浙江省湖州市某中學(xué)2024屆高三年級(jí)下冊(cè)新高考數(shù)學(xué)模擬試題（解析版）

2024年1月普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬訓(xùn)練

（湖州一中測(cè)試卷）

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

].答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

I若集合Af={x|<2},N={x|3x上2},則McN為（）

222

A.{x[04無<,}B,{x|0<x<4}C.{x\—<x<1]D,{x|j<x<4}

【答案】D

【解析】

【分析】利用無理不等式及一元一次不等式的解法，結(jié)合交集的定義即可求解.

【詳解】M={X\4X<2}={X\0<X<4}9

N={x\3x>2}={x\x>^]

22

所以"cN={x|0Kx<4}c{x|%N]}二{x|§<x<4}.

故選：D.

2.己知非零向量a，b，c滿足卜|=W，c=若c為6在a上的投影向量，則向量a，6夾角的余弦

值為（）

111

A-—2B.-C.一D.-

345

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的投影向量的計(jì)算公式，結(jié)合其夾角公式代入計(jì)算，即

可得到結(jié)果.

【詳解】由。=3。，c為6在a上的投影向量，

所以=cos（a,/?）a,故cos（a,/7）=3

故選：B

2

3.已知點(diǎn)尸是雙曲線9-5=1的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)Q是雙曲線漸近線上

的動(dòng)點(diǎn)，貝IJ歸耳+|PQ|的最小值為（）

A.8B.5C.3D.2

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)右焦點(diǎn)為G,根據(jù)雙曲線的定義可得歸典+|PQ|=|PG|+|尸。|+2,再根據(jù)三角形性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)

到線的距離求解即可.

【詳解】設(shè)右焦點(diǎn)為G（M,O）,又由對(duì)稱性，不妨設(shè)。在漸近線3x-y=o上.

根據(jù)雙曲線的定義可得|?目+1=IPG|+1+2?|GQ|+2,當(dāng)且僅當(dāng)P,G,Q三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào).

3對(duì)iiii

又當(dāng)GQ與漸近線垂直時(shí)取最小值，為|G9=匚」=3,故|PE|+|PQ|最小值為5.

A/32+12

4.甲箱中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球；乙箱中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取

出一球放入乙箱中，分別以4、4、4表示由甲箱中取出的是紅球、白球和黑球的事件；再從乙箱中隨

機(jī)取出一球，以3表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

25

A.-B.P（B|A）=H

c.事件5與事件A不相互獨(dú)立D.4、4、4兩兩互斥

【答案】A

【解析】

【分析】利用全概率公式可判斷A選項(xiàng)；直接寫出P(叫A)的值，可判斷B選項(xiàng)；利用獨(dú)立事件的定義可

判斷C選項(xiàng)；利用互斥事件的定義可判斷D選項(xiàng).

51913

詳解】依題意，P(A)=歷=5,*4)=5=丁尸(4)=歷，

尸(冏4)=5,B對(duì)，

P(B\A,)=P(B\A3)=^,

p(B)=yp(A)-^(5|A)=-x-^+-x-4-+—-A錯(cuò)；

7V17211511101122

P(BA)=P(4)PHA)=|X^=^,P(A)P(6)=；x：=1,

乙J_乙乙乙乙乙II

所以，P(剛)WP(3)-P(A),所以，事件B與事件A不相互獨(dú)立，C對(duì),

由題意可知，事件4、4、4中的任意兩個(gè)事件都不可能同時(shí)發(fā)生，

因此，事件4、4、4兩兩互斥，D對(duì).

故選：A.

5.若數(shù)列｛4｝滿足(〃-1)4=5+1)%T(〃22),4=2,則滿足不等式/<930的最大正整數(shù)“為(

A.28B.29C.30D.31

【答案】B

【解析】

【分析】利用累乘法求得％,，由此解不等式與<930,求得正確答案.

【詳解】依題意，數(shù)列｛4｝滿足(力―+22),q=2,

n+1nn+1

*22),所以4=%.絲.-^=2x-x-x-xx----x----

an-in-axa2an_1123n—2n-1

=n(n+l),4也符合，所以4=〃("+l),｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列,

由4=w(ra+l)<930,(ra+31)(w-30)<0,解得一31<〃<30,

所以”的最大值為29.

故選：B

駟,x>0

x若y=/(%)-：恰有5個(gè)不同零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)。的范圍為

6.設(shè)函數(shù)，(%)=<

sina)x+—,-7l<X<0

I6

()

10彳10彳

A.丁B.T,4

4D.吟

【答案】D

【解析】

【分析】畫出/(x)的圖象，將y=/(x)-g恰有5個(gè)不同零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為y=/(x)與y有5個(gè)交點(diǎn)即可.

【詳解】由題知，

y=/(x)—；零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為y=/(x)與y=1■交點(diǎn)的個(gè)數(shù),

當(dāng)x>0時(shí)，/(%)二網(wǎng)=r(x)=2。：nx)

XX

所以xe(O,e)時(shí),f\x)>0,/(%)單調(diào)遞增,

xe(e,+oo)時(shí)，f'(x)<0,/(%)單調(diào)遞減,

如圖所示:

91

所以％=0時(shí)八%)有最大值：/(x)max=/(e)=->-

e/

所以x>。時(shí)，由圖可知必有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)xWO時(shí)，因?yàn)榭凇?,-兀WxWO,

兀兀兀

所以一。兀+一<①九+一<一,

666

人兀L1兀兀

令％=s+一,貝一口兀+一,一

666

則有/（九）=sin/且Ze-①兀,如圖所示:

因?yàn)閤>0時(shí)，已有兩個(gè)父點(diǎn)，

所以只需保證/（%）=sinf與y=；有三個(gè)交點(diǎn)即可，

”一=小19兀兀,11兀,10

所以只需-----<一口兀+—?-----，解得2V0<—.

6663

故選：D

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問題往往可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合方便分析求解.

3.33一

7.若a=ln4,b=—，c=sin—I-tan—,則b,c的大小關(guān)系為（）

244

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】A

【解析】

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得b>。，構(gòu)造函數(shù)/z（x）=sinx+tanx-2x,（X￡[o,：J），利用導(dǎo)數(shù)可得c〉b,

則答案可求.

(3\2a

33且

【詳解】因?yàn)椋?）2<,所以4<e，，所以o=ln4<6=5=lne2,

I7

/、

令//(%)=sinx+tan%-2x,xe|0,-^所以，則

cos3x-cos2%)-(cos2x-1)

“(%)=cosxd---\---2=cos3x-2cos2x+1

22

COSXcosXCOSX

cos2x(cosx-l)-(cosX+l)(cosx-1)(cosx-1)(cos?x-cosx-1)

2―2

COSXCOSX

l2)4l2

所以/⑴=cosl)>0,

COSX

、

即/z（x）=sinx+tanx—2x,XG^O,—j恒為遞增函數(shù)，

則以；）〉/7（0）=0,即sin：+tan；—1>0,所以c>0,

綜上：a<b<c,

故選：A.

8.設(shè)集合乂={q,a2MSM/CN*,定義：集合V={6+%卜,%ecN*,iH/},集合

S=[x-y\x,y^Y,XJ^y],集合T=<m|x,yeRXHy>,分別用|S|,|T|表示集合S,T中元素的個(gè)

、y-

數(shù)，則下列結(jié)論可能成立的是（）

A.|S|=6B,|5|=16C.|T|=9D.|T|=16

【答案】D

【解析】

【分析】對(duì)A、B:不妨設(shè)1Wq<。2<%<4，可得+。2<+。3<%+。4<。2+。4<。3+。4，根

據(jù)集合F的定義可得y中至少有以上5個(gè)元素，不妨設(shè)

X]=%+a2，%2=%+a3,x3=。1+a4,x4=a2+a4,x5=a3+4,則集合S中至少有7個(gè)元素，排除選

項(xiàng)A,若+%+”3，則集合丫中至多有6個(gè)元素，所以|S|max=C；=15<16,排除選項(xiàng)B;對(duì)

C：對(duì)Viwj,七。勺，則三與土一定成對(duì)出現(xiàn)，根據(jù)集合T的定義可判斷選項(xiàng)C；對(duì)D：取

XJ\

X={1,3,5,7},則丫={4,6,8,10,12},根據(jù)集合T的定義可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】解：不妨設(shè)1<%</<%<。4，則％+aj的值為

顯然，。]+。2<。1+。3<。1+。4<。2+4<%+%，所以集合丫中至少有以上5個(gè)元素，

=ax=a+ax

不妨設(shè)％=ax+a2,x2=q+%,%i+a4，4i^^5=?3+a4,

則顯然七/<X]%<<毛/<x2x5<<x/5,則集合S中至少有7個(gè)元素，

所以|S|=6不可能，故排除A選項(xiàng);

其次，若為+&#/+%，則集合y中至多有6個(gè)元素，則|S|max=C；=15<16,故排除B項(xiàng);

對(duì)于集合T,取乂={1,3,5,7},則丫={4,6,8,10,12},此時(shí)

31,25,21,23,53,43,45,43,0，56,45,53,25,65,23,3。b|7|=16)故。項(xiàng)正…確;

X；X.

對(duì)于C選項(xiàng)而言，Mi±j,x產(chǎn)則一與」一定成對(duì)出現(xiàn),工-1<0,所以|T|一定是

Xj玉人七)

偶數(shù)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知Z]/2是兩個(gè)虛數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.若4=2，則Z1+Z2與2理2均為實(shí)數(shù)B.若Z]+Z2與2展2均為實(shí)數(shù)，則

Z.Z,

C.若4*2均為純虛數(shù)，則,為實(shí)數(shù)D.若」為實(shí)數(shù)，則Z]"2均為純虛數(shù)

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)合共輾復(fù)數(shù)的定義即可求解ABC,舉反例即可求解D.

【詳解】設(shè)4=。+歷，z2=c+di(^a,b,c,deR,Z?^0,<7^0).z1+z2=tz+c+(Z?+(7)i,

z1z2=ac-bd+(ad+Z?c)i.

22

若4=Z2，則。=。，b+d^Q,所以4+Z2=2aeR,ZjZ2=a+b&R,所以A正確；

若4+z?與Z]Zz均為實(shí)數(shù)，則Z?+d=0,且々7+茨?=0,又Z?w0,dwO,所以a=c,所以B正確;

z,c

若句，z2均為純虛數(shù)，則a=c=0,所以一=：enR,所以C正確；

z”d

取4=2+2i,z2=1+1,則且為實(shí)數(shù)，但z-Z2不是純虛數(shù)，所以D錯(cuò)誤.

Z2

故選：ABC.

10.如圖所示，棱長為3的正方體ABC。-A4GR中，P為線段43上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，則下列結(jié)論

正確的是()

JT

B.。尸與AC所成的角可能是2

A.DXPLAB.

6

C.AP?Z）C］是定值D.當(dāng)4尸=2PB時(shí),點(diǎn)C1到平面RAP的距離為1

【答案】ACD

【解析】

【分析】以。為原點(diǎn)，ZM為x軸正方向，。。為y軸正方向，為z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)P（3,a,3—a）,（0<a<3）,計(jì)算QP,被可判斷A；假設(shè)2P與AC所成的角是△,則

cos（RP,AO=cosg,求解可判斷B；計(jì)算AP，。?？膳袛郈；當(dāng)4P=2P3時(shí)，P（3,2,l）,求出平

面D.AP的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式可判斷D.

【詳解】以。為原點(diǎn)，ZM為x軸正方向，。。為》軸正方向，為z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)

系，則A（0,0,3）,4（333）,G（0,3,3）,A（3,0,0）,C（0,3,0）,D（0,0,0）,

ZA

設(shè)P（3,a,3—a）,（0<a<3）,則。產(chǎn)=（3,心—a）,做=（0,3,3）,

所以RPAB]=3x0+ax3+（-a）x3=0,則2P_14與，故A正確;

因?yàn)锳C=（-3,3,0）,DxP=（3,a-a）,

所以cos（2RACDp?AC3a—9

2,

|D1P||Ac|-A/9+2ax3V2

IT

若2P與AC所成的角是:，

6

/\TT9—3a7t

貝Ijcos（D^,AC）=cos—,BP/=C0S

\i/6V9+2tz2x3V2F67^

3

整理得（2a+3y?=0,得。=一,，與0<a<3矛盾，故B錯(cuò)誤；

UUUlUUUU

AP=（O,a,3-a）,DC,=（0,3,3）,所以AP￡）G=0x0+ax3+（3-a）x3=9為定值，故C正確;

當(dāng)AP=2PB時(shí)，P（3,2,l）,

RA=（3,0,—3）,AP=（0,2,1）,CQ=（0,-3,0）,

設(shè)平面D.AP的法向量為m=(%,y,z),

D.A-m=3x-3z=0/、

由〈令z=2,則％=2,y=—1fm=（2,—1,2）,

APm=2y+z=0

CR?m3

點(diǎn)q到平面2Ap的距離d=|湛=3=1，故D正確.

故選：ACD.

11.已知函數(shù)〃九)為定義在R上的偶函數(shù)，/(0)=1,且/(x—l)+/(x+l)=/(x),貝|()

1<31

A./（1）=-B,“X）的圖象關(guān)于點(diǎn)亍0對(duì)稱

2\Z）

20231

C."%)以6為周期的函數(shù)D.(左)=一彳

k=i2

【答案】ABC

【解析】

【分析】令九=0,求出/(1)可判斷A；利用/(X—l)+/(x+l)=/(x)和〃T)=〃x)得出

1—x]=-+可判斷B正確；利用周期函數(shù)的定義和/(x—l)+/(x+l)=/(x)求出周期可

判斷C；賦值法求出了⑼，/⑴，42),/(3),“4),/(5),結(jié)合周期可判斷D.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(%)為定義在R上的偶函數(shù)，

所以〃T)=/(X),/(-x+l)=/(x-l),

對(duì)于A,令x=0,可得/(O_l)+/(O+l)=/(O)=l,

因?yàn)?(—1)=/。)，可得/(l)=g，故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)?(x—l)+/(x+l)=/(x),

所以/(-x-l)+/(-x+l)=/(-X)=/(%),

可得/(—x+l)+/(3—x)=/(x—2),

從而/(3r)=/(x_2)—/(f+l)=〃x_2)_〃x—l),

又因?yàn)?(x_l)+/(x+l)=/(x),可得=

所以/(3—x)=〃x—2)—"x—1)=一/⑴，可得/g—1=—小+|],

(3、

所以了(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)8,0對(duì)稱，故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)?(x—l)+/(x+l)=/(x),

所以/(x)+/(x+2)=/(x+l)，所以―/(x+2)=/(x_l),

可得一/(x+3)=/(x),所以有/(x+6)=-/(%+3)=/(%),

所以/(%)以6為周期的函數(shù)，故C正確；

對(duì)于D,/(0)=1,/(1)=1,令x=i可得/(0)+/(2)=/(1),可得f(2)=/(i)_y(o)=-g,

令x=2可得〃1)+〃3)=〃2),可得〃3)=〃2)—/⑴=_1,

令1=3可得〃2)+/(4)=〃3),可得〃4)=〃3)—〃2)=—j

令彳=4可得/(3)+/(5)=〃4),可得〃5)=〃4)_/(3)=g,所以

/(0)+〃1)+/(2)+〃3)+/(4)+〃5)=0,

20231

所以⑹=337X0+〃1)=7,故D錯(cuò)誤.

*=i2

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：適當(dāng)?shù)馁x值和變量代換，是探求抽象函數(shù)周期的關(guān)鍵，求解抽象函數(shù)問題，要有扎

實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的抽象思維和邏輯推理能力.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.有一個(gè)郵件過濾系統(tǒng)，它可以根據(jù)郵件的內(nèi)容和發(fā)件人等信息，判斷郵件是不是垃圾郵件，并將其標(biāo)

記為垃圾郵件或正常郵件.對(duì)這個(gè)系統(tǒng)的測(cè)試具有以下結(jié)果：每封郵件被標(biāo)記為垃圾郵件的概率為g,被標(biāo)

記為垃圾郵件的有工的概率是正常郵件，被標(biāo)記為正常郵件的有工的概率是垃圾郵件，則垃圾郵件被該

1010

系統(tǒng)成功過濾(即垃圾郵件被標(biāo)記為垃圾郵件)的概率為.

【答案】-

7

【解析】

-2-1-1

【分析】記4=“正常郵件”，3=“標(biāo)記為正常郵件”，根據(jù)題設(shè)有P(B)=g,P(A|B)=元，1(A|B)=正,

再應(yīng)用對(duì)立事件、條件概率、全概率及貝葉斯公式求垃圾郵件被該系統(tǒng)成功過濾的概率.

-2-1-1

【詳解】記4="正常郵件”，5=”標(biāo)記為正常郵件”,則P(5)=g,P(A|B)=—,P(A\B)=—,

—3-------9

所以P(3)=l-P(B)=M，P(A\B)=1-P(A\B)=—,

——........-31821

故P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)=—+—=—,

________18

所以川)二擔(dān)需反|《

50

故答案為：一

7

202320222023

13.已知(1+2龍廣3+(2-x)=a0+a,x+生/+…+?2022x+?2023X,若存在

e

k{0,1,2,…,2023}使得ak<0,則k的最大值為.

【答案】1011

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可得以=《023[2*+22023*.(-!)?],討論上的奇偶性，結(jié)合4<0分析求

解即可.

[詳解】二項(xiàng)式(1+2x)2023的通項(xiàng)為=C；023(2切=C；023?27,r=0,1,2,…,2023,

3，2322°23fm，23?23f

二項(xiàng)式(2—X廣的通項(xiàng)為Tm+i=(-x)=22°?(-1)叫八相=0,1,2,L,2023,

所以W=C黑3-2、c黑3?22°23d.(-1)"=C&[2上+22023^.(―1月,左e{0,1,2,L,2023},

若如<0，則有：

O20232023

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)ak=C：23(2J2^),即于—2^<0，

則左＜2023—左，可得左＜-----=1011.5,

2

又因?yàn)槿藶槠鏀?shù)，所以上的最大值為1011；

當(dāng)左為偶數(shù)時(shí)，此時(shí)+22°23-/）＞0,不合題意；

綜上所述：上的最大值為1011.

故答案為：1011.

14.已知產(chǎn)為拋物線C:y=—/的焦點(diǎn)，過點(diǎn)方的直線/與拋物線。交于不同的兩點(diǎn)A,B,拋物線在

4

,25

點(diǎn)A3處的切線分別為乙和若4和4交于點(diǎn)P，貝/尸用+畫的最小值為.

【答案】10

【解析】

【分析】設(shè)直線A3方程為y=Ax+l,A（玉,%）,5（%,%），聯(lián)立拋物線方程得出韋達(dá)定理，再利用導(dǎo)數(shù)

25

的幾何意義求解AR3P方程，聯(lián)立AP,3P可得P（2Z,—1）,再代入I2歹『+畫根據(jù)基本不等式求解最

小值即可.

【詳解】。：產(chǎn)=今的焦點(diǎn)為（0,1）,設(shè)直線方程為y=Ax+l,A（^,^）,5（%2,y2）.

聯(lián)立直線與拋物線方程有f―4依—4=0,則|45|=%+%+2=左（石+七）+4=4左2+4.

又y=；/求導(dǎo)可得/=1x,故直線AP方程為y—x=gx（x—xj.

p12119

又％=，故AP:y=5再九一w再同理BP:y=—

2

可得;（X「X2）X=；（X：—XJ,解得彳=土產(chǎn)，代入可得P［生產(chǎn)，苧

代入韋達(dá)定理可得P（2k,-1）,故|PE|=14k2+4.

故|依『+昌=4/2+4+25222595

+4)x京*=1°'當(dāng)且僅當(dāng)叱+4=際'即

\AB\4左2+4

左=±g時(shí)取等號(hào).

故答案為：10

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：如圖，假設(shè)拋物線方程為爐=2處（"〉0）,過拋物線準(zhǔn)線>=上一點(diǎn)「（公,九）向

拋物線引兩條切線，切點(diǎn)分別記為A,3,其坐標(biāo)為（七,%）,（%,%）?則以點(diǎn)P和兩切點(diǎn)A3圍成的三角形

R43中，有如下的常見結(jié)論：

結(jié)論1.直線AB過拋物線的焦點(diǎn)F.

結(jié)論2.直線AB的方程為天工=2.2*2=p（%+y）.

結(jié)論3.過尸的直線與拋物線交于A3兩點(diǎn)，以A3分別為切點(diǎn)做兩條切線，則這兩條切線的交點(diǎn)尸（為,%）

的軌跡即為拋物線的準(zhǔn)線.

結(jié)論4.PF±AB.

結(jié)論5.AP1PB.

結(jié)論6.直線AB的中點(diǎn)為M,則平行于拋物線的對(duì)稱軸.

結(jié)論7.忸可2=|AF|-|JBF|.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知橢圓C:￡+，=l（a〉b〉0）的左右頂點(diǎn)距離為2痣，離心率為白.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)（0,1）,斜率存在且不為0的直線/與橢圓。交于A,8兩點(diǎn)，求弦A3垂直平分線的縱截距

的取值范圍.

V22

【答案】（1）'+匕V=1

(2)(—1,0)

【解析】

【分析】（1）根據(jù)長軸長與橢圓離心率求得"c,進(jìn)而得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)/:y-1=近與橢圓方程聯(lián)立后，得到韋達(dá)定理的形式，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出。點(diǎn)坐標(biāo)，從而

得到/'方程；令x=0可求得/'在V軸的截距，利用函數(shù)值域的求解方法可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

由題意，2〃=2。6，即a=，6，

又e=S=,所以C=A/^,

a2

22

故人2—a_c=6-3=3，

22

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

63

【小問2詳解】

如圖，

由題意知：直線/的斜率上存在且不為零，

設(shè)/:y—l=Ax,k豐0,4（%,%）,5（%2，%），AB中點(diǎn)。(％,%),

y-l=kx

聯(lián)立y2_，消去y并整理得：（1+2左2）x2+4丘—4=0,

163

△>0恒成立，

5?4k%,+x92k,一2k21

［，獷也U=11+211+2/'

122k2+1°22V+]

則/,方程為：-0即，一一一一2k

X+-----y

1+2左2

化簡(jiǎn)得：戶一%一次二

設(shè)直線/'在y軸上截距為m,令x=0得m=—-二

2k~+1

由0<-7-<1可知一1cm<0，

2左2+1

所以直線/'在y軸上的截距的取值范圍為（-1,0）.

16.在銳角「ABC中，設(shè)邊。，仇c所對(duì)的角分別為A,B,C,且/=反.

（1）證明：A=2B

（2）若a=l,求2/?+c的取值范圍.

【答案】（1）證明見詳解

’3母

(2)

【解析】

【分析】（1）余弦定理結(jié)合已知消元，然后利用正弦定理邊化角，利用內(nèi)角和定理消去角C,用和差公式化

簡(jiǎn)后，利用正弦函數(shù)單調(diào)性可得;

（2）利用正弦定理將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于角B的三角函數(shù)，根據(jù)銳角三角形定義求角B范圍，然后使用換元

法，借助對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)即可求解.

【小問1詳解】

因?yàn)?be，

m2+c?—//—bec—bsinC—sinB

所以cosA=----------=------=----=-----------，

2bc2bc2b2sinB

整理得2sinjBcosA=sinC-sin3,

又C=7i-(A+5),所以sinC=sin[兀一(A+B)]=sin(A+B),

所以2sin5cosA=sin(A+B)-sinB=sinAcosB+cosAsinB-sinB,

整理得sinB=sinAcosB-cosAsinB,所以sin5=sin(A—5),

jrjr

因?yàn)锳5C為銳角三角形，所以。<5<—,0<A<一,

22

TTTTTT

所以—上<—3<0,所以—上<A—5<上，

222

因?yàn)楹瘮?shù)丁=sin尤在上單調(diào)遞增,

所以6=4—6，即A=25.

【小問2詳解】

由（1）可知，A=2B,C=TI-3B,

11b

因?yàn)椤?1,所以由正弦定理可得,—,即

sin2BsinB2sinBcosBsinB

1

因?yàn)?￡（0,7i）,sin5>0,所以b二■,

2cos5

又a1—b?=bc,所以尸+/7。=1，即/?+。二丁’

b

所以2Z?+c=b+c+Z?=工+b=2cos5^------——,

b2cosB

0<仁

兀

因?yàn)槎嗀5C為銳角三角形，所以〈0<2B<-解得表5吟

2

7T

0<TI-3B<-

2

則<cosB<-

22

記1二2cos5,則2b+c=%+；,百）

由對(duì)勾函數(shù)可知，y=/+；在（應(yīng),6）上單調(diào)遞增，

所以即2b+c的取值范圍為［羋，攣

2-3I23J

17.如圖，在四棱錐尸―ABCD中，已知AB//CD,A￡>，CD,5C=30,00=243=4,△ADP是等

邊三角形，且E為。。的中點(diǎn).

（1）證明：AE//平面PBC；

（2）當(dāng)B4=6時(shí)，試判斷在棱BC上是否存在點(diǎn)使得二面角〃—Q4—E的大小為60.若存在，請(qǐng)

求出網(wǎng)■的值；否則，請(qǐng)說明理由.

BC

【答案】（1）證明見解析

BM2

（2）存在,

^BC7

【解析】

【分析】（1）根據(jù)線線平行即可結(jié)合線面平行的判定求證，

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角求解二面角，即可求解.

【小問1詳解】

證明：在四棱錐P—A3CD中，已知A3//■BC=JBP,CD=2AB=4,如圖，取PC的

中點(diǎn)/，連接所,5￡

ADP是等邊三角形，且E為OP的中點(diǎn).

:.AE±PD,

E是棱的中點(diǎn)，/為PC的中點(diǎn)，

：.EF//CD,且所=」CD.

2

AB//CD,AB=~CD,

：.EFIIAB,且EF=AB.

???四邊形ABEE是平行四邊形，

:.AE//BF

BFu平面PBC,AE<Z平面PBC,

.:AE//平面尸5C.

【小問2詳解】

E為DP的中點(diǎn),

BC=BP,且歹為PC的中點(diǎn)，PC,

AE//BF,:.AE±PC,

.-.AE，平面PCD,CDu平面PCD,

:.AE±CD,又AD，CD,ADcAE=A,且A。,AEu平面的）p,

\CD人平面ADP,

.?.￡F，平面ADP，

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EP,EA,EF的方向分別為蒼％z軸的正方向，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系石-孫z,

則P（3,0,0）,A（0,3A0）,5（0,373,2）^（-3,0,4）,

假設(shè)存在滿足題設(shè)的點(diǎn)M,不妨設(shè)M（a,b,c）,且器=4,則

BC

BM=（a,b-3/c-2）,且5C=13,-362）,

:.BM=ABC>即(a,人一3月,c—2)=(—32,—3后4,2/1),

a=—32,a——32,

所以3拓=-3段,則,=3+1-；I),即貝-32,3同1-4),2(1+町,

c=2(1+2),C—2—22,

不妨設(shè)平面？AM的一個(gè)法向量為〃=（x,y,z）,

易知出=卜3,36,0),PM="(1+4),3君(1-4),2(1+4)),

PA-n=-3x+3j3y=0,

由〈r-

PM-H=-3(l+2)x+3V3(l-2)y+2(l+2)z=0,

令x=A/3，則y=1,z=n_Ai,

1+2

顯然平面Q4E的一個(gè)法向量為加=（0,0』），

3A/32

??m-no1

1+2=cos60=一

?"27%2'

lx14+--------

(1+4

3A/32

1+212

又解得彳=亍

27公4G

1x(4+

(1+4

RM2

???存在滿足題設(shè)的點(diǎn)此時(shí)一=—

BC7

18.已知在一個(gè)不透明的盒中裝有一個(gè)白球和兩個(gè)紅球（小球除顏色不同，其余完全相同），某抽球試驗(yàn)的

規(guī)則如下：試驗(yàn)者在每一輪需有放回地抽取兩次，每次抽取一個(gè)小球，從第一輪開始，若試驗(yàn)者在某輪中

的兩次均抽到白球，則該試驗(yàn)成功，并停止試驗(yàn).否則再將一個(gè)黃球（與盒中小球除顏色不同，其余完全相

同）放入盒中，然后繼續(xù)進(jìn)行下一輪試驗(yàn).

（1）若規(guī)定試驗(yàn)者甲至多可進(jìn)行三輪試驗(yàn)（若第三輪不成功，也停止試驗(yàn)），記甲進(jìn)行的試驗(yàn)輪數(shù)為隨機(jī)

變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

（2）若規(guī)定試驗(yàn)者乙至多可進(jìn)行輪試驗(yàn)（若第〃輪不成功，也停止試驗(yàn)），記乙在第

左伏輪使得試驗(yàn)成功的概率為則乙能試驗(yàn)成功的概率為尸（〃）=f號(hào)，證明:

k=\

49

【答案】（1）分布列見解析，—

18

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）由條件確定的X取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望;

（2）由（1）中的結(jié)論及結(jié)合題意寫出每一輪的概率，結(jié)合概率乘法公式從而求解.

【小問1詳解】

由題意得，X的可能取值為1,2,3,

在第一輪中，試驗(yàn)者每次抽到白球的概率為工,

3

依題意，在第二輪中，盒中有一個(gè)白球，兩個(gè)紅球和一個(gè)黃球，每次摸到白球的概率為（

21

p(X=2)=

-18

易知P（X=3）=1—[P（X=1）+P（X=2）]=|,

，X的分布列為：

X123

1_15

P

9186

11549

.?.乂的數(shù)學(xué)期望石(乂)=1*—+2><—+3><—=—

918618

【小問2詳解】

1C1)11

證明：當(dāng)左時(shí)，不難知道片=1-y1-

八（女+1尸（左+2）2，

、

1、11-J1

22

3八7(k+2)

2x43x5kx(k+2)121

22-X

-f于，(^+1)'(k+2)3(k+l)(k+2)'

21211

娛=—x-----------