九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第14課 實(shí)際問題與二次函數(shù)

第14課實(shí)際問題與二次函數(shù)

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)

a)能夠分析和表示不同背景下實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)求出實(shí)際問

題的最大(小)值，提高解決問題的能力。

(2)通過求最大面積、最大利潤等問題，體會(huì)二次函數(shù)是一類解決最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型。

冊(cè):知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01列二次函數(shù)解應(yīng)用題

列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，表示

量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個(gè)變量的等式.對(duì)于應(yīng)用題要注意以下步驟：

(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個(gè)，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系(即

函數(shù)關(guān)系).

(2)設(shè)出兩個(gè)變量，注意分清自變量和因變量，同時(shí)還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確.

(3)列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù).

(4)按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題.

(5)檢驗(yàn)所得解是否符合實(shí)際：即是否為所提問題的答案.

(6)寫出答案.

知識(shí)點(diǎn)02建立二次函數(shù)模型求解實(shí)際問題

一般步驟：(1)恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；

(4)代入已知條件或點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；

(5)利用關(guān)系式求解問題.

【注意】

(1)利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公

式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實(shí)際問題時(shí)要

注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.

(2)對(duì)于本節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)由低到高處理好如下三個(gè)方面的問題：

①首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；

②學(xué)會(huì)從實(shí)際問題中建立二次函數(shù)的模型；

③借助二次函數(shù)的性質(zhì)來解決實(shí)際問題.

知識(shí)點(diǎn)03利用二次函數(shù)求圖形面積的最值問題

一些幾何圖形的面積與其相關(guān)邊長成二次函數(shù)關(guān)系時(shí)，可以用二次函數(shù)的最值求其最大面積。

求矩形的最大面積時(shí)，通常用含有自變量X的代數(shù)式表示矩形的長與寬，根據(jù)矩形的面積公式構(gòu)造關(guān)于X

的二次函數(shù)，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值，同時(shí)要注意自

變量的取值范圍。

知識(shí)點(diǎn)04利用二次函數(shù)求最大利潤問題

（1）利潤問題是本節(jié)的重點(diǎn)問題之一，在日常生活中經(jīng)常出現(xiàn)，是考試熱點(diǎn)。對(duì)于這類問題，只要審清題

意，記住利潤問題中的幾個(gè)公式，便可解決此類問題。

①每件的利潤=銷售單價(jià)-成本單價(jià)；

②總利潤=總銷售價(jià)-總成本價(jià)=每件利潤X銷售量。

（2）利用二次函數(shù)的最值解答商品銷售中的“最大利潤''問題時(shí)，可采用以下步驟：

①設(shè)出自變量，用含自變量的代數(shù)式表示銷售單價(jià)或銷售量及銷售收入；

②用含自變量的代數(shù)式表示銷售商品的成本；

③用因變量及含自變量的代數(shù)式分別表示銷售利潤，即可得到函數(shù)表達(dá)式；

④根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求出最值及取得最值時(shí)自變量的值，注意結(jié)果要符合實(shí)際意義及題意。

知識(shí)點(diǎn)05利用二次函數(shù)解決拋物線型建筑物問題

這類問題所給的問題情境常有一個(gè)拋物線型物體，比如拱橋或隧道這些問題都可以通過構(gòu)造二次承數(shù)的表

達(dá)式來解決，解決這類問題般是利用數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想。

1.一般解題思路

（1）在示意圖中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將題目中所給條件轉(zhuǎn)化平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

（2）根據(jù)圖中坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的表達(dá)式。

（3）由二次函數(shù)的性質(zhì)去分析解決問題，檢驗(yàn)問題的結(jié)果是否符合實(shí)標(biāo)意義，并作答。

2.卡車過拱橋（隧道）問題

在問題中，拋物線的函數(shù)表達(dá)式是首要條件，有時(shí)函數(shù)表達(dá)式已經(jīng)給出，有時(shí)需要先求出來，求出函數(shù)表

達(dá)式后有兩種方法可以判斷卡車能否從橋下通過：

（1）固定卡車的寬，看橋是否足夠高（即相當(dāng)于己知x的值，根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求y的值，然后與限制的高的

值比較大小）；

（2）固定卡車的高，看橋是否足夠?qū)挘聪喈?dāng)于己知），的值，根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求x的值，然后與限制的寬的

值比較大?。?/p>

u能力拓展

考法01求幾何圖形面積的最值

【典例1】如圖，一邊靠墻（墻有足夠長），其它三邊用12m長的籬笆圍成一個(gè)矩形（ABCD）花園，這個(gè)

花園的最大面積是（)

AD

B--------------C

A.18m2B.12m2C.16m2D.22m2

【答案】A

【詳解】解：設(shè)與墻垂直的矩形的邊長為xm,

則這個(gè)花園的面積是：S=x（12-2x）=-2X2+12X=-2（X-3）2+18,

.?.當(dāng)x=3時(shí)，S取得最大值,此時(shí)S=18,

故選：A.

【即學(xué)即練】如圖，四邊形A88中，AC±BDf若AC+3O=12,則四邊形ABC。的面積最大值為（）

刁

A.6B.18C.36D.144

【答案】B

【詳解】如圖，設(shè)4C、8。交于點(diǎn)M

￡D

設(shè)AC=x

AC+BD=12

:.BD=l2-x

四邊形ABCD的面積S+S=^BD-AM+-

nAmncBDBDCM=-BD(AM+CM)=-BDAC=-x(\2-x)

222

即四邊形ABC。的面積=—!X2+6X=-_L（X-6）2+18

當(dāng)x=6時(shí)，四邊形ABC。的面積最大，最大為18.

故選:B.

=kx(左為常數(shù))與拋物線y=gd-2交于A、B兩點(diǎn),

【典例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y

且點(diǎn)A在y軸左側(cè)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（O,y）,連接PA,PB,則面積的最小值為（）

A.2瓜B.45/6C.D.6

【答案】B

）=12_2

【詳解】解：設(shè)4幾物）,8（〃,如），聯(lián)立『一5"一，得:/一2="，即/一3區(qū)一6=0,

y=kx3

由根與系數(shù)的關(guān)系得機(jī)+〃=3k,mn=-6.

SaAB=SAM。+SMB。=5°尸?（-M+5°P.〃=2（"-tn）=2^（m+n）2-4mn=2y/9k2+24，

...當(dāng)Z=0時(shí)，的面積最小，最小面枳為2?=4".

故選：B.

【即學(xué)即練】如果一個(gè)矩形的周長與面積的差是定值加（2＜加＜4）,我們稱這個(gè)矩形為“定差值矩形”.如圖，

7

在矩形ABCQ中，AB=x,AD^y,2（x+y）-xy=-,那么這個(gè)“定差值矩形”的對(duì)角線AC的長的最小

值為（）

A.立B.書C.73D.迪

23

【答案】C

【詳解】解：：在矩形A8CD中，ZB=90°,BC=AD=y,AB=x,

：.AC2=AB2+BC2,

AC2=x2+y2=(x+?-2孫,

V2(x+y)-^=-,

x)'=2(x+y)-g,

AC2=x2+y2=(x+j)2-2xy=(x+y)2-4(x+>')+7=(x+y-2y+3,

.?.當(dāng)x+y=2時(shí)，AC2=3，

，AC有最小值為白（取正值）,

故選：C.

考法02利用二次函數(shù)解最大利潤問題

【典例3】某種商品每件的進(jìn)價(jià)為30元，在某時(shí)間段內(nèi)若以每件x元出售，可賣出（100—x）件.若想獲

得最大利潤，則定價(jià)x應(yīng)為（）

A.35元B.45元C.55元D.65元

【答案】D

【詳解】解：設(shè)所獲得的利潤為W,

由題意得W=（X-30）（100-X）=100X-3000—X2+30X=-（X-65）2+1225,

V-l<0,

.?.當(dāng)x=65時(shí),W有最大值1225,

故選D.

【即學(xué)即練】某商品的利潤y（元）與售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為>=-N+8x+9,且售價(jià)x的范圍是

lSx<3,則最大利潤是（）

A.16元B.21元C.24元D.25元

【答案】C

【詳解】解：產(chǎn)-l+8x+9=-（x-4）2+25,

Va=-l<0,

利潤y有最大值，

當(dāng)x<4時(shí)，y隨x的增大而增大，

???售價(jià)x的范圍是1三/3,

當(dāng)k3時(shí)，最大利潤y是24元，

故選：C.

【典例4】某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)每降低

5元，每天可多售出10件，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.銷售單價(jià)降低15元時(shí)，每天獲得利潤最大

B.每天的最大利潤為1250元

C.若銷售單價(jià)降低10元，每天的利潤為1200元

D.若每天的利潤為1050元，則銷售單價(jià)一定降低了5元

【答案】D

【詳解】因?yàn)槊拷档?元，每天可多售出10件，所以每降價(jià)1元可多售2件，

設(shè)每件降價(jià)x元，每天的利潤為y元，則每天可售（20+2x）件，每件利潤為40-x,

所以每天的利潤為y=(20+2x)(40-x)=-2x2+60x+800

將丫=-2/+60》+800整理成頂點(diǎn)式有y=—2(x—15y+125O,

由頂點(diǎn)式可知當(dāng)銷售單價(jià)降低15元時(shí)，每天獲得利潤最大，每天的最大利潤為1250元，故A、B正確；

將x=10代入到解析式中解得y=1200,故C正確；

令y=1050,則1050=-2(15)2+1250,解得%=&尤?=25,即當(dāng)每天的利潤為1050元，則銷售單價(jià)可能

降低了5元，也可能降低了25元，所以D錯(cuò)誤；

綜上所述，答案選D.

【即學(xué)即練】某公司銷售一種藜麥，成本價(jià)為30元/千克，若以35元/千克的價(jià)格銷售，每天可售出450千

克.當(dāng)售價(jià)每漲0.5元/千克時(shí)，日銷售量就會(huì)減少15千克.設(shè)當(dāng)日銷售單價(jià)為x(元/千克)(xZ30,且x

是按0.5的倍數(shù)上漲)，當(dāng)日銷售量為，(千克).有下列說法：

①當(dāng)x=36時(shí)，y=420

②)與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-30x+1500

③若使日銷售利潤為2880元，且銷售量較大，則日銷售單價(jià)應(yīng)定為42元/千克

④若使日銷售利潤最大，銷售價(jià)格應(yīng)定為40元/千克

其中正確的是()

A.①@B.①②④C.①②③D.②④

【答案】B

【詳解】當(dāng)x=36時(shí)，y=450-15x2=420,故①正確；

由題意得：y=450-(x-35)x15x2=-30x+1500,故②正確：

日銷售利潤為卬=j,(x-30)=(-30x+1500)(x-30),

由題意得：(—30x+1500)(x—30)=2880,

整理得：丁-80%+1596=0，

解得：=42,x2=38,

???銷售單價(jià)為38元/千克時(shí)的銷售量比銷售單價(jià)為42元/千克時(shí)大，

x=42不合題意，

即若使日銷售利潤為2880元，且銷售量較大，則日銷售單價(jià)應(yīng)定為38元/千克，故③錯(cuò)誤；

由上問可知：w=y(%-30)=(-30%+1500)(x-30),

即VP=-30x2+2400x-45000=-30(x2-80x+l500)=-30(x-40)2+3000.

—30VO,

...當(dāng)x=40時(shí)，w最大值=30。。，

即若使日銷售利潤最大，銷售價(jià)格應(yīng)定為40元/千克，故④正確；

故正確的是①②④；

故答案選B.

考法03利用二次函數(shù)解拱橋問題

【典例5】如圖，某涵洞的截面是拋物線形，現(xiàn)測得水面寬A8=1.6m,涵洞頂點(diǎn)。與水面的距離CO是2m,

則當(dāng)水位上升1.5m時(shí)，水面的寬度為（）

A.0.4mB.0.6mC.0.8mD.Im

【答案】C

【詳解】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系：

設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=由題意得：人-0.8,-2）,

-2=0.8x0.8xa,

解得：4=-2=5，

O

?_252

??y=—A,

8

25

當(dāng)尸-0.5時(shí),則有-0.5=——x2,

8

解得：x=±0.4,

二水面的寬度為0.8m；

故選C.

【即學(xué)即練】如圖是拋物線形的拱橋，當(dāng)水面寬4m時(shí)，頂點(diǎn)離水面2m,當(dāng)水面寬度增加到6m時(shí)，水面

下降（）

4m

A.ImB.1.5mC.2.5mD.2m

【答案】c

【詳解】解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸X通過A8,縱軸y通過中點(diǎn)。且通過頂點(diǎn)C,則通過畫圖

可得知。為原點(diǎn)，

由平面直角坐標(biāo)系可知，C（O,2）,A^-1,OLB^|,O],即C（0,2）,A（—2,0）,B（2,0）,

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x+2）,

將點(diǎn)C（0,2）代入得：-2x2a=2,解得a=-g,

則拋物線的解析式為y=-g（x—2）（x+2）,即＞=-*2+2,

當(dāng)x=_：=_3時(shí)，y=-^x（-3）2+2=-2.5,

所以水面下降2.5m,

故選：C.

【典例6】如圖（1）是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，水面在/時(shí)，拱頂（拱橋洞的最高點(diǎn)）離水面3米,

水面寬4米.如果按圖（2）建立平面直角坐標(biāo)系，那么拋物線的解析式是.

圖(1)圖（2）

3

【答案】y=

4

【詳解】解：設(shè)出拋物線方程產(chǎn)"2（屏0）,由圖象可知該圖象經(jīng)過（-2,-3）點(diǎn),

?\-3=4a9

3

tz="-,

4

.??拋物線解析式為產(chǎn)

a

故答案為：y=V

【即學(xué)即練】某橋梁的橋洞可視為拋物線，AB=\2m,最高點(diǎn)C距離水面4m，以AB所在直線為x軸（向

右為正向），若以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系時(shí)，該拋物線的表達(dá)式為＞已知點(diǎn)。為拋物線上一點(diǎn),

位于點(diǎn)C右側(cè)且距離水面3〃?，若以點(diǎn)。為原點(diǎn)，以平C行于A8的直線為x軸（向右為正向）建立坐標(biāo)系

時(shí)，該物線的表達(dá)式為.

171o

【答案]y=_§x2=-§（尤+3）~+]

14]4

【詳解】解：在y=-中，令y=3得-§/+亍》=3,

解得x=3或x=9,

?；點(diǎn)D為拋物線上一點(diǎn)，位于點(diǎn)C右側(cè)且距離水面3m,

：.xD-xA=9,

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，以平行于A8的直線為x軸（向右為正向）建立坐標(biāo)系，如圖:

根據(jù)題意知此時(shí)頂點(diǎn)。（-3,1）,A（-9,-3）,

設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（A-+3）2+1,

將A（-9,-3）代入得：36“+1=-3,

解得-，

112

...拋物線的表達(dá)式為丫=-]（X+3）2+]=-lx2-j.G

12

故答案為：y=-

考法04利用二次函數(shù)求噴水、投球等實(shí)際問題

【典例7】從某幢建筑物2.25米高處的窗口A用水管向外噴水，水流呈拋物線，如果拋物線的最高點(diǎn)M離

墻1米，離地面3米，那么水流落點(diǎn)B與墻的距離。8是（）

A.1米B.2米D.4米

【答案】C

【詳解】解：由題意可得，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3）,

設(shè)拋物線的解析式為：產(chǎn)“（x-1）2+3,

2.25=4(0-1)2+3,

解得“=-0.75,

3

.\y=--(x-1)2+3,

4

3

當(dāng))=0時(shí)，q(x-1)2+3=0,

解得，Xl=-1,X2=3,

.,.點(diǎn)8的坐標(biāo)為（3,0）,

.?.08=3,

答：水流下落點(diǎn)B離墻距離08的長度是3米.

故選：C.

【即學(xué)即練】如圖，要修建一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個(gè)噴水頭,

使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高,高度為3m,水柱落地處離池中心3m,水

管的長為（)

A.2mn19-39、45

B.—mC.—mD.—m

481616

【答案】A

【詳解】解：由題意可知點(diǎn)（1,3）是拋物線的頂點(diǎn),

二設(shè)這段拋物線的解析式為尸a（x-l）2+3.

:該拋物線過點(diǎn)（3,0）,

：.0=a(3-1)2+3,

3

解得：a二J

4

3

.\y=—（x-1）2+3.

-4

33o

,?■當(dāng)%=0時(shí),y=-—（0-1）2+3=--+3=一,

?444

9

?,?水管應(yīng)長小小

4

故選：A

【典例8］如圖，若被擊打的小球飛行高度/?（單位：m）與飛行時(shí)間1（單位：s）之間具有的關(guān)系為力=

10L5凡則小球飛行的最大高度為m.

【答案】5

【詳解】解：,.?Q10/-5產(chǎn)=—5（f—17+5,

.,?小球飛行的最大高度為5m,

故答案為5.

【即學(xué)即練】如圖，以地面為x軸，一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：米）與水平距離x（單位:

175

米）之間的關(guān)系是則他將鉛球推出的距離是一米.

【答案】10

10s

【詳解】解:當(dāng)產(chǎn)0時(shí)，+>+：=°，

解得：X/=10,X2=-l（不合題意，舍去），

所以推鉛球的距離是10米；

故答案為：10.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.一小球被拋出后，距離地面的高度/?（米）和飛行時(shí)間，（秒）滿足下面函數(shù)關(guān)系式：人=-5F+20L14,

則小球距離地面的最大高度是（）

A.2米B.5米C.6米D.14米

【答案】c

【詳解】高度〃和飛行時(shí)間/滿足函數(shù)關(guān)系式：/?=-5/2+20/-14,

b20

，當(dāng)，=一五=-再豆=2時(shí)，小球距離地面高度最大，

.-./z=-5x22+20x2-14=6^.

故選：C.

2.在地球上同一地點(diǎn)，不同質(zhì)量的物體從同一高度同時(shí)下落，如果除地球引力外不考慮其他外力的作用，

那么它們的落地時(shí)間相同.物體的下落距離人＜m)與下落時(shí)間/(s)之間的函數(shù)表達(dá)式為力=/g凡其中

g取值為9.8m/s2.小莉進(jìn)行自由落體實(shí)驗(yàn)，她從某建筑物拋下一個(gè)小球，經(jīng)過4s后落地，則該建筑物的高

度約為()

A.98mB.78.4mC.49mD.36.2m

【答案】B

【詳解】解：把/=4代入〃=ggf2得，

1

/=-x9.8x492=78.4m

z2

故選：B.

3.某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關(guān)系，每盆植3株時(shí)，平均每株盈利4元.若每盆增加1株,

平均每株盈利減少0.5元，要使每盆的盈利達(dá)到15元，每盆應(yīng)多植多少株？設(shè)每盆多植x株，則可以列出

的方程是()

A.(3+x)(4-0.5x)=15B.(x+3)(4+0.5x)=15

C.(x+4)(3-0.5x)=15D.(x+1)(4-0.5x)=15

【答案】A

【詳解】解：設(shè)每盆應(yīng)該多植x株，由題意得

U+3)(4-0.5x)=15,

故選：A.

4.如圖，用繩子圍成周長為10m的矩形，記矩形的一邊長為加，矩形的面積為Sn?.當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變

化時(shí)，S隨x的變化而變化，則S與無滿足的函數(shù)表達(dá)式為()

A.S=x(5-x)(0<x<5)B.S=x(10-x)(0<x<5)

C.S=x(x-5)(0<x<5)D.S=x(x-10)(0<x<5)

【答案】A

【詳解】解：由題意得，

2(1+y)=10,

??.x+y=5,

.\y=5-x,

VS=xy

=x(5-x)

?,?矩形面積滿足的函數(shù)關(guān)系為S=/(5-x),

由題意可知自變量的取值范圍為0<xv5,

故選：A.

5.某單車公司第一個(gè)月投放。輛單車，計(jì)劃第三個(gè)月投放單車y輛，該公司第二、三兩個(gè)月投放單車數(shù)量

的月平均增長率為m那么y與1的函數(shù)關(guān)系是()

A.y=a(\-x^B.j=^z(l+x)2C.y=ax2D.y=x2+a

【答案】B

【詳解】解：由題意得：y=a(l+x)2,

故選B.

6.向空中發(fā)射一枚炮彈，第x秒時(shí)的高度為y米，且高度與時(shí)間的關(guān)系為y=ar2+版+c(在0).若此炮彈

在第6秒與第18秒時(shí)的高度相等，則在下列時(shí)間中炮彈所在高度最高的是()

A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒

【答案】C

【詳解】解：此炮彈在第6秒與第18秒時(shí)的高度相等，

，拋物線的對(duì)稱軸直線是：》=竽=12,

拋物線開口向下，

.,.x=12H寸，函數(shù)值最大，

即第12秒炮彈所在高度最高，

故選：C.

7.據(jù)了解，某蔬菜種植基地2019年的蔬菜產(chǎn)量為100萬噸，2021年的蔬菜產(chǎn)量為丫萬噸，如果2019年至

2021年蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為Mx>0),那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式為.

【答案】y=100(1+x)2(x>0)

【詳解】解：根據(jù)題意可得：2020年的蔬菜產(chǎn)量為100(1+x),

2021年的蔬菜產(chǎn)量為100(1+x)(l+x)=100(1+x)2,

y=100(1+x)2(x>0),

故答案為：y=100(1+力?(x>0).

8.如圖是一副眼鏡鏡片下半部分輪廓對(duì)應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱.AB//X軸，AB=4cm,最低點(diǎn)C在x

軸上，高8O=2c/n則右輪廓線QFE所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為—(不用寫x的取值范圍).

【答案】y=：(x-3)2

【詳解】解：：眼鏡鏡片下半部分輪廓對(duì)應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于)，軸對(duì)稱，A8〃x軸，AB=4cm,最低點(diǎn)C

在x軸上，高CH=lcm,BD=2cm,

...點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,0),點(diǎn)B(-1,1),

.?.點(diǎn)￡>(1,1),點(diǎn)F(3,0),

設(shè)右輪廓線OFE所在拋物線的函數(shù)解析式為：y=a(x-3)2,

則\=a(1-3)2,

解得，”=!，

4

???右輪廓線OFE所在拋物線的函數(shù)解析式為：y=：(x-3)2

9.某商場經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)為25元時(shí)，每天的銷售量

為250件，銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件.

(1)若商場每天要獲得銷售利潤2000元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

(2)求銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？

【答案】(1)銷售單價(jià)應(yīng)定為30元或40元.(2)當(dāng)單價(jià)為35元時(shí)，該文具每天的最大利潤為2250元.

【詳解】解：(1)設(shè)銷售單價(jià)為x元，根據(jù)題意列方程得，

(%-20)[250-10(x-25)]=2000,

解得x/=30,X2=40

答：銷售單價(jià)應(yīng)定為30元或40元.

(2)設(shè)銷售單價(jià)為x元，每天的銷售利潤卬元，可列函數(shù)解析式為：w=(x-20)[250-10(x-25)]=

-10/+700x-10000=-10(x-35)2+2250.

V-10<0,

，函數(shù)圖象開口向下，當(dāng)x=35時(shí)，w有最大值，最大值為2250元，

答：當(dāng)單價(jià)為35元時(shí)，該文具每天的最大利潤為2250元.

10.如圖，ABCD是一塊邊長為4米的正方形苗圃，園林部門擬將其改造為矩形AEFG的形狀，其中點(diǎn)E

在AB邊上，點(diǎn)G在AD的延長線上，DG=2BE.設(shè)BE的長為x米，改造后苗圃AEFG的面積為y平方

米.

DG

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不需寫自變量的取值范圍)；

(2)根據(jù)改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面積與原正方形苗圃ABCD的面積相等，請(qǐng)問此時(shí)BE的

長為多少米？

【答案】(1)y=-2x2+4x+16；(2)2米

【詳解】解：(1)邊長為x米，

；.AE=AB-BE=4-x,AG=AD+DG=4+2x

苗圃的面積=AExAG=(4-x)(4+2x)

2

則苗圃的面積y(單位：米2)與x(單位：米)的函數(shù)關(guān)系式為：y=-2x+4x+16

(2)依題意，令y=16BP-2x2+4x+16=16

解得:Xi=O(舍)X2=2

答：此時(shí)BE的長為2米.

題組B能力提升練

1.如圖是拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點(diǎn)為O,B,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，水平直線08為x軸，建立平

面直角坐標(biāo)系，橋的拱形可以近似看成拋物線產(chǎn)-0.01(x-20)2+4,橋拱與橋墩AC的交點(diǎn)C恰好位于水面,

且軸，若04=5米，則橋面離水面的高度AC為()

A.5米B.4米C.2.25米D.1.25米

【答案】C

【詳解】解：軸，0A=5米，

???點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-5,

當(dāng)x=-5B■寸，＞=-0.01(A-20)2+4=)，=-0.01(-5-20)2+4=-2.25,

：.C(-5,-2.25),

，橋面圈水面的高度AC為2.25米.

故選：C.

2.如圖，一個(gè)移動(dòng)噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線，噴水頭的高度（即。8的長度）是1米.當(dāng)

噴射出的水流距離噴水頭8米時(shí)，達(dá)到最大高度1.8米，水流噴射的最遠(yuǎn)水平距離0（7是（）

A.20米

【答案】A

【洋解】解：：噴水頭的高度（即。5的長度）是1米.當(dāng)噴射出的水流距離噴水頭8米時(shí),達(dá)到最大高度

1.8米,

設(shè)拋物線解析式為y=a（x-8y+1.8,將點(diǎn)（0,1）代入，得

l=64a+1.8

1

解得。=-

80

1）

拋物線解析式為y=-白（》-8）一+1.8

令y=0，解得x=20（負(fù)值舍去）

即C（20,0）,

??.OC=20

故選:A

3.飛機(jī)著陸后滑行的距離s（單位：米）關(guān)于滑行時(shí)間/（單位：秒）的函數(shù)表達(dá)式為s=a*+初，當(dāng)滑行

時(shí)間為10秒時(shí)，滑行距離為450米；當(dāng)滑行時(shí)間為20秒時(shí)，滑行距離為600米，則飛機(jī)的最大滑行距離

為（）

A.600米B.800米C.1000米D.1200米

【答案】A

【詳解】解：時(shí)，s=450a：r=20時(shí)，s=600m,

3

100“+106=450

400a+206=600,解得:2.

6=60

3

：.S=——r+6(k,

2

33?

VS=-1Z2+60f=-^(r-20)+600,

...當(dāng)f=20時(shí)，S最大，且最大值為60（）,

即飛機(jī)的最大滑行距離為600米，故A正確.

故選：A.

4.使用家用燃?xì)庠顭_同一壺水所需的燃?xì)饬縴（單位：n?）與旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度無（單位：度）（0〈爛90）

近似滿足函數(shù)關(guān)系）=以2+公+。（舛0）.如圖記錄了某種家用燃?xì)庠顭_同一壺水的旋鈕角度x與燃?xì)饬縴

的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出此燃?xì)庠顭_一壺水最節(jié)省燃?xì)獾男o角度約為（）

0.09...........................f

0.072------<

0.06.........

A.37.5°B.40°

C.42.5°D.45°

【答案】B

【詳解】解：由圖象可得，

該函數(shù)的對(duì)稱軸x>交產(chǎn)且x〈50,

.,?37.5<x<50,即對(duì)稱軸位于直線x=37.5與直線x=50之間且靠近直線x=37.5

，此燃?xì)庠顭_壺水最節(jié)省燃?xì)獾男o角度約為40。，

故選：B.

5.如圖，四邊形A8CQ是邊長為2的正方形，點(diǎn)E是射線A8上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A,點(diǎn)8重合），點(diǎn)尸

在線段D4的延長線上，且=連接設(shè)AE=x,一8"的面積為下列圖象能正確反映出

y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）

【詳解】解:當(dāng)點(diǎn)E在43之間時(shí)，BP0<x<2,

AE=x,則A/7=尤,BE=2-x,

2

5BEF=-BE-AF=~X-(2-X)=-^X+X,

...圖象是開口向下，對(duì)稱為：1=一不\=1的拋物線，

2x(-1)

當(dāng)點(diǎn)E在B上方時(shí)，即x>2,

AE=x9則AF=x,BE=x-2,

2

5BEF=^BE-AF=^X-(,X-2)=^X-X,

???圖象是開口向上的拋物線，

故選：B.

6.某超市銷售一種商品，每件成本為50元，銷售人員經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每月的銷售量y(件)與銷售單

價(jià)X(元)之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-5x+550,若要求銷售單價(jià)不得低于成本，為每月所獲利潤最大，該商

品銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？每月最大利潤是多少？()

A.90元，4500元B.80元，4500元

C.90元，4000元D.80元，4000元

【答案】B

【詳解】解：設(shè)每月總利潤為>丫，

依題意得：w=y(x-50)

=(-5%+550)(%-50)

=-5x2+800%-27500

=-5(X-80)2+4500

-5<0,此圖象開口向下,又xN50,

，當(dāng)x=80時(shí)，卬有最大值，最大值為4500元.

故選：B.

7.某一型號(hào)飛機(jī)著陸后滑行的距離y(單位：m)與滑行時(shí)間x(單位：s)之間的函數(shù)表達(dá)式是y=60x-1.5V,

該型號(hào)飛機(jī)著陸后滑行的最大距離是.

【答案】600m##600米

【詳解】解：Vy=60x-1.5x2=-1.56X-20；2+600,

.?.420時(shí)，y取得最大值，最大值=600,

故答案為：600m.

8.如圖所示，用長為21米的籬笆，一面利用墻(墻的最大可用長度。為10米)，圍成中間隔有一道籬笆

的長方形花圃，為便于進(jìn)出，開了3道寬為1米的門.設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米，則S與x

的之間的函數(shù)表達(dá)式為一;自變量x的取值范圍為

D

【答案】S=-3x2+24x與，*<6

【詳解】解：設(shè)花圃的寬A8為x米，面積為S平方米，

則S與x的之間的函數(shù)表達(dá)式為：5=(21-3x+3)x=-3x2+24x；

x>I

21-3x+3>2

由題意可得：

21-3x+3<10,

x<21-3x+3

解得：?Vx<6.

故答案為：S=-3f+24x,呈vx<6.

9.為滿足市場需求，某超市在中秋節(jié)前夕購進(jìn)價(jià)格為12元/盒的某品牌月餅，根據(jù)市場預(yù)測，該品牌月餅

每盒售價(jià)14元時(shí)，每天能售出200盒，并且售價(jià)每上漲1元，其銷售量將減少10盒，為了維護(hù)消費(fèi)者利

益，物價(jià)部門規(guī)定：該品牌月餅的售價(jià)不能超過20元/盒.

(1)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該超市每天銷售該品牌月餅的利潤為720元；

(2)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，超市每天銷售該品牌月餅獲得利潤最大？最大利潤是多少？

【答案】(1)當(dāng)銷售單價(jià)為16元/盒時(shí)，該超市每天的利潤為720元

(2)當(dāng)銷售單價(jià)20元/盒時(shí)，超市每天獲得利潤最大，最大利潤是1120元

【詳解】(1)解：設(shè)銷售單價(jià)為x元/盒，依據(jù)題意得

(x-12)[200-10(x-14)]=720

解得西=16,々=30(不符合題意，舍去).

答：當(dāng)銷售單價(jià)為16元/盒時(shí)，該超市每天的利潤為720元.

(2)設(shè)銷售單價(jià)為x元/盒，每天銷售該品牌月餅的利潤為w元，依據(jù)題意得w=(x-12)[200-10(x-14)]

=-10(X-23)2+1210

Va=-10<0,拋物線開口向下，當(dāng)x<23時(shí)，w隨x的增大而增大.

x=20時(shí)，卬最大為1120元

答：當(dāng)銷售單價(jià)20元/盒時(shí)，超市每天獲得利潤最大，最大利潤是1120元.

10.小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對(duì)此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m,水

柱在距噴水頭產(chǎn)水平距離5m處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋

物線的表達(dá)式為y=a(x-〃)2+k,其中x(m)是水柱距噴水頭的水平距離，y(m)是水柱距地面的高度.

(1)求拋物線的表達(dá)式.

(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭產(chǎn)水平距離3m,身高1.6m的小紅在水柱下方走動(dòng)，當(dāng)她的頭頂恰好

接觸到水柱時(shí):求她與爸爸的水平距離.

【答案】⑴y=-0.1(x-5)2+3.2

(2)2或6m

【詳解】(1)解：根據(jù)題意可知拋物線的頂點(diǎn)為(5,3.2),

設(shè)拋物線的解析式為y=”X-5)2+3.2,

將點(diǎn)(。,0.7)代入，得0.7=25。+3.2,

解得。=-0.1,

..?拋物線的解析式為y=-0.1(x—5)2+3.2,

(2)由y=-0.1(x-5y+3.2,令y=L6,

W1.6=-0.1(X-5)2+3.2,

解得X[=1,*2=9,

爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m,

當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，她與爸爸的水平距離為3-l=2(m),或9-3=6(m).

題組C培優(yōu)拔尖練

1.兩個(gè)正方形的周長和是10,如果其中一個(gè)正方形的邊長為。，則這兩個(gè)正方形的面積的和S關(guān)于。的函

數(shù)關(guān)系式為()

A.5=a2+(^)2B.S=a2+(5--)2

22

C.S=a2+（5-a）2D.5=a2+（---）2

【答案】D

【詳解】???兩個(gè)正方形的周長和是10,如果其中一個(gè)正方形的邊長為明

...另一個(gè)正方形的邊長為氣[0-4絲〃=25-六2a，

,這兩個(gè)正方形的面積的和S關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式為S=/+（士薩>,

故選：D.

2.某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次，生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品，每件獲利潤8元，每提高一個(gè)檔次，每件產(chǎn)品利潤

增加2元，用同樣工時(shí)，最低檔次產(chǎn)品每天可生產(chǎn)60件，提高一個(gè)檔次將減少3件.如果用相同的工時(shí)生

產(chǎn)，總獲利潤最大的產(chǎn)品是第％檔次（最低檔次為第一檔次，檔次依次隨質(zhì)量增加），那么〃等于（）

A.5B.8C.9D.10

【答案】C

【詳解】解：設(shè)總利潤為y元，

?.?第氏檔次產(chǎn)品比最低檔次產(chǎn)品提高了（4-1）個(gè)檔次，

每天利潤為y=[60-3（*-1）][8+2（k-1）]=-6（*-9）2+864,

.?.當(dāng)）=9時(shí),產(chǎn)品利潤最大，每天獲利864元，

故選C.

3.如圖，在邊長為4的正方形ABC。中，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿AB向B點(diǎn)運(yùn)

動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿BC—>C。方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到8點(diǎn)時(shí)，P,

。兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f,AAPQ的面積為S,則S與f函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

0：

AS.SAS

8------；8z

A.4.…/1B.4--y-!C.4—4\1—4

-----乙_1!>tC.!!>t乙>

。24024024

【答案】D

【詳解】解：???正方形邊長為4,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長度,

...當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)8點(diǎn)時(shí),占4s,

當(dāng)r=4s時(shí)，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)了4x2=8個(gè)單位長度，

此時(shí)點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)。，

故點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡為：點(diǎn)B——點(diǎn)C——點(diǎn)D-.

令運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,

當(dāng)點(diǎn)。在8c上運(yùn)動(dòng)時(shí);BQ=2t,AP=t

S=r.2rx」=f2（o</<2）

2

當(dāng)點(diǎn)。在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP=t,此時(shí)三角形的高=4,

S=f.4x；=2f（2&<4）

故選：D

4.足球運(yùn)動(dòng)員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，

足球距離地面的高度/?（單位：〃?）與足球被踢出后經(jīng)過的時(shí)間，（單位：s）之間的關(guān)系如表：下列結(jié)論不

正確的是（）

t01234567

h08141820201814

9

A.足球距離地面的最大高度超過20“B.足球飛行路線的對(duì)稱軸是直線f

C.點(diǎn)（10,0）在該拋物線上D.足球被踢出5s:7s時(shí)，距離地面的高度逐漸下降.

【答案】C

【詳解】解：由題意，可得對(duì)稱軸為x=JJ=4.5,則可得拋物線經(jīng)過（0,0）,（9,0）

2

設(shè)拋物線的解析式為〃=）（L9）,把（1,8）代入可得。=-1,

/?=_/+%=-（t-4.5）2+20.25,

足球距離地面的最大高度為20.25m>20m,A選項(xiàng)正確，不符合題意；

...拋物線的對(duì)稱軸f=]9,故B正確，不符合題意；

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)r>葭時(shí)，h隨t的增大而減小，

.??足球被踢出5s:7s時(shí)，距離地面的高度逐漸下降，D選項(xiàng)正確，不符合題意，

拋物線經(jīng)過點(diǎn)（9,0）,不經(jīng)過（10,0）,

...點(diǎn)（10,0）不在該拋物線上，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

故選：c

5.2020年6月中旬以來，北京市新冠肺炎疫情出現(xiàn)反彈，北京市民對(duì)防疫物資需求量激增.某廠商計(jì)劃投

資產(chǎn)銷一種消毒液，設(shè)每天產(chǎn)銷量為X瓶，每日產(chǎn)銷這種消毒液的有關(guān)信息如下表：（產(chǎn)銷量指生產(chǎn)并銷售

的數(shù)量，生產(chǎn)多少就銷售多少，不考慮滯銷和脫銷）若該消毒液的單日產(chǎn)銷利潤y元，當(dāng)銷量X為多少時(shí),

該消毒液的單日產(chǎn)銷利潤最大.（）

消毒

每瓶售價(jià)（元）每瓶成本（元）每日其他費(fèi)用（元）每日最大產(chǎn)銷量（瓶）

液

30181200+0.02%2250

A.250B.300C.200D.550

【答案】D

【詳解】解：根據(jù)題意，得

y=(30-18)x-(0.02A-2+1200)

，y=-0.02x2+12x-1200,

二拋物線的開口向下，）,有最大值，

又：04x4250,

...當(dāng)x=250時(shí)，y最大=-*x（250—3OO）2+600=550,

故選：D

6.如圖，公園中一正方形水池中有一噴泉，噴出的水流呈拋物線狀，測得噴出口高出水面0.8根，水流在離

噴出口的水平距離1.25〃7處達(dá)到最高，密集的水滴在水面上形成了一個(gè)半徑為3m的圓，考慮到出水口過高

影響美觀，水滴落水形成的圓半徑過大容易造成水滴外濺到池外，現(xiàn)決定通過降低出水口的高度，使落水

形成的圓半徑為2.75,〃，則應(yīng)把出水口的高度調(diào)節(jié)為高出水面（）

1113

A.0.55米B.—米C.—米