專題14 期末新定義題型復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案及配套作業(yè)（解析版）

專題14期末新定義題型復(fù)習(xí)（解析版）類型一有理數(shù)中的新定義1．（2022秋?尤溪縣）七年級(jí)小莉同學(xué)在學(xué)習(xí)完第二章《有理數(shù)及其運(yùn)算》后，對(duì)運(yùn)算產(chǎn)生了濃厚的興趣．她借助有理數(shù)的運(yùn)算，定義了一種新運(yùn)算“⊕”，規(guī)則如下：a⊕b＝ab+2a．則(?3)⊕(?4⊕1A．﹣13 B．6 C．24 D．30思路引領(lǐng)：根據(jù)新定義先計(jì)算?4⊕12，再計(jì)算（﹣3）解：由題意得：(?3)⊕(?4⊕1＝（﹣3）⊕[﹣4×1＝（﹣3）⊕（﹣2﹣8）＝（﹣3）⊕（﹣10）＝﹣3×（﹣10）+2×（﹣3）＝30﹣6＝24．故選：C．總結(jié)提升：本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．2．（2022秋?新吳區(qū)期中）現(xiàn)定義新運(yùn)算“※”，對(duì)任意有理數(shù)a、b，規(guī)定a※b＝ab﹣ab，則﹣1※2022的值（）A．2023 B．2022 C．﹣2023 D．﹣2021思路引領(lǐng)：根據(jù)新運(yùn)算得出﹣1※2022＝﹣（12022﹣1×2022），再根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．解：﹣1※2022＝（﹣1）2022﹣（﹣1）×2022＝1+2022＝2023，故選：A．總結(jié)提升：本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，能正確根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．3．（2022秋?海陵區(qū)校級(jí)期中）定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+5；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為n2k（其中k是使n2若n＝49，則第2022次“F運(yùn)算”的結(jié)果是（）A．31 B．49 C．62 D．98思路引領(lǐng)：根據(jù)運(yùn)行的框圖依次計(jì)算，發(fā)現(xiàn)其運(yùn)算結(jié)果的循環(huán)規(guī)律：6次一循環(huán)，再計(jì)算求解即可．解：本題提供的“F運(yùn)算”，需要對(duì)正整數(shù)n分情況（奇數(shù)、偶數(shù)）循環(huán)計(jì)算，由于n＝49為奇數(shù)應(yīng)先進(jìn)行F①運(yùn)算，即3×49+5＝152（偶數(shù)），需再進(jìn)行F②運(yùn)算，即152÷23＝19（奇數(shù)），再進(jìn)行F①運(yùn)算，得到3×19+5＝62（偶數(shù)），再進(jìn)行F②運(yùn)算，即62÷21＝31（奇數(shù)），再進(jìn)行F①運(yùn)算，得到3×31+5＝98（偶數(shù)），再進(jìn)行F②運(yùn)算，即98÷21＝49，再進(jìn)行F①運(yùn)算，得到3×49+5＝152（偶數(shù)），…，即第1次運(yùn)算結(jié)果為152，…，第4次運(yùn)算結(jié)果為31，第5次運(yùn)算結(jié)果為98，…，可以發(fā)現(xiàn)第6次運(yùn)算結(jié)果為49，第7次運(yùn)算結(jié)果為152，則6次一循環(huán)，2022÷6＝337，則第2022次“F運(yùn)算”的結(jié)果是49．故選：B．總結(jié)提升：本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算和數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是經(jīng)過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)其數(shù)字的變化規(guī)律．4．（2022秋?越秀區(qū)校級(jí)月考）已知a、b皆為有理數(shù)，定義運(yùn)算符號(hào)為※：當(dāng)a＞b時(shí)，a※b＝2a；當(dāng)a＜b時(shí)，a※b＝2b﹣a，則3※2﹣[（﹣2）※3]等于（）A．﹣2 B．5 C．﹣6 D．10思路引領(lǐng)：原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值．解：根據(jù)題中的新定義得：3※2＝2×3＝6，（﹣2）※3＝2×3﹣（﹣2）＝6+2＝8，則原式＝6﹣8＝﹣2．故選：A．總結(jié)提升：此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．5．（2022秋?靖江市校級(jí)月考）對(duì)于有理數(shù)a、b定義一種新運(yùn)算“⊙”，規(guī)定a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|，則（﹣2）⊙3的值是（）A．6 B．5 C．4 D．2思路引領(lǐng)：原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值．解：根據(jù)題中的新定義得：原式＝|﹣2+3|+|﹣2﹣3|＝1+5＝6．故選：A．總結(jié)提升：此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．6．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)期中）正整數(shù)中各位數(shù)字的立方和與其本身相等的數(shù)稱為“水仙花數(shù)”．例如153，13+53+33＝153，因此“153”為“水仙花數(shù)”，則下列各數(shù)中：①370，②371，③407，④502，“水仙花數(shù)”的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4思路引領(lǐng)：根據(jù)正整數(shù)中各位數(shù)字的立方和與其本身相等的數(shù)稱為“水仙花數(shù)”，分別判斷得出答案即可．解：①∵33+73+03＝370，∴370為“水仙花數(shù)”，故此選項(xiàng)正確；②∵33+73+13＝371，∴371為“水仙花數(shù)”，故此選項(xiàng)正確；③∵43+03+73＝407，∴407為“水仙花數(shù)”，故此選項(xiàng)正確；④∵53+03+23≠502，∴546不是“水仙花數(shù)”，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．總結(jié)提升：此題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，有理數(shù)的乘方以及新定義，根據(jù)“水仙花數(shù)”的定義得出是解題關(guān)鍵．7．（2022秋?江陰市期中）現(xiàn)定義運(yùn)算“*”，對(duì)于任意有理數(shù)a，b滿足a*b=2a?b，a≥ba?2b，a＜b．如5*3＝2×5﹣3＝7，12*1=12?2×1A．4 B．11 C．4或11 D．1或11思路引領(lǐng)：分x≥3與x＜3兩種情況求解．解：當(dāng)x≥3，則x*3＝2x﹣3＝5，x＝4；當(dāng)x＜3，則x*3＝x﹣2×3＝5，x＝11，但11＞3，這與x＜3矛盾，所以此種情況舍去．即：若x*3＝5，則有理數(shù)x的值為4，故選：A．總結(jié)提升：本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解題目所給的定義中包含的運(yùn)算及運(yùn)算順序．類型二整式加減中的新定義8．（2022秋?黃浦區(qū)期中）定義：對(duì)于一個(gè)數(shù)x，我們把[x]稱作x的相伴數(shù)；若x≥0，則[x]＝x﹣1；若x＜0，則[x]＝x+1．例[3已知當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)有[a]＝[b]+1，則代數(shù)式（b﹣a）3﹣3a+3b的值為．思路引領(lǐng)：根據(jù)定義的新運(yùn)算可得a﹣1＝b+1+1，從而可得a﹣b＝3，然后利用整體的思想進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，[a]＝[b]+1，∴a﹣1＝b+1+1，∴a﹣b＝3，∴（b﹣a）3﹣3a+3b＝﹣（a﹣b）3﹣3（a﹣b）＝﹣33﹣3×3＝﹣27﹣9＝﹣36，故答案為：﹣36．總結(jié)提升：本題考查了代數(shù)式求值，熟練掌握求代數(shù)式值中的整體思想是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?浦東新區(qū)期中）定義a﹣b＝0，則稱a、b互容，若2x2﹣2與x+4互容，則6x2﹣3x﹣9＝．思路引領(lǐng)：先根據(jù)新定義求出2x2﹣x＝6，再把6x2﹣3x﹣9化為3（2x2﹣x）﹣9的形式，整體代入計(jì)算即可．解：∵2x2﹣2與x+4互容，∴2x2﹣2﹣（x+4）＝0，∴2x2﹣x＝6，∴6x2﹣3x﹣9＝3（2x2﹣x）﹣9＝3×6﹣9＝9，故答案為：9．總結(jié)提升：本題考查了代數(shù)式的求值，掌握乘法分配律的逆運(yùn)算，把（2x2﹣x）看做一個(gè)整體進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．10．（2022秋?涪城區(qū)期中）定義如下運(yùn)算程序，則輸入a＝4，b＝﹣2時(shí)，輸出的結(jié)果為．思路引領(lǐng)：由程序框圖將a＝4，b＝﹣2代入a+b計(jì)算可得答案．解：∵a＝4，b＝﹣2，a＞b，∴輸出結(jié)果為代入a+b＝4+（﹣2）＝2．故答案為：2．總結(jié)提升：此題考查了代數(shù)式的求值與有理數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．11．（2022?三水區(qū)校級(jí)三模）定義：若a﹣b＝0，則稱a與b互為平衡數(shù)，若2x2﹣2與x+4互為平衡數(shù)，則代數(shù)式6x2﹣3x﹣9＝．思路引領(lǐng)：根據(jù)題意，2x2﹣2與x+4互為平衡數(shù)，得2x2﹣2﹣x﹣4＝0，得到2x2﹣x＝6，即可求出答案．解：∵2x2﹣2與x+4互為平衡數(shù)，∴2x2﹣2﹣x﹣4＝0，∴2x2﹣x＝6，∴6x2﹣3x＝18，∴6x2﹣3x﹣9＝18﹣9＝9．故答案為：9．總結(jié)提升：本題考查整式的加減，解答本題的關(guān)鍵是明確整式加減的計(jì)算方法．12．（2022秋?古田縣期中）（1）先化簡(jiǎn)，后求值：?13x?2(x?13y（2）定義一種新運(yùn)算：觀察下列各式：1*2＝1×3+2＝5，4*（﹣2）＝4×3﹣2＝10，3*4＝3×3+4＝13，6*（﹣1）＝6×3﹣1＝17．①請(qǐng)你想想：a*b＝；②若a≠b，那么a*bb*a（填“＝”或“≠”）；③先化簡(jiǎn)，再求值：（a﹣b）*（a+2b），其中a＝1，b＝﹣7．思路引領(lǐng)：（1）先利用去括號(hào)的法則去掉括號(hào)后，合并同類項(xiàng)，再將x，y值代入運(yùn)算即可；（2）①利用題干中各式中的規(guī)律解答即可；②利用①中的規(guī)律解答即可；③利用①中的規(guī)律得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，化簡(jiǎn)后將a，b的值代入運(yùn)算即可．解：（1）原式=?13x﹣2x+＝（?13?2?23）x＝﹣3x+y2，當(dāng)x＝﹣2，y=2原式＝﹣3×（﹣2）+(＝6+=58（2）①a*b＝3a+b，故答案為：3a+b；②∵a*b＝3a+b，b*a＝3b+a，又∵a≠b，∴3a+b≠3b+a，∴a*b≠b*a，故答案為：≠；③（a﹣b）*（a+2b）＝3（a﹣b）+（a+2b）＝3a﹣3b+a+2b＝4a﹣b．當(dāng)a＝1，b＝﹣7時(shí)，原式＝4×1﹣（﹣7）＝4+7＝11．總結(jié)提升：本題主要考查了整式的加減，化簡(jiǎn)求值，本題是閱讀型題目，尋找題干中各式的規(guī)律并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．類型四一元一次方程中的新定義13．（2021秋?河口區(qū)期末）如果規(guī)定“*”的意義為：a*b=a+2b2（其中a，b為有理數(shù)），那么方程3*x=52的解是x＝思路引領(lǐng)：分析題意，運(yùn)用定義的新運(yùn)算法則，可得3*x=3+2x2；不難得出解：由題意得：3*x=3+2x∵3*x=5∴3+2x2解得x＝1．故答案為：1．總結(jié)提升：本題考查的是一道定義新運(yùn)算的題目，需結(jié)合題中定義的新運(yùn)算法則進(jìn)行求解．14．（2021秋?如皋市期末）定義：如果一個(gè)一元一次方程的一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的差剛好是這個(gè)方程的解的2倍，則稱這個(gè)方程為妙解方程．如：方程3x+9＝0中，3﹣9＝﹣6，方程的解為x＝﹣3，則方程3x+9＝0為妙解方程．請(qǐng)根據(jù)上述定義解答：關(guān)于x的一元一次方程3x+a﹣b＝0是妙解方程，則b﹣a＝．思路引領(lǐng)：利用題中的新定義解答即可．解：解關(guān)于x的一元一次方程3x+a﹣b＝0，得x=b?a∵關(guān)于x的一元一次方程3x+a﹣b＝0是妙解方程，3﹣（a﹣b）＝2×b?a9+3（b﹣a）＝2（b﹣a），∴b﹣a＝﹣9．故答案為：﹣9．總結(jié)提升：此題考查了一元一次方程的解，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．15．（2022秋?隆安縣期中）我們將abcd這樣的式子稱為二階行列式，它的運(yùn)算法則公式表示就是abcd（1）請(qǐng)你依此法則計(jì)算二階行列式3?2（2）請(qǐng)化簡(jiǎn)二階行列式2x?3x+224思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)abcd=（2）根據(jù)abcd=ad﹣解：（1）由題意可得，3?2＝3×3﹣（﹣2）×4＝9+8＝17；（2）2x?3＝4（2x﹣3）﹣2（x+2）＝8x﹣12﹣2x﹣4＝6x﹣16，當(dāng)x＝4時(shí)，原式＝6×4﹣16＝24﹣16＝8．總結(jié)提升：本題考查整式的加減、有理數(shù)的混合運(yùn)算、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確新定義，會(huì)用新定義解答問(wèn)題．16．（2022秋?西城區(qū)校級(jí)期中）定義如下：存在數(shù)a，b，使得等式a2+b4=a+b2+4成立，則稱數(shù)a（1）若（1，b）是一對(duì)“互助數(shù)”，則b的值為；（2）若（﹣2，x）是一對(duì)“互助數(shù)”，求代數(shù)式（﹣x2+3x﹣1）?15（?52x（3）若（m，n）是一對(duì)“互助數(shù)”，滿足等式m?14n﹣（6m+2n﹣2）＝0，求m和思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)“互助數(shù)”的定義即可求得b的值；（2）根據(jù)“互助數(shù)”的定義求出x的值，再對(duì)所求代數(shù)式進(jìn)行去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，最后把x的值代入化簡(jiǎn)后的代數(shù)式中即可求解；（3）根據(jù)“互助數(shù)”的定義求得n＝﹣4m①，再將所求等式化簡(jiǎn)得?5m?94n+2=0②，將①解：（1）∵（1，b）是一對(duì)“互助數(shù)”，∴12解得：b＝﹣4，故答案為：﹣4；（2）∵（﹣2，x）是一對(duì)“互助數(shù)”，∴﹣1+x解得：x＝8，（﹣x2+3x﹣1）?15（?52x=?x=?1當(dāng)x＝8時(shí)，原式=?1（3）∵（m，n）是一對(duì)“互助數(shù)”，∴m2化簡(jiǎn)得：n＝﹣4m①，由m?14n﹣（6m+2?5m?94把①代入②中得，?5m?9解得：m=?1則n=?4×(?1∴m=?12，總結(jié)提升：此題考查了整式的加減﹣化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．17．（2022秋?邗江區(qū)期中）定義：若a+b＝6，則稱a與b是關(guān)于6的實(shí)驗(yàn)數(shù)．（1）4與是關(guān)于6的實(shí)驗(yàn)數(shù)；與5﹣2x是關(guān)于6的實(shí)驗(yàn)數(shù)．（用含x的代數(shù)式表示）．（2）若a＝x2﹣4x+2，b＝x2﹣2（x2﹣2x﹣2），判斷a與b是否是關(guān)于6的實(shí)驗(yàn)數(shù)，并說(shuō)明理由．（3）若c＝6x2﹣8x+4，d＝﹣2（3x2﹣4x+k），且c與d是關(guān)于6的實(shí)驗(yàn)數(shù)，求k的值．思路引領(lǐng)：（1）由4+2＝6，6﹣（5﹣2x）可得答案；（2）列出算式a+b＝a+b＝x2﹣4x+2+x2﹣2（x2﹣2x﹣2）去括號(hào)、合并同類項(xiàng)得出其結(jié)果，判斷結(jié)果是否等于3即可；（3）由c與d是關(guān)于6的實(shí)驗(yàn)數(shù)知c+d＝6，據(jù)此可得6x2﹣8x+4﹣2（3x2﹣4x+k）＝6，進(jìn)一步求解可得答案．解：（1）∵4+2＝6，6﹣（5﹣2x）＝1+2x，∴4與2是關(guān)于6的實(shí)驗(yàn)數(shù)，1+2x與5﹣2x是關(guān)于6的實(shí)驗(yàn)數(shù)，故答案為：1+2x；（2）a與b是關(guān)于6的實(shí)驗(yàn)數(shù)，理由：∵a+b＝x2﹣4x+2+x2﹣2（x2﹣2x﹣2）＝x2﹣4x+2+x2﹣2x2+4x+4＝6，∴a與b是關(guān)于6的實(shí)驗(yàn)數(shù)；（3）∵c與d是關(guān)于6的實(shí)驗(yàn)數(shù)，c＝6x2﹣8x+4，d＝﹣2（3x2﹣4x+k），∴c+d＝6x2﹣8x+4﹣2（3x2﹣4x+k）＝6，解得k＝﹣1．∴k的值為﹣1．總結(jié)提升：本題主要考查整式的加減，解題的關(guān)鍵是理解并掌握實(shí)驗(yàn)數(shù)的定義及整式加減運(yùn)算順序和法則．18．（2022秋?豐澤區(qū)校級(jí)期中）定義：對(duì)于一個(gè)有理數(shù)x，我們把[x]稱作x的“?一值”．若x≥0，則有理數(shù)x的“?一值”[x]＝x﹣2；若x＜0，則有理數(shù)x的“?一值”[x]＝x+2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1；[﹣1]＝﹣1+2＝1．（1）求有理數(shù)﹣2和32（2）已知有理數(shù)a＞0，b＜0，且它們的“?一值”相等，則[a]＝[b]，試求代數(shù)式（b﹣a）2﹣2a+2b的值；（3）對(duì)于一個(gè)有理數(shù)x，滿??程：[2x]+[x+1]＝4，請(qǐng)直接寫出滿??程的解x的值．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)定義：若x≥0，則有理數(shù)x的“青一值”[x]＝x+1；若x＜0，則有理數(shù)x的“青一值”[x]＝x﹣1，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）根據(jù)定義：若x≥0，則有理數(shù)x的“青一值”[x]＝x+1；若x＜0，則有理數(shù)x的“青一值”[x]＝x﹣1，可得a﹣b＝﹣2，然后代入式子中，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（3）分三種情況：當(dāng)x≥0時(shí)，當(dāng)﹣1≤x＜0時(shí)，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：（1）[﹣2]＝﹣2﹣1＝﹣3；[32]=32∴[﹣2]＝﹣3；[32]=（2）∵a＞0，b＜0，∴[a]＝a+1，[b]＝b﹣1，∵[a]＝[b]，∴a+1＝b﹣1，∴a﹣b＝﹣2，∴（b﹣a）2﹣2a+2b＝（a﹣b）2﹣2（a﹣b）＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）＝4+4＝8；（3）分三種情況：當(dāng)x≥0時(shí)，[2x]＝2x+1，[x+1]＝x+1+1＝x+2，∵[2x]+[x+1]＝4，∴2x+1+x+2＝4，解得：x=1當(dāng)﹣1≤x＜0時(shí)，[2x]＝2x﹣1，[x+1]＝x+1+1＝x+2，∵[2x]+[x+1]＝4，∴2x﹣1+x+2＝4，解得：x＝1（舍去）；當(dāng)x＜﹣1時(shí)，[2x]＝2x﹣1，[x+1]＝x+1﹣1＝x，∵[2x]+[x+1]＝4，∴2x﹣1+x＝4，解得：x=5綜上所述：x=1總結(jié)提升：本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，解一元一次方程，理解定義中的[x]稱作x的“青一值”是解題的關(guān)鍵．19．（2021秋?桃江縣期末）閱讀材料：在數(shù)軸上，如果把表示數(shù)1的點(diǎn)稱為基準(zhǔn)點(diǎn)，記作點(diǎn)P．對(duì)于兩個(gè)不同的點(diǎn)M和N，若點(diǎn)M、N到點(diǎn)P的距離相等，則稱點(diǎn)M與點(diǎn)N互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)．如圖7中，點(diǎn)M表示數(shù)﹣1，點(diǎn)N表示數(shù)3，它們與表示數(shù)1的點(diǎn)P的距離都是2個(gè)單位長(zhǎng)度，則點(diǎn)M與點(diǎn)N互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)．解決問(wèn)題：（1）若點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，且點(diǎn)A與點(diǎn)B互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)．利用上述規(guī)定解決下列問(wèn)題：①畫圖說(shuō)明，當(dāng)a＝0、4、﹣3時(shí)，b的值分別是多少？②利用（1）中的結(jié)論，探索a與b的關(guān)系，并用含a的式子表示b；③當(dāng)a＝2021時(shí)，求b的值．（2）對(duì)點(diǎn)A進(jìn)行如下操作：先把點(diǎn)A表示的數(shù)乘以52，再把所得的數(shù)表示的點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B，若點(diǎn)A與點(diǎn)B互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)，求點(diǎn)A思路引領(lǐng)：（1）①根據(jù)互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)的定義畫圖，即可得到答案；②觀察①可得a與b的關(guān)系；③結(jié)合②，把a(bǔ)＝2021代入即可；（2）表示出B表示的數(shù)，再由點(diǎn)A與點(diǎn)B互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)列方程可得答案．解：（1）①由圖可得：a＝0時(shí)，b＝2，a＝4時(shí)，b＝﹣2，a＝﹣3時(shí)，b＝5；②a與b的關(guān)系為a+b＝2，∴b＝2﹣a；③a＝2021時(shí)，b＝2﹣2021＝﹣2019；（2）設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)為x，根據(jù)題意得：52a﹣3＝2﹣x解得：x=10∴點(diǎn)A表示的數(shù)是107總結(jié)提升：本題考查數(shù)軸及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)的定義．20．（2022秋?西城區(qū)校級(jí)期中）閱讀下列材料：定義：已知點(diǎn)A，B，C為數(shù)軸上任意三點(diǎn)，若CB=12CA，則稱點(diǎn)C是[A，例如：如圖1，點(diǎn)C是[A，B]的相關(guān)點(diǎn)，點(diǎn)D不是[A，B]的相關(guān)點(diǎn)，但點(diǎn)D是[B，A]的相關(guān)點(diǎn)．根據(jù)這個(gè)定義解決下面問(wèn)題：（1）如圖2，M，N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M表示的數(shù)是﹣2，點(diǎn)N表示的數(shù)是4，若點(diǎn)G是[M，N]的相關(guān)點(diǎn)，則點(diǎn)G表示的數(shù)是；（2）數(shù)軸上點(diǎn)E所表示的數(shù)為﹣10，點(diǎn)F所表示的數(shù)為20．一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)F出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)E出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問(wèn)當(dāng)t為何值時(shí)，P為[F，Q]的相關(guān)點(diǎn)？思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)新定義列方程可得答案；（2）表示出P表示的數(shù)是20﹣2t，Q表示的數(shù)是﹣10+t，再根據(jù)新定義列方程可得答案．解：（1）設(shè)點(diǎn)G表示的數(shù)是x，根據(jù)題意得：GN=12GM，即|x﹣4|=1解得x＝10或x＝2，故答案為：10或2；（2）P表示的數(shù)是20﹣2t，Q表示的數(shù)是﹣10+t，∵P為[F，Q]的相關(guān)點(diǎn)，∴PQ=12PF，即|（20﹣2t）﹣（﹣10+t）|=1解得t＝10或t＝30，∴當(dāng)t為10或30時(shí)，P為[F，Q]的相關(guān)點(diǎn)．總結(jié)提升：本題考查一元一次方程的應(yīng)用，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能根據(jù)新定義列出方程解決問(wèn)題．21．（2022秋?江都區(qū)期中）定義：如果兩個(gè)一元一次方程的解之和為1，我們就稱這兩個(gè)方程為“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0為“美好方程”．（1）方程4x﹣（x+5）＝1與方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若關(guān)于x的方程x2+m=0與方程3x﹣2＝x+4是“美好方程”，求（3）若關(guān)于x方程2x﹣n+3＝0與x+5n﹣1＝0是“美好方程”，求n的值．思路引領(lǐng)：（1）分別求得兩個(gè)方程的解，再利用“美好方程”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）分別求得兩個(gè)方程的解，利用“美好方程”的定義列出關(guān)于m的方程解答即可；（3）分別求得兩個(gè)方程的解，利用“美好方程”的定義列出關(guān)于n的方程解答即可．解：（1）方程4x﹣（x+5）＝1與方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”，理由如下：由4x﹣（x+5）＝1，解得x＝2；由﹣2y﹣y＝3，解得y＝﹣1．∵﹣1+2＝1，∴方程4x﹣（x+5）＝1與方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”．（2）由3x﹣2＝x+4，解得x＝3；由x2+m=0解得x＝﹣2∵方程3x﹣2＝x+4與方程x2∴﹣2m+3＝1，解得m＝1．（3）由2x﹣n+3＝0，解得x=n?3由x+5n﹣1＝0，解得x＝1﹣5n；∵關(guān)于x方程2x﹣n+3＝0與x+5n﹣1＝0是“美好方程”，∴n?32+1﹣5解得n=?1總結(jié)提升：本題主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意義解答是解題的關(guān)鍵，本題是新定義型，理解并熟練應(yīng)用新定義解答也是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋?大豐區(qū)期中）在數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B表示的數(shù)為b．對(duì)點(diǎn)A給出如下定義：當(dāng)b≥0時(shí)，將點(diǎn)A向右移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)P；當(dāng)b＜0時(shí)，將點(diǎn)A向左移動(dòng)|b|個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)P．稱點(diǎn)P為點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“伴侶點(diǎn)”．如圖，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1．（1）在圖中畫出當(dāng)b＝6時(shí)，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“伴侶點(diǎn)”P；（2）當(dāng)點(diǎn)P表示的數(shù)為﹣6，若點(diǎn)P為點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“伴侶點(diǎn)”，則點(diǎn)B表示的數(shù)；（3）點(diǎn)A從數(shù)軸上表示﹣1的位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B從數(shù)軸上表示8的位置同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．①點(diǎn)B表示的數(shù)為（用含t的式子表示）；②是否存在t，使得此時(shí)點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“伴侶點(diǎn)”P恰好與原點(diǎn)重合？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．思路引領(lǐng)：（1）求出P表示的數(shù)，再畫圖即可；（2）根據(jù)已知可得B運(yùn)動(dòng)后表示的數(shù)；（3）①根據(jù)左減右加即可解答；②分兩種情況：當(dāng)8﹣2t≥0，P表示的數(shù)是﹣1+t+2＝t+1＝0，當(dāng)8﹣2t＜0時(shí)，P表示的數(shù)是：﹣1+t﹣（2t﹣8）＝7﹣t＝0，即可得到答案．解：（1）∵b＝6＞0，∴將點(diǎn)A向右移動(dòng)2個(gè)單位得到點(diǎn)p：﹣1+2＝1，∴點(diǎn)P表示的數(shù)為1，數(shù)軸表示如圖：；（2）∵點(diǎn)P表示的數(shù)為﹣6，點(diǎn)P為點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“伴侶點(diǎn)”P在點(diǎn)A的左邊5個(gè)單位，∴|b|＝5，又∵b＜0，∴b＝﹣5，即點(diǎn)B表示的數(shù)為﹣5，故答案為：﹣5；（3）①點(diǎn)B表示的數(shù)為：8﹣2t，故答案為：8﹣2t；②存在，理由如下：根據(jù)題意得：點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1+t，當(dāng)8﹣2t≥0時(shí)，解得t≤4，即將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)P，表示的數(shù)為：t+1，此時(shí)t+1＝0，解得：t＝﹣1，與t＞0不符，舍去；當(dāng)8﹣2t＜0時(shí)，解得t＞4，即將A向左平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)p為：﹣1+t﹣（2t﹣8）＝7﹣t，與原點(diǎn)重合，∴7﹣t＝0，解得：t＝7，即當(dāng)t＝7時(shí)，點(diǎn)P與原點(diǎn)重合．總結(jié)提升：本題考查數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后所表示的數(shù)．23．（2022春?開福區(qū)校級(jí)月考）方程的解的定義：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值．如果一個(gè)方程的解都是整數(shù)，那么這個(gè)方程叫做“立信方程”．（1）若“立信方程”2x+1＝1的解也是關(guān)于x的方程1﹣2（x﹣m）＝3的解，則m＝；（2）若關(guān)于x的方程x2+3x﹣4＝0的解也是“立信方程”6x+2x2﹣3﹣n＝0的解，則n＝；（3）若關(guān)于x的方程ax＝2a3﹣3a2﹣5a+4的解也是關(guān)于x的方程9x﹣3＝kx+14的解，且這兩個(gè)方程都是“立信方程”，求符合要求的正整數(shù)a和正整數(shù)k的值．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)“立信方程”的定義解答即可；（2）先求出x2+3x﹣4＝0的解，再把其中的解代入求解即可求n的解；（3）利用“立信方程”以及a和k為正整數(shù)求解．（1）∵2x+1＝1，解得x＝0；把x＝0代入1﹣2（x﹣m）＝3，得：1﹣2（0﹣m）＝3，∴1+2m＝3，解得：m＝1；（2）解方程x2+3x﹣4＝0，（x﹣1）（x+4）＝0，解得：x1＝1或x2＝﹣4，把x1＝1代入6x+2x2﹣3﹣n＝0得：6×1+2×12﹣3﹣n＝0，解得：n＝5；把x2＝﹣4代入6x+2x2﹣3﹣n＝0得：6×（﹣4）+2×（﹣4）2﹣3﹣n＝0，解得：n＝5；故滿足條件的n的值為5．（3）因a為正整數(shù)，則a≠0，又∵ax＝2a3﹣3a2﹣5a+4，∴x=2a∵兩方程均為立信方程，∴x的值為整數(shù)，∴4a∴此時(shí)a可取1，4，2，﹣1，﹣4，﹣2，∴x＝﹣2，16，﹣1，﹣4，38，7，同理9x﹣3＝kx+14，∴（9﹣k）x＝17，顯然，此時(shí)k≠9，則x=17∴9﹣k可取8，﹣810，26，∴此時(shí)x＝17，1，﹣17，﹣1，∴兩方程相同的解為x＝﹣1，此時(shí)對(duì)應(yīng)的a＝2，k＝26，故符合要求的正整數(shù)a的值為2，k的值為26．總結(jié)提升：本題考查了一元一次方程的解的應(yīng)用，能理解立信方程的意義是解此題的關(guān)鍵．類型四幾何圖形初步中的新定義24．（2020秋?上城區(qū)期末）定義：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，AC＝nAB時(shí)，我們稱n為點(diǎn)C在線段AB上的點(diǎn)值，記作dC※AB＝n．甲同學(xué)猜想：點(diǎn)C在線段AB上，若AC＝2BC；則dC※AB=2乙同學(xué)猜想：點(diǎn)C是線段AB的三等分點(diǎn)，則dC※AB=1關(guān)于甲，乙兩位同學(xué)的猜想，下列說(shuō)法正確的是（）A．甲正確，乙不正確 B．甲不正確，乙正確 C．兩人都正確 D．兩人都不正確思路引領(lǐng)：根據(jù)題意，由點(diǎn)C在線段AB上，若AC＝2BC，可得AC=23AB，故可判斷甲；點(diǎn)C是線段AB的三等分點(diǎn)，則AC=13AB或解：∵點(diǎn)C在線段AB上，若AC＝2BC，∴AC=23AB，即n∴dC※AB=2∵點(diǎn)C是線段AB的三等分點(diǎn)，∴AC=13AB或AC=∴dC※AB=13或故選：A．總結(jié)提升：本題考查新定義的題目，讀懂題目并理解題意的解題關(guān)鍵．25．定義：如果兩個(gè)角的差的絕對(duì)值等于90°，就可以稱這兩個(gè)角互為垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，則∠1和∠2互為垂角（本題所有角都是指大于0°且小于180°的角）．如果有一個(gè)角的垂角等于這個(gè)角的補(bǔ)角的45A．150° B．130° C．30°或130° D．30°或150°思路引領(lǐng)：根據(jù)題意需分類討論，根據(jù)題意中數(shù)量關(guān)系列出方程，從而解決此題．解：設(shè)這個(gè)角度數(shù)為x．當(dāng)這個(gè)角大于它的垂角，則這個(gè)角的垂角為x﹣90°．∴x﹣90°=4∴x＝130°．當(dāng)這個(gè)角小于它的垂角，則這個(gè)角的垂角為90°+x．∴90°+x=4∴x＝30°．綜上：這個(gè)角的度數(shù)為130°或30°．故選：C．總結(jié)提升：本題主要考查解一元一次方程、絕對(duì)值，熟練掌握解一元一次方程是解決本題的關(guān)鍵．26．（2021春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）同一直線上有A、B、C三點(diǎn)，若點(diǎn)C、A之間的距離與點(diǎn)C、B之間的距離之比是1：2，則稱點(diǎn)C為點(diǎn)A和點(diǎn)B的牛點(diǎn)．如果點(diǎn)P是點(diǎn)M和點(diǎn)N的牛點(diǎn)，且PM＝1，則MN＝．思路引領(lǐng)：根據(jù)兩點(diǎn)間的距離分兩種情況求解即可．解：（1）如圖，∵PM：PN＝1：2，∴PM＝MN，∵PM＝1，∴MN＝1；（2）如圖，∵PM：PN＝1：2且PM＝1，∴PN＝1×2＝2，∴MN＝PM+PN＝2+1＝3．故MN的長(zhǎng)為3或1．故答案為：1或3．總結(jié)提升：此題考查了兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)題意分兩種情況求解是解題的關(guān)鍵．27．（2021秋?蘭山區(qū)期末）我們定義：若兩個(gè)角差的絕對(duì)值等于60°，則稱這兩個(gè)角互為“正角”，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的“正角”．如：∠1＝110°，∠2＝50°，|∠1﹣∠2|＝60°，則∠1和∠2互為“正角”．如圖，已知∠AOB＝120°，射線OC平分∠AOB，∠EOF在∠AOB的內(nèi)部，若∠EOF＝60°，則圖中互為“正角”的共有對(duì)．思路引領(lǐng)：根據(jù)“正角”的定義解答即可．解：∵∠AOB＝120°，射線OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC=1∴∠AOB﹣∠AOC＝60°，∠AOB﹣∠BOC＝60°，又∵∠EOF＝60°，∴∠AOB﹣∠EOF＝60°，∵∠EOF＝∠AOC＝60°，∴∠AOF﹣∠AOE＝60°，∠AOF﹣∠COF＝60°，∠BOE﹣∠EOC＝60°，∠BOE﹣∠BOF＝60°，∴圖中互為“正角”的共有∠AOB與∠AOC，∠AOB與∠BOC，∠AOB與∠EOF，∠AOF與∠AOE，∠AOF與∠COF，∠BOE與∠EOC，∠BOE與∠BOF共7對(duì)．故答案為：7總結(jié)提升：本題考查了角平分線的定義，理清題意是解答本題的關(guān)鍵．28．（2019秋?莆田期末）定義：若α﹣β＝90°，且90°＜α＜180°，則我們稱β是α的差余角．例如：若α＝110°，則α的差余角β＝20°．（1）如圖1，點(diǎn)O在直線AB上，射線OE是∠BOC的角平分線，若∠COE是∠AOC的差余角，求∠BOE的度數(shù)；（2）如圖2，點(diǎn)O在直線AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC與∠BOE有什么數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，點(diǎn)O在直線AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE與OC在直線AB的同側(cè)，∠AOC?∠BOC∠COE思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠COE＝∠BOE=12∠BOC，根據(jù)題意得到∠AOC﹣∠COE＝∠AOC?（2）根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；（3）如圖3，由∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°+∠COE，∠BOC＝90°﹣∠COE，如圖4，由∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°+∠COE，于是得到結(jié)論．解：（1）∵OE是∠BOC的角平分線，∴∠COE＝∠BOE=12∵∠COE是∠AOC的差余角，∴∠AOC﹣∠COE＝∠AOC?12∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝60°，∴∠BOE＝30°；（2）∵∠BOC是∠AOE的差余角，∴∠AOE﹣∠BOC＝∠AOC+∠COE﹣∠COE﹣∠BOE＝∠AOC﹣∠BOE＝90°，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC+∠BOE＝90°；（3）答：是，理由：如圖3，∵∠COE是∠AOC的差余角，∴∠AOC﹣∠COE＝∠AOE＝90°，∴∠AOC＝90°+∠COE，∠BOC＝90°﹣∠COE，∴∠AOC?∠BOC∠COE如圖4，∵∠COE是∠AOC的差余角，∴∠AOC﹣∠COE＝90°，∴∠AOC＝90°+∠COE，∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣（90°+∠COE）＝90°﹣∠COE，∴∠AOC?∠BOC∠COE綜上所述，∠AOC?∠BOC∠COE總結(jié)提升：本題考查了余角和補(bǔ)角，角的和差的計(jì)算，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．29．（2021秋?松滋市期末）定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個(gè)角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個(gè)角的內(nèi)半角．如圖①所示，若∠COD=12∠AOB，則∠COD是∠（1）如圖①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的內(nèi)半角，則∠BOD＝．（2）如圖②，已知∠AOB＝63°，將∠AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度α（0＜α＜63°）至∠COD，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度α為何值時(shí)，∠COB是∠AOD的內(nèi)半角？（3）已知∠AOB＝30°，把一塊含有30°角的三角板如圖③疊放，將三角板繞頂點(diǎn)O以3°/秒的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖④，問(wèn)：在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，且射線OD始終在∠AOB的外部，射線OA，OB，OC，OD能否構(gòu)成內(nèi)半角？若能，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)的時(shí)間；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)“內(nèi)半角”的定義，可求出∠COD的度數(shù)，再根據(jù)∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD，可得出結(jié)論；（2）由旋轉(zhuǎn)可分別求出∠BOC和∠AOD的度數(shù)，再根據(jù)“內(nèi)半角”的定義，可列出等式60?α=60+α2，即可求出（3）由旋轉(zhuǎn)可知，分四種情況，分別進(jìn)行討論，根據(jù)“內(nèi)半角”的定義，可求出對(duì)應(yīng)的時(shí)間．解：（1）如圖1，∵∠AOB＝70°，∠COD是∠AOB的內(nèi)半角，∴∠COD=12∠AOB＝35°，∵∠∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣15°﹣35°＝20°；故答案為：20°．（2）如圖2，由旋轉(zhuǎn)可知，∠AOC＝∠BOD＝α，∴∠BOC＝63°﹣α，∠AOC＝63°+α，∵∠COB是∠AOD的內(nèi)半角，∴∠COB=12∠AOD，即63″﹣α=63°+α當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度α為21°時(shí)，∠COB是∠AOD的內(nèi)半角；（3）能，理由如下，由旋轉(zhuǎn)可知，∠AOC＝∠BOD＝3°t；根據(jù)題意可分以下四種情況：①當(dāng)射線OC在∠AOB內(nèi)，如圖4，此時(shí)，∠BOC＝30°﹣3°t，∠AOC＝30°+3°t，則∠COB是∠AOD的內(nèi)半角，∴∠COB=12∠AOD，即30°﹣3°t=1解得t=10②當(dāng)射線OC在∠AOB外部，有以下兩種情況，如圖5，圖6，如圖5，此時(shí)，∠BOC＝3°t﹣30°，∠AOC＝30°+3°t，則∠COB是∠AOD的內(nèi)半角，∴∠COB=12∠AOD，即3°t﹣30°=1解得t＝30（秒）；如圖6，此時(shí)，∠BOC＝360°﹣3°t+30°，∠AOC＝360°﹣3°t﹣30°，則∠AOD是∠BOC的內(nèi)半角，∴∠AOD=12∠BOC，即360°﹣3°t﹣30°=1解得t＝90（秒）；綜上，在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，射線OA、OB、OC、OD構(gòu)成內(nèi)半角時(shí)，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間分別為：103總結(jié)提升：本題屬于新定義類問(wèn)題，主要考查旋轉(zhuǎn)中角度的表示，及角度的和差運(yùn)算；由旋轉(zhuǎn)正確表達(dá)對(duì)應(yīng)的角是本題解題關(guān)鍵．30．（2021秋?武侯區(qū)期末）【閱讀理解】定義：在一條直線同側(cè)的三條具有公共端點(diǎn)的射線之間若滿足以下關(guān)系，其中一條射線分別與另外兩條射線組成的角恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該射線是另外兩條射線的“雙倍和諧線”．如圖1，點(diǎn)P在直線l上，射線PR，PS，PT位于直線l同側(cè)，若PS平分∠RPT，則有∠RPT＝2∠RPS，所以我們稱射線PR是射線PS，PT的“雙倍和諧線”．【遷移運(yùn)用】（1）如圖1，射線PS（選填“是”或“不是”）射線PR，PT的“雙倍和諧線”；射線PT（選填“是”或“不是”）射線PS，PR的“雙倍和諧線”；（2）如圖2，點(diǎn)O在直線MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射線OC從ON出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒4°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)射線OC與射線OA重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．①當(dāng)射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時(shí)，求t的值；②若在射線OC旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，∠AOB繞點(diǎn)O以每秒2°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線OD平分∠AOB．當(dāng)射線OC位于射線OD左側(cè)且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時(shí)，求∠CON的度數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）利用“雙倍和諧線”的意義結(jié)合圖形進(jìn)行判斷即可；（2）①由題意得：∠AOC＝90°﹣4°t，∠AOB＝40°，利用分類討論的思想方法分∠AOC＝2∠AOB或∠AOB＝2∠AOC兩種情況討論解答，依據(jù)上述等式列出方程，解方程即可求得結(jié)論；②由題意得：∠CON＝4°t，∠AON＝90°+2°t，∠AOD＝20°，∠DON＝∠AON﹣∠AOD＝70°+2°t，利用分類討論的思想方法分∠COM＝2∠COD或∠COD＝2∠COM兩種情況討論解答，依據(jù)上述等式列出方程，解方程即可求得結(jié)論．解：（1）∵PS平分∠RPT，∴∠RPS＝∠TPS，∴射線PS不是射線PR，PT的“雙倍和諧線”；∵PS平分∠RPT，∴∠TPR＝2∠TPS．∴射線PT是射線PS，PR的“雙倍和諧線”．故答案為：不是；是；（2）①由題意得：∠AOC＝90°﹣4°t，∠AOB＝40°．∵射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”，∴∠AOC＝2∠AOB或∠AOB＝2∠AOC．當(dāng)∠AOC＝2∠AOB時(shí)，如圖，則：90﹣4t＝2×40．解得：t=5當(dāng)∠AOB＝2∠AOC時(shí)，如圖，則：40＝2（90﹣4t）．解得：t=35綜上，當(dāng)射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時(shí)，t的值為52或35②由題意得：∠CON＝4°t，∠AON＝90°+2°t，∠AOD＝20°，∠DON＝∠AON﹣∠AOD＝70°+2°t．∵當(dāng)射線OC與射線OA重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，∴此時(shí)∠AON＝∠CON．∴90+2t＝4t．∴t＝45．∴當(dāng)t＝45秒時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，此時(shí)∠AON＝180°．∵射線OC位于射線OD左側(cè)且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”，∴∠COM＝2∠COD或∠COD＝2∠COM．當(dāng)∠COM＝2∠COD時(shí)，如圖，即：180°﹣∠CON＝2（∠CON﹣∠DON），則：180﹣4t＝2（4t﹣70﹣2t）．解得：t＝40．∴∠CON＝4°×40＝160°．當(dāng)∠COD＝2∠COM時(shí)，如圖，即：∠CON﹣∠DON＝2（180°﹣∠CON）．則：4t﹣（70+2t）＝2（180﹣4t）．解得：t＝43．∴∠CON＝4°×43＝172°．綜上，當(dāng)射線OC位于射線OD左側(cè)且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時(shí)，∠CON的度數(shù)為160°或172°．總結(jié)提升：本題主要考查了角的計(jì)算，角平分線的定義，本題是新定義型，理解并熟練應(yīng)用新定義是解題的關(guān)鍵．配套作業(yè)1．（2022秋?西城區(qū)校級(jí)期中）用“☆“定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)x和y，x☆y＝a2x+ay﹣2（a為常數(shù)）．例如：4☆3＝a2×4+a?3﹣2＝4a2+3a﹣2．若1☆2＝3，則2☆4的值為（）A．6 B．10 C．8 D．12思路引領(lǐng)：根據(jù)x☆y＝a2x+ay﹣2，1☆2＝3，可以得到a2+2a的值，然后將所求式子變形，再將a2+2a的值代入計(jì)算即可．解：∵x☆y＝a2x+ay﹣2，1☆2＝3，∴a2×1+a×2﹣2＝3，∴a2+2a﹣2＝3，∴a2+2a＝5，∴2☆4＝a2×2+a×4﹣2＝2a2+4a﹣2＝2（a2+2a）﹣2＝2×5﹣2＝10﹣2＝8，故選：C．總結(jié)提升：本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、新定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會(huì)用新定義解答問(wèn)題．2．（2022春?龍鳳區(qū)期中）定義運(yùn)算a?b=1a+1b①2?（﹣3）=?16；②此運(yùn)算中的字母均不能取零；③a?b＝b?a；④a?（b+c）＝a?c+b?其中正確有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4思路引領(lǐng)：各選項(xiàng)利用題中的新定義判斷即可．解：①根據(jù)題中的新定義得：2?（﹣3）=1②此運(yùn)算中的字母均不能取零，符合題意；③a?b=1a+1b，故a?b＝b?a，符合題意；④a?（b+c）=1a+1b+c，a?c+故a?（b+c）與a?c+b?c不一定相等，不符合題意．故選：B．總結(jié)提升：此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．3．（2022秋?肇源縣期中）將4個(gè)數(shù)a、b、c、d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成abcd，定義abcd=adA．2 B．3 C．4 D．6思路引領(lǐng)：根據(jù)abcd=ad﹣解：∵abcd=ad﹣∴（x+1）（x+1）﹣（x﹣1）（x﹣1）＝12，∴x2+2x+1﹣x2+2x﹣1＝12，∴4x＝12，解得x＝3，故選：B．總結(jié)提升：本題考查一元一次方程的應(yīng)用、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確新定義，列出相應(yīng)的方程．4．（2021秋?南丹縣期末）在有理數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“☆”：a☆b＝a+b?12，如：1☆（﹣3）＝1+?3?12=?1．如果2☆xA．﹣1 B．5 C．0 D．2思路引領(lǐng)：已知等式利用題中的新定義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可求出x的值．解：根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)2☆x＝x☆（﹣1）得：2+x?12去分母得：4+x﹣1＝2x﹣2，移項(xiàng)得：x﹣2x＝﹣2﹣4+1，合并得：﹣x＝﹣5，解得：x＝5．故選：B．總結(jié)提升：此題考查了解一元一次方程，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．5．（2022秋?漢陽(yáng)區(qū)期末）我們定義：如果兩個(gè)角的差的絕對(duì)值等90°，就可以稱這兩個(gè)角互為垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，則∠1和∠2互為垂角（本題中所有角都是指大于0°且小于180°的角），如圖，OC⊥AB于點(diǎn)O，OE⊥OD，圖中所有互為垂角的角有（）A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．6對(duì)思路引領(lǐng)：由OC⊥AB，OE⊥OD，得出∠AOD﹣∠COD＝90°，∠AOD﹣∠AOE＝90°，∠BOE﹣∠COE＝90°，∠BOE﹣∠BOD＝90°，即可得出結(jié)論．解：∵OC⊥AB，OE⊥OD，∴∠AOD﹣∠COD＝90°，∠AOD﹣∠AOE＝90°，∠BOE﹣∠COE＝90°，∠BOE﹣∠BOD＝90°，∴∠AOD和∠COD、∠AOD和∠AOE、∠BOE和∠COE，∠BOE和∠BOD互為垂角，故選：C．總結(jié)提升：本題考查了互為垂角，熟練掌握互為垂角的定義是解題的關(guān)鍵．6（2021秋?侯馬市期末）定義：若a+b＝n，則稱a與b是關(guān)于數(shù)n的“平衡數(shù)”．比如3與﹣4是關(guān)于﹣1的“平衡數(shù)”，5與12是關(guān)于17的“平衡數(shù)”．現(xiàn)有a＝6x2﹣8kx+12與b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k為常數(shù)）始終是數(shù)n的“平衡數(shù)”，則它們是關(guān)于的“平衡數(shù)”．思路引領(lǐng)：利用“平衡數(shù)”的定義判斷即可．解：∵a＝6x2﹣8kx+12與b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k為常數(shù)）始終是數(shù)n的“平衡數(shù)”，∴a+b＝6x2﹣8kx+12﹣2（3x2﹣2x+k）＝6x2﹣8kx+12﹣6x2+4x﹣2k＝（4﹣8k）x+12﹣2k＝n，即4﹣8k＝0，解得：k=1即n＝12﹣2×1故答案為：11．總結(jié)提升：此題考查了整式的加減，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．7．（2021秋?文登區(qū)期末）用“※”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)x和y，x※y＝xy+2a（x+y）+2（a為常數(shù)），若2※（﹣3）的值為4，則a的值為．思路引領(lǐng)：根據(jù)x※y＝xy+2a（x+y）+2，2※（﹣3）的值為4，可以得到相應(yīng)的方程，然后求解即可．解：∵x※y＝xy+2a（x+y）+2，2※（﹣3）的值為4，∴2×（﹣3）+2a（2﹣3）+2＝4，解得a＝﹣4，故答案為：﹣4．總結(jié)提升：本題考查一元一次方程的應(yīng)用、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．8．（2021秋?城固縣期末）在數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們會(huì)對(duì)其中一些具有某種特質(zhì)的數(shù)進(jìn)行研究，如學(xué)習(xí)自然數(shù)時(shí)，我們研究了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等，現(xiàn)在我們來(lái)研究一種特殊的數(shù)﹣﹣巧數(shù)．定義：若一個(gè)兩位數(shù)恰好等于它的各位數(shù)字之和的4倍，則這個(gè)兩位數(shù)稱為巧數(shù)．若一個(gè)巧數(shù)的個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大2，則這個(gè)巧數(shù)是．思路引領(lǐng)：設(shè)這個(gè)數(shù)個(gè)位數(shù)字是x，則十位數(shù)字是x﹣2，這個(gè)兩位數(shù)是10（x﹣2）+x，根據(jù)一個(gè)兩位數(shù)恰好等于它的各位數(shù)字之和的4倍得：10（x﹣2）+x＝4（x+x﹣2），即可解得答案．解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位數(shù)字是x，則十位數(shù)字是x﹣2，這個(gè)兩位數(shù)是10（x﹣2）+x，根據(jù)題意得：10（x﹣2）+x＝4（x+x﹣2），解得x＝4，∴10（x﹣2）+x＝10×（4﹣2）+4＝24，答：這個(gè)兩位數(shù)是24．故答案為：24．總結(jié)提升：本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解巧數(shù)的定義，找到等量關(guān)系列方程．9．（2022秋?珠海期中）給出新定義如下：f（x）＝|2x﹣2|，g（y）＝|y+3|；例如：f（2）＝|2×2﹣2|＝2，g（﹣6）＝|﹣6+3|＝3；根據(jù)上述知識(shí)，解下列問(wèn)題：（1）若x＝﹣2，y＝3，則f（x）+g（y）＝；（2）若f（x）+g（y）＝0，求2x﹣3y的值；（3）若x＜﹣3，化簡(jiǎn)：f（x）+g（x）．（結(jié)果用含x的代數(shù)式表示）思路引領(lǐng)：（1）把相應(yīng)的值代入新定義的運(yùn)算中，結(jié)合有理數(shù)的相應(yīng)的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可；（2）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得x與y的值，代入所求的式子運(yùn)算即可；（3）根據(jù)絕對(duì)值的定義進(jìn)行求解即可．解：（1）當(dāng)x＝﹣2，y＝3時(shí)，f（x）+g（y）＝|2×（﹣2）﹣2|+|3+3|＝|﹣4﹣2|+|6|＝6+6＝12，故答案為：12；（2）∵f（x）+g（y）＝0，∴|2x﹣2|+|y+3|＝0，∴2x﹣2＝0，y+3＝0，解得：x＝1，y＝﹣3，∴2x﹣3y＝2×1﹣3×（﹣3）＝2+9＝11；（3）當(dāng)x＜﹣3時(shí)，2x﹣2＜0，x+3＜0，∴f（x）+g（x）＝|2x﹣2|+|x+3|＝﹣（2x﹣2）﹣（x+3）＝﹣2x+2﹣x﹣3＝﹣3x﹣1．總結(jié)提升：本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，列代數(shù)式，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．10．（2021秋?全南縣期末）定義：對(duì)于一個(gè)有理數(shù)x，我們把{x}稱作x的相伴數(shù)；若x≥0，則{x}=12x﹣1；若x＜0，則{x}=?12x+1．例：{1}（1）求{32（2）當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，有{a}＝，求下列代數(shù)式的值；①a+b；②（a+b）2﹣2a﹣2b．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)相伴數(shù)的定義求得即可；（2）由相伴數(shù)的定義化簡(jiǎn)，然后代入代數(shù)式確定即可．解：（1）{32}=12×3（2）①a＞0，b＜0，{a}＝，即12a﹣1=?解得：a+b＝4．②（a+b）2﹣2a﹣2b＝（a+b）2﹣2（a+b），＝42﹣8，＝8．總結(jié)提升：本題考查了代數(shù)式求值，掌握相伴數(shù)的概念化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?丹徒區(qū)期中）定義一種新運(yùn)算，觀察下列各式：1⊙3＝1×2+3＝5；4⊙（﹣1）＝4×2﹣1＝7；（﹣2）⊙3＝（﹣2）×2+3＝﹣1；6⊙5＝6×2+5＝17；（1）請(qǐng)你想一想：用代數(shù)式表示a⊙b的結(jié)果為；（2）若a≠b，那么a⊙bb⊙a(bǔ)（填入“＝”或“≠”）；（3）若a⊙（﹣6b）＝4，請(qǐng)計(jì)算（a﹣5b）⊙（a+b）的值．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)題目中的式子，可以寫出a⊙b的結(jié)果為2a+b；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果可以寫出a⊙b和b⊙a(bǔ)的結(jié)果，再根據(jù)a≠b，即可判斷它們的結(jié)果是否相等；（3）根據(jù)a⊙（﹣6b）＝4，可以得到2a+（﹣6b）＝4，然后將所求式子化簡(jiǎn)，再將2a+（﹣6b）＝4化簡(jiǎn)的結(jié)果整體代入計(jì)算即可．解：（1）由題目中的式子可得，a⊙b＝2a+b，故答案為：2a+b；（2）∵a≠b，a⊙b＝2a+b，b⊙a(bǔ)＝2b+a，∴a⊙b≠b⊙a(bǔ)，故答案為：≠；（3）∵a⊙（﹣6b）＝4，∴2a+（﹣6b）＝4，∴a﹣3b＝2，∴（a﹣5b）⊙（a+b）＝2（a﹣5b）+（a+b）＝2a﹣10b+a+b＝3a﹣9b＝3（a﹣3b）＝3×2＝6．總結(jié)提升：本題考查列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用題目中的新運(yùn)算解答．12．（2022秋?通州區(qū)期中）定義：已知M，N為關(guān)于x的多項(xiàng)式，若M﹣N＝k，其中k為大于0的常數(shù)，則稱M是N的“友好式”，k叫做M關(guān)于N的“友好值”．例如：M＝x2+2x+3，N＝x2+2x﹣2，M﹣N＝（x2+2x+3）﹣（x2+2x﹣2）＝5，則稱M是N的“友好式”，M關(guān)于N的“友好值”為5．（1）已知M＝（x+3）（x﹣1），N＝（x+1）2，則M是N的“友好式”嗎？若是，請(qǐng)證明并求出M關(guān)于N的“友好值”；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）已知M＝（2x﹣m）2，N＝4x2﹣6x+n，若M是N的“友好式”，且“友好值”為14求m，n思路引領(lǐng)：（1）讀懂題意，利用新定義計(jì)算并判斷；（2）利用新定義列等式求出m、n的值．解；（1）M﹣N＝（x+3）（x﹣1）﹣（x+1）2＝x2+2x﹣3﹣x2﹣2x﹣1＝﹣4，﹣4＜0，∴不符合定義，∴M不是N的”友好式“；（2）M﹣N＝（2x﹣m）2﹣（4x2﹣6x+n）＝4x2﹣4xm+m2﹣4x2+6x﹣n＝（6﹣4m）x+m2﹣n∵M(jìn)是N的“友好式”，∴6﹣4m＝0，m=3∴M﹣N＝m2﹣n=1即（32）2﹣n=∴n＝2，∴m=32，總結(jié)提升：本題考查了整式的加減運(yùn)算的新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，熟練掌握新定義，利用新定義解決問(wèn)題．13．（2022秋?咸安區(qū)期中）定義：若A﹣B＝n，則稱A與B是關(guān)于數(shù)n的伴隨數(shù)．比如4與3是關(guān)于1的伴隨數(shù)，2x﹣3與2x是關(guān)于﹣3的伴隨數(shù)．（1）填空：2022與是關(guān)于﹣1的伴隨數(shù)，與﹣3x+5是關(guān)于2的伴隨數(shù)．（2）若a與2b是關(guān)于3的伴隨數(shù)，2b與c是關(guān)于﹣5的伴隨數(shù)，c與d是關(guān)于10的伴隨數(shù)，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．（3）現(xiàn)有A＝8x2﹣6kx+13與B＝2（4x2﹣3x+k）（k為常數(shù)）始終是數(shù)n的伴隨數(shù)，求n的值．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)新定義列式可得結(jié)論；（2）先根據(jù)伴隨數(shù)的新定義可得：a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，再將所求式化簡(jiǎn)并整體代入可得結(jié)論；（3）先計(jì)算A﹣B的值，再由伴隨數(shù)的新定義列等式可得k的值，從而得n的值．解：（1）∵2022﹣2023＝﹣1，2﹣（﹣3x+5）＝2+3x﹣5＝3x﹣3，∴2022與2023是關(guān)于﹣1的伴隨數(shù)，3x﹣3與﹣3x+5是關(guān)于2的伴隨數(shù)，故答案為：2023，3x﹣3；（2）∵a與2b是關(guān)于3的伴隨數(shù)，2b與c是關(guān)于﹣5的伴隨數(shù)，c與d是關(guān)于10的伴隨數(shù)，∴a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，∴（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）＝a﹣c+2b﹣d﹣2b+c＝（a﹣2b）+（2b﹣c）+（c﹣d）＝3﹣5+10＝8；（3）∵A＝8x2﹣6kx+13與B＝2（4x2﹣3x+k）（k為常數(shù)），∴A﹣B＝（8x2﹣6kx+13）﹣2（4x2﹣3x+k）＝8x2﹣6kx+13﹣8x2+6x﹣2k＝（6﹣6k）x+13﹣2k，∵A＝8x2﹣6kx+13與B＝2（4x2﹣3x+k）（k為常數(shù)）始終是數(shù)n的伴隨數(shù)，∴n＝（6﹣6k）x+13﹣2k，∴6﹣6k＝0，∴k＝1，∴n＝13﹣2＝11．總結(jié)提升：本題考查了整式的混合運(yùn)算和新定義﹣數(shù)n的伴隨數(shù)，能靈活運(yùn)用整式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．14．（2022春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）新定義：如果兩個(gè)一元一次方程的解互為相反數(shù)，就稱這兩個(gè)方程為“友好方程”，如：方程2x＝6和3x+9＝0為“友好方程”．（1）若關(guān)于x的方程3x+m＝0與方程2x﹣6＝4是“友好方程”，求m的值．（2）若某“友好方程”的兩個(gè)解的差為6，其中一個(gè)解為n，求n的值．思路引領(lǐng)：（1）求得方程2x﹣6＝4解為x＝5，利用“友好方程”的定義得到方程3x+m＝0的解，利用方程解的定義解答即可；（2）利用“友好方程”的定義得到方程的另一個(gè)解為﹣n，再利用定義列出關(guān)于n的等式解答即可．解：（1）方程2x﹣6＝4解為x＝5，∵關(guān)于x的方程3x+m＝0與方程2x﹣6＝4是“友好方程”，∴關(guān)于x的方程3x+m＝0的解為x＝﹣5，∴3×（﹣5）+m＝0，∴m＝15；（2）∵某“友好方程”的一個(gè)解為n，∴“友好方程”的另一個(gè)解為﹣n，∴n﹣（﹣n）＝6或﹣n﹣n＝6，∴n＝3或n＝﹣3．∴n＝±3．總結(jié)提升：本題主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，本題是閱讀型題目，理解新定義并熟練應(yīng)用新定義解答是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋?西城區(qū)校級(jí)期中）已知點(diǎn)P，點(diǎn)A，點(diǎn)B是數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)．若點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離等于點(diǎn)A，點(diǎn)B到原點(diǎn)距離的和的2倍，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A和點(diǎn)B的“2倍點(diǎn)”．（1）已知點(diǎn)A表示1，點(diǎn)B表示﹣2，下列各數(shù)﹣6，﹣3，0，6在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是P1，P2，P3，P4，其中是點(diǎn)A和點(diǎn)B的“2倍點(diǎn)”的有；（2）已知點(diǎn)A表示32，點(diǎn)B表示m，點(diǎn)P為點(diǎn)A和點(diǎn)B的“2倍點(diǎn)”，且點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為10，求m（3）已知點(diǎn)A表示a（a＜0），將點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸負(fù)方向移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)B．當(dāng)點(diǎn)P為點(diǎn)A和點(diǎn)B的“2倍點(diǎn)”時(shí)，直接寫出點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離（用含a的式子表示）．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)新定義進(jìn)行解答便可；（2）根據(jù)新定義列出方程解答便可；（3）根據(jù)定義先求得P點(diǎn)表示的數(shù)，再根據(jù)兩點(diǎn)距離公式求得結(jié)果．解：（1）∵點(diǎn)A表示1，點(diǎn)B表示﹣2，∴點(diǎn)A，點(diǎn)B到原點(diǎn)距離的和的2倍為：（1+|﹣2|）×2＝6，∵﹣6，﹣3，0，6在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是P1，P2，P3，P4，∴P1，P4到原點(diǎn)的距離為6，∴點(diǎn)A和點(diǎn)B的“2倍點(diǎn)”的有P1，P4，故答案為：P1，P4；（2）根據(jù)題意得2(3解得m＝±3.5；（3）設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，根據(jù)題意得|x|＝2（|a|+|a﹣3|），∴|x|＝﹣4a+6，∴x＝﹣4a+6或4a﹣6，∴PA＝|（﹣4a+6）﹣a|＝|﹣5a+6|＝﹣5a+6或PA＝|a﹣（4a﹣6）|＝|﹣3a+6|＝﹣3a+6，∴點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離為（﹣5a+6）或（﹣3a+6）．總結(jié)提升：本題考查了數(shù)軸，理解題目已知條件中點(diǎn)P為點(diǎn)A和點(diǎn)B的“2倍點(diǎn)”是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?天河區(qū)校級(jí)期中）已知|a+1|+（b﹣4）2＝0，c是?12的倒數(shù)，且a，b，c分別是點(diǎn)A，B，（1）直接寫出a，b，c的值，并在數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)A，B，C；（2）定義：在數(shù)軸上，若點(diǎn)D到點(diǎn)E、F的距離之和為6，則點(diǎn)D叫做E和F的“幸福中心”．①若點(diǎn)G是B和C的“幸福中心”，且點(diǎn)G表示的數(shù)是整數(shù)，求所有滿足條件的點(diǎn)G表示的數(shù)之和；②點(diǎn)Q表示7，點(diǎn)P從點(diǎn)Q出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)A，B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)多少秒時(shí)，點(diǎn)P是M和N的“幸福中心”？思路引領(lǐng)：（1）由|a+1|+（b﹣4）2＝0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得a＝﹣1，b＝4，由c是?12的倒數(shù)，得?12c＝1，則c＝﹣2，所以點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為﹣1，4，﹣2，在數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)A、（2）①設(shè)點(diǎn)G表示的數(shù)是x，點(diǎn)G到點(diǎn)B、C的距離之和為m，先說(shuō)明點(diǎn)G不能在點(diǎn)C的左側(cè)和點(diǎn)B的右側(cè)，而當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)B與點(diǎn)C之間時(shí)，m＝x+2+4﹣x＝6，此時(shí)﹣2≤x≤4，而x為整數(shù)，則x＝﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，即可求得所有滿足條件的點(diǎn)G表示的數(shù)之和是7；②先說(shuō)明點(diǎn)M和點(diǎn)N之間的距離保持不變，為4﹣（﹣1）＝5，則點(diǎn)P不能在點(diǎn)M與點(diǎn)N之間，再設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則點(diǎn)P、M、N表示的數(shù)分別為7﹣2t、﹣1+t、4+t，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，則7﹣2t﹣（﹣1+t）+7﹣2t﹣（4+t）＝6；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，則﹣1+t﹣（7﹣2t）+4+t﹣（7﹣2t）＝6，解方程求出相應(yīng)的t值即可．解：（1）∵|a+1|≥0，（b﹣4）2≥0，且|a+1|+（b﹣4）2＝0，∴|a+1|＝0，（b﹣4）2＝0，解得a＝﹣1，b＝4；∵c是?1∴?12∴c＝﹣2，∴點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為﹣1，4，﹣2，如圖所示．（2）①設(shè)點(diǎn)G表示的數(shù)是x，點(diǎn)G到點(diǎn)B、C的距離之和為m，若點(diǎn)G在點(diǎn)C左側(cè)，則x＜﹣2，∴m＝﹣2﹣x+4﹣x＝2﹣2x＞6，不符合題意；若點(diǎn)G在點(diǎn)B右側(cè)，則x＞4，∴m＝x+2+x﹣4＝2x﹣2＞6，不符合題意；當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)B與點(diǎn)C之間，則m＝x+2+4﹣x＝6，∵﹣2≤x≤4，且x為整數(shù)，∴x＝﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，∴﹣2﹣1+0+1+2+3+4＝7，∴所有滿足條件的點(diǎn)G表示的數(shù)之和是7．②∵點(diǎn)M和點(diǎn)N的速度相同，運(yùn)動(dòng)方向相同，∴點(diǎn)M和點(diǎn)N之間的距離保持不變，為4﹣（﹣1）＝5，若點(diǎn)P在點(diǎn)M與點(diǎn)N之間，由點(diǎn)P到點(diǎn)M、N的距離之和為5，不符合題意，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則點(diǎn)P、M、N表示的數(shù)分別為7﹣2t、﹣1+t、4+t，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，則7﹣2t﹣（﹣1+t）+7﹣2t﹣（4+t）＝6，解得t=5當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，則﹣1+t﹣（7﹣2t）+4+t﹣（7﹣2t）＝6，解得t=17綜上所述，經(jīng)過(guò)56秒或176秒，點(diǎn)P是M和總結(jié)提升：此題重點(diǎn)考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解應(yīng)用題、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的求解等知識(shí)與方法，正確地用代數(shù)式表示運(yùn)動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?寶安區(qū)校級(jí)期中）定義：數(shù)軸上有兩點(diǎn)A，B，如果存在一點(diǎn)C，使得線段AC的長(zhǎng)度是線段BC的長(zhǎng)度的2倍，那么稱點(diǎn)C為線段AB的“幸運(yùn)點(diǎn)”．（1）如圖①，若數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是﹣2和4，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，且點(diǎn)C為線段AB的“幸運(yùn)點(diǎn)”，則點(diǎn)C表示的數(shù)為；（2）如圖②，若數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是﹣4和﹣1，點(diǎn)C為數(shù)軸上一點(diǎn)，若點(diǎn)C為線段AB的“幸運(yùn)點(diǎn)”，則點(diǎn)C表示的數(shù)為；（3）如果數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是2001，點(diǎn)B表示的數(shù)是2025，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的“幸運(yùn)點(diǎn)”．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，且點(diǎn)C為線段AB的“幸運(yùn)點(diǎn)”，A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是﹣2，4，可得AC＝4，BC＝2，即得點(diǎn)C表示的數(shù)為2；（2）由點(diǎn)C為線段AB的“幸運(yùn)點(diǎn)”，得AC＝2BC，分兩種情況：當(dāng)C在線段AB上時(shí)，C表示的數(shù)為﹣2，當(dāng)C在B右側(cè)時(shí)，點(diǎn)C表示的數(shù)為2；（3）P表示的數(shù)是2001+2t，可列方程2t＝2|24﹣2t|，即可解得答案．解：（1）∵點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，且點(diǎn)C為線段AB的“幸運(yùn)點(diǎn)”，A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是﹣2，4，∴AC＝2BC，AC+BC＝4﹣（﹣2）＝6，∴AC＝4，BC＝2，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為﹣2+4＝2，故答案為：2；（2）∵點(diǎn)C為線段AB的“幸運(yùn)點(diǎn)”，∴AC＝2BC，當(dāng)C在線段AB上時(shí)，AC+BC＝3，∴AC＝2，BC＝1，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為﹣4+2＝﹣2，當(dāng)C在B右側(cè)時(shí)，AC﹣BC＝3，∴AC＝6，BC＝3，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為﹣4+6＝2，故答案為：﹣2或2；（3）由已知得：P表示的數(shù)是2001+2t，∴PA＝2t，PB＝|2025﹣（2001+2t）|＝|24﹣2t|，∵點(diǎn)P是線段AB的“幸運(yùn)點(diǎn)”，∴2t＝2|24﹣2t|，解得t＝8或t＝24，∴t＝8或t＝24時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的“幸運(yùn)點(diǎn)”．總結(jié)提升：本題考查一次方程的應(yīng)用，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)已知分類列方程．18．（2021秋?金華期末）定義：在一個(gè)已知角內(nèi)部，一條線分已知角成兩個(gè)新角，其中一個(gè)角度數(shù)為另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，我們把這條線叫做這個(gè)已知角的三等分線．（1）如圖，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分線，求∠AOC的度數(shù)．（2）點(diǎn)O在線段AB上（不含端點(diǎn)A，B），在直線AB同側(cè)作射線OC，OD．設(shè)∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．①當(dāng)OC是∠AOD的三等分線時(shí)，求t的值．②當(dāng)OC是∠BOD的三等分線時(shí)，求∠BOD的度數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）分兩種情況討論，分別計(jì)算．（2）作出圖形，用t表示圖中的各個(gè)角，列出t的方程求解．注意t的取值范圍，對(duì)解出的結(jié)果需要驗(yàn)證和取舍．解：（1）依題意，∠AOC+∠COB＝120°，且2∠AOC＝∠COB，或∠AOC＝2∠COB．當(dāng)2∠AOC＝∠COB時(shí)，∠AOC=13∠當(dāng)∠AOC＝2∠COB時(shí)，∠AOC=23∠（2）∵5t＜180°，∴t＜36°．①當(dāng)∠AOC＝2∠COD時(shí)，∠AOC=23∠即3t=23（180°﹣5解得t=360°當(dāng)2∠AOC＝∠COD時(shí)，∠AOC=13∠即3t=13（180°﹣5解得t=90°②當(dāng)∠BOC＝2∠COD時(shí)，∠BOC=23∠即180°﹣3t=23×解得t=540°∴∠BOD＝5t=2700°當(dāng)2∠BOC＝∠COD時(shí)，∠BOC=13∠即180°﹣3t=13×解得t=270°總結(jié)提升：本題考查角的計(jì)算．解題關(guān)鍵是做出圖形，列方程計(jì)算．注意要分類討論．19．（2021秋?薛城區(qū)期末）新定義：若∠α的度數(shù)是∠β的度數(shù)的n倍，則∠α叫做∠β的n倍角．（1）若∠M＝20°22′，請(qǐng)求出∠M的3倍角的度數(shù)；（2）如圖1，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，請(qǐng)直接寫出圖中∠AOB的所有2倍角；（3）如圖2，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)∠M＝20°22′，直接得出∠M的3倍角的度數(shù)；（2）根據(jù)已知條件得出∠AOB的所有2倍角；（3）根據(jù)已知條件設(shè)∠AOB＝α，得出∠AOC＝3α，∠COD＝4α，根據(jù)∠BOD＝90°，求出a，再根據(jù)∠BOC＝90°﹣4α，從而得出答案．解：（1）∵∠M＝20°22′，∴3∠M＝3×20°22′＝61°6′；（2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，∴∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB；（3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，∴設(shè)∠AOB＝α，則∠AOC＝3α，∠COD＝4α，∴∠AOD＝7α，∴∠BOD＝6α，∵∠BOD＝90°，∴α＝15°，∴∠BOC＝90°﹣4×15°＝30°．總結(jié)提升：此題主要考查了角的計(jì)算，度分秒的換算，本題是閱讀型題目，準(zhǔn)確理解并熟練應(yīng)用題干中的定義是解題的關(guān)鍵．20．（2021秋?咸安區(qū)期末）新定義問(wèn)題如圖①，已知∠AOB，在∠AOB內(nèi)部畫射線OC，得到三個(gè)角，分別為∠AOC、∠BOC、∠AOB．若這三個(gè)角中有一個(gè)角是另外一個(gè)角的2倍，則稱射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”．（本題中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【閱讀理解】（1）角的平分線這個(gè)角的“幸運(yùn)線”；（填“是”或“不是”）【初步應(yīng)用】（2）如圖①，∠AOB＝45°，射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”，則∠AOC的度數(shù)為；【解決問(wèn)題】（3）如圖②，已知∠AOB＝60°，射線OM從OA出發(fā)，以每秒20°的速度繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，射線ON從OB出發(fā)，以每秒15°的速度繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸運(yùn)線”，求出所有可能的t值．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)幸運(yùn)線定義即可求解；（2）分3種情況，根據(jù)幸運(yùn)線定義得到方程求解即可；（3）分3種情況，根據(jù)幸運(yùn)線定義得到方程求解即可．解：（1）一個(gè)角的平分線是這個(gè)角的“幸運(yùn)線”；故答案為：是；（2）①設(shè)∠AOC＝x，則∠BOC＝2x，由題意得，x+2x＝45°，解得x＝15°，②設(shè)∠AOC＝x，則∠BOC＝x，由題意得，x+x＝45°，解得x＝22.5°，③設(shè)∠AOC＝x，則∠BOC=12由題意得，x+12x＝45°，解得故答