《高等數(shù)學(xué)下冊(cè) 第3版》-劉金林 第12章（微分方程）習(xí)題解答

PAGEPAGE33習(xí)題解答習(xí)題12-11．下列方程哪些是微分方程？若是微分方程請(qǐng)指出它的階：（1）；解方程中含有，故是微分方程，且為一階微分方程．（2）；解方程中含有，故是微分方程，且為二階微分方程．（3）；解不是微分方程．（4）；解方程中含有，故是微分方程，且為一階微分方程．（5）；解方程中含有，故是微分方程，且為二階微分方程．（6）；解方程中含有，故是微分方程，且為一階微分方程．（7）；解方程中含有，故是微分方程，且為三階微分方程．（8）．解方程中含有，故是微分方程，且為階微分方程．2．已知微分方程，下列各函數(shù)是不是它的解？是不是它的通解？（1）；解因?yàn)?，，代入到中，可知是微分方程的解，且為特解．?）；解因?yàn)?，，代入到中，可知是微分方程的解，且為通解．?）；解因?yàn)?，，代入到中，可知是微分方程的解，且為特解．?）．解因?yàn)?，，代入到中，可知不是微分方程的解?．驗(yàn)證是微分方程的通解，并求滿足初始條件的特解．解由可得，將及代入方程中，得，所以函數(shù)是微分方程的解．又因?yàn)榉匠淌且浑A的，而函數(shù)含有一個(gè)任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于方程的階數(shù)，所以函數(shù)是微分方程的通解．將代入中，得所求特解．4．驗(yàn)證是微分方程的通解，并求滿足初始條件的特解．解由可得，，將及代入方程中，得，所以函數(shù)是微分方程的解．又因?yàn)榉匠淌嵌A的，而函數(shù)含有兩個(gè)任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于方程的階數(shù)，所以函數(shù)是微分方程的通解．將代入中，得所求特解．5．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方，寫(xiě)出該曲線所滿足的微分方程．解設(shè)所求曲線的方程為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由題意得．習(xí)題12-21．求下列微分方程的通解：（1）；解分離變量有,兩端積分,可得通解為．（2）；解分離變量有兩端積分，可得通解為．（3）；解分離變量有兩端積分，可得通解為．（4）；解分離變量有兩端積分，可得通解為．（5）；解分離變量有兩端積分，可得通解為．（6）．解分離變量有，兩端積分，可得通解為．2．求下列微分方程的通解：（1）；解令，則，，代入原方程，得，分離變量得，兩邊積分，得所求方程的通解為.（2）；解令，則，，代入原方程，得，分離變量得，兩邊積分，得所求方程的通解為.（3）；解令，則，，代入原方程，得，分離變量得，兩邊積分，得所求方程的通解為.（4）；解令，則，，代入原方程，得，分離變量得，兩邊積分，得所求方程的通解為.（5）；解令，則，，代入原方程，當(dāng)時(shí)，得，分離變量得，兩邊積分，得所求方程的通解為，類似地，當(dāng)時(shí)，可求得其解，綜合的所求通解為.（6）；解令，則，，代入原方程，得，分離變量得，兩邊積分，得所求方程的通解為.（7）．解令，則，，代入原方程，得，分離變量后兩邊積分，得所求方程的通解為.3．求下列微分方程滿足初始條件的特解：（1）,；解分離變量有，兩端積分，可得通解為，由得，故所求特解為（2）,；解分離變量有，兩端積分，可得通解為，由得，故所求特解為（3）；解分離變量有，兩端積分，可得通解為，由得，故所求特解為．（4）；解分離變量有，兩端積分，可得通解為，由得，故所求特解為．（5），；解原方程可化為由通解公式得所求通解，再由，得故所求特解.（6）．解令，則，，代入原方程得，分離變量得，兩邊積分，得所求方程的通解為，由得，故所求特解為．*4．求下列微分方程的通解：（1）；解方程組的解為，令，原方程化為設(shè)，則，，代入原方程，得，分離變量后兩邊積分，得所求方程的通解為.（2）；解令，則，原方程化為，分離變量后兩邊積分，得所求方程的通解為.（3）．解原方程化為即有令則有方程組的解為設(shè)，那么原方程化為設(shè)，則，，代入原方程，得，分離變量后兩邊積分，得所求方程的通解為.5．求下列微分方程的通解：（1）；解原方程變形為，這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（2）；解此方程為一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（3）；解將看作自變量，看作的函數(shù)，則有，這是關(guān)于未知函數(shù)的一階線性非齊次微分方程，且，.由通解公式得原方程的通解為即.（4）+；解此方程為一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（5）；解原方程變形為，這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（6）．解將看作自變量，看作的函數(shù)，則有，這是關(guān)于未知函數(shù)的一階線性非齊次微分方程，且，.由通解公式得原方程的通解為即.6．求下列微分方程滿足初始條件的特解：（1）；解這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始條件，求得，故所求特解是.（2）；解這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始條件，求得，故所求特解是.（3），；解這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始條件，求得，故所求特解是.（4）．解這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始條件，求得，故所求特解是.7．求下列微分方程的通解：（1）；解令，原方程可化為這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即，原方程的通解為（2）；解令，原方程可化為這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解原方程的通解為（3）．解令，原方程可化為這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解原方程的通解為8．求下列微分方程的通解：（1）；解令，代入原方程，得分離變量得兩邊積分，得所求方程的通解為.（2）；解原方程可化為令，，即有分離變量得兩邊積分，將代入得故所求通解為（3）；解令，代入原方程，得分離變量得兩邊積分，得所求方程的通解為.（4）．解原方程可化為這是齊次方程，令即有分離變量得兩邊積分，得所求方程的通解為9．證明方程經(jīng)變換可化為可分離變量的微分方程，并由此求下列方程的通解：；．證明令，則有原方程可化為因此，方程經(jīng)變換可化為可分離變量的微分方程.；解當(dāng)或是方程的解，當(dāng)時(shí)，原方程可化為令，方程化為分離變量得兩邊積分，得所求方程的通解為．解令，方程化為分離變量得兩邊積分，得所求方程的通解為10.判斷下列方程中哪些是全微分方程？對(duì)于全微分方程，求出它的通解．（1）；解設(shè)，則，故原微分方程不是全微分方程．（2）；解設(shè)，則，故原微分方程是全微分方程．，所以，方程的通解為．（3）；解設(shè)，則，故原微分方程是全微分方程．，所以，方程的通解為．（4）；解設(shè)原方程即為，設(shè)，則，故原微分方程是全微分方程．，所以，方程的通解為．（5）．解設(shè)原方程即為，設(shè)，則，故原微分方程不是全微分方程．11.利用觀察法求出下列方程的積分因子，并求其通解.（1）解是一個(gè)積分因子，乘上該因子之后，方程成為，故方程通解為（2）解是一個(gè)積分因子，乘上該因子之后，方程成為故方程通解為習(xí)題12-3求下列微分方程的通解：（1）；解對(duì)原方程積分一次，得，再積分，得原微分方程的通解為．（2）；解設(shè)，則，代入原方程，得．這是可分離變量的微分方程，分離變量得．兩邊積分，得，即，兩邊積分，得．（3）；解對(duì)原方程積分一次，得，再積分，又得，第三次積分，得原微分方程的通解為．（4）；解設(shè)，則，代入原方程得，在時(shí)，約去并分離變量，得，兩端積分，得，即，再分離變量，得方程的通解為．（5）；解設(shè)，則，代入原方程，得．這是可分離變量的微分方程，分離變量得．兩邊積分，得，即，兩邊積分，得方程的通解為．（6）．解設(shè)，則，代入原方程，得．這是可分離變量的微分方程，分離變量得．兩邊積分，得化簡(jiǎn)解出，兩邊積分，得方程的通解為．2．求方程滿足初始條件的特解．解設(shè)，原方程化為這是可分離變量的微分方程，分離變量得兩邊積分，得將初始條件代入上式，得，故所以再由條件可得，故所求特解為.3．求方程滿足初始條件的特解．解設(shè)，原方程化為這是可分離變量的微分方程，分離變量得兩邊積分，得將初始條件代入上式，得，故分離變量并兩端積分，得再由條件可得，故所求特解為.4．求方程滿足初始條件的特解．解設(shè)，代入原方程得，即，這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式，得所求通解，即，代入初始條件，求得，故，積分得方程的通解為，再由條件可得，故所求特解為.5．求方程滿足初始條件的特解．解設(shè)，則，代入原方程得，這是可分離變量的微分方程，分離變量得兩端積分，得將初始條件代入上式，得，故分離變量并兩端積分，得再由條件可得，故所求特解為．6．求的經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，1）且在此點(diǎn)與直線2y=x+2相切的積分曲線．解方程滿足的初始條件為對(duì)方程積分一次，得，將初始條件代入上式，得，故再積分，得方程的通解為．再由條件可得，故所求特解為．所以的經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在此點(diǎn)與直線相切的積分曲線方程為．習(xí)題12-41.求下列二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解：（1）；解所給方程的特征方程是，特征根為兩個(gè)不相等的實(shí)根：，．故所求通解為（2）；解所給方程的特征方程是.特征根是一對(duì)共軛復(fù)根：．因此所求通解是(3)；解所給方程的特征方程是，特征根為兩個(gè)不相等的實(shí)根：，．故所求通解為.(4).；解所給方程的特征方程是，特征根為兩個(gè)相等的實(shí)根：．故方程的通解為.2.求下列微分方程滿足初始條件的特解：(1)；解所給方程的特征方程是，特征根為兩個(gè)不相等的實(shí)根：，．故所求通解為代入初始條件，得，對(duì)求導(dǎo)，得．代入，得，解得，；故所求特解為.(2)；解所給方程的特征方程是，特征根是一對(duì)共軛復(fù)根：．因此所求通解是代入初始條件，得，對(duì)求導(dǎo)，得．代入，得；故所求特解為.(3)；解所給方程的特征方程是，特征根為兩個(gè)不相等的實(shí)根：．故所求通解為代入初始條件，得所求特解為.(4)解所給方程的特征方程是，特征根是一對(duì)共軛復(fù)根：．故所求通解為代入初始條件，得所求特解為.3．確定下列各方程的特解的形式：（1）；解所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為.所給方程是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，屬于=型，其中．因?yàn)椴皇翘卣鞣匠痰母仕o方程的特解形式為.（2）；解所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為.所給方程是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，屬于=型，其中．因?yàn)槭翘卣鞣匠痰闹馗仕o方程的特解形式為.（3）；解所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為．方程是二階常系數(shù)線性非齊次方程，屬于型，其中,，．由于是特征方程的根，故所給方程的特解形式為.（4）．解所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為.方程是二階常系數(shù)線性非齊次方程，屬于型，其中．．由于是特征方程的根，故所給方程的特解形式為．4．求下列二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解：（1）；解先求原方程對(duì)應(yīng)齊次方程的通解.它的特征方程為，特征根為，．所以對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為.由于屬于=型，其中方程，且不是特征方程的根，故可設(shè)所給方程的特解為.求導(dǎo)得，并代入所給方程，得，所求通解為（2）；解所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為.由于屬于=型，其中，，且不是特征方程的根，故可設(shè)所給方程的特解為.求導(dǎo)得，并代入所給方程，得，所求通解為（3）；解所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為齊次方程為其通解為，設(shè)特解，求導(dǎo)得，并代入所給方程，得，，所求通解為．（4）；解所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為.所給方程是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，屬于=型，其中．因?yàn)槭翘卣鞣匠痰闹馗?，故所給方程的特解形式為.求導(dǎo)得，并代入所給方程，得，所求通解為（5）；解所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為齊次方程為其通解為，設(shè)特解，代入方程，解得，所求通解為．(6)．解所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為方程是二階常系數(shù)線性非齊次方程，屬于型，其中,，．由于是特征方程的根，故可設(shè)所給方程的特解為，求導(dǎo)得，并代入所給方程，得，所求通解為．（7）；解先求原方程對(duì)應(yīng)齊次方程的通解.它的特征方程為，特征根為，所以對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為.設(shè)的特解，求導(dǎo)得并代入所給方程，得，設(shè)的特解，求導(dǎo)得并代入所給方程，得，所求通解為．5.求下列微分方程滿足初始條件的特解：(1)；解所給方程的特征方程是，特征根為兩個(gè)不相等的實(shí)根：，．故齊次通解為設(shè)的特解，求導(dǎo)得并代入所給方程，得，所求通解為，代入初始條件，得所求特解為.(2)；解所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為.設(shè)的特解，求導(dǎo)得并代入所給方程，得，所求通解為，代入初始條件，得所求特解為.6．利用代換化簡(jiǎn)微分方程并求其通解．解令，求導(dǎo)得，，代入到方程，得這是二階常系數(shù)線性非齊次方程，對(duì)應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為.由于屬于=型，其中，，且不是特征方程的根，故可設(shè)所給方程的特解為.求導(dǎo)得，并代入所給方程，得，所求通解為．將代入上式，得所求通解為7.已知二階常系數(shù)微分方程有特解，求的值，并求該方程的通解．解將代入方程得解得故所給方程為對(duì)應(yīng)的齊次方程為特征方程為特征根為因此方程的通解為而方程的特解可設(shè)為代入得因此的通解為習(xí)題12-5求微分方程的通解．解令或，代入原方程，得，即或，對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程是，特征根為，齊次方程的通解為，非齊次方程的特解形式可設(shè)為，代入方程求得，故，將代入，得所求方程的通解為．2.求微分方程的通解．解令或，代入原方程，得，即或，對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程是，特征根為，，齊次方程的通解為，非齊次方程的特解形式可設(shè)為，代入方程求得，故，將代入，得所求方程的通解為．3.求微分方程的通解．解令或，代入原方程，得，即對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程是，特征根為，齊次方程的通解為，非齊次方程的特解形式可設(shè)為，代入方程求得將代入，得所求方程的通解為．4.求微分方程的通解．解令或，代入原方程，得，即對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程是，齊次方程的通解為，非齊次方程的特解形式可設(shè)為，代入方程求得將代入，得所求方程的通解為5.求微分方程的通解．解令或，代入原方程，得，即或，對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程是，特征根為，齊次方程的通解為，非齊次方程的特解形式可設(shè)為，代入方程求得，故，將代入，得所求方程的通解為．6.求微分方程的通解．解令或，代入原方程，得，即對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程是，特征根為，齊次方程的通解為，非齊次方程的特解為，將代入，得所求方程的通解為.習(xí)題12-6求下列微分方程組的通解：1．；解第一個(gè)方程對(duì)求導(dǎo)，得．將上式代入第二個(gè)方程，得．這是一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性方程，它的通解為．把所求得的函數(shù)代入第二個(gè)方程，即得．所以方程組的解為．2．；解第一個(gè)方程對(duì)求導(dǎo)，得．將第二個(gè)方程代入上式，得．這是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次線性方程，它的通解為．把所求得的函數(shù)代入第二個(gè)方程，即得．所以方程組的解為．3．；解第一個(gè)方程對(duì)求導(dǎo)，得將第二個(gè)方程代入上式，得．這是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次線性方程，它的通解為．把所求得的函數(shù)代入第二個(gè)方程，即得．所以方程組的解為．4．；解第二個(gè)方程對(duì)求導(dǎo)，得．將上式代入第一個(gè)方程，得．這是一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性方程，它的通解為．把所求得的函數(shù)代入第二個(gè)方程，即得．所以方程組的解為根據(jù)初始條件，有，故所求滿足初始條件的解為.5．；解兩個(gè)方程相加，得第一個(gè)方程對(duì)求導(dǎo)，得．這是一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性方程，它的通解為．把所求得的函數(shù)代入第二個(gè)方程，即得．所以方程組的解為根據(jù)初始條件，有，故所求滿足初始條件的解為.6．．解兩個(gè)方程相加，得第二個(gè)方程對(duì)求導(dǎo)，得．這是一個(gè)二階常系數(shù)非齊次線性方程，它的通解為．把所求得的函數(shù)代入第二個(gè)方程，即得．根據(jù)初始條件，有，故所求滿足初始條件的解為.習(xí)題12-71．設(shè)有連結(jié)點(diǎn)O(0，0)和A（1，1）的一段向上凸的曲線孤，對(duì)于孤上任一點(diǎn)P,曲線孤與直線段所圍圖形的面積為x2，求曲線孤的方程．解設(shè)曲線孤的方程為，由題意可得上式兩邊求導(dǎo)得，令，則方程化為，兩邊積分，得，即由得，，所以曲線孤的方程．2．設(shè)是上凸連續(xù)曲線，處曲率為，且過(guò)處切線方程為，求及其極值．解由是上凸連續(xù)曲線，且在處曲率為得即有由題意可知時(shí)，，解此方程得又令，得駐點(diǎn)，且，所以時(shí)，有極大值且為3．已知曲線上任一點(diǎn)M(x,y)處的切線斜率與該切點(diǎn)到原點(diǎn)連線的斜率之和等于切點(diǎn)處的橫坐標(biāo)，且曲線過(guò)點(diǎn)．（1）求曲線方程；解設(shè)曲線的方程為，由題意可得，此方程是一階線性非齊次方程，由通解公式得=又已知曲線過(guò)點(diǎn)，故可得，所以所求曲線方程．（2）求由與所圍圖形的面積．解與所圍圖形的面積4．求上半平面上的曲線，使得曲線的切線上自切點(diǎn)至切線與軸交點(diǎn)間的一段距離等于常數(shù)．解設(shè)曲線的方程為，由題意可得，分離變量，得兩邊積分，得通解所以所求曲線方程．5．一曲線過(guò)點(diǎn)，且在切點(diǎn)和縱坐標(biāo)軸間的切線段有定長(zhǎng)2，求曲線方程．解設(shè)曲線的方程為，切點(diǎn)為切線方程為，令，得，由題意可得，即，解此方程，并將代入，即得所求曲線方程.6．假設(shè)室溫為20時(shí)，一物體在100冷卻到60經(jīng)過(guò)20分鐘，試問(wèn)共經(jīng)過(guò)多少時(shí)間方可使物體的溫度從開(kāi)始時(shí)間的100降到30（若物體的溫度為T(mén)，則物體的冷卻速度與物體溫度同外界溫度之差成正比）？解設(shè)物體的溫度為T(mén)，依題意有且有時(shí)，；時(shí)，；分離變量有，兩端積分，可得通解為，由時(shí)，；時(shí)，；得，，故，所以，當(dāng)時(shí)，代入上式，解得，因此經(jīng)過(guò)1h方可使物體的溫度從開(kāi)始時(shí)間的100降到30．7．容器內(nèi)有鹽水100，含鹽10，現(xiàn)以3的均勻速度從A管放進(jìn)凈水沖淡鹽水，又以2的均勻速度將鹽水從B管抽出，問(wèn)100后容器內(nèi)還剩多少鹽水？解設(shè)經(jīng)過(guò)分鐘，溶液中含有鹽此時(shí)容器內(nèi)有溶液記時(shí)間間隔內(nèi)，鹽的改變量為，故得微分方程分離變量，得即由初始條件時(shí)，得故當(dāng)時(shí)因此，100后容器內(nèi)還剩鹽．8．設(shè)有一均勻、柔軟的繩索，兩端固定，繩索僅受重力的作用而下垂，試問(wèn)該繩索在平衡狀態(tài)是怎樣的曲線？解設(shè)繩索的最低點(diǎn)為，取軸過(guò)點(diǎn)且垂直向上，取軸水平向右，建立坐標(biāo)系，設(shè)繩索的曲線方程為．考察繩索上點(diǎn)到另一點(diǎn)間的一段弧，設(shè)其長(zhǎng)為，假定單位長(zhǎng)繩索的重量為，則弧的重量為，由于繩索是柔軟的，因而在點(diǎn)處的張力沿水平方向，其大小設(shè)為，在點(diǎn)處的張力沿該點(diǎn)處的切線方向，與水平線成角，其大小設(shè)為，因作用于段弧的外力相互平衡，故有即得，又，所以取原點(diǎn)到點(diǎn)的距離為定值，于是有將，，代入上式，分離變量得．兩邊積分，得，將代入，得，即積分得將代入，得即得所求曲線方程為（懸鏈線）總習(xí)題121．選擇題(1)下列結(jié)論正確的是（）.（A）微分方程的通解一定包含它的所有解（B）所有微分方程都存在通解（C）用分離變量法解微分方程時(shí)，對(duì)方程變形可能會(huì)丟掉原方程的某些解（D）函數(shù)（為兩個(gè)任意常數(shù)）為方程的通解解用分離變量法解微分方程時(shí)，對(duì)方程變形確實(shí)可能會(huì)丟掉原方程的某些解；即選項(xiàng)C正確．(2)一曲線上任意點(diǎn)（x，y）處的切線斜率等于，那么該曲線的圖形是（）.（A）圓（B）橢圓（C）雙曲線（D）拋物線解因?yàn)椋獯朔匠痰猛ń鉃橐虼嗽撉€的圖形是橢圓；即選項(xiàng)B正確．(3)微分方程的特解的形式為（）.（A）（B）（C）（D）解所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為它的特征方程為，特征根為.方程是二階常系數(shù)線性非齊次方程，屬于型，其中．．由于是特征方程的根，故所給方程的特解形式為．即選項(xiàng)B正確．(4)設(shè)函數(shù)是微分方程的一個(gè)解，且，，則在點(diǎn)處（）.（A）有極大值（B）某鄰域內(nèi)單調(diào)增加（C）有極小值（D）某鄰域內(nèi)單調(diào)減少解因?yàn)樵邳c(diǎn)處，，所以在點(diǎn)處有極大值，即選項(xiàng)A正確．(5)設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)都是微分方程的解，則此方程的通解為（）.（A）（B）（C）（D）解因?yàn)槭俏⒎址匠痰慕?，所以﹑都是的線性無(wú)關(guān)的解，有解的結(jié)構(gòu)定理可知，是的通解，即選項(xiàng)D正確．(6)設(shè)函數(shù)滿足關(guān)系式，則（）.（A）（B）（C）（D）解求導(dǎo)得，分離變量可得通解因?yàn)椋矗催x項(xiàng)B正確．2．填空題(1)設(shè)，則.解分離變量可得．(2)已知函數(shù)在任意點(diǎn)x處的增量.解兩端同除，并求極限得分離變量可得通解由，得，即所以(3)微分方程的通解是.解原方程可化為分離變量可得通解(4)以函數(shù)為通解的微分方程是.解由可得，，兩邊求導(dǎo)，得，即為以函數(shù)為通解的微分方程.(5)以為通解的微分方程是.解有通解可知，特征根為兩個(gè)不相等的實(shí)根：，．方程的特征方程為，所以，對(duì)應(yīng)的齊次方程為(6)微分方程的特解形式為.解所給方程的特征方程是，特征根為兩個(gè)相等的實(shí)根：．故可設(shè)的特解為.(7)已知微分方程的一個(gè)特解為，則該方程的通解為.解所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，．故方程的通解為.3．求下列微分方程的通解或特解：（1）；解將看作自變量，看作的函數(shù)，則有，這是關(guān)于未知函數(shù)的一階線性非齊次微分方程，且，.由通解公式得原方程的通解為即.（2）；解令，原方程可化為這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解原方程的通解為（3）；解此方程為一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（4）；解此方程為一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（5）；解原方程可化為令，代入原方程，得分離變量得兩邊積分，得所求方程的通解為.（6）；解原方程可化為令，代入原方程，得這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解原方程的通解為（7）；解原方程可化為令，代入原方程，得這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解原方程的通解為（8）；解設(shè)，原方程化為這是可分離變量的微分方程，分離變量得兩邊積分，得即分離變量并兩端積分，得（9）；解設(shè)，則，代入原方程得，分離變量，得，兩端積分，得，由，得即再分離變量，得方程的通解為．由，得所以所求特解為（10），；解所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為.由于屬于=型，其