2024屆內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題（文）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市2024屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題（文）一?選擇題1.已知全集，集合A滿(mǎn)足，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，，可得或則，，，，故B項(xiàng)正確，A,C,D項(xiàng)均是錯(cuò)誤的.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以的虛部為.故選：A.3.設(shè)m，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由不能推出，如滿(mǎn)足，但無(wú)意義，故“”不是“”的充分條件；再由可得，即得，故“”是“”的必要條件.即“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.若非零向量滿(mǎn)足，則向量與向量的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖：若，則為等邊三角形則向量與向量的夾角為.故選：C.5.從分別寫(xiě)有的六張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取兩張，則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之積是的倍數(shù)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意，從六張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種取法，其中抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)有，，，，，，，，，共9種情況，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率；故選：．6.已知函數(shù)的值域?yàn)?若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，令，所以；令函?shù)的值域?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以必須能取到上的所有值，，解?故選：B.7.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A.－36或36 B.－36 C.36 D.18〖答案〗C〖解析〗數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，且，，則，則，則，則，故選：C.8.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，但我們平時(shí)聽(tīng)到的樂(lè)音不止是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱(chēng)為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的一個(gè)周期為 B.的最大值為C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A,因?yàn)榈闹芷跒?，的周期為，所以的周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1,的最大值為，故兩個(gè)函數(shù)同時(shí)取最大值時(shí)，的最大值為，此時(shí)需滿(mǎn)足且，不能同時(shí)成立，故最大值不能同時(shí)取到，故的最大值不為，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，故的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D,因?yàn)闀r(shí)，，又，所以或者；或者，此時(shí)，又，所以，綜上可知，在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，故D正確，故選：D.9.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則，，則，即，化為，則點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，又，所以三點(diǎn)共線，顯然當(dāng)直線與此圓相切時(shí)，的值最大.又,則,則.故選：C.10.在正方體中，E為BD的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）A.0 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，則直線與所成角的余弦值為，故選：D11.設(shè)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗若，且是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，故，則，，變形得，可得周期為，則，故A正確.故選：A.12.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，雙曲線C的離心率為e，在第一象限存在雙曲線上的點(diǎn)P，滿(mǎn)足，且，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，而，所以，所以點(diǎn)到的距離為，又，所以，解得，即，從而，又因?yàn)椋?，在中，由余弦定理有，所以，即，解得，雙曲線C的漸近線方程為.故選：A.二?填空題13.拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗依題可知，則，故〖答案〗為：.14.在中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c,已知,，，則邊______.〖答案〗〖解析〗因，由余弦定理，，化簡(jiǎn)得，因，，故.故〖答案〗為：.15.若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件，則的最小值為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗畫(huà)出約束條件的可行域如下圖所示陰影，由，得，移動(dòng)直線簇，當(dāng)與重合時(shí)，取得最小值；聯(lián)立，解得，則，此時(shí)點(diǎn)直線上，故．故〖答案〗為：.16.已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在表面積為的球O的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗設(shè)球的半徑為，圓柱的底面半徑為，母線為，由題意可知，解得，又圓柱的兩個(gè)底面的圓周在表面積為的球O的球面上，所以圓柱的兩個(gè)底面的的圓心關(guān)于球心對(duì)稱(chēng)，且，圓柱的側(cè)面積，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，.故〖答案〗為：.三?解答題（一）必考題17.某企業(yè)擬對(duì)某產(chǎn)品進(jìn)行科技升級(jí)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到科技升級(jí)投入（萬(wàn)元）與科技升級(jí)直接收益（萬(wàn)元）數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：序號(hào)123456723468101313223142505658根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，建立了與的兩個(gè)回歸模型：模型①：模型②：.（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較模型①?②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高?更可靠的模型；（2）根據(jù)（1）選擇的模型，預(yù)測(cè)對(duì)該產(chǎn)品科技升級(jí)的投入為100萬(wàn)元時(shí)的直接收益.回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2（附：刻畫(huà)回歸效果的相關(guān)指數(shù)越大，模型的擬合效果越好）解：（1）由表格中的數(shù)據(jù)，，所以，模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù)，即模型②的擬合效果精度更高?更可靠.（2）當(dāng)萬(wàn)元時(shí)，科技升級(jí)直接收益的預(yù)測(cè)值為：（萬(wàn)元）18.如圖，在多面體中,是等邊三角形，.（1）求證：；（2）求三棱錐的體積.（1）證明：取中點(diǎn)，連接.是等邊三角形，為中點(diǎn)，，又，，平面，平面，又平面，.（2）解：連接，如圖所示：因?yàn)?，為中點(diǎn)，則，由得，又，，又，平面，平面，所以.19.已知函數(shù).（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：（1）函數(shù)定義域?yàn)?，，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得或，因?yàn)?，所?此時(shí)，令得，令得，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn).所以.（2）.因?yàn)?，所以，令得；令得；∴所以時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為,時(shí)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.20.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且焦距為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，設(shè)弦的中點(diǎn)分別為.證明：直線必過(guò)定點(diǎn).（1）解：依題意，橢圓半焦距，而，則，所以橢圓的方程為.（2）證明：當(dāng)直線不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，，由，得直線的方程為，由消去得：，則，故，于是，由代替，得，當(dāng)，即時(shí)，直線：，過(guò)點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，直線的斜率為，直線：，令，因此直線恒過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線之一垂直于軸，另一條必垂直于軸，直線為軸，過(guò)點(diǎn)，所以直線恒過(guò)點(diǎn).21.已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿(mǎn)足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱(chēng)數(shù)列為的增數(shù)列：①；②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有個(gè).（1）寫(xiě)出所有4的1增數(shù)列；（2）當(dāng)時(shí)，若存在的6增數(shù)列，求的最小值.解：（1）由題意得，則或，故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列和數(shù)列1，3.（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?增數(shù)列，所以數(shù)列的各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以且，若，滿(mǎn)足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1，一項(xiàng)為2，所以，不符合題意，所以若，滿(mǎn)足要求的數(shù)列中有三項(xiàng)為1，兩項(xiàng)為2，符合的6增數(shù)列.所以，當(dāng)時(shí)，若存在的6增數(shù)列，的最小值為7.（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)，若直線與曲線交于A，兩點(diǎn)，求的值．解：（1）曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），所以，所以即曲線C的普通方程為．直線l的極坐標(biāo)方程為，則，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．（2）直線l過(guò)點(diǎn)，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）令點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，由代入，得，則，，即t1、t2為負(fù)，故．[選修4-5：不等式選講]23.已知．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，正實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，求證：．（1）解：即：①當(dāng)時(shí)，，解得；②當(dāng)時(shí)，，解得；③當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，綜上：不等式的解集為．（2）證明：方法1：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以，所以，即.方法2：由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以,所以，即.∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．

內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市2024屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題（文）一?選擇題1.已知全集，集合A滿(mǎn)足，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，，可得或則，，，，故B項(xiàng)正確，A,C,D項(xiàng)均是錯(cuò)誤的.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以的虛部為.故選：A.3.設(shè)m，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由不能推出，如滿(mǎn)足，但無(wú)意義，故“”不是“”的充分條件；再由可得，即得，故“”是“”的必要條件.即“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.若非零向量滿(mǎn)足，則向量與向量的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖：若，則為等邊三角形則向量與向量的夾角為.故選：C.5.從分別寫(xiě)有的六張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取兩張，則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之積是的倍數(shù)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意，從六張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種取法，其中抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)有，，，，，，，，，共9種情況，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率；故選：．6.已知函數(shù)的值域?yàn)?若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，令，所以；令函?shù)的值域?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以必須能取到上的所有值，，解?故選：B.7.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A.－36或36 B.－36 C.36 D.18〖答案〗C〖解析〗數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，且，，則，則，則，則，故選：C.8.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，但我們平時(shí)聽(tīng)到的樂(lè)音不止是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱(chēng)為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的一個(gè)周期為 B.的最大值為C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A,因?yàn)榈闹芷跒?，的周期為，所以的周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1,的最大值為，故兩個(gè)函數(shù)同時(shí)取最大值時(shí)，的最大值為，此時(shí)需滿(mǎn)足且，不能同時(shí)成立，故最大值不能同時(shí)取到，故的最大值不為，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，故的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D,因?yàn)闀r(shí)，，又，所以或者；或者，此時(shí)，又，所以，綜上可知，在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，故D正確，故選：D.9.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則，，則，即，化為，則點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，又，所以三點(diǎn)共線，顯然當(dāng)直線與此圓相切時(shí)，的值最大.又,則,則.故選：C.10.在正方體中，E為BD的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）A.0 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，則直線與所成角的余弦值為，故選：D11.設(shè)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗若，且是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，故，則，，變形得，可得周期為，則，故A正確.故選：A.12.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，雙曲線C的離心率為e，在第一象限存在雙曲線上的點(diǎn)P，滿(mǎn)足，且，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，而，所以，所以點(diǎn)到的距離為，又，所以，解得，即，從而，又因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理有，所以，即，解得，雙曲線C的漸近線方程為.故選：A.二?填空題13.拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗依題可知，則，故〖答案〗為：.14.在中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c,已知,，，則邊______.〖答案〗〖解析〗因，由余弦定理，，化簡(jiǎn)得，因，，故.故〖答案〗為：.15.若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件，則的最小值為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗畫(huà)出約束條件的可行域如下圖所示陰影，由，得，移動(dòng)直線簇，當(dāng)與重合時(shí)，取得最小值；聯(lián)立，解得，則，此時(shí)點(diǎn)直線上，故．故〖答案〗為：.16.已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在表面積為的球O的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗設(shè)球的半徑為，圓柱的底面半徑為，母線為，由題意可知，解得，又圓柱的兩個(gè)底面的圓周在表面積為的球O的球面上，所以圓柱的兩個(gè)底面的的圓心關(guān)于球心對(duì)稱(chēng)，且，圓柱的側(cè)面積，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，.故〖答案〗為：.三?解答題（一）必考題17.某企業(yè)擬對(duì)某產(chǎn)品進(jìn)行科技升級(jí)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到科技升級(jí)投入（萬(wàn)元）與科技升級(jí)直接收益（萬(wàn)元）數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：序號(hào)123456723468101313223142505658根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，建立了與的兩個(gè)回歸模型：模型①：模型②：.（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較模型①?②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高?更可靠的模型；（2）根據(jù)（1）選擇的模型，預(yù)測(cè)對(duì)該產(chǎn)品科技升級(jí)的投入為100萬(wàn)元時(shí)的直接收益.回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2（附：刻畫(huà)回歸效果的相關(guān)指數(shù)越大，模型的擬合效果越好）解：（1）由表格中的數(shù)據(jù)，，所以，模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù)，即模型②的擬合效果精度更高?更可靠.（2）當(dāng)萬(wàn)元時(shí)，科技升級(jí)直接收益的預(yù)測(cè)值為：（萬(wàn)元）18.如圖，在多面體中,是等邊三角形，.（1）求證：；（2）求三棱錐的體積.（1）證明：取中點(diǎn)，連接.是等邊三角形，為中點(diǎn)，，又，，平面，平面，又平面，.（2）解：連接，如圖所示：因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，則，由得，又，，又，平面，平面，所以.19.已知函數(shù).（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：（1）函數(shù)定義域?yàn)?，，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得或，因?yàn)?，所?此時(shí)，令得，令得，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn).所以.（2）.因?yàn)?，所以，令得；令得；∴所以時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為,時(shí)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.20.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且焦距為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，設(shè)弦的中點(diǎn)分別為.證明：直線必過(guò)定點(diǎn).（1）解：依題意，橢圓半焦距，而，則，所以橢圓的方程為.（2）證明：當(dāng)直線不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，，由，得直線的方程為，由消去得：，則，故，于是，由代替，得，當(dāng)，即時(shí)，直線：，過(guò)點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，直線的斜率為，直線：，