2024年中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練-半角模型綜合應(yīng)用（專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）（原卷版+解析）

06半角模型綜合應(yīng)用(專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練)

;考點(diǎn)1等■■角三角形角含半角■型;

1.如圖，在△A8C中，ZC=90°,AC=BC,M、N是斜邊AB上的兩點(diǎn)，且NMCN=45

AM=3,BN=5,則MN=.

2.如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,A8=AC=15“歷，點(diǎn)M、N在邊BC

上，且NMAN=45°,CN=5,MN=____.

3.如圖1,在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。、E是BC邊上的任意兩點(diǎn)，且

NZME=45°.

(1)將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ACF,請(qǐng)?jiān)趫D(1)中畫(huà)出△ACF.

(2)在(1)中，連接ER探究線段2。，EC和。E之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出猜想，

并說(shuō)明理由.

(3)如圖2,M、N分別是正方形ABCD的邊8C、CD上一點(diǎn),且BM+DN=MN,試求

/AMN的大小.

圖1圖2

4.(1)如圖①，正方形48CD①中，點(diǎn)E、尸分別在邊8C、CD上，ZEAF=45°,延長(zhǎng)

到點(diǎn)C,使DG=BE,連接ERAG,求證：EF=FG；

(2)如圖②，在△ABC中，ZBAC=90°,點(diǎn)加、N在邊8c上，且NMAN=45°,若

BM=2,AB=AC,CN=3,求MN的長(zhǎng).

5.已知：正方形A2CD中，ZMAN=45°,/MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交

CB,DC(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)M,N.

(1)當(dāng)NM4N繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到(如圖1)時(shí)，求證：BM+DN=MN；

(2)當(dāng)NMAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，猜想線段ON和之間又有怎樣

的數(shù)量關(guān)系呢？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想.(不需要證明)

6.把一個(gè)含45°的三角板的銳角頂點(diǎn)與正方形ABC。的頂點(diǎn)A重合，然后把三角板繞點(diǎn)A

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交直線a、OC于點(diǎn)M、N.

（1）當(dāng)三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：MN=BM+DN.

（2）當(dāng)三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，試判斷線段MN、BM、0V之間具有怎

樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并給予證明.

7.如圖，在△ABC中，/ft4c=120°,AB=AC,點(diǎn)M、N在邊上，且/MA7V=6O°.若

BM=2,CN=3,則MN的長(zhǎng)為.

8.ZkABC中，ZBAC=a,AB=AC,點(diǎn)。、E在直線BC上.

（1）如圖1,D、E在BC邊上，若a=120°,且AD2+AC2=￡）C2,求證：BD=AD.

（2）如圖2,。、E在8C邊上，若a=150°,ZDAE=15°,且石。2+8。2=*,求

/BAD的度數(shù).

(3)如圖3,。在CB的延長(zhǎng)線上，E在BC邊上，若N8AC=a,Z￡)AE=180°-1.a,

2

ZADB=15°,BE=4,BD=2,則CO的值為

c

圖2

06半角模型綜合應(yīng)用（專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）

;考點(diǎn)1等■■角三角形角含半角?型;

1.如圖，在△A8C中，ZC=90°，AC=BC,M、N是斜邊AB上的兩點(diǎn)，且NMCN=45

【答案】V34

【解答】解：將△CBN逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到三角形ACR,連接

則4g△CNB全等，4M是直角三角形

：.AR=BN=5,

：.MN=RM=^32+52=V34

故答案是：V34

若i今

2.如圖，在等腰直角三角形ABC中，NBAC=90°,4B=AC=15圾，點(diǎn)M、N在邊BC

上，且/AMN=45°,CN=5,MN=.

【答案】13

【解答】解：：等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=15&,

ZABC=ZC=45°,BC=V2AB=30,

把AACN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABD,連接如圖所示：

則NABO=NC=45°,BD=CN=5,ZDAN=90°,AD=AN,

：.ZDBM=450+45°=90°,

/MAN=45

：.ZMAD=90°-45°=45

J.ZMAD^ZMAN,

，AD=AN

在△AM。和中，，NMAD=/MAN，

AB=AC

：.4AM"4AMN(SAS),

；.MD=MN,

設(shè)MD=MN=x,

則BM=BC-MN-CN=25-x,

在RtADBM中，由勾股定理得：BD2+BM2=MD2,

即52+(25-x)2=/,解得：x—13,

；.MN=13；

故答案為：13.

3.如圖1,在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。、E是BC邊上的任意兩點(diǎn)，且

ZDAE=45°.

(1)將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ACP,請(qǐng)?jiān)趫D(1)中畫(huà)出△ACB.

(2)在(1)中，連接ER探究線段BZ),EC和OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出猜想，

并說(shuō)明理由.

(3)如圖2,M、N分別是正方形A2CD的邊BC、CD上一點(diǎn)，旦BM+DN=MN,試求

/MAN的大小.

(2)連接EF,

由旋轉(zhuǎn)可知，AF=AD,CF=BD,ZDAF==9Q°,

；/D4E=45°,

：.ZDAE=ZFAE=45

在△ZME'和■中，

(SAS),

：.EF=DE,

"：AB=AC,ZBAC=90°,

：.ZB^ZACB=45°,

AZACF=45°,

：.ZECF=ZACB+ZACF^9Q°,

:.EF2=EC2+FC2,

:.DE1=EC2+BD2；

(3)將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE,如圖:

由旋轉(zhuǎn)得：NNAE=90°,AN=AE,ND=90°,

：.E,B,Af三點(diǎn)共線,

■:BM+DN=MN,

：.ME=MN,

在△AEM和△ANM中，

，AN=AE

<EM=MN-

AM=AM

:.AAEM%AANMCSSS),

：.ZMAE=ZMAN=45°.

4.(1)如圖①，正方形ABC。①中，點(diǎn)E、F分別在邊8C、。上，ZEAF=45°,延長(zhǎng)

CD到點(diǎn)C,使。G=BE,連接ERAG,求證：EF=FG；

(2)如圖②，在△ABC中，ZBAC=90°,點(diǎn)M、N在邊BC上,且/AMN=45°,若

BM=2,AB=AC,CN=3,求MN的長(zhǎng).

【解答】（1）證明：在正方形A2CZ）中，ZABE^ZADG,AD^AB,,在△42月和4

ADG中，

.?.△ABEg△AUG(SAS),

/.ZBAE=ZDAG,AE=AG,

：.ZEAG=90°,

在△￡4E和AGA尸中，

.,.△ME^AAMG(SAS),

:.EF=FG；

（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CELBC,垂足為點(diǎn)C,截取CE,使CE=BM.連接AE.EN.

"：AB=AC,ZBAC=90",：.ZB=ZACB=45°.

,:CELBC,：.ZAC￡=ZB=45°.

在△ABM和aACE中，

ZCAN=45°.

于是，由NBAMM/CAE,得NMAN=/EAN=45°.

在△MAN和△EAN中,

'AM=AE

，ZMAN=ZEAN-

AN=AN

MMANWAEAN(SAS).

：.MN=EN.

在RtzXENC中，由勾股定理，得EM=EC2+NC2.

:.MN2=BM2+NC2.

;BM=2,CN=3,

.\AW2=22+32,

:.MN=413-

5.已知：正方形ABC。中，/MAN=45°,/MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交

CB,DC(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)N.

(1)當(dāng)NMAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到(如圖1)時(shí)，求證：BM+DN=MN；

(2)當(dāng)/MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，猜想線段DN和之間又有怎樣

證明如下：

如圖1,在Affi的延長(zhǎng)線上，截取BE=IW,連接AE,

'AB=AD

在△ABE和△AZW中，.ZABE=ZD>

BE=DN

」.△ABE絲"ON(SAS),

：.AE=AN,ZEAB=ZNAD,

'：ZBAD=90°,ZMAN=45°,

：.ZEAB+ZBAM=45°,

：.ZEAM=ZNAM,

rAE=AN

在△AEM和△AMW中，ZEAM=ZNAM>

AM=AM

AAA￡M^AAMW(SAS)，

:.ME=MN,

又ME=BE+BM=BM+DN,

：.BM+DN=MN；

(2)DN-BM=MN.

證明如下：

如圖2,在。C上截取D尸=BAL連接AR

：.AM^AF,ZBAM^ZDAF,

：.ZBAM+ZBAF=ZBAF+ZDAF=9Q°,即/&4￡)=90°,

:NMAN=45°,

:./MAN=NFAN=45°,

rAM=AF

在△MAN和△胡N中，，ZMAN=ZFAN

AN=AN

A/\MAN^/\FAN(SAS),

：.MN=NF,

：.MN=DN-DF=DN-BM,

：.DN-BM=MN

6.把一個(gè)含45°的三角板的銳角頂點(diǎn)與正方形ABC。的頂點(diǎn)A重合，然后把三角板繞點(diǎn)A

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交直線C8、0c于點(diǎn)M、N.

(1)當(dāng)三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖(1)的位置時(shí)，求證：MN=BM+DN.

(2)當(dāng)三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖(2)的位置時(shí)，試判斷線段MN、BM、Z5N之間具有怎

樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并給予證明.

(1)證明：延長(zhǎng)M3到X,使BH=DN,連接AH,如圖(1),

?四邊形ABC。為正方形，

：.ZD=ZABC=90°,AD=AB,

在△A8/Z和中，

:.XABgXADN(SAS),

：.AH^AN,ZHAB=NNAD,

VZMAN=45°,

：.ZDAN+ZBAM^45°,

：.ZHAB+ZBAM=45°,

NHAM=ZNAM,

在△AMH和△AWN中，

rAH=AN

,ZHAM=ZNAM>

AM=AI

：.AAMH烏AAMN(SAS),

：.MH=MN,即

：.MN=BM+DN；

(2)解：MN=DN-BM.理由如下:

在。N上截取如圖（2）,

與（1）一樣可證明之△ABM,

：.AH=AM,ZDAH=ABAM,

:/MAN=45°,

：.ZDAH+ZBAN=45°,

：.ZHAN=45°,

NHAN=ZNAM,

在△ANH和中,

fAH=AM

<ZHAN=ZMAN>

AN=AN

：.AANHQ△AMN（SAS）,

：.NH=MN,

而DN=DH+HN,

：.BM+MN=DN,

即MN=DN-BM.

7.如圖，在△ABC中，/ft4c=120°,AB=AC,點(diǎn)M、N在邊2C上，且NAMN=60°.若

BM=2,CN=3,則MN的長(zhǎng)為.

【答案】V7

【解答】解：如圖，繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至連接PN,過(guò)點(diǎn)P作BC

的垂線，垂足為。，

VZBAC=120°,AB=AC,

.,./B=NACB=30°

△ABM/△APC,

.?./B=/ACP=30°,PC=BM=2,NBAM=NCAP,

：.ZNCP=60°,

\'ZMAN=60°,

ZBAM+ZNAC=ZNAC+ZCAP=6O°=NMAN,

5L'：AM=AP,AN=AN,

：.△MAN和△B4N中，

M=AP

，ZMAN=ZPAN

AN=AN

.?.△MAN絲△BAN(SAS),

：.MN=PN,

■:PDLCN,ZNCP=60°,

：.CD=-^PC=1,PD=yf3CD=y/3

：.DN=CN-CD=3-1=2,

PN=V(V3)2+22=小

故答案為：VV.

8.△ABC中，ZBAC=a,AB=AC,點(diǎn)。、E在直線BC上.

(1)如圖1,D、E在3c邊上，若a=120°,S.AD2+AC2^DC2,求證：BD=AD；

(2)如圖2,。、E在BC邊上，若a=150°,ZDAE=15°,且ED?+BD2=CE2,求

/BAD的度數(shù).

(3)如圖3,。在C8的延長(zhǎng)線上，E在8C邊上，若/8AC=a,ZDAE=180°-,

2

ZADB^15°,BE=4,BD=2,則CD的值為.

圖3

【解答】(1)證明：?..Ar>2+Ac2=￡)c2,

：.ZDAC^9Q°,

VZBAC=a=120°,

???ZBAD=a-ND4c=30°,

NA5=AC,

：.ZB=ZC=30°,

：.ZBAD=ZB=30°,

：.BD=AD.

(2)解：如圖(2