2024年1月“七省聯(lián)考”高考數(shù)學考前押題預測卷1（新高考地區(qū)專用）含答案

2024年1月“七省聯(lián)考”押題預測卷01

數(shù)學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準

考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.若集合/={x1x-2<0},集合5={x2>l},則/5=（）

A.（2,+oo）B.（0,2）C.（-oo,2）D.R

2.已知i是虛數(shù)單位，若非零復數(shù)z滿足（1-i）z=,「，貝4號=（）

A.1B.-1C.iD.-i

3.江南的周莊、同里、用直、西塘、鳥鎮(zhèn)、南涪古鎮(zhèn)，并稱為“江南六大古鎮(zhèn)”，是中國江南水

鄉(xiāng)風貌最具代表的城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊、清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風貌、古樸的吳儂

軟語民俗風情，在世界上獨樹一幟，馳名中外.這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州境內的有3處.某家庭

計劃今年暑假從這6個古鎮(zhèn)中挑選2個去旅游，則只選一個蘇州古鎮(zhèn)的概率為（）

4.基礎建設對社會經濟效益產生巨大的作用，某市投入。億元進行基礎建設，?年后產生

/（/）=億元社會經濟效益.若該市投資基礎建設4年后產生的社會經濟效益是投資額的2倍,

且再過，年，該項投資產生的社會經濟效益是投資額的8倍，貝曠=（）

A.4B.8C.12D.16

5.已知平面向量/拉心楊滿足同=3,且否與B—Z的夾角為30。，則W的最大值為（）

A.2B.4

C.6D.8

6.設一組樣本數(shù)據(jù)X1，x2,???,x”的極差為1,方差為0.1,若數(shù)據(jù)辦1+6,ax2+b,

的極差為2,則數(shù)據(jù)辦1+6,ax2+b,???,的方差為（）

A.0.02B.0.04C.0.2D.0.4

7.在AASC中，已知4B=2,AC=4,ZBAC=60°,BC,/C邊上的兩條中線/BN相

交于點尸，則/的余弦值是（）.

4±RV70岳n3后

14141414

8.已知函數(shù)/(x)=；/+cosx-2,設a=/(log2().2),b=/(logo.30.2),c=/(0.2°3),則

()

Aa>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列結論正確的是（）

A.若隨機變量金〃滿足〃=2歲+1,則。⑺=2￡）仁）+1

B.若隨機變量GN。,/）,且尸仁＜6）=0.84,則尸（3＜《＜6）=034

C.若樣本數(shù)據(jù)（玉,乂）（7=1,2,3,加線性相關，則用最小二乘估計得到的經驗回歸直線

經過該組數(shù)據(jù)的中心點（x,y）

D.根據(jù)分類變量才與y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到/=4.712.依據(jù)。=0.05的獨立性檢驗

（x005=3.841）,可判斷才與V有關

10.已知等差數(shù)列｛%｝的前“項和為S“，正項等比數(shù)列｛a｝的前”項積為7；,則（）

A.數(shù)列是等差數(shù)列B.數(shù)列｛3%｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛In7；｝是等差數(shù)列D.數(shù)列;是等比數(shù)列

11.已知圓O：/+「=4與圓C:V+「-2x+4＞+4=0相交于A,8兩點，直線

l:x-2y+5=0,點尸為直線/上一動點，過P作圓。的切線尸PN,（M,N為切點），

則說法正確的是（）

A.直線48的方程為x—2y+4=0B.線段4B的長為迪

5

C.直線"N過定點D.|尸閭的最小值是2.

12.直四棱柱44G0,所有棱長都相等，且/。48=60。，刊為臺4的中點，尸為四

邊形84cle內一點（包括邊界），下列結論正確的是（）

A.平面截四棱柱ABCD-AiBCQi的截面為直角梯形

B.Cg,面2我

C.平面班cc內存在點尸，使得。尸

D.乙-皿M：^C-ADtM=1：3

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知（2尸2一展開式的二項式系數(shù)之和為256,則其展開式中的系數(shù)為.

（用數(shù)字作答）

14.若函數(shù)/(x)=sinxcosx-gcos12x-高的圖象在內恰有2條對稱軸，則，的值可能為

3兀

15.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為石，側面積分別為S甲和工,體積

分別為七和%.若m=2,則手=__________.

D乙/乙

22

16.如圖，雙曲線，-%■=1(凡6>0)的右頂點為A,左右焦點分別為耳，鳥，點尸是雙曲線右支

上一點，尸片交左支于點。，交漸近線>=2x于點是尸。的中點，若RF2上PH，且

a

AMLPF1,則雙曲線的離心率是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,(acosC+ccos/)coS]=asinB.

(1)求角A；

(2)若。為邊8。上一點，且滿足S“CD=2S“BD，證明：445c為直角三角形.

18.已知數(shù)列｛%｝的前"項的和為S,,數(shù)列1?，是公差為1的等差數(shù)列.

(1)證明：數(shù)列｛%｝是公差為2的等差數(shù)列；

(2)設數(shù)列的前〃項的和為4,若S3=9,證明

[anan+iJ2

19.如圖，在四棱錐尸/加?中，底面/靦為菱形，￡為棱四的中點，ACLPE,P歸PD.

(1)證明：平面為2L平面ABCD-,

(2)若為=/〃/的爐60°,求二面角E-PZ>-Z的正弦值.

20.設橢圓C:「+==l(a〉b>0)的左右焦點分別為耳，F(xiàn)2.A,3是該橢圓。的右頂點和上頂

ab

點，且|/同=道，若該橢圓的離心率為1.

(1)求橢圓。的標準方程；

(2)直線/與橢圓。交于尸，。兩點，且與x軸交于點。(無>。).若直線尸片與直線鑿的傾斜

角互補，求△尸鑿的面積的最大值.

21.為不斷改進勞動教育，進一步深化勞動教育改革，現(xiàn)從某單位全體員工中隨機抽取3人做問

23

卷調查.已知某單位有“名員工，其中I是男性，w是女性.

(1)當N=20時，求出3人中男性員工人數(shù)犬的分布列和數(shù)學期望；

(2)我們知道，當總量N足夠大而抽出的個體足夠小時，超幾何分布近似為二項分布.現(xiàn)在全市

范圍內考慮.從"名員工(男女比例不變)中隨機抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的

概率記作4；有二項分布中(即男性員工的人數(shù)X?男性員工恰有2人的概率記作心

那么當“至少為多少時，我們可以在誤差不超過0.001(即々-鳥40.001)的前提下認為超幾何

分布近似為二項分布.(參考數(shù)據(jù)：V578?24.04)

22.已知函數(shù)/(力=恁"一尸，(aeR).

(1)若/(x)為偶函數(shù)，求此時/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)設函數(shù)g(x)=/(x)-(a+l)x,且存在%,3分別為g(x)的極大值點和極小值點.

(i)求實數(shù)。的取值范圍；

(ii)若”(0,1),且g(xj+奴(々)〉0,求實數(shù)左的取值范圍.

2024年1月“七省聯(lián)考”押題預測卷01

數(shù)學

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準

考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

L若集合/={山-2<0},集合3=/2，>1},則/5=()

A.(2,+oo)B.(0,2)C.(-oo,2)D.R

【答案】B

【解析】由題意,集合4={x|x-2<0}={x|x<2},5={x|2x>l}={x|x>0},

根據(jù)集合交集的運算，可得/c3={x[0<x<2}.

故選：B.

2.已知i是虛數(shù)單位，若非零復數(shù)z滿足(1-i)z=|z「，貝4備=()

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】A

【解析】設2=a+6i(a,6eR),則。一i)z=(1-i)(a+6i)=(a+6)+(6-a)i,

由(l—i)z=|z|2可得(a+6)+(6—a)i=礦+b2,

a+b—a1+b~z

所以，,，又因為ZHO,所以，a=b=l,則z=l+i,故；一=L

b-a=Ol+i

故選:A.

3.江南的周莊、同里、用直、西塘、鳥鎮(zhèn)、南涪古鎮(zhèn)，并稱為“江南六大古鎮(zhèn)”，是中國江南水

鄉(xiāng)風貌最具代表的城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊、清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風貌、古樸的吳儂

軟語民俗風情，在世界上獨樹一幟，馳名中外.這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州境內的有3處.某家庭

計劃今年暑假從這6個古鎮(zhèn)中挑選2個去旅游，則只選一個蘇州古鎮(zhèn)的概率為()

2314

A.—B.-C.—D.一

5555

【答案】B

【解析】從這6個古鎮(zhèn)中挑選2個去旅游的可能情況有C；=15種情況，

1

只選一個蘇州古鎮(zhèn)的概率為尸=』r'C=士3.

155

故選：B

4.基礎建設對社會經濟效益產生巨大的作用，某市投入。億元進行基礎建設，/年后產生

/(0=億元社會經濟效益.若該市投資基礎建設4年后產生的社會經濟效益是投資額的2倍,

且再過;年，該項投資產生的社會經濟效益是投資額的8倍，貝曠=()

A.4B.8C.12D.16

【答案】B

In2Zln2

【解析】由條件得起4'=2°，.??2=丁，即/?)=皿丁.設投資/年后，產生的社會經濟效

益是投資額的8倍，則有恁竽=8a，解得，7=12.所以再過12-4=8年，該項投資產生的社

會經濟笑意是投資額的8倍.

故選：B.

5.已知平面向量滿足同=3,且B與B—々的夾角為30。，則問的最大值為()

A.2B.4

C.6D.8

【答案】C

【解析】因為同=3,且B與B—Z的夾角為30。，

如圖所示，設方=Z,㈤5=3,則應5=

由題意知NADB=30°，設ZADB=3,

■4B4D

因為a=3,在中，由正弦定理得------=——,解得NQ=6cos，W6,

11sin30°sin9

所以W的最大值為6.

故選:C.

6.設一組樣本數(shù)據(jù)不，x2,???,工〃的極差為1,方差為0.1,若數(shù)據(jù)。西+人，ax2+b,…,

的極差為2,則數(shù)據(jù)。%+人，ax2+b,-,的方差為()

A.0.02B.0.04C.0.2D.0.4

【答案】D

【解析】由題意可知，一組樣本數(shù)據(jù)X[,x2,的極差為1,則k“-西|=1,

又數(shù)據(jù)+6,ax2+b,—,ax”+6的極差為2,

貝+b-(axi+Z?)|=|a(xn-%j)|=2,

所以同=2,

故數(shù)據(jù)Gq+b,ax,+b,…，ax,,+6的方差為2?xO.l=0.4，

故選：D

7.在AASC中，已知4B=2,AC=4,ZBAC=60°,BC,/C邊上的兩條中線/M,BN相

交于點尸，則的余弦值是().

4±RV7rV13口3標

14141414

【答案】B

［解析］由余弦定理得BC=V4+16-2x2x4xcos60°=273，

所以482+8。2=/。2,所以三角形/5C是直角三角形，且N48C=90。，

以3為原點建立如圖所示平面直角坐標系，^(O,2),M(AO),C(2AO),7V(V3,1),

M4=(-V3,2),A?=(-V3,-1),ZMPN=ZAPB=^M4,NB),

所以()［立

cosNMPN=cosMA,NB1=竺；竺?==

"「以'\M^\NB\4X214-

故選：B

;

AfCx

8.已知函數(shù)/(x)=；/+cosx-2,設a=/(log20.2),b=/(logo3().2),c=/(0.2°3),則

()

Aa>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a

【答案】B

11,

【解析】函數(shù)/(力=517+饃5彳一2的定義域為R,f(-x)=-(-%)2+cos(-x)-2=/(x),故

11

/(x)=jx+cosx-2為偶函數(shù)，

當xNO時，/'(x)=x-sinx,令g(x)=x-sinx,貝|g'(x)=1—cosx20,BPg(x)=x-sinx

在［0,+8)上單調遞增,故g(x)〉g(0)=0,所以/'(x)20,則/(%)在［0,+與上單調遞增，

由于log20.2=log2；=一log25G(-3,-2),2=log030.09>log030.2>log030.3=1,

0<0,203<B所以。>b>c.

故選：B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列結論正確的是（）

A.若隨機變量〃滿足〃=2自+1,則。⑺=2。⑷+1

B.若隨機變量且尸情<6）=0.84,則尸（3<4<6）=034

C.若樣本數(shù)據(jù)（％,乂）（z=l,2,3,…，n）線性相關，則用最小二乘估計得到的經驗回歸直線

經過該組數(shù)據(jù)的中心點（陽田

D.根據(jù)分類變量才與V的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到/=4.712.依據(jù)1=0.05的獨立性檢驗

（=3.841）,可判斷才與y有關

【答案】BCD

【解析】對A,由方差的性質可知，若隨機變量77滿足7/=24+1,貝IJ

D（/7）=22XD（^）=4D（^）,故A錯誤;

對B,根據(jù)正態(tài)分布的圖象對稱性可得尸（3<J<6）=尸傳<6）-0.5=0.34,故B正確；

對C,根據(jù)回歸直線方程過樣本中心點可知C正確；

對D,由/=4.712>3.841可判斷才與Y有關，故D正確.

故選：BCD.

10.已知等差數(shù)列｛%｝的前“項和為S“，正項等比數(shù)列｛a｝的前”項積為北，則（）

A.數(shù)列。^是等差數(shù)列B.數(shù)列"｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛In?；｝是等差數(shù)列D.數(shù)列;警:是等比數(shù)列

【答案】ABD

【解析】設｛%｝的公差為d,也｝的公比為,

所以;-言=］（〃22）是常數(shù)，故A正確;

易知二=3"磯=3"2）是常數(shù)，故B正確；

由InT；-由心=1112（〃22）不是常數(shù)，故C錯誤；

恭+9=牛！=/（〃“）是常數(shù)，故D正確.

nn-\"n

故選:ABD

11.已知圓O：x?+「=4與圓C:/+/-2x+4>+4=0相交于A,B兩點，直線

l:x-2y+5=0,點尸為直線/上一動點，過尸作圓。的切線尸PN,（M,N為切點），

則說法正確的是（）

線段48的長為生5

A.直線48的方程為x—2y+4=0B.

5

48

C.直線過定點D.|日圖的最小值是2.

555

【答案】BC

x1+y2=4

【解析】由題知，聯(lián)立

—+j?一2x+4y+4=0'

兩式相減得了-2”4=0,

即直線的方程為x—2y一4=0,A錯;

/+「=4

聯(lián)立

/+/―2%+4y+4=0

8

x=一

x=05

解得《或＜

…6

y=—

5

、2,

所以I明1|一0+i-t+2I=￥，B正確;

對于C,設干（占,％）川（工2，%），

因為M,N為圓。的切點，

所以直線尸M■方程為啊+必=4,

直線PN的方程為xx2+yy2=4,

又設尸（x°，K），

工0七+%%=4

所以《，

［酒+%%=4

故直線MN的方程為xox+y0y=4,

又因為％-2%+5=0,

所以（2x+y）%-5x-4=0,

4

X=——

2x+y=05

由＜得〈

-5x-4=08

y=-

5

<_48

正確;

即直線"N過定點<-555.,C

因為92+0^2=。。2,

所以當|尸訓最小時，|尸。|最小,

|0-0+5|廠

且因最小為kF近

=1,D錯.

12.直四棱柱Z3CZ>-4瓦GA，所有棱長都相等，且2048=60。，刊為臺片的中點，尸為四

邊形區(qū)8℃內一點（包括邊界），下列結論正確的是（）

A.平面2h以截四棱柱NBC。-/4GA的截面為直角梯形

B.s_1面。1我

C.平面88cle內存在點P,使得DP1AM

：

D.匕1]-肛"^C-ADtM=1：3

【答案】AB

[解析】對A,取司G的中點為N,ADJ/MN,AM?為截面,

因為/DAB=60°=ND￡Bi,設AD=2,C；N=1,

2

在ANC[D[中,D.N-=CXN-+CXD;-2C]N?GAcos60°,得D^N=3,

則AN2+GN2=G。：，即4N_LC]N,

又BBX±平面&B￡D[,D[Ncz平面AXB{CXDX,則D】N1BXB,

C[NcBiB=B[,qNu面38CC，u面BBiQC,

可知，NJ_面53CC，且面85clC,所以。A對

對B,因為Z\N1面BB[C[C,且C?u面BBgC,則DrN1CB1,

又MN1CB\,MNcD、N=N,MNu平面AMND1,'Nu平面ZACVD],

則CBJ平面町，B對；

對C,過。作因為8片，平面48。。，DEu平面48C。，

DE±BBX,BBXnAB=B,8片,ASu平面/5耳4,

所以平面/AB/一延長。P交面48K同于。，連接EQ交于戶,

則EF為DP在面AAXBXB的射影，

若。尸_L/〃，又/Mu平面485/,則

DPcDE=D,DP,DEu平面DEP,則/MJ,平面DE尸，

E尸u平面。E尸，則有/〃，石戶，

但當P在四邊形班℃內運動時，產在8片上運動，此時E尸不可能與我垂直，C錯;

對D：連接8G交5。于。，BC、交MN于S,連接交。陷于T,

CBJIA.D,因為C31_L平面血刃VQ,則4。J_平面血小@,

則4T為點4到面gM的距離，CS為點C到面AD.M的距離，

MNUBCX,則點B到面AD[M的距離即點。到面gM的距離，即OS,

則4T：OS=2:1,CS:OS=3:1,則4T:CS=2:3

4:V-=1?'皿〃?：；?,皿〃?CO=2:3,D錯；

故選:AB

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知（2尸2一十）”展開式的二項式系數(shù)之和為256,則其展開式中/的系數(shù)為.

（用數(shù)字作答）

【答案】H20

【解析】由2"=256=2',得”=8.

（2x-2-x3）8展開式的通項&]=C；（2x-2p（-x3），=C；28T㈠丫”,

令5—16=4,得r=4,

則展開式中含/的項為篤=C：2%4X（-1）4/=1120/.

所以一的系數(shù)為1120.

故答案為：1120.

14.若函數(shù)/（x）=sinxcosx-；cos12x-W的圖象在L內恰有2條對稱軸，則6的值可能

為.

【答案】箸1771（答案不唯一）

【解析】f（x）=sinxcosjc--cosf2x--1=—sinlx--cos2x+—sin2x

八）2I6）2222

v7\7

i.0V3,i.叫

=—sm2x----cos2x=—sm2x——.

442I3）

.（兀/-\I.兀c兀c八兀

當x￡1一,0時,一<2x—<2?！?

[4）633

因為函數(shù)/（無）的圖象在內恰有2條對稱軸，所以?<2，-

解得；二〈二丁，則，的值可能為

121212

故答案為：（答案不唯一）

15.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為3三兀，側面積分別為S甲和%,體積

分別為心和無.若2,則要=.

【答案】

55

【解析】設母線長為/，甲圓錐底面半徑為外，乙圓錐底面圓半徑為馬，

貝。券=衛(wèi)|=人=2,所以。=2弓，

3乙仃r2

又學+干片，則號4所以【另二

CC乙II41-r

所以甲圓錐的高\=j/2_；/2=與,

乙圓錐的高〃2=J/2

164

%;叫2%1,2V3,

4ZXTZ-8^5

所以/=

乙§兀42a…5

8V5

故答案為:

-V

2i,2

16.如圖，雙曲線=l(a,b＞0)的右頂點為A,左右焦點分別為片，瑪，點尸是雙曲線右

支上一點，尸與交左支于點。，交漸近線＞=2尤于點民M是尸。的中點，若儲，尸耳，且

a

AMLPF,,則雙曲線的離心率是

%+Jo=X-Cl

【解析】設氏(%,%),則｛b,解得｛°,,即尺（a,6）,由題意所以

b

%二fJo=

a

2

\2

11

石-1

22

a+C所以2ac-b~b（a+c）a

AM-F2R,?).又設尸(國,%),0(馬，32)，則＜2

22

2c2cx-1

口221

珀沖產（%+%）（%—%）=〃,_b2訴]"_b（2ac-b2）b

相減倚、/、2,即k°M,kPQ——$,所以kpo—2/、，又kpQ—^RF~

（國+了2）（國一了2）a°a/（a+c）qaya+c

化簡得C=2Q,e=—=2.

a

故答案為：2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

4

17.已知AJLSC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,(^zcosC+ccos=asmB.

(1)求角A；

(2)若。為邊5。上一點，且滿足4D=C。，S“8=2S?m，證明：為直角三角形.

7T

【答案】(1)A=-(2)證明見解析

A

【解析】（1）在、45c中，由正弦定理得（sin/cosC+sinCeos/）cosm=sin/sin3,

A..A

所以sin（4+C）cos]=sin4sinB,BPsinBcos—=sin74sinB,

A

因為8￡（0,兀）,「.sin3w0,所以sin/=cos—,

2

又因為/￡(0,兀)，—^0,—.4△.444c

sinZ=2sin-cos一,cos-w0,

222

A1qr

所以sin]=g,所以4=5；

(2)證明：因為S“s=2S.ABD'所以。。=2助,

設N/CZ)=6,在A/C。中，AD=CD=2BD,則NG4Z)=6.

TT2兀

可得/胡。=——。，/ABC=——6,

33

BD_4D

在中，由正弦定理得，.「兀力一.「2兀小,

sm——0sm----0

U）u）

又因為40=2瓦？，所以Zsin[]—°]=sin]y—,

則V3COS6—sin6=——cos6+—sio6，

22

化簡得tane=18,因為e/o,0,即e=2,則

3k3J62

所以。是直角三角形.

18.已知數(shù)列｛為｝的前〃項的和為S〃，數(shù)列]，1是公差為1的等差數(shù)列.

（1）證明：數(shù)列｛%｝是公差為2的等差數(shù)列；

（2）設數(shù)列,一1—的前，項的和為7；,若S3=9,證明/；＜!.

〔%%+iJ2

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】（1）因為數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，所以邑=必+〃-1=〃-1+%.

In\n11

從而可得=，/+（4—.

當“22時，an=Sn-S^=ax+2（w-l）.

即可得見,-4-1=2,所以數(shù)列｛aj是公差為2的等差數(shù)列；

（2）根據(jù)第（1）問數(shù)列｛%｝是公差為2的等差數(shù)列可得S3=34+3x2=3%+6=9,

從而可得6=1.

所以數(shù)列｛%｝的通項公式%=2〃-1.

所，%%+]（2〃一1乂2〃+1）212"-12?+1J-

,,,.“111111111

從而可得北=—|-----1-----1---1------------=----------.

"2（13352?-12M+1J24〃+2

所以■成立.

19.如圖，在四棱錐及力中，底面4員》為菱形，￡為棱的中點，ACVPE,PA=PD.

(1)證明：平面為〃_L平面力閱9；

(2)若PA=AD,NBAD=60°,求二面角￡—尸。—/的正弦值.

【答案】(1)證明見解析(2)三回.

13

【解析】(1)

如圖，連接班，取40中點。，連接POOM因底面/閱9為菱形，故又￡為棱的

中點，故0E11BD,則/CLQE,

已知AC_L尸￡,。￡,尸￡u平面尸。及OEcPE=E,故ZC_L平面POE,因POu平面尸0E,

則4C_LP。，因P/=PZ>,則

又4D,NCu平面48cz),4Dc4C=4則尸。工平面48。。，又POu平面尸40,故平面

尸40,平面48CD

(2)

如圖，連08,由（1）知尸01平面48CQ,且N陰氏60°,則△48。是正三角形，OB工AD,

故可以04,。5。尸分別為兀歹/軸正方向建立空間直角坐標系O-xyz.不妨設40=4,則

￡（1,瓜0）,尸（0,0,26）,D（-2,0,0）,42,0,0）,

于是瓦=（3,6,0）,麗=（2,0,2百），設平面DEPD的法向量為3=（x,y,z）,則有

n?DE=3x+6y=0

,可取〃=(-V3,3,l).

n?DP=2x+2cz=0

因08d.4D,POLBO故可取平面PD4的法向量為m=(0,1,0).

設二面角￡-尸。-/的平面角為。，則。為銳角，故《?。=m05〈加,〃〉|=-^="后,則

A/1313

sin0=A/1—cos2d=—Vo.

13

即二面角E-尸。-/的正弦值為馬JH.

20.設橢圓。:=+3=1（?！?>0）的左右焦點分別為與，F(xiàn)2.A,8是該橢圓,的右頂點和上頂

ab

點，且［48|=道，若該橢圓的離心率為白.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）直線，與橢圓。交于尸，。兩點，且與x軸交于點。（無>。）.若直線尸耳與直線鑿的傾斜

角互補，求△尸。鳥的面積的最大值.

f1

【答案】（1）—+/=1（2）-

4-4

【解析】（1）由題可得，\AB\^^a2+b2^45,

所以/+〃=5因為橢圓的離心率為立.所以e=￡=@，結合橢圓中〃=/一。2可知,

2a2

a=2,6=1.所以橢圓。的標準方程為二+/=i.

4

（）F（）設尸（，）（和

22V3,0,Xi%,0J2）.

因為直線時與直線的傾斜角互補，

所以可知kPF2+kQFi=0,

pn----------1----------=0

X]-Gx2-V3，

化簡得+%以一G(%+%)=0.

設直線尸。：x=如+〃(〃>2),

將x1=myx+n,x2=my2+n代入上式，

整理可得2掰以先+("-百)(必+%)=0?

x=my+n,

且由《八江=4消元化簡可得

m2+4)y2+2mny+n2-4=0,

2mnM2-4

所以+y=-，代入上式

x2m2+4"%加2+4

2m(n2-4^

田------------…)4=0,

m2+4\，加+4

m=—

n3

4、h

所以PQ:x=myH——--.

1

，3+3川’

2—34/3加2_4

且歸。l=J(l+m+%)2—4%％=V1

+加,~r~(—7--------\

V3(m2+4)

=-1d-\PQ\=~-.1—74yhm2一4273m2-4

所以見尸0「2-Vi+m,/—/—z----?=-------z------

2112出F73m2+43加之+4

.-------產44

令t=73m2-4，貝U加2二一--

2t1

所以S""=4^‘4'.

20

當且僅當/=4,加2=時取等號.

所以△尸。工的面積的最大值為:

21.為不斷改進勞動教育，進一步深化勞動教育改革