群論第一章教材

晶體學(xué)中的對(duì)稱群參考書:徐婉棠，喀興林著?！度赫摷捌湓诠腆w物理中的應(yīng)用》

方可著?！度赫摷捌湓谖锢砗突瘜W(xué)中的應(yīng)用》

王仁卉，郭可信著?！毒w學(xué)中的對(duì)稱群》考試：課堂開卷成績(jī)：考試成績(jī)50%；平時(shí)成績(jī)50%(文獻(xiàn)，上課，作業(yè)……)Email:ylwang@;手機(jī)言群論—數(shù)學(xué)工具（研究系統(tǒng)的對(duì)稱性）

19世紀(jì)，由Gauss，Abel，Hamilton等人建立的。

—物理，化學(xué)工具

20世紀(jì)初期，量子力學(xué)的建立

廣泛應(yīng)用與經(jīng)典物理，量子物理和化學(xué)中很多問題的簡(jiǎn)化處理。

群論不是萬能的：不能解決一切問題并非所有的問題非用群論解決2第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣1-1矩陣的定義維數(shù)：m×n;m行，n列方陣：m=n特例：行矩陣，列矩陣3第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣1矩陣與行列式的區(qū)別

同學(xué)回答??！2幾個(gè)特殊的方矩陣（1）零矩陣所有矩陣元都為零（2）對(duì)角矩陣除對(duì)角元外均為零的矩陣（3）常數(shù)矩陣對(duì)角元為相同的數(shù)，其余為零的矩陣（4）單位矩陣（E或I）對(duì)角元為1，其余為零的矩陣4第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣1-2矩陣的運(yùn)算

1矩陣的相等即維數(shù)相等，且所有對(duì)應(yīng)的元素都相等

2矩陣相加或相減前提：維數(shù)相同對(duì)應(yīng)元素相應(yīng)加減

3矩陣乘以數(shù)k每個(gè)元素都乘以k（與行列式不同?。?/p>

5第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣4矩陣的乘法矩陣與列向量相乘的條件：A的行向量的維數(shù)（A的列數(shù)）等于列向量的維數(shù)（X的行數(shù)）注：一般不可對(duì)易AB≠BA（舉例）6第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣矩陣乘法的性質(zhì)①任何矩陣與單位矩陣相乘，矩陣不變

IA=AI=A②單位矩陣或常數(shù)矩陣與任意矩陣可對(duì)易

CA=AC③兩個(gè)對(duì)角矩陣相乘可對(duì)易

D1·D2=D2·D1④多矩陣相乘，服從結(jié)合律

D=ABC=(AB)C=A(BC)7第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣⑤乘法服從分配律

A(B+C)=AB+AC⑥矩陣乘積的行列式等于其行列式的乘積

det(AB)=det(A)det(B)⑦逆矩陣定義：AB=BA=I則A，B是可逆矩陣，A與B互逆。注：在矩陣運(yùn)算中沒有除法，但用逆矩陣去乘相當(dāng)于除法8第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣逆矩陣的求法

1）代數(shù)余子式在n階行列式中，把元素aij所在的第i行，第j列劃去后，留下來的n-1階行列式叫做元素aij的余子式。記作Mij,記Aij=(-1)i+jMij,

Aij叫做aij的代數(shù)余子式。例：四階行列式中元素a32的余子式和代數(shù)余子式分別是？92）引理：一個(gè)n階行列式，如果其中第i行所有元素除aij外全部為0，那么這個(gè)行列式等于aij與它的代數(shù)余子式的乘積，即：

D=aijAij第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣?yán)?03）伴隨矩陣：行列式｜A︱的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成的如下矩陣第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣稱為A的伴隨矩陣且114）逆矩陣第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣?yán)呵笙铝芯仃嚨哪婢仃?2⑧轉(zhuǎn)置矩陣定義：設(shè)A是一個(gè)i×j矩陣，若將A的行順次改為列，得到的j×i矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣。若A=[aij],則

第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣注：轉(zhuǎn)置矩陣有下面的運(yùn)算規(guī)律13⑨幾個(gè)重要的方陣對(duì)稱矩陣

AT=A反對(duì)稱矩陣

AT=-A反對(duì)稱矩陣的充要條件：第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣14對(duì)角形矩陣

第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣注：(ⅰ)兩個(gè)n階對(duì)角形矩陣相乘是對(duì)易的(ⅱ)

A-1的對(duì)角線上的元恰為A中對(duì)應(yīng)元的倒數(shù)15正交矩陣

定義：若n階實(shí)矩陣滿足ATA=E，則A稱為正交矩陣。則有：

AAT=ATA=I得到(AT)-1=A即

A-1=AT注：A為正交矩陣，則A-1=AT也是正交矩陣

A為正交矩陣，則A的行列式必為+1或-1第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣16共軛矩陣設(shè)n階矩陣A=(aij)的元aij都是復(fù)數(shù)(包括實(shí)數(shù))，則矩陣稱為A的共軛矩陣。共軛矩陣滿足以下運(yùn)算條件:(A,B都是n階復(fù)矩陣)當(dāng)aij全為實(shí)數(shù)時(shí)，注：共軛復(fù)數(shù)兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣175兩個(gè)矩陣的直積（A×B）舉例說明:

第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣18直積B×A也是一個(gè)6×6維矩陣第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣注:ⅰ)一般地,直積不遵循交換律.

ⅱ)當(dāng)A和B都是方陣(但并不要求同階)時(shí),有下列重要的結(jié)果

tr(A×B)=tr(B×A)=tr(A)tr(B)

即直積的跡等于直因子跡的乘積19例：對(duì)于矩陣A和B，求(a)A×B,(b)B×A,(c)驗(yàn)證tr(A×B)=tr(B×A)=(trA)(trB)

第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣20

1-3線性方程組的求解

1設(shè)有三元的線性方程組第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣寫成矩陣形式AY=X，其中21Cramer行列式法解方程組AY=X若detA≠0，則線性方程組有解，且唯一，解的表達(dá)式如下：第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣（矩陣A中第一列換成常數(shù)項(xiàng)）22行列式進(jìn)一步展開，得第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣23對(duì)于n階行列式第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣其中：Aij稱為余子式，(-1)i+jAij稱為aij的代數(shù)余子式24寫成矩陣形式第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣由AY=X，得Y=A-1X，所以251-4矩陣方程的本征方程有限方程組第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣寫成矩陣形式：AX=λX該方程稱為矩陣A的本征方程,λ為本征值。方程變形為：

(A-λI)X=0I為單位矩陣，0為零矩陣26方程有解的條件是其系數(shù)行列式值為零，即

第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣由上式可解出λ的三個(gè)根(λ1,λ2,λ3),即方程的本征值。再將λi的值分別代入，即可求得三個(gè)本征矢Xi。三個(gè)本征矢組成的矩陣即為本征矢矩陣，記為27例：矩陣A及其本征方程分別如下，求其解第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣28求解過程：本征方程變形為第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣則其系數(shù)行列式值為零，即由此，求得λ1=1，λ2=2，λ3=329第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣當(dāng)λ1=1時(shí)，則有加上歸一化條件30第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣求得同樣可求得本征矢矩陣31第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣1-5矩陣的對(duì)角化1相似矩陣設(shè)A，B是n階矩陣，若存在滿秩矩陣M，使B=M-1AM成立，則稱矩陣A與B相似，記為A～B2矩陣的對(duì)角化與本征方程對(duì)比32第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣舉例：將實(shí)矩陣A對(duì)角化解（1）求A的特征根求得λ1=λ2=2為二重特征根，λ3=-4為單根33第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)-矩陣(2)求每個(gè)特征