《高等數(shù)學(xué)上冊(cè) 第2版》習(xí)題及答案 蔣國(guó)強(qiáng) 第3章習(xí)題解答

PAGEPAGE17習(xí)題解答習(xí)題3--11.驗(yàn)證羅爾定理對(duì)函數(shù)在區(qū)間上的正確性。解：因?yàn)樵趨^(qū)間上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)且,所以由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)使得。由得因此確有使2.證明對(duì)函數(shù)在區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理時(shí)所求得的總是位于該區(qū)間的中點(diǎn)。證明：因?yàn)楹瘮?shù)在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)在開區(qū)間(ab)內(nèi)可導(dǎo)由拉格朗日中值定理至少存在一點(diǎn)(ab)使得即(pb2qbr)(pa2qar)(2pq)(ba)化簡(jiǎn)上式得：p(ba)(ba)2p(ba)故3.利用中值定理證明下列不等式：（1）；（2）；（3）； 證明(1)設(shè)則f(x)在[ab]上連續(xù)在(ab)內(nèi)可導(dǎo)由拉格朗日中值定理存在(ab)使f(b)f(a)f()(ba)即而所以。（）設(shè)f(x)xn則f(x)在[ba]上連續(xù)在(ba)內(nèi)可導(dǎo)由拉格朗日中值定理存在(ba)使f(a)f(b)f()(ab)即anbnnn1(ab)因?yàn)閚bn1(ab)nn1(ab)nan1(ab)所以nbn1(ab)anbnnan1(ab)（）設(shè)則f(x)在以ab為端點(diǎn)的閉區(qū)間上連續(xù)在以ab為端點(diǎn)的開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理存在介于ab之間，使f(b)f(a)f()(ba)即而所以。4.利用導(dǎo)數(shù)證明：（）；證明設(shè)f(x)arcsinxarccosx因?yàn)椋ǎ┧詅(x)C其中C是一常數(shù)取，得到=；又，因此（）；習(xí)題3-21.利用羅必達(dá)法則求下列極限：（1）；解：原式===6（2）；解：原式==（3）；解：原式==（4）；解：原式===（5）；解：原式====（6）；解：原式===（7）；解：原式====（8）；解：原式===（9）；解：原式===（10）；解：原式=====（11）；解：原式==，又====，所以，原式==（12）；解：原式==，又===，所以，原式=2.驗(yàn)證極限存在，但不能用羅必達(dá)法則計(jì)算出來。解：原式==，所以，極限存在。但是=不存在，不能用羅必達(dá)法則。習(xí)題3-31.將多項(xiàng)式展開成的多項(xiàng)式。解：因?yàn)?，，，所以按的冪展開的多項(xiàng)式為2.應(yīng)用馬克勞林公式，按的冪展開函數(shù)。解：因?yàn)?，，，，，所以按的冪展開的多項(xiàng)式為3.求函數(shù)的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的階馬克勞林公式。解：因?yàn)椋?，，，，所以，從?.求函數(shù)的帶有皮爾諾型余項(xiàng)的5階馬克勞林公式。解：因?yàn)椋?，所以：?xí)題341.確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（）；；（6）；解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得駐點(diǎn)，列表得x(-￥,-1)-1(-1,1)1(1,+￥)y￠0+0y↘↗↘可見函數(shù)在(-￥,-1]、[1,+￥)內(nèi)單調(diào)減少,在[-1,1]內(nèi)單調(diào)增加。（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得駐點(diǎn)，列表得：x(-￥,-1)-1(-1,1)1(1,+￥)y￠0+0y↘↗↘可見函數(shù)在(-￥,-1]、[1,+￥)內(nèi)單調(diào)減少,在[-1,1]內(nèi)單調(diào)增加。（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得駐點(diǎn)，列表得：x(0,2)2(2,+￥)y￠0+y↘↗所以函數(shù)在(0,2]內(nèi)單調(diào)減少,在[2,+￥)內(nèi)單調(diào)增加。（4）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得駐點(diǎn)，列表得：x(0,1)1(1,2)y￠+0y↗↘所以函數(shù)在[0,1]內(nèi)單調(diào)增加,在[1,]內(nèi)單調(diào)減少。（5）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，令，得駐點(diǎn)，列表得：xy￠0+0-y↘↗↘可見函數(shù)在,內(nèi)單調(diào)減少,在內(nèi)單調(diào)增加。（6）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得駐點(diǎn)，另外為函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)。列表得：x(-￥,0)0(0,)(,+￥)y￠+不存在-0+y↗↘０↗可見函數(shù)在,內(nèi)單調(diào)增加,在內(nèi)單調(diào)減少。2.證明下列不等式：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，；證明：（1）設(shè),則f(x)在[0,+￥)內(nèi)連續(xù)。因?yàn)樗詅(x)在(0,+￥)內(nèi)是單調(diào)增加的，從而當(dāng)x>0時(shí)f(x)>f(0)=0,即亦.()（2）設(shè),則f(x)在[1,+￥)內(nèi)連續(xù)。因?yàn)樗詅(x)在(1,+￥)內(nèi)是單調(diào)增加的，從而當(dāng)x>1時(shí)f(x)>f(1)=0,即亦.()（3）設(shè),則f(x)在[0,+￥)內(nèi)連續(xù)。因?yàn)樗詅(x)在(0,+￥)內(nèi)是單調(diào)增加的，從而當(dāng)x>0時(shí)f(x)>f(0)=0,即亦.()3.求下列函數(shù)的極值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且,駐點(diǎn)為列表x(-,0)0(0,1)1(1,+)y+0-0+y↗7極大值↘6極小值↗可見函數(shù)在x=0處取得極大值7,在x=1處取得極小值6.(2)函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且,駐點(diǎn)為。又。因?yàn)閥(0)=40,y(-1)=-80,y(1)=-80,所以y(0)=0是函數(shù)的極小值,y(-1)=1和y(1)=1是函數(shù)的極大值.(3)函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且。令，駐點(diǎn)為列表x(-,0)0(0,+)y-0+y↘0極小值↗可見函數(shù)在x=0處取得極小值0.(4)函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且。為不可導(dǎo)點(diǎn)列表x(-,1)1(1,+)y-0+y↘2極小值↗可見函數(shù)在x=1處取得極小值2.(5)函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且。令，得駐點(diǎn)為，列表x(-,-1)-1(-1,)(,+)y-0-0+y↘非極值↘極小值↗可見函數(shù)在x=處取得極小值.4.問為何值時(shí)，函數(shù)在處取得極值？它是極大值還是極小值？并求此極值。解：,，要使函數(shù)在處取得極值,必有,即，.當(dāng)時(shí),.因此,當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)在處取得極值,而且取得極大值,極大值為.5.求下列函數(shù)的最大值或最小值，如果都存在，均求出：（1），；（2），；（3），；（4），；（5），。解：（1），令,得駐點(diǎn)為。計(jì)算函數(shù)值得y(-1)=1,y(0)=0,y(-2)=-4,y(2)=28,經(jīng)比較得出函數(shù)的最小值為y(-1)=-4,最大值為y(2)=28.（2），令,得駐點(diǎn)為（其中不合）。計(jì)算函數(shù)值得y(0)=5,y(-1)=-2,y(2)=-11,經(jīng)比較得出函數(shù)的最小值為y(2)=-11,最大值為y(0)=5.（3），令,得駐點(diǎn)為。計(jì)算函數(shù)值得,,經(jīng)比較得出函數(shù)的最小值為,最大值為.（4），令,得駐點(diǎn)為（其中不合）。列表得x(0,1)1(1,+)y+0-y↗極大值↘所以函數(shù)在x=1處取得極大值.又因?yàn)轳v點(diǎn)只有一個(gè),所以這個(gè)極大值也就是最大值,即函數(shù)在x=1處取得最大值,最大值為.（5），令,得駐點(diǎn)為。列表得x(-,-2)-2(-2,0)y-0+y↘極小值↗所以函數(shù)在x=-2處取得極小值.又因?yàn)轳v點(diǎn)只有一個(gè),所以這個(gè)極小值也就是最小值,即函數(shù)在x=-2處取得最小值,最小值為.6.將6分為兩數(shù)之和，使其立方和為最小。解：設(shè)兩數(shù)中的一數(shù)為x則另一數(shù)為(6-x),于是立方和為，令,得唯一駐點(diǎn)x=3.因?yàn)?所以x=3為極小值點(diǎn),從而也是最小值點(diǎn).即當(dāng)兩數(shù)均為3時(shí)，兩數(shù)的立方和為最小.7.一個(gè)無蓋的圓柱形容器，當(dāng)給定體積為時(shí)，要使容器的表面積為最小，問底的半徑與容器的高的比例應(yīng)該怎樣？解：由V=r2h,得.于是容器表面積為：S=r2+2rh(0x+),.令S=0,得駐點(diǎn).因?yàn)?所以S在駐點(diǎn)處取得極小值,也就是最小值.這時(shí)相應(yīng)的高為.底半徑與高的比為。8.已知某廠生產(chǎn)件產(chǎn)品的成本為（元），問：（1）要使平均成本最小，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？（2）若產(chǎn)品以每件500元出售，要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？解：（1）平均成本函數(shù)，.令,得駐點(diǎn).因?yàn)?所以在駐點(diǎn)處取得極小值。.因?yàn)轳v點(diǎn)唯一,所以這個(gè)極小值也就是最小值，即當(dāng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品時(shí)，平均成本最小。（2）利潤(rùn)函數(shù)，，，令,得駐點(diǎn).因?yàn)?所以在駐點(diǎn)處取得極大值。.因?yàn)轳v點(diǎn)唯一,所以這個(gè)極大值也就是最大值，即當(dāng)生產(chǎn)6000件產(chǎn)品時(shí)，利潤(rùn)達(dá)到最大。9.用一塊半徑為的圓形鐵皮，剪去一圓心角為的扇形后，做成一個(gè)漏斗形容器，問為何值時(shí)，容器的容積最大？解：設(shè)漏斗的底周長(zhǎng)為l、底半徑為r、高為h，那么,.漏斗的容積為(0<<2).，令，得駐點(diǎn)為.由問題的實(shí)際意義,V一定在(0,2)內(nèi)取得最大值,而V在(0,2)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),所以該駐點(diǎn)一定也是最大值點(diǎn).因此當(dāng)時(shí),漏斗的容積最大.10.用三塊相同的木板做成一個(gè)斷面為梯形的水槽（如圖3-12），問傾斜角為多大時(shí)，水槽的流量最大？最大流量是多少？(設(shè)流速為)解：槽的流量與槽的橫截面面積有關(guān)，橫截面面積愈大，流量愈大。因此，求流量最大，也就是求槽的橫截面面積最大。設(shè)橫截面面積為，由于截面為梯形，所以，在直角三角形中，，，又，于是，故令，得和（不合舍去），從而有唯一駐點(diǎn)為。所以當(dāng)時(shí)，橫截面面積最大，即水槽的流量最大，最大流量為。12.一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租。當(dāng)月租金定為1000元時(shí)，公寓能全部租出去；當(dāng)月租金每增加50元時(shí)，就會(huì)多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花費(fèi)100元的維修費(fèi)，問房租定為多少元時(shí)可獲得最大收入？解：設(shè)房租定為x元,純收入為R元.當(dāng)x1000時(shí),R=50x-50100=50x-5000,且當(dāng)x=1000時(shí),得最大純收入45000元.當(dāng)x1000時(shí),.令R=0得(1000,+)內(nèi)唯一駐點(diǎn)x=1800.因?yàn)?所以x=1800為極大值點(diǎn),同時(shí)也是最大值點(diǎn).最大值為R=57800.因此,房租定為1800元可獲最大收入習(xí)題3--51.求下列曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)（1）；（2）；（3）；（4）； 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且，.令y￠￠=0,得.列表得x(-￥,)(,+￥)y￠￠-0+y?拐點(diǎn)è所以曲線在(-￥,]內(nèi)是凸的,在[,+￥)內(nèi)是凹的,拐點(diǎn)為(,).(2)函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且，.令y￠￠=0,得.列表得x(-￥,-1)-1(-1,1)1(1,+￥)y￠￠-0+0-y?ln2拐點(diǎn)èln2拐點(diǎn)?可見曲線在(-￥,-1]和[1,+￥)內(nèi)是凸的,在[-1,1]內(nèi)是凹的,拐點(diǎn)為(-1,ln2)和(1,ln2).(3)函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且，.當(dāng)時(shí),不存在。列表得x(-￥,0)0(0,+￥)y￠￠+0-yè0拐點(diǎn)?可見曲線在(-￥,0]內(nèi)是凹的,在[0,+￥)內(nèi)是凸的，拐點(diǎn)為(0,0)。(4)函數(shù)的定義域?yàn)?且，.令y￠￠=0,得.列表得x(-￥,-1)(-1,2)2(2,+￥)y￠￠--0+y??拐點(diǎn)è可見曲線在(-￥,-1)和(-1,2]內(nèi)是凸的,在[2,+￥)內(nèi)是凹的,拐點(diǎn)為(2,).2.問和為何值時(shí)，點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)？解：y￠=3ax2+2bx,y￠￠=6ax+2b.要使(1,3)成為曲線y=ax3+bx2的拐點(diǎn),必須y(1)=3且y￠￠(1)=0,即a+b=3且6a+2b=0,解此方程組得,.習(xí)題3--61.求下列曲線的漸近線：（1）；（2）；（3）；（4）；解：（1），，所以函數(shù)有水平漸近線和鉛直漸近線（2），所以函數(shù)有水平漸近線。（3），所以函數(shù)有鉛直漸近線。（4），，，所以函數(shù)有水平漸近線和鉛直漸近線。2.作出下列函數(shù)的圖形：（1）；（2）；（3）；（4）；解：略習(xí)題3--71.求下列曲線在指定點(diǎn)處的曲率及曲率半徑：（1），在點(diǎn)處；（2），在任意點(diǎn)處及點(diǎn)處；（3），在點(diǎn)處。解：（1），；,所求曲率為.曲率半徑為。（2），；,在任意點(diǎn)所求曲率為.曲率半徑為；在任意點(diǎn)所求曲率為，曲率半徑為（3）兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得,,.,.所求曲率為，曲率半徑為。2.曲線上哪一點(diǎn)處的曲率半徑最?。壳蟪鲈擖c(diǎn)處的曲率半徑。解：,.在任意點(diǎn)處的曲率,在任意點(diǎn)處的曲率半徑,其導(dǎo)數(shù)為.令,得因?yàn)楫?dāng)時(shí);當(dāng)時(shí),,所以是的極小值點(diǎn),同時(shí)也最小值點(diǎn).當(dāng)時(shí)因此在曲線上點(diǎn)處曲率半徑最小最小曲率半徑為.習(xí)題3--81.證明方程在區(qū)間內(nèi)有唯一的實(shí)根，并用二分法求這個(gè)根的近似值，使誤差不超過。解：設(shè)，顯然在內(nèi)連續(xù)．又因?yàn)?，，且在區(qū)間內(nèi)大于零，故方程在內(nèi)有唯一實(shí)根．就是一個(gè)根的隔離區(qū)間．計(jì)算得：，，故，；，，故，；，，故，；，，故，；，，故，；，，于是．即取作為根的不足近似值，取作為根的過剩近似值，其誤差都小于．2.證明方程在區(qū)間內(nèi)有唯一的實(shí)根，并用牛頓切線法求這個(gè)根的近似值，使誤差不超過。解：設(shè)，顯然在內(nèi)連續(xù)．因?yàn)?，，所以就是一個(gè)根的隔離區(qū)間，且在區(qū)間上，．由于與同號(hào)，故取的弧端作切線．應(yīng)用公式（3-21），得；；；．上述計(jì)算到此不能再繼續(xù)，與相等，說明迭代已經(jīng)趨于穩(wěn)定，并且，，于是．因此，以或作為根的近似值，其誤差都不超過．3.求方程的近似根，使誤差不超過。解：用牛頓切線法.設(shè)，顯然在內(nèi)連續(xù)．因?yàn)?，，所以就是一個(gè)根的隔離區(qū)間，且在區(qū)間上，．由于與同號(hào)，故取的弧端作切線．應(yīng)用公式（3-21），得；；；．上述計(jì)算到此不能再繼續(xù)，與相等，說明迭代已經(jīng)趨于穩(wěn)定，并且，，于是．因此，以或作為根的近似值，其誤差都不超過．總習(xí)題31.選擇題（1）設(shè)在可導(dǎo)，則是在取得極值的（B）（A）充分條件（B）必要條件（C）充要條件（D）既非充分又非必要條件（2）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且，則對(duì)任意常數(shù)，必有（A）（A）（B）0（C）（D）（3）設(shè)滿足方程，且，，則函數(shù)在點(diǎn)處（A）（A）取得極大值（B）某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)增加（C）取得極小值（D）某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)減少（4）下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是（D）（A）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)增加，則對(duì)任意，都有；（B）若函數(shù)和都在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且，則；（C）若函數(shù)在處取得極大值，則也在處取得極大值；（D）若函數(shù)和都在處取得極小值，則也在處取得極小值。（5）曲線的鉛直漸近線的條數(shù)是（C）（A）0（B）1（C）2（D）32.填空題（1）函數(shù)在區(qū)間上使用拉格朗日中值定理成立的e-1。（2）設(shè)函數(shù)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，根據(jù)羅必達(dá)法則可得，1。（3）函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間為[0,1)。（4）函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值依次為-3、2。3.求下列極限（1）；（2）；（3）；解：（1）原式====（2）原式==（3）原式，又，所以，原式==4.已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，且點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，求常數(shù)的值。解：，，依條件有，即，解之得：。5.求橢圓上縱坐標(biāo)最大和最小的點(diǎn)。解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得則。令得到，代入得，即為橢圓方程確定的隱函數(shù)的兩個(gè)駐點(diǎn)。由幾何性質(zhì)知:的最大值、最小值是存在的，因此，對(duì)應(yīng)的最大值、最小值：。從而縱坐標(biāo)最大和最小的點(diǎn)分別是和。6.證明下列不等式：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)，時(shí)，；證明：（1）設(shè),則f(x)在(0,+￥)內(nèi)連續(xù)。因?yàn)椋?)所以f(x)在(e,+￥)內(nèi)是單調(diào)減少的，從而當(dāng)時(shí)，有。即亦.（2）設(shè),則g(x)在[0,+￥)內(nèi)連續(xù)。因?yàn)椋?)所以g(x)在(0,+￥)內(nèi)是單調(diào)增加的，從而當(dāng)