2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期（蘇科版）期中復(fù)習(xí)06：圓周角、直線與圓、正多邊形與圓

圓周角、直線與圓、正多邊形與圓專題復(fù)習(xí)二

知識點1:圓周角概念

知識點2:圓周角定理

知識點3:同弧或等弧所對的圓周角相等

知識點4:半圓（直徑）所對的圓周角是90。

知識點5:圓內(nèi)接四邊形

,知識點1:切線定義辨析

「知識點2:切線性質(zhì)定理

J知識點3:切線判定

I知識點4:切線綜合應(yīng)用

知識點1：正多邊形與圓相關(guān)計算

考點三：正多邊形與圓知識點2:正多邊形與圓綜合應(yīng)用

知識點3:尺規(guī)作圖應(yīng)用

【考綱解析】

圓周角內(nèi)容的考察比較多，可以是基礎(chǔ)題，也可以是壓軸題，在平時考試中基礎(chǔ)題一般都是簡單的圓

周角定理和同弧所對圓周角問題或直徑所對圓周角問題比較多，主要是讓學(xué)生理解知識點同時應(yīng)用就容易

解決，但是在中等題和壓軸題上，對于內(nèi)接四邊形以及隱圓、圓的翻折中應(yīng)用比較多，同時也作為圓綜合

應(yīng)用的基本工具和手段，要求學(xué)生不但要熟練掌握基礎(chǔ)知識，還要靈活的變通解決，所以掌握圓周角的問

題是學(xué)生學(xué)好圓的基礎(chǔ)哦

直線與圓內(nèi)容的考察也比較多，選擇、填空、解答題、壓軸題都會考察，基礎(chǔ)題中一般都是切線的證

明和切線長定理的基礎(chǔ)應(yīng)用，要求學(xué)生能證明切線，應(yīng)用切線長定理求解三角形周長等問題；在中等題和

壓軸題圓的切線問題考察比較多，近幾年考試（期中或期末、中考）都比較?？嫉木褪菆A的切線和一次函

數(shù)問題，同時結(jié)合動點考察，綜合應(yīng)用能力比較強(qiáng)，要讓學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)靈活應(yīng)用，有時還伴隨

著新定義的題型，所以直線與圓必須掌握的同時，也要逐步的延伸拓展知識

正多邊形與圓內(nèi)容考察也是重點，主要考察的是在圓心角圓周角、多邊形邊長等為基礎(chǔ)題，中等題一

般是幾何作圖或者跟三角形結(jié)合的綜合應(yīng)用，相對來說考察內(nèi)容屬于兩極分化現(xiàn)象，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)上，

要想圓的知識掌握的更好，在考試中不丟分，那就要求學(xué)生必須熟練掌握

【考點一：圓周角】

1.（2022秋?湖北武漢?九年級校考期中）如圖，將△ABC繞點8順時針旋轉(zhuǎn)a角度得到ADBE,邊DE,DB分

別交力C交于N,若BM=BN,ZX=48°,則角a的度數(shù)是（）

D.

A.22°B.28°C.30°D.35°

2.（2023秋?江蘇鹽城?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，將。。沿弦折疊，點C在弧4nB上，點。在弧人B

上，若=70°,則=（）

A.70°B.110°C.125°D.140°

3.（2023秋?江蘇連云港?九年級校考階段練習(xí)）圖1為一圓形紙片，A、B、C為圓周上三點，其中AC為直

徑，以為折線將紙片向右折疊，紙片蓋住部分的ZC,且至交/C于點D,如圖2所示，若此為37。，則加

4.（2023秋?江蘇?九年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y）如圖,是O。的直徑，點A在。。上,4。1BC,

垂足為。，AE=AB,BE、AC的延長線交于點G,的延長線交BE于點廠，若BG=10,BD-DF=1,

5.（2023?江蘇?統(tǒng)考中考真題）在四邊形4BCD中，AB=BC=2,乙4BC=120。,即7為N4BC內(nèi)部的任一條射

線（NC8H不等于60。），點C關(guān)于的對稱點為L,直線4C'與交于點F,連接CC'、CF,則△CLF面積

的最大值是.

6.（2023秋?江蘇揚州?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個非

直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑.

⑴如圖①，在損矩形ZBCD中，^ABC=AADC=90°,則該損矩形的直徑是線段一.

（2）在圖①中線段AC上確定一點P,使損矩形的四個頂點都在以點P為圓心的同一個圓上（即損矩形的四個

頂點在同一個圓上），請作出這個圓，并說明你的理由.（尺規(guī)作圖不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）

（3）如圖②，在AABC中，ZXBC=90°,以AC為一邊向三角形外作菱形2CEF,。為菱形4CEF的中心，連接

BD,當(dāng)BD平分N28C時，2B=2,BD=40.求BC的長.

7.（2023秋?江蘇宿遷?九年級沐陽縣懷文中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1,A/IBC內(nèi)接于。0,

若“=60°,弦AB=4V3,則半徑r=；

（2）【問題探究】如圖2,四邊形4BCD的四個頂點均在。。上，若N4DC=60。，AD=DC,點B為弧力C上

一動點（不與點4,點C重合）.

求證：AB+BC=BD-,

⑶【解決問題】如圖3,一塊空地由三條直路（線段2D、AB、BC）和一條道路劣弧CD圍成，已知CM=

=B千米，NDMC=60。，CO的半徑為1千米，市政府準(zhǔn)備將這塊空地規(guī)劃為一個公園，主入口在點

M處，另外三個入口分別在點C、￡＞、P處，其中點P在C。上，并在公園中修四條慢跑道，即圖中的線段DM、

MC、CP、PD,某數(shù)學(xué)興趣小組探究后發(fā)現(xiàn)C、P、。、M四個點在同一個圓上，請你幫他們證明C、P、。、

/四點共圓，并判斷是否存在一種規(guī)劃方案，使得四條慢跑道總長度（即四邊形DMCP的周長）最大？若存

在，求其最大值；若不存在，說明理由.

8.（2023秋?江蘇南京?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知線段4B和直線I,在直線［上求作點P,使得NAPB分

別為①90。；②30。；③120。，（都用尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡）.

圖①圖②圖③

9.(2023秋?江蘇?九年級專題練習(xí))已知：A、8為圓上兩定點，點C在該圓上，NC為所對的圓周角.

知識回顧

(1)如圖①，。。中，B、C位于直線2。異側(cè)，N&OB+NC=135。.

①求NC的度數(shù)；

②若O。的半徑為5,AC=8,求8c的長；

逆向思考

(2)如圖②，P為圓內(nèi)一點，且乙4PB<120。，PA=PB,乙APB=24求證：尸為該圓的圓心；

拓展應(yīng)用

(3)如圖③，在(2)的條件下，若N4PB=90。，點C在OP位于直線4P上方部分的圓弧上運動.點。在OP

上，滿足CD=/CB-C4的所有點。中，必有一個點的位置始終不變.請證明.

10.(2023秋?江蘇?九年級專題練習(xí))如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識后，對等腰直角三角形進(jìn)行了

探究，在等腰直角三角形4BC中，C4=CB/C=90。，過點B作射線垂足為B,點P在CB上.

圖③

如圖②，若點P在線段C8上，畫出射線P4并將射線24繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。與8。交于點E,根據(jù)題意在圖

中畫出圖形，圖中NPBE的度數(shù)為.度;

(2)【問題探究】

根據(jù)(1)所畫圖形，探究線段P4與PE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)【拓展延伸】

如圖③，若點P在射線CB上移動，將射線PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。與BD交于點E,探究線段84,BP,BE之間

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【考點二：直線與圓】

1.（2023秋?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，PA,PB分別與。。相切于4、B,NP=70。，C為。。上一點,

則N4CB的度數(shù)為（）

C.125°D.130°

2.（2023秋?江蘇鹽城?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，。力是O。的半徑，BC是。。的弦，0418C于點D

4E是。。的切線，4E交OC的延長線于點E.若NAOC=45。，BC=2,則線段4E的長為.

3.（2023秋?江蘇南京?九年級南京民辦實驗學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在矩形A8CD中，已知AB=6,BC=4,

以CD為直徑作。0,將矩形4BCD繞點C旋轉(zhuǎn)，使所得矩形4次。）的邊4次與。。相切，切點為M,邊CD，與

。。相交于點N,貝UCN的長為

4.（2023秋?江蘇南京?九年級南京民辦實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，切線P4PB分別與O。相切于點4、

B,切線EF與。。相切于點C,且分別交P4、PB于點E、F,若APEF的周長為12,則線段P4的長為.

5.（2022秋?江蘇連云港?九年級灌云縣實驗中學(xué)?？计谀﹩栴}背景：在RtANBC中，乙4=90。，AB=AC,

由勾股定理可知：BC=42AB.

（1）問題探究：如圖①，BC是。。的直徑，點力在。。上，AB=AC,P為弧BmC上一動點（不與B,C重合）,

求證：&P4=PB+PC.請你根據(jù)圖中所給的輔助線，寫出具體作法并完成證明過程.

⑵類比遷移：如圖②，。。的半徑為4,點4B在。。上，C為。。內(nèi)一點，AB=AC,AB1AC,垂足為4,

求OC的最小值.

6.（2023秋?江蘇泰州?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）小明在學(xué)習(xí)了《圓周角定理及其推論》后，有這樣的學(xué)習(xí)體

會：在RtAABC中，ZC=90°,當(dāng)長度不變時.則點C在以4B為直徑的圓上運動（不與A、8重合）.

----、、、A

N卜

c--BcB

【探索發(fā)現(xiàn)】

（1）小明繼續(xù)探究，在RtA/lBC中，ZC=90°,AB長度不變.作44與NB的角平分線交于點F,小明計算

后發(fā)現(xiàn)“FB的度數(shù)為定值，小明猜想點/也在一個圓上運動.請你計算乙4FB的度數(shù)，并簡搴說明小明猜

想的圓的特征.

【拓展應(yīng)用】

（2）在【探索發(fā)現(xiàn)】的條件下，若4B=2百，求出ATIFB面積的最大值.

7.（2023秋?江蘇?九年級專題練習(xí)）在△ABC中，ZC=90°,以邊4B上一點。為圓心，。4為半徑的圓與BC

相切于點。，分別交48,AC于點E,F.

（1）如圖①，連接4D,若NC4D=26。，求AB的大小；

（2）如圖②，若點尸為腦的中點，。。的半徑為3,求力B的長.

8.（2023春?江蘇南通?八年級統(tǒng)考期末）對于在平面直角坐標(biāo)系久。y中的兩點P（*i，yi）和Q（＞2，。），給出如下

定義:

⑴當(dāng)*2=1時，在點Pi(2,0),P2(-1,V3),。3(1，—1)中，點Q的依附點是

(2)若直線y=a%上的點P是點Q的依附點，求點P橫坐標(biāo)的取值范圍；

(3)若直線y=-刀+山上存在點Q的依附點，直接寫出山的取值范圍.

9.(2023春?江蘇宿遷?九年級沐陽縣懷文中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))【嘗試探究】已知RtAABC中，N4CB=90。,

點。是的中點.作NPOQ=90。，分別交AC、BC于點P、Q,連接PQ.

(1)如圖1,若AC=BC,求證：

①連接OC,證明：4Aop三4COQ；

②證明：AP2+BQ2=PQ2：

(2)如圖2,試探索②中的結(jié)論在一般情況下是否仍然成立;

圖2

【解決問題】（3）如圖3,已知RtAABC中，ZC=90°,AC=2,BC=4,點。是4B的中點，過C、。兩點

的圓分別交邊AC、BC于點P、Q,連接PQ,則APCQ面積的最大值為.

圖3

10.（2023春?江蘇揚州?九年級高郵市城北中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O。的半徑為1，

A為任意一點，B為。。上一點.給出如下定義：記A、8兩點間的距離的最小值為p（規(guī)定：點A在。。上

時，p=0）,最大值為g,那么把一的值稱為點A與O。的“關(guān)聯(lián)距離”，記作d（4O。）.

（1）如圖，點。、E、尸的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).

y

X

①d（D,。0）=

②若點M在線段EF上，求d（MG）。）的取值范圍.

（2）若點N在直線y=V3x+2舊上，求d（N,。0）的取值范圍.

（3）正方形的邊長為“3若點尸在該正方形的邊上運動時，滿足d（P,O0）的最小值為1,最大值為回，直接

寫出機(jī)的最小值和最大值.

備用圖

11.（2023秋?江蘇泰州?九年級統(tǒng)考期末）【生活問題】2022年卡塔爾世界杯比賽中，某球員尸帶球沿直線MN

接近球門4B,他在哪里射門時射門角度最大？

【操作感知】小米和小勒在研究球員尸對球門48的張角N2P8時，在MN上取一點0,過A、B、。三點作

圓，發(fā)現(xiàn)直線MN與該圓相交或相切.如果直線MN與該圓相交，如圖1,那么球員P由M向N的運動過程

中，乙4PB的大?。海ㄌ钚蛱枺?/p>

①逐漸變大；②逐漸變??；③先變大后變?。虎芟茸冃『笞兇?/p>

【猜想驗證】小米和小勒進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn),如果直線MN與該圓相切于點。，那么球員尸運動到切點。時乙4PB

最大，如圖2,試證明他們的發(fā)現(xiàn).

要證N/P8域大，就是要證“V上好于尸點的其它所有點對4E的張的都小

千，APB.§

如果在MV上隹3?訃于尸點的產(chǎn)點，總有ZAPB>4。從那就it明fMN

上異于尸點的其它所有點對AB的張布都小于ZAPB.

【實際應(yīng)用】如圖3,某球員P沿垂直于4B方向的路線MN帶球，請用尺規(guī)作圖在MN上找出球員P的位置,

使乙4PB最大.（不寫作法，保留作圖痕跡）

【考點三：正多邊形與圓】

1.（2023秋?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，正六邊形力BCDEF內(nèi)接于。。，點尸在腦上，點。是位的中點,

則NCPQ的度數(shù)為（）

C.36°D.60°

2.（2023秋?江蘇?九年級專題練習(xí)）在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世

界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫.如圖，將“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形

ABCDEF）放在平面直角坐標(biāo)系中，若48與x軸垂直，頂點A的坐標(biāo)為（2,-3）,則頂點C的坐標(biāo)為（）

A.（2於一2,3）B.（2-2V3,3）C.（2-V3,3）D.（2—2遮,2+百）

3.（2023秋?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，已知。、E分別在等邊AABC的邊AC、BC上，連結(jié)DE,乙4DE的

平分線恰好經(jīng)過小ABC的外心O,交4B于點F,連結(jié)EF,若小CDE的周長為18,則4ABC的周長為.

4.（2023秋?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，延長正五邊形FGH/K各邊，使得GA=HB=JC=KD=FE,若

AB^AF,貝此BCH的度數(shù)為

A

5.（2023秋?江蘇?九年級專題練習(xí)）大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖①，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常

精巧、實用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面均為正六邊形.如圖②是一部

分巢房的截面圖，建立平面直角坐標(biāo)系，已知點4的坐標(biāo)為（百，-3）,則點B的坐標(biāo)為

圖①

6.（2023秋?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，正六邊形的邊長為2,正六邊形2c2。262尸2的外

接圓與正六邊形久a6。1%6的各邊相切，正六邊形4383c3。3色&的外接圓與正六邊形4282c2。2曷尸2的各

邊相切……按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，&膽10的050日10&0的邊長為.

7.（2021秋?江蘇鎮(zhèn)江?九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知正方形A8CZ）,以為腰向正方形內(nèi)部作等腰ABAE,

其中過點E作于點R點P是ABEF的內(nèi)心，連接CP,若正方形ABC。的邊長為2,則

CP的最小值為.

DC

8.（2023春?江蘇淮安?九年級統(tǒng)考期中）按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡.

圖2

（1）如圖1,4為。。上一點，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作出。。的內(nèi)接正方形；

（2）我們知道，三角形具有性質(zhì)：三邊的垂直平分線相交于同一點，三條角平分線相交于一點，三條中線相

交于一點.請運用上述性質(zhì)，只用直尺（不帶刻度）作圖.如圖2,在團(tuán)A8CD中，￡為CD的中點，作BC的

中點足

9.（2023秋?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖①,正六邊形ABCDEF的邊長為a,P是8C上一動點，過P作PM//AB

交A尸于作PN〃CD交DE于N.

FEFEFGE

圖①圖②圖③

(1)求出NMPN的度數(shù)，并證明PM+PN=3a；

(2)如圖②，點。是力。的中點，連接OM、ON,求證：0M=ON；

(3)如圖③，點。是4。的中點，0G平分乙MON,求證：四邊形OMGN是菱形.

10.(2023?江蘇?九年級假期作業(yè))【閱讀理解】如圖1,NBOC為等邊AABC的中心角，將NBOC繞點。逆時

針旋轉(zhuǎn)一個角度a(0°<a<120。)，NBOC的兩邊與三角形的邊BC,2C分別交于點M,N.設(shè)等邊AABC的面

積為S,通過證明可得△OBM=△OCN,貝［|S四邊形QMCN~S.OMC+S^OCN=^AOMC+^AOBM=S^OBC='S.

【類比探究】如圖2,乙8。。為正方形4BCD的中心角，將NBOC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度a(0。<a<90°),

NBOC的兩邊與正方形的邊分別交于點M,N.若正方形2BCD的面積為S,請用含S的式子表示四邊形

OMCN的面積(寫出具體探究過程).

【拓展應(yīng)用】如圖3,NBOC為正六邊形48CDEF的中心角，將NBOC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度a(0。<a<

60°),NBOC的兩邊與正六邊形的邊BC,CD分別交于點M,N.若四邊形。MCN面積為逐，請直接寫出正六邊

形2BCDEF的面積.

11.(2020秋?江蘇淮安?九年級統(tǒng)考期中)問題提出：平面內(nèi)不在同一條直線上的三點確定一個圓，那么平

面內(nèi)的四點(任意三點均不在同一直線上)，能否在同一個圓上呢？

初步思考：設(shè)不在同一條直線上的三點A、B、C確定的圓為。O.

(1)當(dāng)C、D在線段AB的同側(cè)時.

如圖①，若點D在。O上，此時有NACB=NADB,理由是.

如圖②，若點D在。0內(nèi)，此時有NACBZADB；(填“=”、">"、“<”)

如圖③，若點D在。O外，此時有NACBZADB；(填“=”、">"、“<”)

由上面的探究，請直接寫出A、B、C、D四點在同一個圓上的條件：.

結(jié)論應(yīng)用：

(2)如圖，在四邊形ABCD中，連接AC,BD,/CAD=/CBD=90。，點P在CA的延長線上，連接DP.若

ZADP=ZABD.求證：DP為R3ACD的外接圓的切線.

D

圓周角、直線與圓、正多邊形與圓專題復(fù)習(xí)二

知識點1:圓周角概念

知識點1:正多邊形與圓相關(guān)計算

考點三：正多邊形與圓知識點2:正多邊形與圓綜合應(yīng)用

知識點3:尺規(guī)作圖應(yīng)用

【考綱解析】

圓周角內(nèi)容的考察比較多，可以是基礎(chǔ)題，也可以是壓軸題，在平時考試中基礎(chǔ)題一般都是簡單的圓

周角定理和同弧所對圓周角問題或直徑所對圓周角問題比較多，主要是讓學(xué)生理解知識點同時應(yīng)用就容易

解決，但是在中等題和壓軸題上，對于內(nèi)接四邊形以及隱圓、圓的翻折中應(yīng)用比較多，同時也作為圓綜合

應(yīng)用的基本工具和手段，要求學(xué)生不但要熟練掌握基礎(chǔ)知識，還要靈活的變通解決，所以掌握圓周角的問

題是學(xué)生學(xué)好圓的基礎(chǔ)哦

直線與圓內(nèi)容的考察也比較多，選擇、填空、解答題、壓軸題都會考察，基礎(chǔ)題中一般都是切線的證

明和切線長定理的基礎(chǔ)應(yīng)用，要求學(xué)生能證明切線，應(yīng)用切線長定理求解三角形周長等問題；在中等題和

壓軸題圓的切線問題考察比較多，近幾年考試（期中或期末、中考）都比較?？嫉木褪菆A的切線和一次函

數(shù)問題，同時結(jié)合動點考察，綜合應(yīng)用能力比較強(qiáng)，要讓學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)靈活應(yīng)用，有時還伴隨

著新定義的題型，所以直線與圓必須掌握的同時，也要逐步的延伸拓展知識

正多邊形與圓內(nèi)容考察也是重點，主要考察的是在圓心角圓周角、多邊形邊長等為基礎(chǔ)題，中等題一

般是幾何作圖或者跟三角形結(jié)合的綜合應(yīng)用，相對來說考察內(nèi)容屬于兩極分化現(xiàn)象，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)上，

要想圓的知識掌握的更好，在考試中不丟分，那就要求學(xué)生必須熟練掌握

【考點一：圓周角】

1.（2022秋.湖北武漢?九年級校考期中）如圖，將AABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)a角度得到ADBE,邊DE,DB分

別交力C交于N,若BM=BN,ZX=48°,則角a的度數(shù)是（）

,4B

A.22°B.28°C.30°D.35°

【答案】B

【分析】連接40.想辦法證明乙48。=乙MBN=a,再根據(jù)匕BMN=乙BNM=48°+a,利用三角形內(nèi)角和

定理，構(gòu)建方程求出a即可.

【詳情解析】解：連接40.

■:乙MDN=Z-BAM,

???A,B,M,D四點共圓，

：.Z.ADB=乙BMN,

9：BM=BN,BA=BD,

，乙BMN=LBNM,^BDA=￡.BAD,

Z.ABD=乙MBN=a,

■:(BMN=(BNM=2LBAC+4ABD=48。+a,

48°+a+48°+a+a=180°,

：.a=28°,

故選：B.

【提優(yōu)突破】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，等腰三角形的性質(zhì)，四點共圓等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識

解決問題，屬于中考?？碱}型.

2.(2023秋?江蘇鹽城?九年級校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，將。。沿弦4B折疊，點C在弧上，點。在弧4B

上，若N4CB=70°,則N4DB=()

A.70°B.110°C.125°D.140°

【答案】B

【分析】作出弧AmB所對的圓周角NAEB,求出NAEB即可.

【詳情解析】解：作出弧AmB所對的圓周角NAEB

Z.ACB+ZAEB=180°

ZAEB=180°-70°=110°

,/OO沿弦AB折疊

.,.Z.ADB=ZAEB=110°

故選：B

【提優(yōu)突破】本題考查了折疊的對稱性、圓的內(nèi)接四邊形互補(bǔ)等知識點.作出弧AmB所對的圓周角NAEB是

解題關(guān)鍵.

3.（2023秋?江蘇連云港?九年級?？茧A段練習(xí)）圖1為一圓形紙片，4、B、C為圓周上三點，其中AC為直

徑，以A8為折線將紙片向右折疊，紙片蓋住部分的4C,且初交4C于點D,如圖2所示，若此為37。，則AB

【答案】106°

【分析】由折疊的性質(zhì)得到：又AC是圓的直徑，即可求出AD的度數(shù).

【詳情解析】解：由折疊性質(zhì)可得：BD=BC,

=37°,

???BD=37°,

???AC為直徑，

AD=180°-37°-37°=106°.

故答案為：106。.

【提優(yōu)突破】本題考查圓周角定理，折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)得到BD=BC.

4.（2023秋?江蘇?九年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y）如圖,BC是。。的直徑，點A在。。上,4。1BC,

垂足為。，AE=AB,BE、AC的延長線交于點G,4。的延長線交BE于點F,若BG=10,BD-DF=1,

則48=

A

B

【答案】2V5

【分析】利用垂直以及圓周角定理證明4BAD=4ACB,進(jìn)而可證明NABE=Z_BAD,則有AF=BF,再根據(jù)

乙BAD+ZCAD=90°,zABE+Z.AGB=90°,Z.ABE=ZBAD,可得4DAC=zAGB,艮有FA=FG,進(jìn)而可

得FA=FG=BF=1BG=5,在R3BDF,利用勾股定理可得5?=DF2+(DF+1尸，即有DF=3,再在

RtABDA,利用勾股定理即可作答.

【詳情解析】??,BC為直徑，AD1BC,

AzBAD+zCADZBAC=90°,ZACB+zCAD=90°,

?"BAD=ZACB,

VAB=AE,

???ZABE=ZAEBZACB,

AzABE=ZBAD,

AAF=BF,

VZBAD+ZCAD=90°,乙ABE+ZAGB=90°,zABE=zBAD,

AzDAC=ZAGB,

AFA=FG,

VBG=10,

AFA=FG=BF=iBG=5,

VAD1BC,BD-DF=1,

?"BDF=90。=NADB,BD=DF+1,

ARtABDF,BF2=DF2+BD2,

.\52=DF2+(DF+I)2,

；.DF=3(負(fù)值舍去)，

；.BD=DF+1=4,AD=AF-DF=2,

.".RtABDA,AB=VAD2+BD2=2后

故答案為：2岳.

【提優(yōu)突破】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理以及等角對等邊等知識，證明FA=FG=BF=1BG=5,

是解答本題的關(guān)鍵.

5.（2023?江蘇?統(tǒng)考中考真題）在四邊形ZBCO中，ZB==2,乙=120。,8”為乙48。內(nèi)部的任一條射

線不等于60。），點C關(guān)于8"的對稱點為S直線AC，與交于點F,連接CC\CF,則△CC字面積

的最大值是

【答案】4V3

【分析】連接BU,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得CB=UB,CF=UF,進(jìn)而可得A,C,。在半徑為2的OB上，證明

△CC'F是等邊三角形，當(dāng)CU取得最大值時，ACUF面積最大，根據(jù)圓的直徑最大，進(jìn)而得出CU最大值為4,

即可求解.

【詳情解析】解：如圖所示，連接BC',

??,點C關(guān)于BH的對稱點為U,

.*.CB=UB,CF=CT,

VAB=BC=2,

.?.A,C,U在半徑為2的OB上，

在優(yōu)弧AC上任取一點E,連接AE,EC,

貝UNAEC=|ZABC=60°,

?."ABC=120°,

1

."AC'C=180°-ZAEC=180°--zABC=120°,

2

."CC'F=60°,

.?.△CC'F是等邊三角形，

當(dāng)CU取得最大值時，△CUF面積最大，

在OB上運動，則CG最大值為4,

則^CGF面積的最大值是fx42=4V3.

故答案為：4V3.

【提優(yōu)突破】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，等邊三角形的性質(zhì)，得出CU

最大值為4是解題的關(guān)鍵.

6.（2023秋?江蘇揚州?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個非

直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑.

D

E

AD.

(1)如圖①，在損矩形ZBCD中，^ABC=AADC=90°,則該損矩形的直徑是線段

(2)在圖①中線段力C上確定一點P,使損矩形的四個頂點都在以點尸為圓心的同一個圓上(即損矩形的四個

頂點在同一個圓上)，請作出這個圓，并說明你的理由.(尺規(guī)作圖不要求寫作法，但要保留作圖痕跡)

(3)如圖②，在AABC中，^ABC=90°,以4c為一邊向三角形外作菱形4CEF,。為菱形4CEF的中心，連接

BD,當(dāng)BD平分乙4BC時，4B=2,BD=4A/2.求BC的長.

【答案】(1)AC

(2)作圖見解析，理由見解析

(3)BC=6

【分析】(1)根據(jù)損矩形的直徑的定義進(jìn)行求解即可；

(2)尺規(guī)作圖線段AC的垂直平分線，得到線段AC的中點P,則點P為線段AC的中點.根據(jù)直角三角形性質(zhì)

證明BP=DP=(AC,即可證明點A、B、C、D在以P為圓心，［AC為半徑的同一個圓上；

(3)先由角平分線的定義得到NABD=ZCBD=45°,由(2)可知A、B、C、D四點共圓，貝平ACD=ZABD=45°,

根據(jù)菱形對角線平分一組對角得到NACE=2ZACD=90°,即可證明菱形ACEF為正方形；過點D作DM1AB

交BA延長線于M,DN1BCi=-N,證明四邊形BNDM是正方形，求出DM=DN=4,貝K^ACD=；(4+BC2),

SAABD=4,SAABC=BC,SABDC=2BC,根據(jù)S四邊形ABCD=SAABC+S^ADC=S^ABD+SABCD建立方程4+

2BC=BC+i(BC2+4),解方程即可.

4

【詳情解析】(1)解：由題意得，只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個非直角頂點的

線段叫做這個損矩形的直徑.因此AC是該損矩形的直徑，

故答案為：AC；

(2)解：如圖①，點P即為求作的點；

作線段AC的垂直平分線，與線段AC交于點P,則點P為線段AC的中點.

證明：由作圖得點P為AC中點，

VzABC=ZADC=90°,

?,.BP=DP=4AC,

2

APA=PB=PC=PD,

...點A、B、C、D在以P為圓心，［AC為半徑的同一個圓上;

(3)解：四邊形ACEF為正方形，理由如下：

VZABC=90°,BD平分4ABC,

AzABD=Z.CBD=45°,

???四邊形ABCD為損矩形，

...由(2)可知A、B、C、D四點共圓，

ZACD=ZABD=45°,

???四邊形ACEF是菱形，

."ACE=2ZACD=90°,

菱形ACEF為正方形；

過點D作DM_LAB交BA延長線于M,DN1BC于N,

，四邊形BNDM是矩形，

又：BD平分4ABC,

二四邊形BNDM是正方形，

ADM=DN=BM=BN=—BD=4,

2

在RtAABC中，由勾股定理得AC?=AB2+BC2=4+BC2,

，SAACD=?正方形ACEF=[AC?=](4+BC?),

11

?FABD=；AB.DM=(X2X4=4,

,SAABC=5AB-BC=BC,S&BDC=JN-BC=2BC,S四邊形ABCD=^AABC+S^ADC=^AABD+S^BCD，

.,.4+2BC=BC+J（BC2+4）,

解得BC=6,BC=-2（負(fù)值舍去）.

，BC的長為6.

【提優(yōu)突破】本題主要考查了圓周角定理，正方形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線

的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵在于熟練掌握基礎(chǔ)知識，合理利用輔助線得出條件計算.

7.（2023秋?江蘇宿遷?九年級沐陽縣懷文中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1,△力BC內(nèi)接于。。，

若NC=60°,弦AB=4V3,則半徑r=；

（2）【問題探究】如圖2,四邊形ABCD的四個頂點均在。。上，若NADC=60。，4D=DC,點B為弧力C上

一動點（不與點4，點C重合）.

求證：AB+BC=BD；

（3）【解決問題】如圖3,一塊空地由三條直路（線段力D、AB、BC）和一條道路劣弧CD圍成，已知CM=

=g千米，ZOMC=60°,CO的半徑為1千米，市政府準(zhǔn)備將這塊空地規(guī)劃為一個公園，主入口在點

M處，另外三個入口分別在點C、D、P處，其中點P在CD上，并在公園中修四條慢跑道，即圖中的線段DM、

MC、CP、PD,某數(shù)學(xué)興趣小組探究后發(fā)現(xiàn)C、P、D、/四個點在同一個圓上，請你幫他們證明C、P、D、

M四點共圓，并判斷是否存在一種規(guī)劃方案,使得四條慢跑道總長度（即四邊形DMCP的周長）最大？若存

在，求其最大值；若不存在，說明理由.

【答案】（1）4；（2）見解析；（3）存在.四條慢跑道總長度（即四邊形DMCP的周長）的最大值為2+2遮

【分析】（1）連接OA、0B,作OH1AB,利用圓周角定理以及勾股定理求解即可；

（2）在BD上取點E,使BE=BC,連接EC,AC,通過圓的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，求證即可；

（3）由題意可得，當(dāng)DP+CP取得最大值時，四邊形DMCP的周長最大，連接PM,過點0作OHLDM于點H,

設(shè)OH=x,利用全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理求解即可.

【詳情解析】解：（1）連接OA、0B,作OH1AB,如下圖：

Vzc=60°

AzAOB=24c=120°

XVOH1AB,OA=OB

AAH=-AB=2V3,zAOH=60°

2

AzOAH=30°,

設(shè)OH=x,則OA=2x,

由勾股定理可得：OH2+AH2=OA2,即x2+(2V3)=(2x)2

解得x=2,即OA=2x=4

R=4；

(2)證明：在BD上取點E,使BE=BC,連接EC,AC,

VAD=CD,ZADC=60°,

:?△ADC為等邊三角形，

ADC=AC,ZDCA=60°,

VAD=CD,

AAD=CD,

AZ.ABD=ZCBD=60°,

:?△BEC為等邊三角形，

ABC=CE,ZBCE=60°,

AzBCA=zECD,

/.△ACB仝△DCE(SAS),

AAB=DE,

???DB=DE+BE=AB+BC；

(3)解：存在.

,.?CM=DM=B千米，

???當(dāng)DP+CP取得最大值時，四邊形DMCP的周長最大,

連接PM,過點O作OH1DM于點H,設(shè)OH=x,

VDM=CM,OM=OM,DO=CO,

:?△DOM=ACOM(SSS),

."DMO=ZCMO=izDMC=30°,

2

；.HM=V3x,

ADH=V3-V3x,

VDH2+OH2=OD2,

(V3—V3x)2+x2=I2,

；.X=^Kx=l(舍去),

AOM=1,

；.D、P、C、M四點共圓，

.".ZDPC=120°,

由（2）可知DP+CP=PM,

故當(dāng)PM是直徑時，PD+PC最大值為2,

四邊形DMCP的周長=DM+CM+PC+PD=2百+PD+PC,

四邊形DMCP的周長的最大值為：2+2?

即四條慢跑道總長度（即四邊形DMCP的周長）的最大值為2+

【提優(yōu)突破】此題考查了圓的綜合應(yīng)用，涉及了等腰三角形，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性

質(zhì)，勾股定理等，綜合性比較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是正確地作出輔助線。

8.（2023秋?江蘇南京?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知線段4B和直線2,在直線［上求作點P,使得4APB分

別為①90。；②30。；③120。，（都用尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡）.

【答案】①作圖見解析；②作圖見解析；③作圖見解析

【分析】①根據(jù)直徑所對的圓周角等于90。度進(jìn)行畫圖即可；

②作以AB為邊的等邊三角形AOiAB,點％與直線1在AB同側(cè)，以點01為圓心，AB為半徑作圓，該圓與直線I

的交點即為所求點；

③作以AB為邊的等邊三角形，點。2與直線1在AB異側(cè)，再作該三角形的外接圓，外接圓與直線的交點即為所

求點.

【詳情解析】解：①如圖，作AB的垂直平分線CD,CD交AB于點0,以。即為圓心，以（AB為半徑畫。0,交

直線1于點Pi、P2,連接APi、AP2,BP1、BP2,

...點0為AB的中點，

?.,以。即為圓心，以（AB為半徑畫。0,

二線段AB是。。的直徑，

."APiB=ZAP2B=90°,

則點Pi、P2即為所作，即滿足條件的點P共有兩個;

②如圖，分別以點A、B為圓心，以AB為半徑畫弧交于點01，連接O】A、OiB,以01為圓心，以AB為半徑畫。

,

交直線1于點P/、P2',連接AP】'、AP2\BP/、BP2,

由作圖可知：AB=0IA=0iB,

AB為等邊三角形，

."AOiB=60°,

:以01即為圓心，以AB為半徑畫OOi，

AzAP/B=NAP'B=jzAOiB=|x60°=30°,

則點Pi'、P2'即為所作，即滿足條件的點P共有兩個；

③如圖，分別以點A、B為圓心，以AB為半徑畫弧交于點。2,連接O2A、02B,分別作EF垂直平分O2A,GH垂

直平分O2B，EF交GH于點。3，連接Qzd，以O(shè)3為圓心，以QzS為半徑畫。。3，交直線I于點Pj、P2”，連

接APj、AP/\BPj、BP2”,

由作圖可知：AB=02A=02B,

AB為等邊三角形，

.,.ZAO2B=60°,

：EF垂直平分O2A,GH垂直平分O2B,EF交GH于點。3，以。3為圓心，以Q23為半徑畫。。3,

???。。3是小02AB的外接圓，

,Z

.,.NAP/'B=ZAP2B=180°-ZAO2B=180°-60°=120°,

則點PJ、P2''即為所作，即滿足條件的點P共有兩個.

【提優(yōu)突破】本題考查圓周角的作圖，作線段等于已知線段，作線段的垂直平分線，等邊三角形的判定和

性質(zhì).熟練掌握圓周角定理及其推論是解題的關(guān)鍵.

9.(2023秋?江蘇?九年級專題練習(xí))已知：A、2為圓上兩定點，點C在該圓上，NC為AB所對的圓周角.

B

圖①

知識回顧

(1)如圖①，。。中，B、C位于直線40異側(cè)，AAOB+AC=135°.

①求NC的度數(shù)；

②若。。的半徑為5,AC=8,求BC的長；

逆向思考

(2)如圖②，尸為圓內(nèi)一點，且乙4PB<120。，PA=PB,乙APB=2乙C.求證：尸為該圓的圓心;

拓展應(yīng)用

(3)如圖③，在(2)的條件下，若N2PB=90。，點C在OP位于直線4P上方部分的圓弧上運動.點D在OP

上，滿足CD=/CB-C4的所有點。中，必有一個點的位置始終不變.請證明.

【答案】⑴①45。；(2)772；

(2)見解析；

(3)見解析

【分析】(D①根據(jù)4A0B+/C=135。，結(jié)合圓周角定理求NC的度數(shù)；②構(gòu)造直角三角形；

(2)只要說明點P到圓上A、B和另一點的距離相等即可；

(3)根據(jù)CD=/CB-CA,構(gòu)造一條線段等于/CB-CA,利用三角形全等來說明此線段和CD相等.

【詳情解析】(1)解：①「NAOB+NC=135。，Z.AOB=2zC,

3zC=135°,

Z.C=45°.

②連接AB,過A作AM1BC,垂足為M,

ZC=45°,AC=8,

ACM是等腰直角三角形，且AM=CM=4V2,

VZAOB=2ZC=90°,OA=OB,

.?.△AOB是等腰直角三角形，

AB=V2OA=5VL

在直角三角形ABM中，BM=VAB2-AM2=3V2,

?-.BC=CM+BM=4V2+3^/2=7夜.

(2)證明：延長AP交圓于點N,貝IJNC=NN,

Z.APB=2zC,

???ZAPB=2zN,

??.ZAPB=ZN+4PBN,

??.ZN=ZPBN,

PN=PB,

???PA=PB,

??.PA=PB=PN,

??.p為該圓的圓心.

(3)證明：過B作BC的垂線交CA的延長線于點E,連接AB,延長AP交圓于點F,連接CF,FB,

c

???4APB=90°,

???ZC=45°,

??.△BCE是等腰直角三角形，

??.BE=BC,

???BP1AF,PA=PF,

??.BA=BF,

??,AF是直徑，

???ZABF=90°,

??.ZEBC=ZABF=90°,

Z.EBA=Z.CBF,

??.△EBA三△CBF（SAS）,

??.AE=CF,

???CD=V2CB-CA=CE-CA=AE,

?-.CD=CF,

.??必有一個點D的位置始終不變，點F即為所求.

【提優(yōu)突破】本題考查了圓周角定理，還考查了勾股定理和三角形全等的知識，對于（3）構(gòu)造一條線段等

于近CB-CA是關(guān)鍵.

10.（2023秋?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識后，對等腰直角三角形進(jìn)行了

探究，在等腰直角三角形4BC中，CA=CB,^C=90°,過點B作射線BD14B,垂足為8,點P在CB上.

如圖②，若點P在線段C8上，畫出射線P4并將射線P4繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。與交于點E,根據(jù)題意在圖

中畫出圖形，圖中"BE的度數(shù)為度;

⑵【問題探究】

根據(jù)（1）所畫圖形，探究線段P4與PE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）【拓展延伸】

如圖③，若點P在射線上移動，將射線PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。與BD交于點E,探究線段84,BP,BE之間

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)作圖見解析；135

(2)PA=PE；理由見解析

(3)BA-BE=&BP或BE=BA+&BP；理由見解析

【分析】(1)根據(jù)題意畫圖即可；先求出NABC=NBAC=[x9()o=45。，根據(jù)NABD=90。，求出NCBE=

ZABC+ZABE=45°+90°=135°；

(2)根據(jù)NAPE=9O°,ZABE=90。，證明A、P、B、E四點共圓，得出NAEP=ZABP=45。,求出4AEP=NEAP,

根據(jù)等腰三角形的判定即可得出結(jié)論；

(3)分兩種情況，當(dāng)點P在線段BC上時，當(dāng)點P在線段BC延長線上時，分別畫出圖形，求出BA,BP,BE之

間的數(shù)量關(guān)系即可.

【詳情解析】(1)解：如圖所示：

VCA=CB,zC=90°,

ZABC