人教版高中數(shù)學(xué)選修二專題4.3 等比數(shù)列（解析版）

專題4.3等比數(shù)列知識(shí)儲(chǔ)備知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列的概念思考1觀察下列4個(gè)數(shù)列，歸納它們的共同特點(diǎn).①1,2,4,8,16，…；②1，，，，，…；③1,1,1,1，…；④－1,1，－1,1，…【答案】從第2項(xiàng)起，每項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù).思考2類比等差數(shù)列，歸納出等比數(shù)列的概念和特點(diǎn).(1)文字定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0).(2)遞推公式形式的定義＝q(n>1).(或＝q，n∈N*)(3)等比數(shù)列各項(xiàng)均不能為0；故只有非零常數(shù)列才是等比數(shù)列.知識(shí)點(diǎn)二等比中項(xiàng)的概念思考1在2,8之間插入一個(gè)數(shù)，使之成等比數(shù)列.這樣的實(shí)數(shù)有幾個(gè)？【答案】設(shè)這個(gè)數(shù)為G.則，G2＝16，G＝±4.這樣的數(shù)有2個(gè).思考2對(duì)比等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的異同，完成表格對(duì)比項(xiàng)等差中項(xiàng)等比中項(xiàng)定義若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)若a，G，b成等比數(shù)列，則G叫做a與b的等比中項(xiàng)定義式A－a＝b－A公式A＝G＝±個(gè)數(shù)a與b的等差中項(xiàng)唯一a與b的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，且互為相反數(shù)備注任意兩個(gè)數(shù)a與b都有等差中項(xiàng)只有當(dāng)ab＞0時(shí)，a與b才有等比中項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)三等比數(shù)列的通項(xiàng)公式思考類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程，推導(dǎo)首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】根據(jù)等比數(shù)列的定義得：＝q，＝q，＝q，…，＝q(n≥2).將上面n－1個(gè)等式的左、右兩邊分別相乘，得···…·＝qn－1，化簡(jiǎn)得＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2).當(dāng)n＝1時(shí)，上面的等式也成立.∴an＝a1qn－1(n∈N*).知識(shí)點(diǎn)四等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣思考1我們?cè)?jīng)把等差數(shù)列的通項(xiàng)公式做過如下變形：an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.等比數(shù)列也有類似變形嗎？【答案】在等比數(shù)列中，由通項(xiàng)公式an＝a1qn－1，得＝＝qn－m，所以an＝am·qn－m(n，m∈N*).思考2我們知道等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以變形為an＝dn＋a1－d，其單調(diào)性由公差的正負(fù)確定；你能用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式研究其單調(diào)性嗎？【答案】設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q.則an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)，差的正負(fù)由a1，q，q－1的正負(fù)共同決定.當(dāng)或時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)或時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；q＜0時(shí)，{an}是擺動(dòng)數(shù)列，q＝1時(shí)，{an}是常數(shù)列.知識(shí)點(diǎn)五由等比數(shù)列衍生的等比數(shù)列思考1等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為1,2,4,8，下列判斷正確的是：(1){3an}是等比數(shù)列；(2){3＋an}是等比數(shù)列；(3){}是等比數(shù)列；(4){a2n}是等比數(shù)列.【答案】由定義可判斷出(1)，(3)，(4)正確.思考2試把思考1推廣到一般的等比數(shù)列.【答案】(1)在等比數(shù)列{an}中按序號(hào)從小到大取出若干項(xiàng)：ak1，ak2，ak3，…，akn，…，若k1，k2，k3，…，kn，…成等差數(shù)列，那么ak1，ak2，ak3，…，akn，…是等比數(shù)列.(2)如果{an}，{bn}均為等比數(shù)列，那么數(shù)列{}，{an·bn}，{}，{|an|}仍是等比數(shù)列.知識(shí)點(diǎn)六等比數(shù)列的性質(zhì)思考1在等比數(shù)列{an}中，aeq\o\al(2,5)＝a1a9是否成立？aeq\o\al(2,5)＝a3a7是否成立？aeq\o\al(2,n)＝an－2an＋2(n>2)是否成立？【答案】∵a5＝a1q4，a9＝a1q8，∴a1a9＝aeq\o\al(2,1)q8＝(a1q4)2＝aeq\o\al(2,5)，aeq\o\al(2,5)＝a1a9成立.同理aeq\o\al(2,5)＝a3a7成立，aeq\o\al(2,n)＝an－2·an＋2也成立.思考2由思考1你能得到等比數(shù)列更一般的結(jié)論嗎？該結(jié)論如何證明？【答案】一般地，在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝s＋t，則有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*).若m＋n＝2k，則am·an＝aeq\o\al(2,k)(m，n，k∈N*).證明：∵am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，∴am·an＝aeq\o\al(2,1)qm＋n－2，同理，as·at＝aeq\o\al(2,1)qs＋t－2，∵m＋n＝s＋t，∴am·an＝as·at.若m＋n＝2k，則am·an＝aeq\o\al(2,k).知識(shí)點(diǎn)七等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)思考1對(duì)于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的兩邊可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，對(duì)這兩個(gè)式子作怎樣的運(yùn)算能解出S64?【答案】比較兩式易知，兩式相減能消去同類項(xiàng)，解出S64，即S64＝＝264－1≈1.84×1019.思考2類比思考1中求和的方法，如何求等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn?【答案】設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公比是q，前n項(xiàng)和為Sn.Sn寫成：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①則qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn.②由①－②得：(1－q)Sn＝a1－a1qn.當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝.當(dāng)q＝1時(shí)，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1.思考3等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝知識(shí)點(diǎn)八等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用思考1怎樣求等比數(shù)列前8項(xiàng)的和：(1)若已知前三項(xiàng)，，，用哪個(gè)公式比較合適？(2)若已知a1＝27，a9＝，q＝－.用哪個(gè)公式比較合適？【答案】(1)用Sn＝；(2)用Sn＝.思考2一般地，使用等比數(shù)列求和公式時(shí)需注意什么？【答案】(1)一定不要忽略q＝1的情況；(2)知道首項(xiàng)a1、公比q和項(xiàng)數(shù)n，可以用；知道首尾兩項(xiàng)a1、an和q，可以用；(3)在通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中共出現(xiàn)了5個(gè)量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三個(gè)，可求其余.知識(shí)點(diǎn)九等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征思考1若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－1，那么數(shù)列{an}是不是等比數(shù)列？若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋1－1呢？【答案】當(dāng)Sn＝2n－1時(shí)，an＝＝n∈N*，是等比數(shù)列；當(dāng)Sn＝2n＋1－1時(shí)，an＝＝不是等比數(shù)列.思考2對(duì)于一般的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和有什么特征？【答案】當(dāng)公比q≠1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn＝＝.設(shè)A＝，則上式可以寫為Sn＝A(qn－1).當(dāng)公比q＝1時(shí)，因?yàn)閍1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函數(shù).知識(shí)點(diǎn)十錯(cuò)位相減法思考1在上一節(jié)，我們是如何求公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝a1＋a2＋…＋an的？【答案】在等式兩端乘以公比，兩式會(huì)出現(xiàn)大量的公共項(xiàng)，通過相減消去即可.思考2如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和時(shí)，上述方法還能不能用？【答案】能用.Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，①qSn＝a1b1q＋a2b2q＋…＋anbnq＝a1b2＋a2b3＋…＋anbn＋1，②①－②：(1－q)Sn＝a1b1＋(a2－a1)b2＋(a3－a2)b3＋…＋(an－an－1)bn－anbn＋1，＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1＝a1b1＋d－anbn＋1，∴Sn＝能力檢測(cè)注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，考試時(shí)間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項(xiàng)等于()A．－24 B．0C．12 D．24【答案】A【解析】由題意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比數(shù)列的前3項(xiàng)是－3，－6，－12，則第四項(xiàng)為－24.2．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，則等于()A. D．C. D．【答案】D【解析】公比為q，則由等比數(shù)列{an}各項(xiàng)為正數(shù)且an＋1<an知0<q<1，由a2·a8＝6，得aeq\o\al(2,5)＝6.∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5.解得q＝，∴＝＝＝.3．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，則a1·a15的值為()A．100 B．－100C．10000 D．－10000【答案】C【解析】∵a3a8a13＝aeq\o\al(3,8)，∴l(xiāng)g(a3a8a13)＝lgaeq\o\al(3,8)＝3lga8＝6.∴a8＝100.∴a1a15＝aeq\o\al(2,8)＝10000，故選C.4．在等比數(shù)列{an}中，Tn表示前n項(xiàng)的積，若T5＝1，則()A．a(chǎn)1＝1 B．a(chǎn)3＝1C．a(chǎn)4＝1 D．a(chǎn)5＝1【答案】B【解析】由題意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即(a1·a5)·(a2·a4)·a3＝1，又因?yàn)閍1·a5＝a2·a4＝aeq\o\al(2,3)，所以aeq\o\al(5,3)＝1，得a3＝1.5．已知等比數(shù)列{an}中，a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，則b5＋b9等于()A．2 B．4C．8 D．16【答案】C【解析】等比數(shù)列{an}中，a3a11＝aeq\o\al(2,7)＝4a7，解得a7＝4，等差數(shù)列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.6．一座七層的塔，每層所點(diǎn)的燈的盞數(shù)都等于上面一層的2倍，一共點(diǎn)381盞燈，則底層所點(diǎn)燈的盞數(shù)是()A．190 B．191C．192 D．193【答案】C【解析】設(shè)最下面一層燈的盞數(shù)為a1，則公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192.7．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且8a2＋a5＝0，則等于()A．11 B．5C．－8 D．－11【答案】D【解析】設(shè){an}的公比為q.因?yàn)?a2＋a5＝0.所以8a2＋a2·q3＝0.所以a2(8＋q3)＝0.因?yàn)閍2≠0，所以q3＝－8.所以q＝－2.所以＝＝＝＝＝－11.故選D.8．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S5＝2，S10＝6，則a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于()A．8 B．12C．16 D．24【解析】選C設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)镾2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q15S5＝23×2＝16.二、多選題9．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，并且滿足條件a1>1，a7a8>1，<0.則下列結(jié)論正確的是()A．0<q<1 B．a(chǎn)7a9<1C．Tn的最大值為T7 D．Sn的最大值為S7【答案】ABC【解析】∵a1>1，a7·a8>1，<0，∴a7>1,0<a8<1，∴0<q<1，故A正確．a(chǎn)7a9＝aeq\o\al(2,8)<1，故B正確；T7是數(shù)列{Tn}中的最大項(xiàng)，故C正確；因?yàn)閍7>1，0<a8<1，Sn的最大值不是S7，故D不正確；故選A、B、C.10．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a6＝8a3，則()A．?dāng)?shù)列{an}的公比為2 B．?dāng)?shù)列{an}的公比為8C.＝8 D．＝9【答案】AD【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a6＝8a3，所以＝q3＝8，解得q＝2，所以＝＝1＋q3＝9，故選A、D.11．下列說法正確的是（）A．若為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則，，，…仍為等差數(shù)列B．若為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則，，，仍為等比數(shù)列C．若為等差數(shù)列，，，則前項(xiàng)和有最大值D．若數(shù)列滿足，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A中，設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，，，可得，所以，，，?gòu)成等差數(shù)列，故A正確；對(duì)于B中，設(shè)數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，取，此時(shí)，此時(shí)不成等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，當(dāng)，時(shí)，等差數(shù)列為遞減數(shù)列，此時(shí)所有正數(shù)項(xiàng)的和為的最大值，故C正確；對(duì)于D中，由，可得，所以或，則，所以，所以.因?yàn)?，所以，可得，所以，故D正確.故選：ACD12．在數(shù)列中，和是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，下列說法正確的是（）A．實(shí)數(shù)的取值范圍是或B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則數(shù)列的前7項(xiàng)和為C．若數(shù)列為等比數(shù)列且，則D．若數(shù)列為等比數(shù)列且，則的最小值為4【答案】AD【解析】對(duì)A，有兩個(gè)根，，解得：或，故A正確；對(duì)B，若數(shù)列為等差數(shù)列，和是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若數(shù)列為等比數(shù)列且，由韋達(dá)定理得：，可得：，，，由等比數(shù)列的性質(zhì)得：，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由C可知：，且，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選AD.三、填空題13．在3和一個(gè)未知數(shù)間填上一個(gè)數(shù)，使三數(shù)成等差數(shù)列，若中間項(xiàng)減去6，成等比數(shù)列，則此未知數(shù)是________．【答案】3或27【解析】設(shè)此三數(shù)為3，a，b，則解得或所以這個(gè)未知數(shù)為3或27.14．設(shè)數(shù)列{an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的兩根，則a6＋a7＝________.【答案】18【解析】由題意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝×32＝18.15．畫一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方形，再以這個(gè)正方形的對(duì)角線為邊畫第2個(gè)正方形，以第2個(gè)正方形的對(duì)角線為邊畫第3個(gè)正方形，這樣一共畫了10個(gè)正方形，則第10個(gè)正方形的面積等于________平方厘米．【答案】2048【解析】這10個(gè)正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，則第10個(gè)正方形的面積S＝aeq\o\al(2,10)＝＝211＝2048.16．等比數(shù)列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，則數(shù)列{an}的前100項(xiàng)和為________．【答案】450【解析】由＝q，q＝2，得＝2?a2＋a4＋…＋a100＝300，則數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝150＋300＝450.四、解答題17．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝，公比q＝.(1)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，證明：Sn＝；(2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．【解析】(1)證明：因?yàn)閍n＝×n－1＝，Sn＝，所以Sn＝.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.所以{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝－.18．容器A中盛有濃度為a%的農(nóng)藥mL，容器B中盛有濃度為b%的同種農(nóng)藥mL，A，B兩容器中農(nóng)藥的濃度差為20%(a>b)，先將A中農(nóng)藥的倒入B中，混合均勻后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持mL，問至少經(jīng)過多少次這樣的操作，兩容器中農(nóng)藥的濃度差小于1%?【解析】設(shè)第n次操作后，A中農(nóng)藥的濃度為an，B中農(nóng)藥的濃度為bn，則a0＝a%，b0＝b%.b1＝(a0＋4b0)，a1＝a