2024年新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 函數(shù)的旋轉(zhuǎn)、兩函數(shù)的對(duì)稱問題與不動(dòng)點(diǎn)問題（九省聯(lián)考模式）

函數(shù)的旋轉(zhuǎn)、兩函數(shù)的對(duì)稱問題與不動(dòng)點(diǎn)問題

【方法技巧與總結(jié)】

1.不動(dòng)點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn)

【一階不動(dòng)點(diǎn)】對(duì)于函數(shù)y=/(o：),定義域?yàn)?，如果存在使得/(//二3,則稱a；。是函數(shù)/(0)的一階不

動(dòng)點(diǎn),簡稱不動(dòng)點(diǎn).

①不動(dòng)點(diǎn)是方程0=/3)的解

②不動(dòng)點(diǎn)是y與y=/3)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

【二階周期點(diǎn)】對(duì)于函數(shù)y=/3),定義域?yàn)?，如果存在啊€/,使得/(/(。0))=。<)且/30)r。0，則稱。0為函

數(shù)人。)的二階周期點(diǎn)

①二階周期點(diǎn)是方程組=f3)的解

②二階周期點(diǎn)是y=f(x)圖像上關(guān)于y=。對(duì)稱(不在夕=。上)的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)

【二階不動(dòng)點(diǎn)】對(duì)于函數(shù)y=/3),定義域?yàn)?，如果存在的C1,使得/(/(%))=00則稱。0為函數(shù)的二階

不動(dòng)點(diǎn)，簡稱穩(wěn)定點(diǎn)

①穩(wěn)定點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn)和二階周期點(diǎn)的并集

②穩(wěn)定點(diǎn)是y=/(0)圖像上關(guān)于y=0對(duì)稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)以及y=/(0)與y的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

2.兩函數(shù)的對(duì)稱問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)問題,常用的方法：

(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍：

(2)分離參數(shù)法:將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用

數(shù)形結(jié)合的方法求解

【典型例題】

0]j_(2024?山東青島?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)將函數(shù)y=二孩一2(。?[—3,3])的圖象繞點(diǎn)(一3,0)逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)a(O&a<6),得到曲線C,對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角a,曲線C都是一個(gè)函數(shù)的圖象，則8最大時(shí)的正切值為

()

A.B.C.1D.A/3

2o

題2(2024.山東濰坊.高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)/3)=ln3+l)Q>0),將函數(shù)/(c)的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)a(ae(0,即)角后得到曲線。，若曲線。仍是某個(gè)函數(shù)的圖象，則9的最大值為()

而13(2024?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(°)=ax-e"與函數(shù)g{x)=a;Ina?+1的圖像上恰有兩對(duì)關(guān)于x

軸對(duì)稱的點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(e—l,+oo)B.(e21,+A)C.[e21,+A)D.(—oo,e—1)

皿￡(2024.山東黃澤?高二山東省鄴城縣第一中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)/Q)=ax—x\n.x與函數(shù)g(x)—e*—1

的圖像上恰有兩對(duì)關(guān)于力軸對(duì)稱的點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.（-oo.l-e］B.C.（-co,l-e）D.（-co,l^-）

曲包（2024.全國?高三專題練習(xí)）對(duì)于連續(xù)函數(shù)fQ）,若fm（））=g,則稱g為〃。）的不動(dòng)點(diǎn).設(shè)/3）=

K，若f3）有唯一不動(dòng)點(diǎn)，且/3o）=不看，%=/（4-1）（72=1,2,…），則02023=.

a（x+2）lUlz

幽g（2024?北京海淀?清華附中?？寄M預(yù)測）對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)/（c）,存在一個(gè)點(diǎn)現(xiàn),使得/（割）

=g,那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，而稱。。為該函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)新定義:若。o滿足/（%）=

一的,則稱g為人的）的次不動(dòng)點(diǎn)，有下面四個(gè)結(jié)論

①定義在式上的偶函數(shù)既不存在不動(dòng)點(diǎn)，也不存在次不動(dòng)點(diǎn)

②定義在式上的奇函數(shù)既存在不動(dòng)點(diǎn)，也存在次不動(dòng)點(diǎn)

③當(dāng)〈卷時(shí)，函數(shù)%）=（I）在［］上僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn).

14alog24-a-2°+10,1

④不存在正整數(shù)館,使得函數(shù)=在區(qū)間［0,1］上存在不動(dòng)點(diǎn)，其中，正確結(jié)論的序號(hào)為

區(qū)）二（2024.廣東揭陽.高三?？茧A段練習(xí)）拓?fù)淇臻g中滿足一定條件的圖象連續(xù)的函數(shù)fQ）,如果存在點(diǎn)的,

使得/（。0）=%，那么我們稱函數(shù)/3）為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，而稱%為該函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)?類比給出新定義:若

不動(dòng)點(diǎn)k0滿足/'（。0）=的，則稱的為/（1）的雙重不動(dòng)點(diǎn).則下列函數(shù)中，①/3）=a?3—a?sina?:②/（。）=e?

—工;③/（乃=丈野二一1具有雙重不動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)為.（將你認(rèn)為正確的函數(shù)的代號(hào)填在橫線上）

x2----------

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2024?安徽池州?高三統(tǒng)考期末）設(shè)。是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集,/3）是定義在。上的函數(shù)，若/（,）的圖象繞

原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)看后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中〃1）的取值只可能是

O

A.V3B.1C.斗D.0

O

2.（2024?貴州貴陽?高一貴陽一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)。是含數(shù)3的有限實(shí)數(shù)集,/（。）是定義在。上的函數(shù)，若

/Q）的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中，/（3）的可能取值只能是（）

A.V3B.3C.-3D.0

3.（2024.上海浦東新?高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考開學(xué)考試）2021年第十屆中國花卉博覽會(huì)舉辦在即，其中，以

“蝶戀花”為造型的世紀(jì)館引人矚目（如圖①），而美妙的蝴蝶輪廓不僅帶來生活中的賞心悅目，也展示了極

致的數(shù)學(xué)美學(xué)世界.數(shù)學(xué)家曾借助三角函數(shù)得到了蝴蝶曲線的圖像，探究如下：

???

圖(1)圖(2)

如圖②，平面上有兩定點(diǎn)O、4兩動(dòng)點(diǎn)B、Q,S.\OA\=\OB\=1,01繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到四所形成的

角記為8,設(shè)函數(shù)/(9)=4?sign(O)-cos^—sin5^(—7t<8<兀)，其中sign{x)=<Oa;=0,令。=/S)，作

\—lxV0

的=0而，隨著8的變化，就得到了點(diǎn)Q的軌跡，其形似“蝴蝶”，則以下4幅圖中，點(diǎn)Q的軌跡(考慮蝴蝶

的朝向)最有可能為()

A

C.D.???

4.（2024-陜西榆林?高三?？茧A段練習(xí)）己知函數(shù)/Q）=a?-m與函數(shù)5（x）=皿工一0,0e2]的圖像上恰

XL2」

有兩對(duì)關(guān)于。軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.（0,2—ln2]B.（0,—+ln2^

C.[—+ln2,2—ln2）D.（—;+ln2/n2]

5.（2024.貴州六盤水.高三?？计谀┮阎瘮?shù)=-x3+axe[^,e]（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與g⑹=31nx

的圖象上存在關(guān)于0軸對(duì)稱的點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.[0>p-+2]B.[0,e3-4]C.[l,e3-3]D.[e3-4,+oo）,

6.（2024.貴州貴陽.高三貴陽一中階段練習(xí)）若函數(shù)y=dT-L—%（Qe/e}e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與

y=1—31n。的圖象上存在兩組關(guān)于。軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.（0,々+2]B.[0,e3-4]C.（^-+2,e3-4jD.（J+2,+oo）

7.（2024.湖北.校聯(lián)考二模）已知函數(shù)/Q）=a—為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與g3）=21n。的圖象上

存在兩組關(guān)于。軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（l,e2—2]B.（L-^+2]C.+2,e2—2）D.[W+2,e?-2]

8.（2024.全國.高三專題練習(xí)）函數(shù)y=/Q）定義在五上，已知?二人勸的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后不變，則關(guān)于

方程/（。）=，的根，下列說法正確的是（）

A.沒有實(shí)根B.有且僅有一個(gè)實(shí)根C.有兩個(gè)實(shí)根D.有兩個(gè)以上的實(shí)根

9.（2024?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/Q）=/+m與函數(shù)gQ）=—ln十一6的圖象上

至少存在一對(duì)關(guān)于。軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是（）

A.[:_+ln2,2]B,[2—ln2,+ln2jC.+ln2,2+ln2]D.[2—ln2,2]

10.（2024.青海海南.高三校聯(lián)考期末）己知函數(shù)/（8）=ln（—x）與函數(shù)g（a?）=e?—（e—l）x—a的圖象上存在關(guān)

于2/軸對(duì)稱的點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.（0,e）B.[1,+QO）C.[e,+8）D.f-,4-oo^

IL（2024.全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（?）=ex-j-（xV0）與g（x）=ln（x+a）的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱

的點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

B.(O.Ve)C（一+㈤口.（-北七）

12.（2024.湖北.高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定

理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊

茲?布勞威爾，簡單的講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)/3）,存在一個(gè)實(shí)數(shù)與，使得f（g）=3,那么我

們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，。0為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).設(shè)函數(shù)/3)=eki+eif+/—土+a,aER.若/(°)在區(qū)

間(0,3)上存在不動(dòng)點(diǎn)，則a的取值范圍是()

A.(—62—e-2—3,—1]B.[—e2—e-2,-1]

C.[―e2—e-2—7,—e—e-1]D.(—e2—e-2—5,—e—e-1]

13.(2024.山東芮澤?統(tǒng)考一模)定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)g=/3),如果m的￡R,使得/Qo)=g,則稱g為函

數(shù)/(勿)的不動(dòng)點(diǎn).給定函數(shù)/(1)=cos?,g(o)=sini,已知函數(shù),/(gQ)),g(f(x))在(0,1)上均存在

唯一不動(dòng)點(diǎn)，分別記為孫。2心3，則()

A.x3>Xi>x2B.02>的>的C.x^>a?i>x3D.x^>x^>xi

14.(2024.河南開封.統(tǒng)考一模)在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可

應(yīng)用到有限維空間，并且是構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.簡單地講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)

/Q),存在點(diǎn)g,使得/(g)=g,那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).若函數(shù)/3)=儀加。Tnc)為“不動(dòng)

點(diǎn)”函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-oo,0]B.(-85]C.(-00,1]D.(-co,e]

15.(2024.全國高三專題練習(xí))對(duì)于函數(shù)fQ),若/Q)=。,則稱。為/(⑼的“不動(dòng)點(diǎn)”，若/(/Q))=。,則稱。

為73)的“穩(wěn)定點(diǎn)”，記A=｛磯^3)=。｝,3=｛同/(/(°))=。｝,則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.對(duì)于函數(shù)/(0)=3；,有人=8成立

B.若/Q)是二次函數(shù)，且A是空集，則B為空集

C.對(duì)于函數(shù)/⑺=借『，有A=B成立

D.對(duì)于函數(shù)/3)=立，存在be(0,+oo),使得A=B成立

X

16.(2024?全國?高三專題練習(xí))對(duì)于函數(shù)/⑺，若/(如)=的，則稱為為函數(shù)/⑺的“不動(dòng)點(diǎn)”;若/(/3o))=3,

則稱。o為函數(shù)/(。)的“穩(wěn)定點(diǎn)如果函數(shù)f(0)=1+a(ae五)的“穩(wěn)定點(diǎn)”恰是它的“不動(dòng)點(diǎn)”，那么實(shí)數(shù)

a的取值范圍是()

A-00，

-(T]B.(-y,+co)c.(―多,D.[―多/]

17.(2024.全國.高三專題練習(xí))若存在一個(gè)實(shí)數(shù)t,使得尸(t)=土成立，則稱t為函數(shù)尸Q)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).設(shè)函

數(shù)gQ)=e"+(l-近)±-a(aCR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，定義在R上的連續(xù)函數(shù)/(°)滿足/(一⑼+/Q)

=/,且當(dāng)G40時(shí)，尸(a:)Vrc.若存在幽)€*f(x)+￡?—sc)+0｝,且為為函數(shù)g(sc)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(-℃,-|-)B.[李,+oo)C.D.(乎,+00)

二、多選題

18.(2024?安徽六安?高三六安一中?？计谀?在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)

點(diǎn)定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾，簡單地講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)/3),存在一

個(gè)點(diǎn)初,使得/(與)=就，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，而稱為為該函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，依據(jù)不動(dòng)點(diǎn)

理論，下列說法正確的是()

A.函數(shù)f(?)=sina;：有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)???

B.函數(shù)/3)=ai2+bi+c(awo)至多有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)

C.若函數(shù)/(a?)=ai2+bc+c(aW0)沒有不動(dòng)點(diǎn),則方程/(/(3?))=。無實(shí)根

D.設(shè)函數(shù)/(①)=y/ex+x—a(aER,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若曲線夕=sino:上存在點(diǎn)(g,'o)使/(/(%))=

珈成立，則a的取值范圍是［1句

19.(2024.全國?高三專題練習(xí))將函數(shù)人Q)=優(yōu)3>0)的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角火8￡(0,兀］),得

到曲線C,若曲線C仍然是一個(gè)函數(shù)的圖像，則8的可能取值為()

A.yB.yC.苧D.7C

20.(2024.新通克孜勒蘇.高三統(tǒng)考期末)在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理可應(yīng)用到有限維空間,是構(gòu)成一般不

動(dòng)點(diǎn)定理的基石,它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾(L.E.J.Brouwer)，簡單地講，就是對(duì)于滿足一定

條件的連續(xù)函數(shù)/(。),存在一個(gè)點(diǎn)頊，使得九就)=3,那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列函數(shù)是“不

動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是()

A./(a?)=a?—x—3B.f(x)=C./(?)=a?2+2D.f(x)=|log2as|-1

21.(2024?廣東珠海?高三?？计谀?布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它得名于荷

蘭數(shù)學(xué)家布魯伊?布勞威爾，簡單地講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)/Q),存在一個(gè)定點(diǎn)期,使得/(與)

=的，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，而稱。。為該函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中正確的有()

A.函數(shù)/3)=lnQ+l)是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)B.函數(shù),3)=，一。一3的不動(dòng)點(diǎn)為一L和3

C.函數(shù)=的導(dǎo)函數(shù)是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)D.函數(shù)〃0)=^+。的導(dǎo)函數(shù)不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)

22.(2024?全國?高三專題練習(xí))(多選)在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理可應(yīng)用到有限維空間，是構(gòu)成一般不動(dòng)

點(diǎn)定理的基石,它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾(L.E.J.Brouwer)，簡單地講,就是對(duì)于滿足一定條

件的連續(xù)函數(shù)f(±),存在一個(gè)點(diǎn)陽)，使得/(如)=0°,那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列函數(shù)是“不動(dòng)

點(diǎn)”函數(shù)的是()

A./(□?)=2x+xB.f(x)=x2—x—3C./(?)=—7+1D.f(x)=|log2a?|-1

三、填空題

23.(2024?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)y=ya;-l+yx-2+1.

(1)該函數(shù)的最小值為；

⑵將該函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角的<64/得到曲線C.若對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角小曲線C

都是一個(gè)函數(shù)的圖象，則8的取值范圍是.

24.(2024?浙江溫州?統(tǒng)考一模)將函數(shù)y=J'。一+|1。一+1的圖像繞原點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角

《字)得到曲線C若對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角仇曲線C都是一個(gè)函數(shù)的圖像，則9的取值范圍是

25.(2024.四川攀枝花.高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(□?)=e”-2(/V0)與g(a)=ln(6+a)的圖象上存在關(guān)于y軸

對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

26.(2024.全國.高三專題練習(xí))曲線夕=hue繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的曲線的方程為

27.(2024.寧夏銀川高三?？茧A段練習(xí))在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)(一個(gè)數(shù)學(xué)分支)里一個(gè)非常

重要的定理，簡單的講就是對(duì)于滿足一定條件的圖象為連續(xù)不斷的函數(shù)/Q),存在一個(gè)點(diǎn)的，使得/(g)=

用，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的有(填寫序號(hào))

①/3)=i+i

②/⑺=——rr,a?>0

x

③/3)=①2—1+3

④/3)=logy

~2

函數(shù)的旋轉(zhuǎn)、兩函數(shù)的對(duì)稱問題與不動(dòng)點(diǎn)問題

【方法技巧與總結(jié)】

1.不動(dòng)點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn)

【一階不動(dòng)點(diǎn)】對(duì)于函數(shù)y=/（o：）,定義域?yàn)?，如果存在使得/（//二3,則稱a；。是函數(shù)/（0）的一階不

動(dòng)點(diǎn),簡稱不動(dòng)點(diǎn).

①不動(dòng)點(diǎn)是方程0=/3）的解

②不動(dòng)點(diǎn)是y與y=/3）圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

【二階周期點(diǎn)】對(duì)于函數(shù)y=/3）,定義域?yàn)?，如果存在啊€/,使得/（/（。0））=。<）且/30）r。0，則稱。0為函

數(shù)人。）的二階周期點(diǎn)

①二階周期點(diǎn)是方程組=f3）的解

②二階周期點(diǎn)是y=f（x）圖像上關(guān)于y=。對(duì)稱（不在夕=。上）的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)

【二階不動(dòng)點(diǎn)】對(duì)于函數(shù)y=/3）,定義域?yàn)?，如果存在的C1,使得/（/（%））=00則稱。0為函數(shù)的二階

不動(dòng)點(diǎn)，簡稱穩(wěn)定點(diǎn)

①穩(wěn)定點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn)和二階周期點(diǎn)的并集

②穩(wěn)定點(diǎn)是y=/（0）圖像上關(guān)于y=0對(duì)稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)以及y=/（0）與y的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

2.兩函數(shù)的對(duì)稱問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）問題,常用的方法：

（1）直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍：

（2）分離參數(shù)法:將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用

數(shù)形結(jié)合的方法求解

【典型例題】

題1（2024.山東青島.高三統(tǒng)考開學(xué)考試）將函數(shù)"=（13—。2—2（。61—3,3］）的圖象繞點(diǎn)（一3,0）逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)a（O&a<6）,得到曲線C,對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角a,曲線C都是一個(gè)函數(shù)的圖象，則8最大時(shí)的正切值為

（）

A.B.C.1D.A/3

2o

【答案】B

【解析】由y=V13—sc2—2（x€［―3,3］）,得y>0,

x2+（y+2>=13,則函數(shù)的圖像是以4/（0,-2）為圓心的圓的一部分,

先畫出函數(shù)y=J13—1一2（］€［—3,3］）的圖象，

這是一個(gè)圓弧AB,圓心為八/（0,—2）,如圖所示，

由圖可知當(dāng)此圓孤繞點(diǎn)（一3,0）逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角大于NAL4B時(shí),

曲線C都不是一個(gè)函數(shù)的圖象，

即當(dāng)圓心M（0,-2）在x軸上時(shí),

所以8最大值即為乙

tan/AL4B=t-,所以"最大時(shí)的正切值為義.

OO

故選：B.

吼2(2024.山東濰坊?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(。)=1113+1)3>0),將函數(shù)/3)的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)a(ae(0,即)角后得到曲線C,若曲線C仍是某個(gè)函數(shù)的圖象，則6的最大值為()

A，4B.子C.vD.左

6432

【答案】B

【解析】因?yàn)閒[x}=111(?+l)(x>0),所以，3)=-^―，則，(0)=L

X-T1

即函數(shù)/(B)=ln(<c+1)在原點(diǎn)的切線3/的斜率k=l,所以NAQc=?

由圖可知：當(dāng)函數(shù)圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)的角8大于■^一ZWC比時(shí)，

旋轉(zhuǎn)所得的圖象與2/軸就會(huì)存在兩個(gè)交點(diǎn)，

此時(shí)曲線。不是函數(shù)的圖象，故6的最大值是彳■—&Q=?

⑸3(2024.江西.校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(c)=a。-e"與函數(shù)g(a;)=rein。+1的圖像上恰有兩對(duì)關(guān)于x

軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(e-l,+oo)B.(當(dāng)工+8)C.[與±+8)D.(-oo,e-l)

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/3)與g(。)的圖像上恰有兩對(duì)關(guān)于。軸對(duì)稱的點(diǎn)，所以一/(6)=g(c)，即^—ax=x\nx

+1有兩解，則a=e-1強(qiáng)4有兩解，令八㈤=e一二0T,則超Q)=@-1)絲甘,所以當(dāng)。e

XXX

(0,1)時(shí)，h!(x)V0;當(dāng)/W(1,+oo)時(shí)，〃3)>0;所以函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(L+8)上單調(diào)遞

增；所以h(x)在a?=1處取得極小值，所以/i(l)=e—1,所以a>e—1,a的取值范圍為(e—1,4-ao).

故選：A.

的14(2024?山東蒲澤?高二山東省鄴城縣第一中學(xué)校考期末)已知函數(shù)/3)=ax—xlnx與函數(shù)g(x)=e?-1

的圖像上恰有兩對(duì)關(guān)于。軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(—oo,l—e]B.(-8,12e]C.(―oo,l—e)D.(-8,1？二)

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(。)與g3)的圖像上恰有兩對(duì)關(guān)于。軸對(duì)稱的點(diǎn)，

所以一/Q)=g(。)，

即一ar+xlnx=e*-1有兩解，???

所以a=辿些二式土L有兩解,

X

X

則八，3)二里羋二

X

所以當(dāng)(o,i)時(shí)，八'3)>o,此時(shí)函數(shù)從⑼在(0,1)上單調(diào)遞增;

當(dāng)。e(1,+QO)時(shí)，M(I)VO,函數(shù)人3)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以從勿)在啰=1處取得極大值，/i(l)=1—e,

且°E(0,1)時(shí),h(x)的值域?yàn)?—QO,1—e),

xC(1,+co)時(shí)，h(x)的值域?yàn)?―QO,1—e),

因此a=?坦”二更士L有兩解時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,1—e),

X

故選：C.

幽2(2024.全國.高三專題練習(xí))對(duì)于連續(xù)函數(shù)”0),若〃為)=。0,則稱如為f3)的不動(dòng)點(diǎn).設(shè)/3)=

,"c'，若/(”)有唯一不動(dòng)點(diǎn)，且=市焉，H”=/3cT)m=L2,…)，則42023=.

a(x+2)lUlz

［答案］^_

2023

【解析】由/3)有唯一不動(dòng)點(diǎn)，即方程―——=□?有唯一解，即aa?2+(2a—l)x=O有唯一解,

a(x+2)

所以A=(2a—I)?—4aX0=0,解得a==，所以/(a?)=—^―

2x-rz

又由g=價(jià)1)5=1，2,…)，可得。產(chǎn)妥，所以」-=--+看

*^n—l

從而是一個(gè)公差為4的等差數(shù)列，首項(xiàng)為二-==一=1012,

I%J2的f(XQ)

所以2=1012+個(gè),所以土=1012+號(hào)1=2023電廿壺

1

故答案為：

2023

國色(2024?北京海淀?清華附中?？寄M預(yù)測)對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)/3),存在一個(gè)點(diǎn)?！?，使得/(你)

=叼,那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，而稱。。為該函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)新定義:若。o滿足/(。。)=

一劭,則稱g為/(如)的次不動(dòng)點(diǎn)，有下面四個(gè)結(jié)論

①定義在R上的偶函數(shù)既不存在不動(dòng)點(diǎn)，也不存在次不動(dòng)點(diǎn)

②定義在7?上的奇函數(shù)既存在不動(dòng)點(diǎn)，也存在次不動(dòng)點(diǎn)

③當(dāng)14a《1■時(shí)，函數(shù)f?=喀(戶a-2°+1)在［0,1］上僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn).

④不存在正整數(shù)館,使得函數(shù)/但)=“^于二二在區(qū)間［0,1］上存在不動(dòng)點(diǎn)，其中，正確結(jié)論的序號(hào)為

【答案】②③

【解析】對(duì)于①:取函數(shù)/(。)=i,/(0)=0,0既是/(c)的不動(dòng)點(diǎn)，又是/Q)的次不動(dòng)點(diǎn)，故①錯(cuò)誤;

對(duì)于②:定義在式上的奇函數(shù)滿足1(0)=0,故②正確；

對(duì)于③：當(dāng)log2(4°-a-爐+1)=c時(shí)，4"-a-2"+1=2)即a=21+—-1.

2?

令2°=t,te［1,2］,.?.a=￡+1—1在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，a=2“+」--1在［0,1］上單調(diào)遞增，滿足

土2^

log2(4?—a?2。+1)=°有唯一：

當(dāng)log2(4°-a-乎+1)=~x時(shí)，.?.4?-a-2X+1=?！黾碼=2°+春一

令2°=t,te［1,2］,.?.Q==+=-2在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，a=2"+士一一"在［0,1］上單調(diào)遞增，滿

tt22"2為

足logi(4。一a-2"+1)=°有唯一解；綜上14■時(shí)函數(shù)/(sc)在［0,1］上僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)次不動(dòng)

點(diǎn)，故③正確；

對(duì)于④:假設(shè)函數(shù)fQ)=——a在區(qū)間［0,1］上存在不動(dòng)點(diǎn),則f(①)=①在［0,1］上有解，即a=e'

―??—丫在［0,1］上有解，令m(x)=ex—??—x,則rn(x)=e］一3—2a?,再令n(x)=ex——2a?,則n

3)=e”一2,令MQ)=0,解得x=ln2，所以n(x)在(O,ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2,l)上單調(diào)遞增，

所以m(o)min=n(ln2)=2——21n2=~^—21n2=lney—ln4=InV?-lnV16>0,

所以m'Q)>0在［0,1］上恒成立，所以m(c)在［0,1］上單調(diào)遞增，

3

所以m(x)n^n=m(0)=1,m(x)max=7n⑴=e一歹，

所以實(shí)數(shù)a滿足l<a<e—微■，存在正整數(shù)a=l滿足條件，故④錯(cuò)誤：

故答案為：②(⑨

吼工(2024?廣東揭陽?高三校考階段練習(xí))拓?fù)淇臻g中滿足一定條件的圖象連續(xù)的函數(shù)/(/),如果存在點(diǎn)。。,

使得/3o)=如，那么我們稱函數(shù)/(。)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，而稱如為該函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).類比給出新定義:若

不動(dòng)點(diǎn)工0滿足f3o)=%則稱工0為/3)的雙重不動(dòng)點(diǎn).則下列函數(shù)中，①/3)=a?3—rrsina;；②f(x)=e*

一工:③/(。)=度護(hù)一1具有雙重不動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)為.(將你認(rèn)為正確的函數(shù)的代號(hào)填在橫線上)

【答案】①③

【解析】對(duì)于①,f(x)=①3—csinrr,a?eR,所以f(a?)=3a;2—sina?—xcosx,

又3則勿是的雙重不動(dòng)點(diǎn)；

f(0)=0—OsinO=0,/(0)=3x0—sinO—Oxcos0=0,=0/Q)=e*—x―

對(duì)于②,/3)=e"——,xE(—oo,0)U(0,+00),/*(6)=6°+±,令0(1)=6”+±-1,

xxx

當(dāng)a?>0時(shí)，由基本初等函數(shù)圖象易知e”>①,所以■-y—c>0,當(dāng)iVO時(shí)，eaH■-g—a?>0顯然成立，

xx

所以不存在物,使得/'(%)=］(),故函數(shù)/3)=e?——不是具有雙重不動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)；

x

對(duì)于③,/(。)=e：e"—I.meR,則#(/)=苣％二又f(o)=_g^2-i=o,f(o)=_g^2=o,所

?1

以c=0是函數(shù)f(e)=------------1的雙重不動(dòng)點(diǎn)；

綜上，具有雙重不動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)是①③.

故答案為：①

【過關(guān)測試】

一、單選題

?A

1.(2024.安徽池州.高三統(tǒng)考期末)設(shè)。是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集,/Q)是定義在。上的函數(shù)，若f(rc)的圖象繞

原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中/(1)的取值只可能是

O

A.V3B.1C.卒D.0

O

【答案】B

【解析】由題意可得：

問題相當(dāng)于圓上由6個(gè)點(diǎn)為一組,每次繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)告?zhèn)€單位后與下一個(gè)點(diǎn)會(huì)重合.

O

設(shè)/(兀)處的點(diǎn)為4,

?."3)的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為后與原圖象重合，

旋轉(zhuǎn)后A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2也在f(x)的圖象上，

同理42的對(duì)應(yīng)點(diǎn)43也在圖象上，

以此類推，/3)對(duì)應(yīng)的圖象可以為一個(gè)圓周上6等分的6個(gè)點(diǎn)，

當(dāng)/(1)=/時(shí)，即4(1,4)，此時(shí)A5(l,—/)，不滿足函數(shù)定義；

當(dāng)/(I)=時(shí)，即此時(shí)46(1，—殍不滿足函數(shù)定義；

當(dāng)/(1)=0時(shí),即4(1,0),此時(shí)闋/,苧*),4傳,—,不滿足函數(shù)定義；

故選B.

2.(2024.貴州貴陽.高一貴陽一中?？茧A段練習(xí))設(shè)。是含數(shù)3的有限實(shí)數(shù)集是定義在。上的函數(shù)，若

/3)的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中，/(3)的可能取值只能是()

A.V3B.3C.-3D.0

【答案】A

【解析】

夕念、、

_____________

圖i???

對(duì)于A項(xiàng)，若/(3)=/§,則構(gòu)造如圖1的函數(shù)圖象，

使得點(diǎn)Ai(3,/)，根據(jù)定義可得圖象上不存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn),

符合函數(shù)的定義，所以/(3)的取值可能是故A正確；

必

4d______________'；4>

-―\o：X

\\f!

分、、、/'小

A6

圖2

對(duì)于B項(xiàng)，若/(3)=3,構(gòu)造如圖2的函數(shù)圖象，

使得點(diǎn)4(3,3),根據(jù)定義可推得點(diǎn)A(3,-3),

所以有/(3)=—3,不符合函數(shù)的定義，故B錯(cuò)誤；

必

幺，，/、'、、43

______________

\O；x

、、I<

分、、、/'小

4

圖3

對(duì)于。項(xiàng)，若/(3)=—3,構(gòu)造如圖3的函數(shù)圖象，

使得點(diǎn)4(3,—3),根據(jù)定義可推得點(diǎn)4(3,3),

所以有/(3)=3,不符合函數(shù)的定義，故C錯(cuò)誤；

yk

43

施/1一、'、42

AJ______________U

\O]；~~

圖4

對(duì)于。項(xiàng)，若f(3)=0,構(gòu)造如圖4的函數(shù)圖象，

使得點(diǎn)A(3,0),根據(jù)定義可推得則點(diǎn)A2(3,3),所以f(3)=3.

又力8(3,-3),所以f(3)=-3,不符合函數(shù)的定義，故。錯(cuò)誤.

故選：A.

3.(2024?上海浦東新?高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？奸_學(xué)考試)2021年第十屆中國花卉博覽會(huì)舉辦在即，其中，以

“蝶戀花”為造型的世紀(jì)館引人矚目(如圖①)，而美妙的蝴蝶輪廓不僅帶來生活中的賞心悅目，也展示了極

致的數(shù)學(xué)美學(xué)世界.數(shù)學(xué)家曾借助三角函數(shù)得到了蝴蝶曲線的圖像，探究如下:

圖⑴圖(2)

如圖②，平面上有兩定點(diǎn)O、A,兩動(dòng)點(diǎn)B、Q,且|瓦5|=|海|=1,淀繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到無所形成的

件c＞0

角記為8,設(shè)函數(shù)f(6)=4?s加(8)?cosj—sin5夕(一兀＜9＜兀)，其中sign{x)=(()/=0,令p=/(9),作

\—lxV0

的=p3§,隨著夕的變化，就得到了點(diǎn)Q的軌跡，其形似“蝴蝶”，則以下4幅圖中，點(diǎn)Q的軌跡(考慮蝴蝶

的朝向)最有可能為()

A.B.

Q

o

「TAT

C.D.

【答案】B

【解析】先考慮與瓦4共線的蝴蝶身方向，

令夕=兀，則/(7T)=4?sign(7t)?COSTT-sin5兀=—4,所以O(shè)Q=-403=4OA,

令8=一兀，則/(—7：)=4?sign(—n)?cos(—7C)—sin(—5乃)=4,所以O(shè)Q=4OB=-4OA,

所以排除47,

先考慮與工(垂直的蝴蝶身方向，

令8=1■，則/(年)=4?s怎n(卞)一sim^=—1,所以3^=—55,所以排除D,

故選：B

4.(2024?陜西榆林?高三校考階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=a^-m與函數(shù)g(x)=足!一C2〕的圖像上恰

XL2」

有兩對(duì)關(guān)于。軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.(0,2—ln2]B.(0,—+ln2J

C.[—~+ln2,2—ln2)D.(—+In2,ln2j

【答案】B

【解析】函數(shù)/Q)=x2—m關(guān)于c軸對(duì)稱的函數(shù)為h{x)=—/(a?)=—l+m,

根據(jù)題意八(1)和g(i)在覆，2]上有兩個(gè)交點(diǎn)，

即—rr2+m=In——cc,所以m=a72—Ina7—cc,

x

令h(x)=re2—Inrc—x,

由折㈤=2rc---1=巡-史二J,

XX

令=0,可得憶=1或;r=―今

故當(dāng)c￡時(shí)，h㈤VO,h(x)為減函數(shù),

當(dāng)一￡[1,2]時(shí),h!(x)>09h(x)為增函數(shù)，

由從/)=1_/_lny=一十+ln2V1,

/i(l)=l-0-l=0,/i(2)=4-2-ln2=2-ln2>l,???

所以zn￡(0,―:+ln2j時(shí)Tn=x2—lnx—°有兩解,

故選：B

5.(2024.貴州六盤水.高三?？计谀?已知函數(shù)/?=—x3-^-axe是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))與g(a)=31ni

的圖象上存在關(guān)于C軸對(duì)稱的點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.+B.[0,e3—4]C.[l,e3—3]D.[e3—4,+oo),

【答案】C

【解析】由已知，得到方程a—d=-31na?Q—a=31nc-d在e]上有解.

設(shè)f(x)=31nx—a?,求導(dǎo)得：Q)=——3x2=—也~,

xx

.,J'(c)=0在6=1有唯一的極值點(diǎn)，

e

,?"(七)=一3-[J(e)=3-e?J3)極大值={1)=-1,

且知/(e)</(!)，

故方程一a=21na;—I在上有解等價(jià)于3—e'&-a&-1.

從而a的取值范圍為[l,e3—3].

故答案為C.

6.(2024.貴州貴陽.高三貴陽一中階段練習(xí))若函數(shù)y=d—Yr-&,((°Cge],e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))與

y=a?—31n。的圖象上存在兩組關(guān)于。軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.(0,4-+2]B.[0,e3-4]C.(^-+2,e3-4jD.(J+2,+8)

【答案】A

【解析】根據(jù)題意得到x3—^2—1—a=—(a?2—31nrr)=—a?24-31na?,這個(gè)方程由兩個(gè)不同的根，變量分離得到a

=x3—l—31ni=g(a;),g{x)=3、1n勺=]是導(dǎo)函數(shù)的根，函數(shù)在故函數(shù)先減

3

后增，且g(^r)min=g⑴=0;=2+WVg(e)=e—4,則使得兩個(gè)函數(shù)g=a和g(1)有兩個(gè)交點(diǎn)只

需,aC(0,g(割

即(0,卷+斗

故答案為4.

7.(2024?湖北?校聯(lián)考二模)已知函數(shù)/(。)=。一。2(《。46,6為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))與93)=21110的圖象上

存在兩組關(guān)于/軸對(duì)稱的點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(l,e2—2]BO,5+2]C.(4~2,e2—2D.+2,e?-2]

【答案】B

【解析】由題意知，a—/+21H/=0在[}可上有兩個(gè)解，則a=a;2—21nrr,???

令h(x)—IT?—21n①,xEF—,el,貝Uh![x)=2力——=———,

Le」xx

令八'3)<0=>工</<1,令//3)>O=lVa?4e,

e

得以。)在(pl)單調(diào)遞減，(l,e)上單調(diào)遞增，

又7i(l)—l,/i(e)—e2—2,h(/)―+2,

所以1Va4+2.

e

故選：B.

8.(2024?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)夕=/Q)定義在R上，己知V=/(。)的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。后不變，則關(guān)于

方程的根，下列說法正確的是()

A.沒有實(shí)根B.有且僅有一個(gè)實(shí)根