2024屆北京市西城區(qū)北京師范大學(xué)附中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆北京市西城區(qū)北京師范大學(xué)附中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知一個(gè)三角形的三邊是連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)，且最大角是最小角的2倍，則該三角形的最小角的余弦值是（）A． B．C． D．2．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是()A． B．C． D．3．已知200輛汽車通過(guò)某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，時(shí)速在的汽車輛數(shù)為()A．8 B．80 C．65 D．704．以下給出了4個(gè)命題：（1）兩個(gè)長(zhǎng)度相等的向量一定相等；（2）相等的向量起點(diǎn)必相同；（3）若，且，則；（4）若向量的模小于的模，則．其中正確命題的個(gè)數(shù)共有（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)5．在三棱柱中，各棱長(zhǎng)相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)是側(cè)面的中心，則與平面所成角的大小是（）A． B． C． D．6．設(shè)，若，則數(shù)列是（）A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．奇數(shù)項(xiàng)遞增，偶數(shù)項(xiàng)遞減的數(shù)列 D．偶數(shù)項(xiàng)遞增，奇數(shù)項(xiàng)遞減的數(shù)列7．已知一個(gè)幾何體是由半徑為2的球挖去一個(gè)三棱錐得到（三棱錐的頂點(diǎn)均在球面上）.若該幾何體的三視圖如圖所示（側(cè)視圖中的四邊形為菱形），則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減．若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．9．在正四棱柱中，，，則與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．10．我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問(wèn)題：“今有垣厚十尺,兩鼠對(duì)穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問(wèn)幾何日相逢？”現(xiàn)用程序框圖描述,如圖所示,則輸出結(jié)果n=()A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．12．已知，，則________．13．終邊在軸上的角的集合是_____________________．14．某射手的一次射擊中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別為0.2、0.3、0.1，則此射手在一次射擊中不超過(guò)8環(huán)的概率為_________．15．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)在對(duì)角線上，過(guò)點(diǎn)作垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長(zhǎng)為，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域__________．16．已知，則__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知圓.（1）求圓的半徑和圓心坐標(biāo)；（2）斜率為的直線與圓相交于、兩點(diǎn)，求面積最大時(shí)直線的方程.18．在中,角所對(duì)的邊分別為,且.(1)求;(2)若,求的周長(zhǎng).19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn),，銳角的終邊與單位圓O交于點(diǎn)P．(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求的值；(Ⅱ)在軸上是否存在定點(diǎn)M，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．20．在中，邊所在的直線方程為，其中頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求邊上的高所在的直線方程；（2）若的中點(diǎn)分別為，，求直線的方程.21．某廠生產(chǎn)產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元，每生產(chǎn)千件需另投人成本萬(wàn)元.當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，（萬(wàn)元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，萬(wàn)元，每千件產(chǎn)品的售價(jià)為50萬(wàn)元，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完.（1）寫出年利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于千件的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)該廠當(dāng)年的利潤(rùn)最大？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

設(shè)的最大角為，最小角為，可得出，，由題意得出，由二倍角公式，利用正弦定理邊角互化思想以及余弦定理可得出關(guān)于的方程，求出的值，可得出的值.【詳解】設(shè)的最大角為，最小角為，可得出，，由題意得出，，所以，，即，即，將，代入得，解得，，，則，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解題時(shí)根據(jù)對(duì)稱思想設(shè)邊長(zhǎng)可簡(jiǎn)化計(jì)算，另外就是充分利用二倍角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng).2、D【解析】

化簡(jiǎn)函數(shù)可得y＝2sin（2x），把“2x”作為一個(gè)整體，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求出x的范圍，即是所求函數(shù)的增區(qū)間．【詳解】，由2kπ≤2x2kπ得，kπx≤kπ（k∈z），∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是[kπ，kπ]（k∈z），故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用，一般的做法是利用整體思想，根據(jù)正弦函數(shù)（余弦函數(shù)）的性質(zhì)進(jìn)行求解．3、B【解析】

先計(jì)算時(shí)速在的汽車頻率，再乘200,?！驹斀狻坑蓤D知：時(shí)速在的汽車頻率為所以時(shí)速在的汽車輛數(shù)為，選B.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題。4、D【解析】

利用向量的概念性質(zhì)和向量的數(shù)量積對(duì)每一個(gè)命題逐一分析判斷得解.【詳解】（1）兩個(gè)長(zhǎng)度相等的向量不一定相等，因?yàn)樗鼈兛赡芊较虿煌?，所以該命題是錯(cuò)誤的；（2）相等的向量起點(diǎn)不一定相同，只要它們方向相同長(zhǎng)度相等就是相等向量，所以該命題是錯(cuò)誤的；（3）若，且，則是錯(cuò)誤的，舉一個(gè)反例，如，不一定相等，所以該命題是錯(cuò)誤的；（4）若向量的模小于的模，則，是錯(cuò)誤的，因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小，因?yàn)橄蛄考扔写笮∮钟蟹较?，故該命題不正確．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的概念和數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.5、C【解析】

如圖，取中點(diǎn)，則平面，故，因此與平面所成角即為，設(shè)，則，，即，故，故選C.6、C【解析】

根據(jù)題意，由三角函數(shù)的性質(zhì)分析可得，進(jìn)而可得函數(shù)為減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系分析可得答案?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，，則，指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)即即即即，數(shù)列是奇數(shù)項(xiàng)遞增，偶數(shù)項(xiàng)遞減的數(shù)列，故選：C.【點(diǎn)睛】本題涉及數(shù)列的函數(shù)特性，利用函數(shù)單調(diào)性，通過(guò)函數(shù)的大小，反推變量的大小，是一道中檔題目。7、C【解析】由三視圖可知，三棱錐的體積為8、B【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的定義可變形，再直接比較的大小關(guān)系，即可利用函數(shù)的單調(diào)性得出，，的大小關(guān)系．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù)，所以，而，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，涉及奇偶性，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

連結(jié)，結(jié)合幾何體的特征，直接求解與所成角的余弦值即可．【詳解】如圖所示：在正四棱柱中，＝1，＝2，連結(jié)，則與所成角就是中的，所以與所成角的余弦值為：＝＝．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查正四棱柱的性質(zhì)，直線與直線所成角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】開始，輸入，則，判斷，否，循環(huán)，，則，判斷，否，循環(huán)，則，判斷，否，循環(huán)，則，判斷，是，輸出，結(jié)束.故選擇C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

通過(guò)變形可知，累乘計(jì)算即得結(jié)論．【詳解】∵（n+1）an＝nan+1，∴，∴，，…，，累乘得：，又∵a1＝1，∴an＝n，故答案為：an＝n．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，利用累乘法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．12、【解析】

由二倍角求得α，則tanα可求．【詳解】由sin2α=sinα，得2sinαcosα=sinα，∵,∴sinα≠0,則,即.∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，考查公式的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

由于終邊在y軸的非負(fù)半軸上的角的集合為而終邊在y軸的非正半軸上的角的集合為，終邊在軸上的角的集合是，所以，故答案為.14、0.5【解析】

由互斥事件的概率加法求出射手在一次射擊中超過(guò)8環(huán)的概率，再利用對(duì)立事件的概率求出不超過(guò)8環(huán)的概率即可.【詳解】由題意，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別為0.2、0.3、0.1，所以射手的一次射擊中超過(guò)8環(huán)的概率為：0.2+0.3=0.5故射手的一次射擊中不超過(guò)8環(huán)的概率為：1-0.5=0.5故答案為0.5【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)立事件的概率，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)已知條件，所得截面可能是三角形，也可能是六邊形，分別求出三角形與六邊形周長(zhǎng)的取值情況，即可得到函數(shù)的值域.【詳解】如圖：∵正方體的棱長(zhǎng)為，∴正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為6，∵（i）當(dāng)或時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最小.設(shè)截面正三角形的邊長(zhǎng)為，由等體積法得：∴∴，（ii）或時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最大，截面正三角形的邊長(zhǎng)為，∴（iii）當(dāng)時(shí)，截面六邊形的周長(zhǎng)都為∴∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查多面體表面的截面問(wèn)題和線面垂直，關(guān)鍵在于結(jié)合圖形分析截面的三種情況，進(jìn)而得出與截面邊長(zhǎng)的關(guān)系.16、【解析】

對(duì)已知等式的左右兩邊同時(shí)平方，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式和二倍角的正弦公式，可以求出的值，再利用二倍角的余弦公式可以求出.【詳解】因?yàn)椋?，即，所?【點(diǎn)睛】本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為；（2）或．【解析】

（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得出圓的圓心坐標(biāo)和半徑；（2）設(shè)直線的方程為，即，設(shè)圓心到直線的距離，計(jì)算出直線截圓的弦長(zhǎng)，利用基本不等式可得出的最大值以及等號(hào)成立時(shí)對(duì)應(yīng)的的值，利用點(diǎn)的到直線的距離可解出實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，因此，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為；（2）設(shè)直線的方程為，即，設(shè)圓心到直線的距離，則，且，的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由點(diǎn)到直線的距離公式得，解得或.因此，直線的方程為或．【點(diǎn)睛】本題考查圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程之間的互化，以及直線截圓所形成的三角形的面積，解題時(shí)要充分利用幾何法將直線截圓所得弦長(zhǎng)表示出來(lái)，在求最值時(shí)，可利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.18、（1）；（2）【解析】

分析：（1）利用正弦定理，求得，即可求出A，根據(jù)已知條件算出，再由大邊對(duì)大角，即可求出C；（2）易得，根據(jù)兩角和正弦公式求出，再由正弦定理求出和，即可得到答案.詳解：解：(1)由正弦定理得,又,所以，從而,因?yàn)?所以.又因?yàn)?，，所?(2)由(1)得由正弦定理得，可得,.所以的周長(zhǎng)為.點(diǎn)睛：本題主要考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用.正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下四種：（1）已知兩邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）已知兩角與一個(gè)角的對(duì)邊，求另一個(gè)角的對(duì)邊；（3）證明化簡(jiǎn)過(guò)程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，求得向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求得，即可求得答案．（Ⅱ）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為，把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，列出方程組，即可求解．【詳解】（Ⅰ），，（Ⅱ）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量的數(shù)量積的應(yīng)用和恒成立問(wèn)題的求解，其中解答中合理利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及轉(zhuǎn)化等式的恒成立問(wèn)題，列出相應(yīng)的方程組是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．20、（1）；（2）【解析】

（1）由題易知邊上的高過(guò),斜率為3，可得結(jié)果.（1）求得點(diǎn)A的坐標(biāo)可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，易知直線EF和直線AB的斜率一樣，可得方程.【詳解】（1）邊上的高過(guò),因?yàn)檫吷系母咚诘闹本€與所在的直線互相垂直，故其斜率為3,方程為:(2)由題點(diǎn)坐標(biāo)為,的中點(diǎn)是的一條中位線,所以,，其斜率為：，所以的斜率為所以直線的方程為：化簡(jiǎn)可得：.【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程的求法，主要考查直線的點(diǎn)斜式方程，以及化簡(jiǎn)為一般式，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）（2）100【解析】

（1）由于每生產(chǎn)千件需另投人成本受產(chǎn)量的影響有變化，根據(jù)