江蘇省2023屆高三年級下冊3月學情測試數(shù)學試卷(含答案)

江蘇省儀征中學2023屆高三下學期3月學情測試數(shù)學試卷

學校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.已知集合人={%|%=2左+1,左eZ},B={x\-3<x<4},則集合A8中元素的個數(shù)

為（）

A.lB.2C.3D.4

2.在復平面內(nèi)，復數(shù)z「Z2對應的點分別是（2,-1）,（1,-3）,則上的虛部是（）

句

A.iB.-iC.lD.-l

3.設aeR,則“a=3”是“直線依+2y+3a=0和直線3x+（a—l）y=a—7平行”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步

不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其

意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前

一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了（）

A.192里B.96里C.48MD.24M

5.已知（x+2）2〃+i的展開式中第二項與第三項的系數(shù)之比為1：8,則（X-』）”的展開式

X

中常數(shù)項為（）

A.-24B.24C.-48D.48

6.設X~N（4,b；）,y~N（〃2，b；），這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結論中

A.P(.Y>JU2)>P(Y>juJB.P(X<cr2)<P(X<bJ

C.對任意正數(shù)3P(X<t)>P(Y<t)D.對任意正數(shù)3P(X>t)>P(Y>t)

7.已知函數(shù)/（%）=回11訓+|cos訓（0>0）在區(qū)間（（,兀）上單調(diào)遞增，則0的取值范

圍是（）

CH_D,，l]

8.已知a=5,Z?=15（ln4-ln3）,c=16（ln5-ln4）,則（）

A.a<c<bB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c

二、多項選擇題

9.小明用某款手機性能測試APP對10部不同品牌的手機的某項性能進行測試，所得

的分數(shù)按從小到大的順序（相等數(shù)據(jù)相鄰排列）排列為：81,84,84,87,x,?

93,96,96,99,已知總體的中位數(shù)為90,則（）

A.x+y=180

B.該組數(shù)據(jù)的均值一定為90

C.該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)一定為84和96

D.若要使該總體的標準差最小，則x=y=90

10.如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知24,底面ABC。，底面ABCD為等腰梯形，

AD//BC,AB=AD^CD=1,BC=PA=2,記四棱錐P—ABCD的外接球為球。，平

面與平面的交線為/,的中點為E,則（）

C.平面PDE，平面PADD./被球。截得的弦長為1

11.將函數(shù)g（x）=?Asina）x（4>0,。>0,0<0<兀）的圖象向左平移的個單位后得

到函數(shù)y=/（%）的圖象，若對X/xeR,/(l-x)=/(x-l),且〃T)=〃3)=0,則

。的可能取值為（）

TT3兀

A.-B.兀C.—D.2兀

22

12.在數(shù)列｛%｝中，出+%+4=285,啊,=（〃一I）%+101（〃eN*）,則以下結論正

確的為（）

A.數(shù)列｛叫為等差數(shù)列

B.q=99

C.當S“取最大值時，咒的值為51

D.當數(shù)列｛44+避“+2乂”6%）的前〃項和取得最大值時，n的值為49或51

三、填空題

13.若一2<a-b<4,則2a+3b的取值范圍為.

14.已知如圖所示的電路中，每個開關都有閉合、不閉合兩種可能，因此5個開關共

有25種可能，在這25種可能中，電路從尸到Q接通的情況有種.

15.若存在實數(shù)t,對任意的xe（0,s],不等式（Inx—x+2—f）（l—f—x）W0成立，則整

數(shù)s的最大值為.（In3?1.099,ln4?1.386）

四、雙空題

16.已知空間向量PA,PB,PC的模長分別為1,2,3,且兩兩夾角均為60。.點G

為△ABC的重心，若PG=xPA+yPB+zPC,x,y,zeR,則

x+y+z=；|PG|=.

五、解答題

17.記S",為數(shù)列｛4｝的前〃項和，已知S“=今+?+1,〃eN*.

（1）求4+4，并證明｛%+%+J是等差數(shù)列;

（2）求

18.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,C=-,AB邊上的高為g.

3

（1）若百，求△ABC的周長;

（2）求47+L1的最大值.

ab

19.如圖，在四面體A5CD中，ADLCD,AD=CD,ZADB=ZBDC9片為AC的

中占

?八、、?

A

（1）證明：平面5石。，平面ACD；

（2）設AB=BD=2,NACfi=60。，點尸在3。上，當?shù)拿娣e最小時，求CT

與平面ABD所成的角的正弦值.

20.某種電子玩具啟動后，屏幕上的LED顯示燈會隨機亮起紅燈或綠燈.在玩具啟動

前，用戶可對巧（0＜乩＜1）賦值，且在第1次亮燈時，亮起紅燈的概率為百，亮起

綠燈的概率為l—p「隨后若第〃（/eN*）次亮起的是紅燈，則第〃+1次亮起紅燈的概

率為,，亮起綠燈的概率為白；若第〃次亮起的是綠燈，則第〃+1次亮起紅燈的概率

33

為47,亮起綠燈的概率為1

33

（1）若輸入月=；，記該玩具啟動后，前3次亮燈中亮紅燈的次數(shù)為X,求X的分布

列和數(shù)學期望；

（2）在玩具啟動后，若某次亮燈為紅燈，且亮紅燈的概率在區(qū)間（儂，-）內(nèi)，

20212

則玩具會自動唱一首歌曲，否則不唱歌.現(xiàn)輸入乩=；,則在前20次亮燈中，該玩具最

多唱幾次歌？

22

21.已知橢圓C:j+當=1（?！?〉0）的上頂點為M、右頂點為N.AOMN（點0為坐標

ab

原點）的面積為1,直線y=x被橢圓C所截得的線段長度為增.

（1）橢圓C的標準方程；

（2）試判斷橢圓C內(nèi)是否存在圓0:爐+丁2=/&〉0）,使得圓。的任意一條切線與

橢圓C交于A,3兩點時，滿足0408為定值？若存在，求出圓。的方程；若不存

在，請說明理由.

22.已知函數(shù)/（耳=@*,g（x）=2ei+l,其中人為實數(shù).

⑴求/（X）的極值；

（2）若*x）=g（x）-有4個零點,求）的取值范圍.

參考答案

1.答案：C

解析：因為結合4={》|%=2左+1/eZ},5={x[—3<x<4},

根據(jù)集合交集的運算，可得AB={-1,1,3}，

所以集合A8中元素的個數(shù)為3個.

故選：C.

2.答案：D

解析：復數(shù)z「Z2對應的點分別是(2,-1),(1,-3),則z=2-i,Z2=l-3i,

z2_^l-3i_（l-3i）（2+i）_5-5i_1.

（2-i）（2+i）-51其虛部為-1.

故選：D.

3.答案：C

解析：當a=3時，兩條直線的方程分另U是3x+2y+9=0和3x+2y+4=0,止匕時兩條直

線平行成立，

反之‘當兩條直線平行時，有-/占但即。=3或—2,

Q=—2時，兩條直線者R為x—y+3=0,重合，舍去,

..a=3,

所以“a=3”是“直線改+2y+2a=0和直線3x+(a—l)y—a+7=0平行”的充要條件.

故選：C.

4.答案：B

解析：由題意可知此人每天走的步數(shù)構成;為公比的等比數(shù)列{%},

小一⑸

由題意和等比數(shù)列的求和公式可得L」=378,解得q=192,

1--

2

二第此人第二天走192義工=96里.

2

故選：B.

5.答案：B

解析：(x+2嚴i展開式第廠+1項&1=(2屋］/+1-2,系數(shù)C；〃+2,

.C，2=1

解得n=4.

"CL>228

［x-j］展開式第m項加1=(2：釬［-￡|=C：(-2尸”2”，

令4—2m=0即機=2,故常數(shù)項為C；(-2產(chǎn)=24.

故選：B.

6.答案：C

解析：A選項：X~N(A，CF；)、y~N(〃2，b；)的密度曲線分別關于X=〃I、x=〃2對

稱，

因此結合所給圖像可得從<〃2，所以p(y2〃2)<p(y2〃i)，故A錯誤；

B選項：又XN(M，b；)的密度曲線較yN(〃2，8)的密度曲線“瘦高”，

所以0<巧<3，所以尸(X<%)〉P(X<b］),故B錯誤；

CD選項：由密度曲線與橫軸所圍成的圖形的面積的意義可知：

對任意正數(shù)/,P(X<t)>P(Y<t),P(X>t)<P(Y>t),故C正確，D錯誤.

故選：C.

7.答案：A

解析：由函數(shù)

/(%)=|sin(y%|+|cos&>x|=^(|sin&>x|+|coscoxl)2=71+2lsindlcos

=^1+21sincoxcoswx|=51+忖1120乂=J1+J。：,

令2EW4oxW2E+7i,keZ,解得包VxV(2：+〉兀，keZ,且。>0,

2a)4。

即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為［向keZ,且口〉0,

要使得/(x)在區(qū)間(：兀)上單調(diào)遞增，

kit7i

——<—

則滿足上04,keZ,解得2左V。〈生口，keZ,其中切>0,

(2k+l)n4

------->71

4①

2k+l

2k<

4

又由,^--<k<-,因為左eZ,所以左=0,

2k+l26

>0

4

所以0＜。＜工，即實數(shù)。的取值范圍為（0」

4I4.

故選：A.

8.答案：B

解析：先比較。與6大小，先比較1與31n34大小，比較!1與In43大小，比較0-3與34大

3333

小，比較e與0）大小,

:.a>b,

比較人與c大小，先比較In與大小,

253125,

---------<1,

262144

161n—<151n—,即c<b,:.c<b<a,

43

故選：B.

9.答案：ABD

解析：因為總體的中位數(shù)為90,所以x+y=180,所以該組數(shù)據(jù)的均值為

^(81+84+84+87+x+y+93+96+96+99)=90,故A正確，B正確，當x=y=90

時，眾數(shù)為84,90,96,當x=87,y=93時，眾數(shù)為84,87,93,96,故C錯誤;

要使該總體的標準差最小，即方差最小，即（％-90）2+（y-90）2最小，又

(x-90)2+(y-90)2>^+J~180^=0>當且僅當x—90=y—90時，即x=y=90時等

號成立，故D正確.

故選：ABD.

10.答案：ABD

解析：對于A,因為AD//BC,ADu平面MD,BCa平面叢D,

所以〃平面PA。，

又因平面PA。與平面PBC的交線為I,

所以〃/BC,故A正確；

對于B,連接AE,AC,

在等腰梯形ABC。中，因為AB=A￡>=CD=1,BC=2,的中點為E,所以四邊形

ABED,AECD都是菱形，

所以ACLOE,AB//DE,所以ABLAC,

因為PA_L底面ABCD,ABu面ABCD,

所以PALAB,

又PAAC=A,所以AB,平面PAC,

又因PCu平面K4C,所以ABLPC,故B正確；

對于C,如圖以A為原點建立空間直角坐標系，

則P（0,0,2）,D--,y-,0,E

則AP=(O,O,2),AD=--,,o],=[9——■,—2]，￡>￡=(1,0,0),

(22J(22,

設平面PDE的法向量加=a，X，zJ,平面PAD的法向量”=(尤2，%*2),

1G

則仁如一/+7「210,可取一(0,4,6),

m-DE=Xj=0

同理可取1=(代,1,0),

因為加?〃=4w0,所以也與“不垂直，

所以平面PDE與平面上4。不垂直，故C錯誤；

對于D,由B選項可知，EA=EB=EC=ED,則點E即為四邊形ABCD外接圓的圓

心，

故四棱錐P-ABCD的外接球的球心。在過點E且垂直于面ABCD的直線上，

設外接球的半徑為凡則Q4=0P=H,則。4=Vi節(jié)=0,

所以R=收，

設0P與/所成的角為。，點。到直線/的距離為d,

B(1,0,0),C(0,V3,0),O3，與1,

因為〃/BC,直線/的方向向量可取BC=卜1,百,0),OP=_g—$1

貝iJcos(BCOPru-池,所以sin6=^^,

所以d=QHsine=合，

所以/被球。截得的弦長為2月［=1,故D正確.

故選：ABD.

11.答案：AC

解析：將函數(shù)g(x)=Asina)x(4>0,。>0,0<0<兀)的圖象向左平移"個單位后

2'叼co

得到函數(shù)丁=/(尤)的圖象，故函數(shù)〃x)=J^Asin(ox+e),

對VxeR,/(l-%)=/(x-l),即VfeR,/(r)=/(-/),

故”同為偶函數(shù)，所以e=E+],k。,

TT

又。<0<兀，所以0=5,

故/(%)=-^Acostox

/(-1)二ACOS口=0,

]所以G=左兀+烏,keZ,

2

1jr

/(3)=—Acos3<^=0,所以3@=Z兀+—，keZ,

8/2

可得3和3口均為N的奇數(shù)倍，故。的可能取值為四，—.

222

故選：AC.

12.答案：ACD

解析：對于A,由.=(〃一1)4+1+101,得(w+l)a“+i=叫-2+101,

兩式作差得5+1)%-%=%2-("-1)%，即2%=4+4+2，所以數(shù)列｛%｝為等

差數(shù)列，故A正確；

對于B,令〃=1,知％=101,故B錯誤；

對于C,由等差數(shù)歹U的性質知生+/+4=3%=285,即％=95,又。]=101,

可得公差4=咋幺=-2,所以a〃=103-2〃，知數(shù)列｛4｝的前51項為正，從第52項

開始為負，當S“取最大值時，〃的值為51,故C正確；

對于D,由數(shù)列｛4｝的前51項為正，從第52項開始為負，又d=44+4+2，

知,9=50a51〉0，%=%0%%2=一3<0,%=51a52%3=3>0,所以數(shù)歹￡%｝前

49項和最大，

又%)+%=。，所以數(shù)列出｝前51項和最大，當〃》52時，b?<Q,

所以當〃=49或51時，｛a"H2｝("wN*)的前〃項和取得最大值，D正確.

故選：ACD.

13.答案：［-|

解析：由題意，^2a+3b=x(a+Z?)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,

則［"+'=2,解得x=Jy=J,

x-y=322

因—1<a+Z?v3,2<Q—Z?v4,

可得—+-2<-|(?-Z?)<-1,

所以-|<g(a+b)-g(a-3<9，即2a+38的取值范圍是1Kl

故答案為：■野

14.答案:16

解析：若電路從尸到Q接通，共有三種情況：

(1)若1閉合，而4不閉合時，可得分為：

①若1、2閉合，而4不閉合，則3、5可以閉合也可以不閉合，共有2x2=4種情況；

②若1、3、5閉合，而4不閉合，則2可以閉合也可以不閉合，有2種情況，

但①與②中都包含1、2、3、5都閉合，而4不閉合的情況，所以共有4+2-1=5種情

況；

(2)若4閉合，而1不閉合時，可分為：

③若4、5閉合，而1不閉合，貝1］2、3可以閉合也可以不閉合，有2x2=4種情況；

④若4、3、2閉合，而1不閉合，則5可以閉合也可以不閉合，有2種情況，

但③與④中，都包含4、2、3、5都閉合，而1不閉合的情況，所以共有4+2-1=5種

情況；

(3)若1、4都閉合，共有2x2x2=8種情況，而其中電路不通有2、3、5都不閉合

與2、5都不閉合2種情況，則此時電路接通的情況有8-2=6種情況；

所以電路接通的情況有5+5+6=16種情況.

故答案為：16.

15.答案：2

解析：令/(x)=lnx-x+2,g{x}-l-x,

??."(x)T][g(X)T]<0，

令((x)=On尤=1,

.?.當0<x<l時，f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當x>l時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

/Wmax=/(1)=1-分別作出了CO，g(X)大致圖象如下:

y=\nx-x+21“

聯(lián)立=>x=-，H即nA

y=l-xe

設6(%0，%)，0<5<x0,令In九一九+2=1——，即lnx-x+l+—=O,

令丸(x)=lnx—x+1+:，知/z(x)在(L+oo)上單調(diào)遞減,

/z(2)=ln2-2+l+-=-0.307+->0,

/z(3)=ln3-2+-=1.099-2+-=-0.901+-<0,

eee

X。e(2,3)，二整數(shù)s的最大值為2.

故答案為：2.

16.答案：1；-

3

解析：取AC的中點。，

-22/、

PG=PB+BG=PB+-BD=PB+-x(PD-PB

331，

=PB+-x-(PA+PC]-PB

3m>

i一i—i——

=-PA+-PB+-PC,

333

又PG=xPA+yPB+zPC,空間向量PA,PB,PC的模長分別為1,2,3,且兩兩夾

角均為60。，x=—,y=—,z=—,x+y+z=l,

3-33

PG|=-PA+-PB+-PC

I333

=：?PA+PB+PC）2

1/——2~~^2~

=—7PA+PB+PC+2PAPB+2PCPB+2PAPC

3

in1~iir

=-Jl2+22+32+2xlx2x-+2x3x2x-+2xlx3x-

3V222

_5

-3-

17.答案：（1）%+4=6,證明見解析

0、?卜，+小當”為偶數(shù)時

"[川+〃+2,當〃為奇數(shù)時

解析：⑴已知S〃U+"+l,"eN*,

當〃=1時，ax=-^+2,q=4；當〃=2時，/+〃2=券+5,a2=2,所以4+%=6.

因為邑=今+/+1①，所以3.=等+（〃+1）2+1（1）.

②-①得，%=券吟+（，+小心整理得名+—+2,心*,

所以（。〃+1+%+2）—+。八+1）=[4（〃+1）+2]—（4〃+2）=4（常數(shù)），〃wN,

所以依+4+i｝是首項為6,公差為4的等差數(shù)列.

(2)由(1)知，an_x+an=4(n—l)+2=4n—2,zzGN\n>2.

—(6+4n—2)

當〃為偶數(shù)時，S〃=(a1+%)+(〃3+%)++(〃〃一1+4)=2----------------=n2+n；

當〃為奇數(shù)時,

—(10+4/1-2)

2

Sn=q+(g+%)+(%+%)++(a?-i+%,)=4H——-----------------=zi+n+2.

綜上所述，)--〈

"—1/+〃+2,當〃為奇數(shù)時

18.答案:(1)2M+4

⑵叵

3

解析：(1)依題意=工absinC='(??可得C=4,

因為C=巴，所以"=8.由余弦定理得4+尸—必=02,

3

因止匕3+6)2=02+3。6=40,即4+6=2加.

故△ABC的周長為2J而+4.

(2)由(1)及正弦定理可得，

2sin|--A|+sinA「

21_2/?+_2Z?+6/_2sinB+sinA_(3)_V7sin(A+^)

（其中

abab2c73省6

e為銳角，且tan6=@),

2

由題意可知0<A(生，因此，當A+e=工時，2+工取得最大值變.

32ab3

19.答案：(1)證明見解析

⑵迪

7

解析：（1）證明：在Rt^ADC中，AD=CD,E為AC的中點,

:.DELAC.

在△ABD與△CBD中,

AD=CD,ZADB=ZBDC,BD=BD,

：.Z\ABD^Z\CBD,:.AB=CB,

又E為AC的中點，：.BE±AC,

又ACLDE,BEDE=E,BE,DEu平面BED,平面BED,

又ACu平面AC。，

平面BED，平面ACD.

(2)由(1)知△ABC是等腰三角形，又NACB=60。，

.?.△ABC為等邊三角形，AB=2,:.BE=6,

在等腰中，DE=1,又BD=2,:.DELBE,

以E為原點，EA,EB,ED所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直

角坐標系，連接EE

則41,0,0)，3(0,后0),C(-l,0,0),￡>(0,0,1),

.-.AB=(-1,73,0),AD=(-1,0,1),

設平面ABD的法向量為〃=(x,y,z),

則卜四=0:卜=3，令I，得――

u-AD=0x=z,

易知△AFC的面積最小時，EF±BD,

11DF.RFG

在ADEB中，由一BEDE=—BDEF知EF=----------=—

22BD2

I~~311

DF=J1——=-,DF=-DB,

V424

￡)3=(0,6-1),.-.DF=-DB=-(O,A-l)=fo,—

4414,

易得CR=，,4,］，

I44JI44J

設CR與平面A3。所成的角為e,

則sin0=|cos(w,CF)|二

.。與平面的所成的角的正弦值為半

3

20.答案：（1）分布列見解析，E（X）=|

（2）7次

解析：（1）據(jù)題意，X的所有可能取值為0,1,2,3.

當X=0時，前3次亮燈的顏色為“綠綠綠”，則P（X=0）=Lx!><!=L,

23318

當X=1時，前3次亮燈的顏色為“紅綠綠”，或“綠紅綠”，或“綠綠紅”，則

P(x=i)=-2-2,

',2332332339

當X=2時，前3次亮燈的顏色為“紅紅綠”或“紅綠紅”或“綠紅紅”,

1121221214

則P(X=2)——x-x—I—x_x—I—x_x_=一

,/2332332339

當X=3時，前3次亮燈的顏色為“紅紅紅"，貝i）P（X=3）=LkLJ_,

23318

所以X的分布列為:

X0123

1441

P

189918

」

E（X）=0-x±+3x

1899182

（2）記第〃次亮燈時，亮起紅燈的概率為幺，由題設,

12

Pn+l=P?W+(j)xg=-----VH----,

3"3

則因為B=;，

則Pi—，=—L，所以是首項為一,，公比為一1的等比數(shù)歹(J.

26[2J63

11

所以p〃=—+—

22

由0,,=工+工義[—![<工，得』x[—![<0,所以〃為奇數(shù).

22\3)22(3)

,11f1Ylow1Y1

〃22I3)20213J2021

因為〃為奇數(shù)，則‘<」-,即3">2021,則〃27.

3"2021

當“W20時，〃=7,9,11,13,15,17,19.因為玩具在這7次亮燈中亮紅燈是隨機

事件，所以在前20次亮燈中，該玩具最多唱7次歌.

無2

21.答案：(1)—+/=1

4

(2)存在，方程為公+丁2=1

解析：(1)由題意知M(0,b),N(a,0),由工仍=1,得ab=2①.

2

設直線y=x與橢圓C交于點,g(-x0,-x0),則|PQ『=8x：.

把PG。,/)代入橢圓方程，得

/

,即卓1=；②.

故

6Z+/?5

a2=4p“2=1f

由①②，解得.或《,一(舍去)，所以橢圓C的標準方程%+'』.

b2=l

(2)假設存在這樣的圓O,設。4。5=九

當直線A3的斜率存在時，設直線A3的方程為丁=履+加.

y—kx-\-m

由＜%22，得(1+4左2)龍2+8^^+4相2—4=0.

7y=1

設4（%，%），3（%,%），則可+々=一帝記，=］+4廬，

故

25蘇_442

OAOB=X]/+%%=(1+左+^m(x1+x2)+m=+——^+km\——8k"[]+/

1+4左I1+4k)l+4p

由得