東北三省三校2024屆高三年級(jí)下冊(cè)第二次聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024年高三第二次聯(lián)合模擬考試

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷

上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知i是虛數(shù)單位，a,beR,a+2i=0—i)i,則復(fù)數(shù)。+歷的模為()

A.5B.y[5C.2D.4

【答案】B

解析：由題設(shè)有a+2i=l+歷，而a/eR,故a=l,b=2,

故a+歷的模為+4=^[5>

故選：B.

2.在公差不為0的等差數(shù)列｛a“｝中，。3，%，金是公比為2的等比數(shù)列，則()

A.11B.13C.15D.17

【答案】B

解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則d/0,

因?yàn)榈模?，是公比為2的等比數(shù)列，

CL+6da,+(in—l)dm+\

所以----=2,-------——=2,由前者得至ijq=2d,代入后者可得不一二2,

4+2d弓+6d7

故相=13，

故選：B.

3.1.按分層抽樣的方法,從15個(gè)相同的紅球和10個(gè)相同的黑球中抽出10個(gè)球排成一排，則不同的排列方法

為（）

A.CA；°B.//A；：C.C：°D.A：A：

【答案】C

解析：按分層抽樣的方法，從15個(gè)相同的紅球和10個(gè)相同的黑球中抽出10個(gè)球，

其中有紅球15x竺=6,黑球10x3=4,

2525

由于紅球、黑球是完全相同的，則有1種抽取方法，

進(jìn)而將4個(gè)黑球安排在10個(gè)位置中的4個(gè)，有C：0種方法，

由分步計(jì)數(shù)原理，可得共有種不同方法，

故選：C.

4.已知尸為兩個(gè)不重合平面，/,m為兩條不同直線，貝U//a的充分條件是（）

A.m±a,m±/B.lu/3,13Hac.mua,l//mD.aL/3,a/3=m,

Ulm

【答案】B

解析：對(duì)于A,若ni_La,m±l,貝"http://e或/ua,故A中條件不是充分條件，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若lu0,pila,由面面平行的定義可得///c,

故B中條件是///c的充分條件，故B正確；

對(duì)于C,若mua,[Um,貝"http://g或/ua,C中條件不是充分條件，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,aL/3,a/3=m,lllm,則///tz或/ua,D中條件不是充分條件，

故D錯(cuò)誤；

故選：B.

5.已知忖=5,〃=（—1,2）,a在b上的投影向量為切=（—2,4）,則向量〃與人夾角余弦值為（）

A2#2A/5

5555

【答案】A

，卜/o/、

解析：a在b上的投影向量為卜卜Ea-bbb，故a了b》=（—2,4）,

WWWw

|o||z?|cos^<2,￡>^

a-b

而人=（—1,2）,故不=2,故=2,

.\b\

故5cos產(chǎn)）=2即8s（a小撞

V5、/5

故選：A.

6.“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子?離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長(zhǎng)短兩條

直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來(lái)測(cè)量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖中數(shù)據(jù)，以“矩”

量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角a滿足cosa=g,則

這塊四邊形木板周長(zhǎng)的最大值為（）

B10（回-厲）

3

10（9-灼

D--------------cm

3

【答案】A

解析：因?yàn)樗倪呅文景宓囊粋€(gè)內(nèi)角1滿足cosa=一,如圖,

3

D

設(shè)㈤D=a,由題設(shè)可得圓的直徑為Jl00+25=5也,

[25

故BD=56sincr，因cosa=§,。為三角形內(nèi)角，故sina二口一

故BD=5信運(yùn)”,

33

,0,1000

故AB-+AD2-2ADxABcosa=BD2=上？，

9

故（48+40）2二號(hào)的＞鉆+1000M2（AD+AB）2+幽，

v73939

故A3+ADV嚴(yán)L誓’當(dāng)且僅當(dāng)人八旬二手時(shí)等號(hào)成立'

同理BC+CDW1°厲,當(dāng)且僅當(dāng)5C=CD=上叵等號(hào)成立,

33

故四邊形周長(zhǎng)的最大值為1°(00+S5Lm,

3

故選：A.

7.若關(guān)于x的方程依+24+/4%—Y=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-A/3,O]B,-#,0c.]o，￥[D.(-1,0]

【答案】B

解析：方程依+2a+"x-f=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于y/4x-x2=-a(x+2)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

設(shè)y=14%—42,。20,y=-a(x+2),

故丁=而二區(qū)yNO的圖象與y=-。(*+2)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

又y=,4龍一f,y20可化為(％—2)+。2=4(。20),

故y=y]4x-x2,y>0的圖象為如圖所小的半圓,

#<2,故一且〈”目

J4+133

而直線y=-。（x+2）需在x軸的上方或與x軸重合，故一,

故一避<(7<0>

3

故選：B.

22

8.雙曲線C：L—2L=1的右焦點(diǎn)為F,雙曲線C上有兩點(diǎn)4B關(guān)于直線/：3x+y—8=0對(duì)稱，則

124

FA+FB=()

A.2A/2B.472C.2A/3D.

【答案】B

解析：c=J12+4=4,E（4,0）,設(shè)A5的中點(diǎn)為S,連接烈

因?yàn)?為線段AB的垂直平分線，故可設(shè)AB:x-3y+/w=。，A（玉,乂）,6（馬,％），

f22

土-匕=1

由＜124可得6y之—6加y+加2-12=0(*),

x-3y+m=0

故%+%=根，故內(nèi)+/=3（%+%）―2根=機(jī)，

mm

故A3的中點(diǎn)為

因AB的中點(diǎn)在直線3x+y—8=0上，^3x-+--8=0,

故m=4,此時(shí)A=367/—24加+12x24>0，且S（2,—2）,

故向+國(guó)=2網(wǎng)=2,4+4=40,

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知正方體ABC。-A4GR的棱長(zhǎng)為1,下列命題正確的是（）

A.平面AG。

B.四面體A—Age的體積是正方體ABC?！狝4GR的體積的三分之一

7T

C.與正方體ABC。-44GR所有棱都相切的球的體積為不

D.88]與平面4G。所成的角等于60。

【答案】AB

解析：對(duì)A,由正方體性質(zhì)可得3與J.平面CD，AGu平面A4GD，

所以5與易知用2，AG，BB\BA=B],BB],BQ1u平面BBRD,

故AG±平面BBRD,又BD[U平面BBRD,故3。，ACi）

同理可證DC11平面BCD[A,又B、u平面BCg,故5。，DCX,

又。GcAC=a，DG，AGu平面46。，故8。，平面46。，A正確;

對(duì)B,四面體。―Age的體積為正方體的體積減去4個(gè)三棱錐的體積，即1—=

故四面體2-ABC的體積是正方體ABC。-Ag的體積的三分之一，故B正確；

對(duì)C,與正方體ABC。-A4G2所有棱都相切的球的直徑長(zhǎng)度為面對(duì)角線A片的長(zhǎng)度0,

故球的體積為4兀［受］=—71,故C錯(cuò)誤；

312J3

對(duì)D,以2為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，(0,0,0),3。,1,1),4。』,0),

由A可知，=(1,1,1)為平面4G。的法向量，BBX=(0,0,-1),

\DXBBB\1J3

設(shè)BBl與平面4G。所成的角為asine=J_n_L=_,故D錯(cuò)誤.

何斗儂|V33

故選：AB.

10.函數(shù)/(x)=cos("+o"o<e<1)的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是()

C.〃龍)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為《,。

D.設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)+/]x+；；則g(x)在一J，；上的最小值為-g

【答案】ABD

解析：由圖象可知，〃o)=〃%)=,,

所以/(o)=COS(7tx0+o)=,即cos°=^^，

JT兀

又因?yàn)?<9<彳，所以°=7，故A正確；

26

所以/(X)的解析式為/(x)=cos[?+W),

兀兀5

所以叫)+：=2兀一：，解得/=彳，故B正確;

663

=cos37r=-1,故點(diǎn)1,0不是”力的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故c錯(cuò)誤;

g(x)=/(x)+/1x+-+c4l+*

3jI6)LI3j6

兀..兀(兀)立1..

=COS7IXCOS-6------SinTLXSin—6+COSITIXH■—=——2COS7LX——2Sin7U-Sin7lX

=—COS7LV--sinxt=A/3cosfra：+—\

22I3)

L,、，11LL,,兀712兀

因?yàn)椤?lt;%<—,所以——<nx+—<—，

23663

當(dāng)兀x+g=g,即x=；時(shí)，g(x)取的最小值為g[g)=J^cos[兀xg+三卜6cosg=—,故D

正確.

故選：ABD.

11.定義在R上的偶函數(shù)/(%)滿足/(x—3)=/(5—x),當(dāng)xe[0,l]時(shí)，/(力=/.設(shè)函數(shù)

g(x)=log5|%T|，則下列結(jié)論正確的是()

A.的圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱

717

B.〃尤)的圖象在x=5處的切線方程為y=—x+1

C.7(2021)+/(2022)+f(2023)+/(2024)=2

D.〃力的圖象與g(x)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為10

【答案】ACD

解析：對(duì)于A,因?yàn)椤癤)為偶函數(shù)，故"X—3)=〃5—x)=/(x—5),

故/(x)=/(x+2),所以/(一力=/(X+2),故/(%)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

故A正確.

對(duì)于B,由A中分析可得/(可是周期函數(shù)且周期為2,

故當(dāng)xe[3,4]時(shí)，4-%e[0,l],故/⑺=〃*_4)=/(4—x)=(4—

故當(dāng)xe(3,4)時(shí)，/,(x)=2(x-4),故—1,

故切線方程為：,=/[/]=_%+?，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,由/(%)是周期函數(shù)且周期為2可得：

f(2021)+f(2022)+f(2023)+f(2024)=2/(0)+2/(l)=2,

故c正確.

對(duì)于D,因?yàn)間(2-x)=log5|l-x|=g(x),故g(x)的圖象關(guān)于X=1對(duì)稱，

而g⑹=1,g(-4)=lMx>lHtg(%)=log5(%-l),此時(shí)g(x)在(1,+。)上為增函數(shù),

故/(X)，g(x)圖象如圖所示：

故選：ACD.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知tana=2,則sinacosa=.

【答案】|.

sincos。tana2

解析：:tana=2,Asmacosa=-------z—=—

sina+cosatani-a-+-1==5?

故答案為：—.

13.洛卡斯是十九世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家，他以研究斐波那契數(shù)列而著名.洛卡斯數(shù)列就是以他的名字命名，洛卡

斯數(shù)列｛〃｝為：1,3,4,7,11,18,29,47,76,…，即4=1,J=3,且乙級(jí)=L“+i+WN*）.

設(shè)數(shù)列｛4｝各項(xiàng)依次除以4所得余數(shù)形成的數(shù)列為｛??｝,則60。=.

【答案】3

解析：｛4｝的各項(xiàng)除以4的余數(shù)分別為L(zhǎng)3,0,3,3,2,1,3,0,....,

故可得｛%｝的周期為6,且前6項(xiàng)分別為L(zhǎng)3,0,3,3,2,

而^00=“6x16+4=%=3,

故答案為：3.

2

14.已知拋物線y=亍，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)f斜率為七（左。0）的直線交拋物線于A3兩點(diǎn)，線段A5的垂直平分

\AB\

線交y軸于點(diǎn)c,則表的值為______.

\CF\

【答案】2

解析：拋物線的焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)為（0,1）,故A5：y=^+L

設(shè)與％），AB的中點(diǎn)為A1,

x2=4y.

則由《,"可得％2一4.一4=0，A=16/+16>0,

y=o+l

又為+%=4左，xrx2=-4

所以=Jl+/,-x2|=J1+左2xJ16/+16=4(1+左21

又為=2k,所以為=21+1,

故AB的中垂線的方程為：y-2k2-l=--（x-2k）,

K

四

令％=0,則”;=2左2+3,故|CF|=2左2+2,所以=2.

故答案為：2.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.某興趣小組，對(duì)高三剛結(jié)束的測(cè)試的物理成績(jī)進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查，在所有選擇物理科的考生中隨機(jī)抽取100

名各類考生的物理成績(jī)，整理數(shù)據(jù)如下表（單位：人）

物理成績(jī)

[50,60)[60,70)[70,80)[80,90]

學(xué)生分類

A班男生28158

B班男生310204

A班女生3421

B班女生10640

（1）估計(jì)該校高三學(xué)習(xí)物理男生人數(shù)與女人數(shù)的比值；

（2）求A班物理平均成績(jī)的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表，結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；

（3）把成績(jī)?cè)冢?0,90］稱為及格，成績(jī)?cè)冢?0,60）為不及格，根據(jù)所有數(shù)據(jù)完成下面2x2列聯(lián)表，試根據(jù)

小概率值。=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該?？忌奈锢沓煽?jī)與性別是否有關(guān)?

成績(jī)

性別合計(jì)

及格不及格

男生

女生

合計(jì)

n^ad-bcy

附：z2

(o+Z>)(c+d)(o+c)(b+d)

a0.050.010.001

3.8416.63510.828

7

【答案】（1）-

3

（2）72

（3）答案見解析

【小問(wèn)1解析】

由表中數(shù)據(jù)可知，男生共有2+8+15+8+3+10+20+4=70,

女生共有3+4+2+1+10+6+4+0=30,

707

由此估計(jì)該校高三學(xué)習(xí)物理男生人數(shù)與女人數(shù)的比值約為一=—.

303

【小問(wèn)2解析】

八班共有：2+3+8+4+15+2+8+1=43人

A班物理平均成績(jī)的估計(jì)值為

UU512ru*遁9275+780+1275+765

55x---F65x----F75x----85x—=72

4343434343

【小問(wèn)3解析】

由表中數(shù)據(jù)可知，2x2列聯(lián)表如下:

性別成績(jī)合計(jì)

及格不及格

男生65570

女生171330

合計(jì)8218100

零假設(shè)為“0：該校考生的物理成績(jī)與考生性別無(wú)關(guān),

根據(jù)表格中數(shù)據(jù)計(jì)算得到

100x(65x13-17x5)2

2

zx18.635>6.635=x001

70x30x82x18

根據(jù)小概率值。=0.01的%2獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷“0不成立，即認(rèn)為該?？忌奈锢沓煽?jī)與性別有關(guān)，此推

斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0QL

16.如圖，在直角梯形ABC。中，AB//CD,ZABC^90°,AB=3DC=3BC,DELAB于■E,沿

將VADE折起，使得點(diǎn)A到點(diǎn)P位置,NPEB=90。,N是棱BC上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B,C不重合）.

使平面現(xiàn)W_L平面尸BC,若存在，求也；若不存在，說(shuō)明理

（1）判斷在棱P8上是否存在一點(diǎn)M,

BP

由；

（2）當(dāng)點(diǎn)F,N分別是PB,BC的中點(diǎn)時(shí)，求平面E/W和平面PDE的夾角的余弦值.

BM__1

【答案】（1）存，

BP~5

⑵里

21

【小問(wèn)1解析】

BM1

存在,

BP~5

理由如下：由尸PEVED,EB「ED=E,EB,EDu平面EBCD,

所以PE，平面EBCD,又BCu平面EBCD,

故又BCLBE,PEBE=E,PE,BEu平面PEB,故平面。石B,

又BCu平面PBC,故平面PBC，平面PEB,又平面尸BC1平面PEB=PB，

EMu平面PEB,作EM工PB，則平面PBC，又EMu平面EMN,

故平面圓W_L平面尸BC,由題意，不妨設(shè)A5=3DC=35C=3,

lOy!

則Rt_PEB中，PE=2,EB=1,BP=V5,由等面積得?

2

1所以器1

5

【小問(wèn)2解析】

以石為原點(diǎn)，EB,ED,石尸分別為x,V,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由⑴機(jī)別，5(1,0,0),P(0,0,2),唱,0』)

EN-],"=[,0,1]

設(shè)平面EFN的法向量為m=(x,y,z),

m-EF=—x+z=0

2

由j],取〃2=(2,-4,-1),

m-EN=x+—y=0

[2'

易知平面PDE的法向量為“=(1,0,0),

2721

設(shè)平面EFN和平面PDE的夾角為。,故cos6=

21

17.已知等比數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為"，且S"+i=3S.+l,其中“eN*.

（1）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

（2）在勾與4+1之間插入。個(gè)數(shù)，使這〃+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為4,的等差數(shù)列，在數(shù)列｛"“｝中是否存

在不同三項(xiàng)4“，dk,dp（其中肛憶P成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

,,_|

【答案】⑴an=3

（2）不存在，理由見解析

小問(wèn)1解析】

因?yàn)镾〃+i=3S〃+l,故S〃=3S〃T+1，故a,+]=34（“22），

而｛4｝為等比數(shù)列，故其公比為3,

又S2=3S]+1,故3q+弓=3勾+1,故％=1,

故％=1X3"T=3"）

【小問(wèn)2解析】

由題設(shè)可得dn='L=近2二,

n+2-1n+1

若數(shù)列｛4｝中存在不同三項(xiàng)4",dk,dp（其中孫太？成等差數(shù)列）成等比數(shù)列,

^2x3^Y2X3“T2X3W

則--------------X---------------，因因左。為等差數(shù)列,

、k+1>m+1p+1

2

m+p

故（左+1）2=（m+1）x（夕+1）即左之=磔＞,故=mp，

2

故根=〃即加="=左，這樣私女,夕不同矛盾,

(其中m,成等差數(shù)列)成等比數(shù)列.

故數(shù)列｛4｝中不存在不同三項(xiàng)4“，dk,dp

18.已知a為常數(shù)，函數(shù)/(x)=xlnx+ax2.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求/(尤)圖象在x=l處切線方程；

(2)討論函數(shù)八％)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(3)若函數(shù)“X)有兩個(gè)極值點(diǎn)/，巧(不<々)，求證—g</(xJ<0.

【答案】(1)y=3x—2

(2)答案見解析(3)證明見解析

【小問(wèn)1解析】

當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=^lnx+x2,故

而_f(x)=l+lnx+2x,故/'(1)=3,

故/(%)的圖象在x=l處切線方程為y—l=3(x—1)即y=3x—2.

【小問(wèn)2解析】

的定義域?yàn)?0,+"),

/(九)的零點(diǎn)等價(jià)于無(wú)lnx+公2=o的解即lnx+at=0的解，

令s(x)=lnx+ar,%>0,故s，(x)=1+奴,

X

當(dāng)a?0時(shí)，/(x)>0,故s(x)在(0,+。)上為增函數(shù)，

而s(l)=120,5(e-fl)=-?+ae-a=t7(e-a-l)<0,

故s(x)在(0,+8)上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即/(同有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)a<0時(shí)，當(dāng)時(shí)，/(%)>0；當(dāng)xe1—，,+oo|時(shí)，s'(x)<0,

故s(x)在卜一上為增函數(shù)，在，：,+")上為減函數(shù)，

若即。＜二，此時(shí)s(x)1mx＜0,故s(x)無(wú)零點(diǎn)，故/(%)無(wú)零點(diǎn).

若ln[—1—1=0即〃=——,

此時(shí)s(x)=0,

Ia)e\/max

故s(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故/(九)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

若In-1>0即一一<4<0,止匕時(shí)S(X)max=S>0.

eI

而-，>e>l^fl)=a<

0,故s(x)在1,---有且只有一個(gè)零點(diǎn);

a

又s72InI

設(shè)〃?)=21nl—力l＞e,則M⑺=、^＜0,故K⑺在(e,+8)上為減函數(shù),

故〃⑺<“(e)=2-e<0,

八，11

因?yàn)椤?gt;e,故s<0,而二〉——

aaa

故s(x)在［滔■,一‘)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

故此時(shí)s(x)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即/(%)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

綜上，當(dāng)—時(shí)，/(%)無(wú)零點(diǎn)；

e

當(dāng)。二」或〃2。時(shí)，“X)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

e

當(dāng)—!＜。＜0時(shí)，/(%)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

e

【小問(wèn)3解析】

/(x)=xlnx+or2的定義域?yàn)?0,+8),而/r(x)=l+lnx+2ov,

由題設(shè)可得了'(%)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)芯,九2(占＜九2)，

設(shè)v(x)=1+lnx+2ov,x>0,故v(x)在(0,+e)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),

.“、1+2。%

而y⑺=------

X

若aNO,則v(x)在(0,+。)上為增函數(shù)，v(x)在(0,+。)上至多一個(gè)零點(diǎn)，舍;

若。<0,

當(dāng)時(shí)，v'(x)>0；當(dāng)j,+co］時(shí)，v'(x)<0,

故v(x)在［。，-()上為增函數(shù)，在H+8)上為減函數(shù)，

所以史抒。即-什

＜0,而V(1)=1+2Q＞。，且-]＞1,故0＜玉＜1.

又/(%)二%1n%+端，而1+ln玉+2〃％二°，

故%)=%1口藥一；玉。+1口玉)=g再(1口七一1),

因?yàn)?<不<1,故In玉一1<0,故/(玉)<0,

要證：/(石)〉一］，即證5再(in%-1)>一］

即證：In%］-1+—>。在(0,1)上恒成立.

xi

1jr—1

設(shè)/z(x)=lnxH----1,0<x<1,則/(%)=—―<0,

XX

故h(x)在(0,1)上為減函數(shù)，tt/2(x)>A(l)=0gplnx1-l+—>0成立.

X1

綜上，—5<

22

19.已知橢圓C:j+2=l(a〉6〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為《，F(xiàn)2,5為上頂點(diǎn)，離心率為直線巡

與圓4x,+4y2—3=0相切.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)工作直線/與橢圓。交于M，N兩點(diǎn)，

(i)若Mg=2EN(1<2<2),求△MQV面積的取值范圍；

（ii）若/斜率存在，是否存在橢圓C上一點(diǎn)。及X軸上一點(diǎn)P（%,o）,使四邊形PMQN為菱形？若存在,

求％,若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

【答案】（1）上+2L=i

43

飛至3、

（2）（i）;（ii）不存在，理由見解析

1162J

【小問(wèn)1解析】

由已知—=—,

a2

b

而直線3K:y=——x+b即Zzx+①一Z?c=O,

一c

該直線與圓X2+y1=—與相切，則J?.=-一-=，解得5=百,a=2，

4"2+.2