于點(diǎn)尸，G分別是CD,BD中點(diǎn)，所以FG//8C,

又由于FGC平面BCE,BCu平面BCE,所以FG〃平面BCE,

又由于4GnFG=G,AG,FGu平面AFG,所以平面AFG//平面BCE.

E

(2)由于BC18D,BC//FG,所以FG1B。，

由(1)知4G1BD,AG_L平面BCD,GFu平面BCD,

所以AG1GF,

所以GF,GB,G力兩兩相互垂直，

如圖，以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GF,GB,G4分別為久軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由于==所以G4=GB=LEH=2,BH=1,

則4(0,0,1),C(2,l,0),￡(1,1,2),

平面4FG的一個(gè)法向量為礪=(0,2,0),

設(shè)平面力CE的法向量為元=(x,y,z),

由於=(2,1,—1),方=(-1,0,2)，

得也匹=o,即產(chǎn)解得,二:

場(chǎng)?CE=0+2z=0z=

<2

取x=2,得元=(2,—3,1),

設(shè)平面4FG和平面2CE的夾角為8,

則cos。=|cos(n,OS)|=黯=雙*=汗，

所以平面2FG和平面4CE的夾角的余弦值為皚1

【解析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面平行及面面平行的判定定理即可完成證明；

(2)先建系求法向量，再利用向量法求兩平面的夾角即可.

本題考查面面平行的判定定理，考查利用空間向量求解二面角的余弦值，考查空間想象力量，推

理論證力量和運(yùn)算求解力量，考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)若第一次抽獎(jiǎng)后將球放回抽獎(jiǎng)箱，再進(jìn)行其次次抽獎(jiǎng),

則每次中獎(jiǎng)的概率為客琉=：，

Cw9

由于兩次抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立，所以中獎(jiǎng)次數(shù)X聽(tīng)從二項(xiàng)分布，即X?B(2,《)，

所以X的全部可能取值為0,1,2,

則P(X=0)=以.(3。x(|)2=K，

P(X=1)=屐.(款x(|)i=言P(X=2)=戲.(款x信)。=盛

所以X的分布列為:

X012

254016

p

818181

所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=2x^=|

(2)若第一次抽獎(jiǎng)后不將球放回抽獎(jiǎng)箱，直接進(jìn)行其次次抽獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)次數(shù)y的全部可能取值為o,1,

2,

則—0)—C界.或C、—型—])_或+或.或+—竺+竺—12—12p(Y—

WU)—%C廠—1)一端點(diǎn)端點(diǎn)-63+63-63-21,-

C|+C|C|+C1_13

幻一工.丁一而，

所以y的分布列為：

Y012

P201013

632163

所以y的數(shù)學(xué)期望為E(y)=+=1

zio5y

(3)由于(1)(2)兩間的數(shù)學(xué)期望相等，第(1)問(wèn)中兩次獎(jiǎng)的概率比第(2)問(wèn)的大,

即”(焉第(1)不中獎(jiǎng)的概率比第(2)問(wèn)小,即常＜小

ol□□olOD

回答一：若商場(chǎng)老板期望中兩次獎(jiǎng)的顧客多，產(chǎn)生宣揚(yáng)效應(yīng)，則選擇按第(2)問(wèn)方式進(jìn)行抽.

回答二：若商場(chǎng)老板期望中獎(jiǎng)的顧客多，則選擇按第(1)問(wèn)方式進(jìn)行抽獎(jiǎng).

【解析】(1)依據(jù)古典概型的運(yùn)算公式，結(jié)合二項(xiàng)分布的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；

(2)依據(jù)古典概型的運(yùn)算公式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可；

(3)依據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，結(jié)合商場(chǎng)老板期望進(jìn)行推斷即可.

本題主要考查離散型隨機(jī)變量期望與分布列的求解，考查轉(zhuǎn)化力量，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)當(dāng)點(diǎn)力，點(diǎn)B和點(diǎn)C為橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，△ABC恰好構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,

①當(dāng)點(diǎn)力，點(diǎn)B和點(diǎn)C中有兩個(gè)點(diǎn)為上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，■個(gè)點(diǎn)為左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)時(shí)，

不妨設(shè)點(diǎn)4，點(diǎn)B為上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，點(diǎn)C為右頂點(diǎn)，此時(shí)，a=I5,b=l,

②當(dāng)點(diǎn)2,點(diǎn)B和點(diǎn)C中有一個(gè)點(diǎn)為上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)為左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，

不妨設(shè)點(diǎn)4點(diǎn)8為左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，點(diǎn)C為上頂點(diǎn)，此時(shí)，a=1,b=19(舍去)，

2

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為種+『=1；

(2)設(shè)4(p,q),8(X1，%),。(久2，月)，

■■-OA+OB+OC^O,

p+x1+x2=0,q+yi+y2=0，

①當(dāng)直線BC斜率不存在時(shí)，

即=x2,y1=-y2,則4(一2%1，0),

?點(diǎn)2在橢圓上，所以好=',則有比='，

44

?-.\BC\=V3,點(diǎn)4到BC的距離為|3打|=亨,

此時(shí)LBC=3C*亨斐

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=女％+血,

y=kx+m,

聯(lián)立得X221得(1+3/c2)%2+6kmx+37n2—3=0,

匕+y=i，

???4=(6/cm)2—12(1+3fc2)(m2-1)=12(31+1—m2)>0,

由韋達(dá)定理得+%2=,%1%2=3：：3；?,

2m

k(Xi

???yi+y2=+%2)+2m=1+3戶

/,、6km/,、2m

???P=-(X】+右)=R，q=—(%+%)=—』，

2

又點(diǎn)4(p,q)在橢圓三+y2=1上,

筌汶+3(停)2=3,

???4m2=1+3fc2,

2

/—6km、o4.3(m—12)

\BC\=V1+fc2-I%1—%|=V1+/c2-(-----7)—--——T

2l+3/cz1+3孑

2c、3k2+l-m22V~-3-V4m2—m2

=V1+fc2?=V1+fc2?

1+3/c2