04（理科）（解析版） 備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（全國(guó)卷專用）

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（全國(guó)卷專用）黃金卷04（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解二次不等式及絕對(duì)值不等式，結(jié)合數(shù)軸即可求解.【詳解】因?yàn)?，，因?yàn)椋瑒t，所以.故選：C．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別是，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】由已知得出，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)得出，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，則，所以，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)位于第一象限.故選：A.3．若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：C.4．某校在開(kāi)展“深化五育并舉、強(qiáng)大核心素養(yǎng)”活動(dòng)中，選派了名學(xué)生到三個(gè)勞動(dòng)實(shí)踐點(diǎn)去勞動(dòng)，每個(gè)勞動(dòng)實(shí)踐點(diǎn)至少1人，每名學(xué)生只能去一個(gè)勞動(dòng)實(shí)踐點(diǎn)，不同的選派方法種數(shù)有（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】按照先分組，再分配的方法，即可求解.【詳解】將5名學(xué)生分成3組，3，1，1或是2，2，13，1，1的分組有種方法，2，2，1的分組有種方法，所以分組方法共有種，再分配到3個(gè)勞動(dòng)點(diǎn)，則有種方法.故選：D5．已知函數(shù)在上單調(diào)，且，則的取值共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)單調(diào)區(qū)間可確定周期范圍，結(jié)合可得，然后即可確定的取值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，所以，又，所以，得，當(dāng)，即時(shí)，滿足題意，此時(shí).故選：C6．如圖，若輸出的y的值為2，則輸入的x的值為（

）A．或4 B．2或6 C．或6 D．6或4【答案】C【分析】根據(jù)程序框圖得到函數(shù)解析式，再分類討論，結(jié)合函數(shù)解析式計(jì)算可得.【詳解】由程序框圖可得，可知或，解得或.故選：C7．在某市高三年級(jí)舉行的一次模擬考試中，某學(xué)科共有20000人參加考試．為了了解本次考試學(xué)生成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)（成績(jī)均為正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，樣本容量為n．按照的分組作出頻率分布直方圖如圖所示．其中，成績(jī)落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為16．則下列結(jié)論不正確的是（

）A．樣本容量B．該市要對(duì)成績(jī)由高到低前20%的學(xué)生授予“優(yōu)秀學(xué)生”稱號(hào)，則成績(jī)?yōu)?8分的學(xué)生肯定能得到此稱號(hào)C．估計(jì)該市全體學(xué)生成績(jī)的平均分為70.6分D．圖中【答案】B【分析】由頻率分布直方圖區(qū)間的概率確定樣本總?cè)萘?，由頻率和為1求，根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)均值，確定78分前所占比例從而判斷各選項(xiàng)．【詳解】解：對(duì)于A：因?yàn)槌煽?jī)落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為16，所以樣本容量，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋窗凑粘煽?jī)由高到低前20%的學(xué)生中不含78分的學(xué)生，所以成績(jī)?yōu)?8分的學(xué)生不能得到此稱號(hào)，故B不正確．對(duì)于C：學(xué)生成績(jī)平均分為：，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，解得，故D正確；故選：B8．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，成等差數(shù)列，若中存在兩項(xiàng)，，使得為其等比中項(xiàng)，則的最小值為（

）A．4 B．9 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，，成等差數(shù)列，可得，即可求得q值，根據(jù)為，的等比中項(xiàng)，可求得，利用基本不等式“1”的活用，即可求得答案.【詳解】因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，又為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為q，所以，所以，解得或（舍），又為，的等比中項(xiàng)，所以，所以，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)、基本不等式等知識(shí)，并靈活應(yīng)用，數(shù)列中應(yīng)用基本不等式時(shí)，應(yīng)注意取等條件，即角標(biāo)m，n必須為正整數(shù)，屬中檔題.9．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，，，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，則球O的體積為（

）A．8 B． C． D．【答案】D【分析】先證得平面，再求得，從而得為正方體一部分，進(jìn)而知正方體的體對(duì)角線即為球直徑，從而得解.【詳解】，，所以，故為等邊三角形，為正三棱錐，取的中點(diǎn)O，連接，則，又面，所以面，又面，所以，又，分別為、中點(diǎn)，，，又，平面，平面，又面，所以，，，在中由勾股定理得，為正方體一部分，，即，，故選：D．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：補(bǔ)體法解決外接球問(wèn)題，可通過(guò)線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長(zhǎng)，進(jìn)而補(bǔ)體成正方體解決．10．“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等，如圖，已知圓的半徑2，點(diǎn)是圓內(nèi)的定點(diǎn)，且，弦均過(guò)點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A．為定值B．當(dāng)時(shí)，為定值C．的取值范圍是D．的最大值為12【答案】D【分析】過(guò)作直徑，利用向量加減幾何意義得判斷A；根據(jù)垂直關(guān)系及、數(shù)量積得運(yùn)算律化簡(jiǎn)判斷B；若為中點(diǎn)，連接，應(yīng)用向量線性運(yùn)算的幾何意義及數(shù)量積的運(yùn)算律、圓的性質(zhì)得，進(jìn)而求范圍判斷C；由弦的最大值判斷D.【詳解】如圖，過(guò)作直徑，依題意，為定值，A正確；若，則，則，又，則，同理可得，故，B正確；若為中點(diǎn)，連接，則，由題意，則，C正確；因?yàn)?，則有，D錯(cuò)誤.

故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)定義及向量線性運(yùn)算的幾何意義，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律轉(zhuǎn)化各項(xiàng)數(shù)量積或乘積關(guān)系，再由圓的性質(zhì)、基本不等式判斷各項(xiàng)正誤.11．已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B． C． D．2【答案】C【分析】設(shè)過(guò)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點(diǎn)，運(yùn)用雙曲線的定義和條件可得，，，再由漸近線的斜率和余弦定理，結(jié)合離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．【詳解】設(shè)過(guò)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點(diǎn)，由雙曲線的定義可得，由，可得，，，由可得，在三角形中，由余弦定理可得：，即有，化簡(jiǎn)可得，所以雙曲線的離心率．故選：C．12．已知函數(shù)，（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若在上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解法一，利用利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由此列不等式來(lái)求得的取值范圍.解法二，利用分離常數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.解法三、四，利用切線放縮來(lái)求得的取值范圍.【詳解】解法1：要使在上恒成立，只需即可．，又，易知：在上遞增．因?yàn)楫?dāng)趨向于0時(shí)，趨向負(fù)無(wú)窮，當(dāng)趨向正無(wú)窮時(shí)，趨向正無(wú)窮，所以，在上存在唯一的零點(diǎn)，滿足，所以，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是．由得：，必有，，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，則有，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，即，故，于是實(shí)數(shù)m的取值范圍是．解法2：要使在上恒成立，等價(jià)于在上恒成立．令，則只需即可．，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以有唯一的零點(diǎn)，且，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，則有，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，即，即．即．于是實(shí)數(shù)m的取值范圍是解法3：（切線放縮，避開(kāi)零點(diǎn)）要使在上恒成立，等價(jià)于在上恒成立．先證明，令，則，于是，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以，當(dāng)時(shí)，有，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，于是實(shí)數(shù)m的取值范圍是．解法4：（切線放縮，避開(kāi)零點(diǎn)）先證明，令，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以.∵∴，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；而在上單調(diào)遞增，且，所以存在，使得成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，解決方法有很多，可以考慮直接法，也可以考慮分離參數(shù)法，還可以考慮利用放縮法來(lái)進(jìn)行求解.在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值的過(guò)程中，如果一次求導(dǎo)無(wú)法求得，可以考慮多次求導(dǎo)來(lái)進(jìn)行求解.第II卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13．已知函數(shù)在處的切線方程為，則．【答案】/【分析】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)切線方程得到，解得答案.【詳解】，，函數(shù)在處的切線方程為，即，則，解得或（舍），故.故答案為：14．拋物線上的動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)的距離之和的最小值為．【答案】4【詳解】[拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，則的長(zhǎng)度等于點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離，從而點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F，E的距離之和的最小值為點(diǎn)到直線的距離．即最小值為4．]15．如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，P是底面ABCD內(nèi)的一點(diǎn)（包含邊界），且，則線段的長(zhǎng)度的取值范圍是．【答案】【分析】首先利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得點(diǎn)的軌跡方程，再代入兩點(diǎn)間的距離公式，求線段長(zhǎng)度的取值范圍.【詳解】以D為原點(diǎn)，以DA，DC，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，設(shè)，則，，又，所以，即，則．當(dāng)時(shí)，，設(shè)，所以點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)的軌跡為一條線段AF，所以，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以線段的長(zhǎng)度的取值范圍是．故答案為：16．若銳角的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，其外接圓的半徑為，且，則的取值范圍為.【答案】【分析】首先利用三角恒等變換求得，結(jié)合正弦定理邊化角可得，進(jìn)一步結(jié)合是銳角三角形、即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，即，由正弦定理得，顯然，所以，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)橥饨訄A的半徑為，所以，所以，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，即.令，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，即，所以，即的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是適當(dāng)利用兩角和差公式、正弦定理邊化角將目標(biāo)函數(shù)表示出來(lái)，然后結(jié)合角的范圍求解即可.三、解答題：本大題共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）已知數(shù)列，滿足，，.(1)證明：為等差數(shù)列.(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【詳解】（1）由題意得，， 1分則， 3分 所以是首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列. 5分（2）由（1）得，則， 7分當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，. 9分當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，則. 11分綜上，. 12分18．（12分）某工廠一臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)一種特定零件，工廠為了解該設(shè)備的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽檢了該設(shè)備在一個(gè)生產(chǎn)周期中的100件產(chǎn)品的關(guān)鍵指標(biāo)（單位：），經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到下面的頻率分布直方圖：(1)由頻率分布直方圖估計(jì)抽檢樣本關(guān)鍵指標(biāo)的平均數(shù)和方差．（用每組的中點(diǎn)代表該組的均值）(2)已知這臺(tái)設(shè)備正常狀態(tài)下生產(chǎn)零件的關(guān)鍵指標(biāo)服從正態(tài)分布，用直方圖的平均數(shù)估計(jì)值作為的估計(jì)值，用直方圖的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值作為估計(jì)值．（i）為了監(jiān)控該設(shè)備的生產(chǎn)過(guò)程，每個(gè)生產(chǎn)周期中都要隨機(jī)抽測(cè)10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo)，如果關(guān)鍵指標(biāo)出現(xiàn)了之外的零件，就認(rèn)為生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常，需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．下面是某個(gè)生產(chǎn)周期中抽測(cè)的10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo)：0.81.20.951.011.231.121.330.971.210.83利用和判斷該生產(chǎn)周期是否需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．（ⅱ）若設(shè)備狀態(tài)正常，記表示一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)抽取的10個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的零件個(gè)數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，【詳解】（1）由頻率分布直方圖，得． 2分． 4分（2）（i）由（1）可知，， 5分所以，， 6分顯然抽查中的零件指標(biāo)，故需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備． 7分（ii）抽測(cè)一個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之內(nèi)的概率為，所以抽測(cè)一個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的概率為，故 9分，所以， 11分X的數(shù)學(xué)期望． 12分19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上．(1)當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；(2)當(dāng)二面角的正弦值為時(shí)，求的值．【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，．在平面?nèi)作，又，所以兩兩垂直， 1分以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 2分因?yàn)?，，，N是中點(diǎn)，則，，，，，，，，．設(shè)平面的法向量，則即取． 4分所以點(diǎn)N到平面的距離． 5分（2）因?yàn)镸是的中點(diǎn)，所以，設(shè)，則，，． 6分設(shè)平面的法向量，則即?。?7分設(shè)平面的法向量，則即?。?9分設(shè)二面角的大小為，則．設(shè)，因?yàn)槎娼堑恼抑禐椋?，解得，此時(shí)， 11分所以． 12分20．（12分）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)．(1)若，求的值；(2)若圓是以為圓心，1為半徑的圓，連接，線段交圓于點(diǎn)，射線上存在一點(diǎn)，使得為定值，證明：點(diǎn)在定直線上．【詳解】（1）依題意可得，可設(shè)，，由，消去整理得， 2分，，，，， 4分所以，解得或（舍去），所以. 4分（2）由（1）知，，若直線斜率存在，則，直線，由得，又點(diǎn)在線段上， 5分所以，即，又，， 7分設(shè)，則，；當(dāng)時(shí)，為定值，此時(shí)，則，此時(shí)在定直線上；當(dāng)時(shí)，不為定值，不合題意； 9分若直線斜率不存在，由橢圓和圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)，從而有，，此時(shí)，則直線，設(shè)，則，，，則時(shí)，，滿足題意； 11分綜上所述：當(dāng)為定值，點(diǎn)在定直線上. 12分21．（12分）已知函數(shù)，其中．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．【詳解】（1）因?yàn)椋裕?1分當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增； 2分當(dāng)時(shí)，由，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，得