2024年高考模擬數學卷（題型同九省聯考共19個題）（二）含解析

2024年高考模擬數試題（二）試卷+答案

（題型同九省聯考，共19個題）

注意事項：

].答卷前，考生務必將自己的考生號、姓名、考點學校、考場號及座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需要改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.從小到大排列的數據123,x,4,5,6,7,8,y9,10的第三四分位數為（）

A.3B.C.8D.

22

22

2.若橢圓C:土+二=l（m>0）上一點到C的兩個焦點的距離之和為2"，則"7=（）

m9

A.1B.3C.6D.1或3

3.設等差數列｛%｝的前幾項和為S1,，若%+為=-10,S6=-42,則幾=（）

A.12B.10C.16D.20

4.同一個宿舍的8名同學被邀請去看電影，其中甲和乙兩名同學要么都去，要么都不去，丙同學不去，

其他人根據個人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（）

A.32種B.128種C.64種D.256種

5.在某次數學探究活動中，小明先將一副三角板按照圖1的方式進行拼接，然后他又將三角板ABC折

起，使得二面角A-8C-D為直二面角，得圖2所示四面體ABCZ）.小明對四面體ABCD中的直線、平面

的位置關系作出了如下的判斷：①CD_L平面ABC；②AB1平面AC。；③平面46。_L平面ACD；④平

面平面3c。,其中判斷正確的個數是（）

6.已知點P在圓（彳-1）2+/=1上，點A的坐標為卜1,6）,。為原點，則彩.Q的取值范圍是（）

1

A.[-3,3]B.[3,5]C.[1,9]D.[3,7]

7.若/(x)=2sinx(退cosx-sinx),且=,則,-馬|的最小值為()

兀

A.nB.-C.2兀D.

24

fv2

8.如圖，已知居是雙曲線C二-[=1的左、右焦點，P,。為雙曲線C

一a2b2

上兩點，滿足耳尸〃鳥。,且內。|=|鳥尸|=3閨尸則雙曲線C的離心率為

()

MR6「而n而

---D.---C.-----L).---

5232

二、選擇題：本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.設復數2=」”(a,beR且匕*0),則下列結論正確的是()

A.z可能是實數B.目=|可恒成立

C.若z?eR,貝物=0D.若z+'eR,則|z|=l

Z

10.在DABC中，若tan=sinC,則下列結論正確的是()

A.------=1B.0<sinA+sinB<A/2

tanB

C.sin2A+cos2B=1D.cos2A+cos2B=sin2C

11.已知函數〃x)的定義域為R,滿足/(x+y)+/C〃y),且=則()

A./(0)=1B.“X)為奇函數

x=1

C.f(l)+〃2)+…+”2024)=0D.f[+^\

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.^{x|0<ox2+/?x+c<2(67>0)}={x|-l<x<3),則3a+b+2c的取值范圍是.

13.已知直三棱柱ABC-A.B^AB1BC,AC=lAB^C=2,則三棱柱ABC-A^C,的體積的最大值

為;此時棱柱的高為.

14.已知正實數a,"c,d滿足/-而+1=0,c1+d2=\,則當（。-。了+仍-4取得最小值時，ab=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知函數/（x）=21nx+gax2-（2a+l）x.

⑴若曲線y=在處切線與x軸平行，求。；

⑵若"X）在X=2處取得極大值，求a的取值范圍.

16.（15分）盒子中裝有紅球、白球等多種不同顏色的小球，現從盒子中一次摸一個球.不放回.

（1）若盒子中有8個球，其中有3個紅球，從中任意摸兩次.記摸出的紅球個數為X.求隨機變量X的分

布列和數學期望E（X）.

（2）若A盒中有4個紅球和4個白球，8盒中在2個紅球和2個白球.現甲、乙、丙三人依次從A號盒中摸

出一個球并放入8號盒，然后丁從8號盒中任取一球.已知丁取到紅球，求甲、乙、丙三人中至少有一人

取出白球的概率.

7T

17.（15分）在梯形A8CD中，ABOCD,ZBAD=-,AB=2AD=2CD=4,尸為AB的中點，線段AC

與。P交于。點（如圖1）.將口AC。沿AC折起到△ACD位置，使得平面。'AC_￡平面BAC（如圖2）.

⑴求二面角A-BD'-C的余弦值；

（2）線段上是否存在點Q,使得C。與平面8CD'所成角的正弦值為半？若存在，求出梟的值；若不

存在，請說明理由.

18.（17分）已知拋物線丁=41，頂點為。，過焦點的直線交拋物線于A,8兩點.

3

⑴如圖1所示，已知|AB|=8],求線段AB中點到>軸的距離；

⑵設點P是線段上的動點，頂點。關于點尸的對稱點為C,求四邊形Q4CB面積的最小值；

⑶如圖2所示，設。為拋物線上的一點，過。作直線。M,QN交拋物線于M,N兩點，過。作直線

DP,。。交拋物線于尸，。兩點，且。MLDN,DP1DQ,設線段MN與線段PQ的交點為T,求直線

OT斜率的取值范圍.

19.(17分)已知無窮數列｛%｝滿足a“=max｛a“+i，a“+2｝-min｛a“+],%+2｝(〃=l,2,3,-一),其中max｛x,y｝表示

x,>中最大的數，min｛尤,y｝表示無，y中最小的數.

(1)當4=1,g=2時，寫出&的所有可能值;

(2)若數列｛%｝中的項存在最大值，證明：。為數列｛4,｝中的項;

(3)若%>0(〃=1,2,3,…)，是否存在正實數M,使得對任意的正整數小都有如果存在，寫出一個

滿足條件的M；如果不存在，說明理由.

2024年高考仿真模擬數試題(二)試卷+答案

(題型同九省聯考，共19個題)

注意事項：

].答卷前，考生務必將自己的考生號、姓名、考點學校、考場號及座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需要改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.從小到大排列的數據L2,3,x,4,5,6,7,8,y,9,10的第三四分位數為()

A.3B.壬C.8D.當匕

22

答案D

解析???12x75%=9,??.該組數據的第三四分位數為手.故選D.

2.若橢圓C:二+乙=1(加>0)上一點到C的兩個焦點的距離之和為2加，則加=()

m9

A.1B.3C.6D.1或3

答案B

解析若切>9,則由=2加得7〃=1(舍去)；若0<"1<9,貝!]由2?”=6得加=3.故選B.

3.設等差數列｛?！埃那啊椇蜑镾”，若%+%=T°，Se=-42,則品)=()

A.12B.10C.16D.20

答案B

解析設等差數列｛&｝的公差為d,則％+。5=(%+2-)+([+4d)=2q+6d=-10,①

6x5

S6—6alH---d-6al+i5d=—42,(2)

聯立①②可得用=-17,d=4,

10x9

因此，%=10%+—^—1=10q+45d=10x(77)+45x4=10.故選B.

4.同一個宿舍的8名同學被邀請去看電影，其中甲和乙兩名同學要么都去，要么都不去，丙同學不去，

其他人根據個人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有()

A.32種B.128種C.64種D.256種

答案C

解析若甲、乙都去，剩下的5人每個人都可以選擇去或不去，有25種去法；

若甲、乙都不去，剩下的5人每個人都可以選擇去或不去，有25種去法.

故一共有25+25=64種去法.故選C.

5.在某次數學探究活動中，小明先將一副三角板按照圖1的方式進行拼接，然后他又將三角板"C折

5

起，使得二面角4-8C-。為直二面角，得圖2所示四面體4BCD.小明對四面體4BCD中的直線、平面

的位置關系作出了如下的判斷：①CDJ_平面4BC；②48/平面ZCD；③平面48。_L平面/CD；@評

面4AD，平面BCD.其中判斷正確的個數是（）

解析對于①中，因為二面角為直二面角，可得平面48C工平面BCD,

又因為平面4BCc平面=DCLBC,且DCu平面

A

BCD,所以。Cl平面4BC,所以①正確；

對于②中，由。C1平面4BC,且4Bu平面4BC,可得V\

ABLCD,又因為Z8/4C,RAC（\CD=C,/C,CDu平面——V-^>C

ACD,所以48/平面4CD,所以②正確；~~~~7g

對于③中，由48/平面/CD,且4Bu平面NBD,所以平面

43。，平面/CD,所以③正確；

對于④，中，因為DC_L平面43C,且Z?Cu平面BCD,可得平面4BCJ平面BCD,

若平面4AD_L平面BCD,且平面4BZ）c平面45C=4B,可得48工平面BCD,

又因為3Cu平面38,所以人8C,

因為48與8C不垂直，所以矛盾，所以平面NBD和平面BCD不垂直，所以D錯誤.故選C.

6.已知點尸在圓（戈-產+/=1上，點A的坐標為（T."），。為原點，則施.Q的取值范圍是（）

A.[-3,3]B.[3,5]C.[1,9]D.[3,7]

答案D

解析設尸（X/）,因點A的坐標為（—1,6），所以粉=（1,一百），萬=（X+1J—6b

貝|JAOAP=x-{-l-y[3^y-y/^^=x-y/3y+4,

設f=x->/Jy+4,BPy=^y-.r+^y-（4-/）>

6

依題意，求，的范圍即求直線產生+￥（4一）與圓（x-l）2+V=i有公共點時在V軸上截距的范圍，即

圓心（1.0）到了=今》+《（4-/）的距離解得3W7,

所以粉?刀的取值范圍為[3,7],故選D.

7.若/（x）=2sinx（6cosx-sinx）,且/⑺/仁卜一，則肉-可的最小值為（）

A.兀BC.2兀D-

-I,4

答案B

解析,.,/(x)=2sin.r^V3cosx-sinx

=^3sin2x-2sill2x=>/3sin2x+cos2x-1

=2sin(2x+?j—l,f(x)的周期為7=兀，且

^2x+-^j,則，e|-Ll],

令，=sin

貝i]/(x)=g?)=2f-l,由g(f)的值域為[-3,1],故/(X)1Mx，/⑶.二7

：3<^)<l故-3"(再)〃69,

則

/(占)=1千/(x2)=l

由/（再）/（與）=一3知,〃%)=-3'或

/(.%i)=-3

即/（再），/。2）為函數的最大與最小值，或最小與最大值,

當孫三對應f（x）圖象上相鄰兩最值點時，忖-.可的值最小，故卜-X2L=g=W?故選B.

dV2

8.如圖，已知耳，鳥是雙曲線=1的左、右焦點，“為雙曲線C

上兩點，滿足石尸〃耳。,且喝0|=RH=可耳耳，則雙曲線C的離心率為

()

V15

A.叵B.在rD.叵

5232

7

答案D

解析延長鑿與雙曲線交于點尸'，

因為耳尸〃耳P,根據對稱性可知區(qū)尸|=內尸1，

設內P|=|耳尸|=乙則內尸卜醫(yī)@=3f,

可得內尸|一|耳尸|=2f=2a,即』,所以|P0|=4f=4a,則

I。周=|。耳|+2a=5%內尸［=|耳尸|=3a,即Pd+國P「=|04「,

在口〃耳瑪中，由勾股定理得囚「『+|耳尸'『=|45『，即〃+（3A）2=4C2,解得《=：=乎.故選D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設復數二=」不（a,6eR且6=0）,則下列結論正確的是（）

4+歷

A.z可能是實數B.同=同恒成立C.若jeR,則。=0D.若二+=eR,貝恫=1

答案BCD

解析對于人：若=*=/3一/*i是實數,

則6=0,與已知矛盾，故A錯誤；

對于B：由A項知3三育，

a+ba+b

所以目=故B正確;

a2b1laba2-b1lab

對于C：若一=-----------2---------------5---------------21-----------2--------------jieR

⑷+行（，+附（力+行3+打⑷+行，

lab

則（/+*=因為6*0,所以a=O,故c正確:

對于D：—=+a+bi,-{—^a-r+a]+1》——J予]ieR,

za+bi八a2+b2）

b因為所以

貝|J6-77^=0,bwO,/+/=1,

所以目=j（七（下右j=l'故D正確.故選BCD?

8

10.在口4BC中，若tan[^=sinC,則下列結論正確的是()

2

A.------=1B.0<sinA+sinB<-J2C.sin2A+cos2B=1D.cos2A+cos2B=sin2C

tanB

答案BD

C

3廣,A+B?C(％c)icos7,.cc

解析：由1加不一=suiCntan|---|=——=—^-=2sin—cos—,

2122Jfan上sin-22

22

因為0<〈〈彳，所以8$二二0,

222

cr

所以l=2si——=>1-2$蘇一=0ncosC=0=>C=90°,

22

所以tanB=tan佟-/!=」~；?,塔_=t//不一定為】，A錯：

12)taii4tanB

因為sinJ+sin5=siiL4+col=0sin(Z+45。),0°<A<90°=>45°<A+45°<135°,

<sin(4+45°)41=>1<VLin(/+450)40,

從而有0vsiiL4+siiiB?后，所以B正確，

又cosB=cos|/-4)=siii4,所以$11124+8528=2511124也不一定等于1,C錯：

而8§22+8$25=8522+51112/=1=§11120,D正確；故選BD

11.已知函數/(x)的定義域為R,滿足/(x+V)+/(x—y)=2/(x)/(y),且/(1)=—函則()

A./(0)=1B.〃x)為奇函數

2

C./⑴+〃2)+…+〃2024)=0D.[/(.r)]+^,r+lj=l

答案AD

解析對A：令x=l,y=0,則2/(1)=2〃1)/(0),

因為/⑴=-1,所以/(0)=1,故A正確；

對B：令x=o得：f(y)+f(-y)=2f(o)f(y),結合f(O)=l可得/(力=/(-力,

所以/(x)為偶函數，故B錯誤；

對C：令y=l可得：/(x+l)+/(x-l)=2/(x)/(l),因為/(1)=-1,

9

所以f(x+l)+/(xT)=-2f(x)n/(x+l)+/(x)=-[/(x)+/(x-l)],

進一步可得：/(x+2)+/(x+l)=-[/(x+l)+/(x)]=/(x)+/(x-l),

又"0)=1,/(1)=-1,所以〃0)+〃l)="2)+〃3)=??="2023)+“2024)=0,

所以"1)+“2)+”3)+?..+”2023)+/(2024)=-/(0)=-l,故C錯誤;

對D：令x=y可得：/(2x)+/(0)=2[/(x)]2[f(x)]2=；

用x+；代替x,y得：f（2x+i）+/（o）=2〃2x+l)+l

2

結合c的結果，可得：[〃疥+]小+^J（2X）+"2X+>2”。）+〃1）+2=1,故D正確.故選

AD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若｛x[0<ax?+6x+c<2（a〉0）｝=｛尤|-1<%<3｝,則3a+b+2c的取值范圍是.

答案|，41

解析由題意不等式0Vax2+bx+cV2（a>。）的解集為｛xplVxW3｝,

所以二次函數/（X）=加+6x+c的對稱軸為直線X=1,

/（T）=2a—b+c=2,

\b=—2a

且需滿足f（3）=2,即《9〃+3"。=2,解得

c=-3a+2

J⑴一a+b+c>0

以a+Z?+c=a—2Q—3〃+220=>a《萬，以〃￡[0,,,

所以3a+b+2c=3a-2a一6〃+4=4一5〃￡故答案為-^-,4^.

13.已知直三棱柱ABC-A耳G，A5,5cAe=2A氏4。=2,則三棱柱ABC-A4G的體積的最大值

為;此時棱柱的高為.

10

答案|學乎

解析如圖所示，不妨設H耳=X,由題意則

AC=2x,BC=",A\=>/4-4x2(xe(O,l)),

貝I]V=<4-4x2x；xx瓜=6^(l-x2)x4,

令/(f)=(lT)x，(r=x2e(0,l))n1T(f)=2r-3f2,

22

貝時，f'(t)<0,->t>0^,f'(t)>0,

即/(f)在(o.：)上單調遞增，在仲［I上單調遞減，則〃,)3=/(訃^=k=區(qū)信號，

此時f=—=：=>"^?=可.故答案為［；ai.

14.已知正實數。,6,c,d滿足〃一帥+1=0,c2+d2=l,則當(a-cp+S-dp取得最小值時，ab=

答案立+1

2

解析可將(4-C>+3-d)2轉化為(。6)與(c,d)兩點間距離的平方,

由/—仍+1=0,得b=—,

a

而°2+/=i表示以(0,0)為圓心，1為半徑的圓，(c,d)為圓上一點,

則(〃力)與圓心(0,0)的距離為：次+/=

當且僅當2a2=十，即時等號成立,

此時(冬6)與圓心(0,0)的距離最小，即6)與(c,d)兩點間距離的平方最小，

2

即(a—cp+S-dp取得最小值.當。=時，ab=a+\=—+l,故答案為立+L

丫222

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)己知函數〃x)=21nx+；ax2-(2a+l)x.

⑴若曲線y=/(x)在(1,/⑴)處切線與x軸平行，求a；

(2)若/(x)在x=2處取得極大值，求。的取值范圍.

解析(1)S^/(^)=21nr+yar2-(2a+l)x(x>0),

11

，/、2、ax2-(2?+l)x+2(ax-l](x-2]八八

所以f=*+以_(z2〃+1)=---------------』——-------——\......................2分

因為曲線y=在(1J⑴)處切線與x軸平行，

所以/(1)=(”一](1-2)=0,解得q=i,....................4分

又/⑴=；-3=￡/0,所以"1.....................5分

（2）的定義域為（0,+4，尸（力=（。-叫-2）,

X

①當4=0時,令f（x）>0,得o<x<2,令尸（x）<0,得X>2,

/（x）在（0,2）上單調遞增，在（2,+8）上單調遞減.

.?./（X）在x=2處取得極大值，滿足題意；.........7分

②當“<0時，令/（x）>0,得0<工<2,令/（耳<0,得x>2,

/（x）在（0,2）上單調遞增，在（2,+8）上單調遞減.

.?./（X）在x=2處取得極大值，滿足題意；.........9分

③當a>0時，

（i）當0=；時，）=2J'（x"0

所以/（無）在（。，+8）上單調遞增，了（尤）無極值，不滿足題意；

（ii）當?！鰰r，-<2,

2a

令r（x）<0,得LX<2,令廣⑴>0,得0<x」或x>2.

aa

二.”尤）在（0,￡|上單調遞增，在t,2］上單調遞減，在（2,+⑹上單調遞增.

，/（尤）在x=2處取得極小值，不滿足題意；

（iii）當0<4<工時，->2,

2a

令r（x）<0,得2<X<L令:⑴>0,得0<x<2或X」.

aa

.?./（尤）在（0,2）上單調遞增，在12,步上單調遞減，在［,+，］上單調遞增.

，/（尤）在x=2處取得極大值，滿足題意；綜上所述，〃的取值范圍為卜..........13分

12

16.（15分）盒子中裝有紅球、白球等多種不同顏色的小球，現從盒子中一次摸一個球.不放回.

⑴若盒子中有8個球，其中有3個紅球，從中任意摸兩次.記摸出的紅球個數為X.求隨機變量X的分

布列和數學期望E（X）.

⑵若A盒中有4個紅球和4個白球，8盒中在2個紅球和2個白球.現甲、乙、丙三人依次從A號盒中摸

出一個球并放入3號盒，然后丁從8號盒中任取一球.已知丁取到紅球，求甲、乙、丙三人中至少有一人

取出白球的概率.

「if45C1^1A215

解析⑴X可取0,1,2.且：P(^=0)=^=-,尸(X=l)=海廣=詆,

3分

所以X的分布列為:

X012

5153

P

142828

1533

則E(X)=lx-+2><r-=m6分

28284

（2）設事件￡>="丁取到紅球"，事件E="甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”.

當甲、乙、丙三人取得1個白球，則丁取到紅球的概率為鬻詈x［；...................8分

C8c7c6'

則丁取到紅球的概率為需舞x1；

當甲、乙、丙三人取得2個白球,10分

c8c7c6/

則丁取到紅球的概率為黑rx弓；

當甲、乙、丙三人取得3個白球,12分

C8c7c6/

則丁取到紅球的概率為需mX：

當甲、乙、丙三人取得3個紅球,14分

c8c7c6/

3C；C；C\4?3C；C；C13?C；C；C\2

7z~iiz-iirz-ii/-iiz~<i(

,、P(DE}yjy/7y/7y/44

則所求概率為尸(EI。)-p(7)-3C；C?x5]3C；C；C；x4?3C；C；C；乂3?3C；C；C；；]-49'15分

z-iiz~iii-iz-iiz-iir

yc7y'yjy/yjy/7y/

TT

17.（15分）在梯形ABC。中，ABUCD,ZBAD=~,AB=2AD=2CD=4,P為AB的中點，線段AC

與。尸交于。點（如圖1）.將口48沿AC折起到位置，使得平面。’AC,平面BAC（如圖2）.

13

(1)求二面角/-BD'-C的余弦值：

⑵線段PD上是否存在點。，使得CQ與平面88’所成角的正弦值為近？若存在，求出繇的值；若不

8PD

存在，請說明理由.

解析(1)因為在梯形"CD中，ABIICD,AB=2AD=2CD=4,NBAT>.,P為期的中點，所

以，CDI/PB,CD=PB,

所以△的是正三角形，四邊形。尸BC為菱形,

可得2C1BC,AC1DP,

而平面?！笴_L平面B/C,平面?！笴c平面=,

萬。＜=平面。'/。，DO1AC,

.?.。'。_1平面34。，所以04,OP,QD,兩兩互相垂直，.........3分

如圖，以點。為坐標原點，OA,0P,。力分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

則/(瘋0,0),C(-6,0,0),5(->/3,2,0),A(0,0,1),尸(0,1,0),

.-.ZB:=(-5/3,04),ZB=(-2^,2,0),Bb=(>/3,-2,1),cb=(5/3,0,!),

設平面4BD’的一個法向量為云=(*，乂，Zi)，則

l

{一,即1ri,令演=1,則％=z1=JL

mAB=Q1-2宿+2弘=0

:.m=[1,43,43),..........5分

設平面C8。'的一個法向量為"=卜2，加22),貝IJ

n-BD'=Q

n-CD'^0

二〃=(L0,-VJ),7分

14

/一“而Gixi+^xo+TJxf-TJ)不

cos(m、=HI=---.=—[=---,

\/阿〃|71+3+3x71737

所以二面角Z-B/V-C的余弦值為-1..........9分

7

（2）線段P"上存在點Q,使得CQ與平面8。）’所成角的正弦值為逅..........10分

8

設而=2訪（0M2M1）,因為而=（0』,o）,pb=（0,-1,1）,所以

CQ=CP+PQ=CP+APb=(>/3,1-2,2),.........12分

_逅

設CQ與平面BCD所成角為e，13分

則疝"H&碎忌$2，t；?+4一8

即3萬_7/1+2=0,???04241,解得..........14分

所以線段PD'上存在點Q,且券=g，

使得。。與平面88’所成角的正弦值為逅...........15分

8

18.（17分）已知拋物線/=4K,頂點為。，過焦點的直線交拋物線于A,B兩點.

⑴如圖1所示，已知卜卻=8|,求線段48中點到J軸的距離;

⑵設點尸是線段48上的動點，頂點。關于點P的對稱點為C,求四邊形O/CB面積的最小值：

（3）如圖2所示，設。為拋物線上的一點，過。作直線。M,ZW交拋物線于“，N兩點，過。作直線

DP,。。交拋物線于尸，。兩點，且。河，ON,DPLDQ,設線段MN與線段P。的交點為7,求直線

。7斜率的取值范圍.

解析（1）因為過焦點的直線交拋物線于A,B兩點,且|43|=8,

設4（和乂）,雙々,％）,

由拋物線的性質可得%+/+2=恒卻=8,

所以西+*2=6,

15

所以線段世中點的橫坐標，即為線段國中點到，’軸的距離為＜_=3.3分

（2）由點C與原點。關于點尸對稱，可知尸是線段0C的中點,

所以點。與點C到直線/的距離相等，所以四邊形OABC的面積等于2s5OB，

x=my+1

設直線/的方程為x=四，+1聯立《消去x可得/一4/孫一4=0,..................5分

y2=4x

設4（三，必），5（x4,y4）,由韋達定理可得耳+以=4〃?，V3y4=-4,

所以2S“OB=2x；|O尸Hg—bjs+yj_4%乂=4j〃『+1,

當加=0時，四邊形Q48C的面積取最小值為4..................7分

（3）設。點坐標為（/,2a）,M■點坐標為（j，加），N點坐標為（XN，W），

由題意可知直線ZW的斜率彳存在，且不為0,

則直線DM■的方程為y—2。=左（戈一/）,與拋物線丁=4#聯立，消去x得y2-gy+第一4/=0,

44

由韋達定理可得24+13=工，解得.........9分

KK

直線。N的方程為y—2a=—/）與拋物線式=4.丫聯立，消去x得.,+4加一8履一4〃=0,

由韋達定理可得2。+3=-4左，解得以=-4斤-2a,.................10分

顯然直線MN斜率不為零,

=4（戈也）=4（x—.%）

當直線AW斜率存在時，直線的方程為丁一%="7"

均一%XL5~AM（%+VM）

尸4*+%加

整理得:

坳+加

16

4

將加=丁-2。，%=Tk-2。代入/卬得：

k

4x+(：-2“-4"2a)忘_妹-2a+2/+/耳?-4)

y=-----7------L---------=----------------------=—2aH---------4,

--2a-4k-2a\-ak-k1-ak-k

k

所以直線朦過定點(4+/,—2a),即7點坐標為(4+/,_24，..........葭分

當直線MN的斜率不存在時，設M點坐標為N點的坐標為2。，