2023年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 立體幾何（解析版）

專題10立體幾何

知識建構(gòu)

自檢自測

1.平面的基本性質(zhì)

公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).

公理2：過不共線的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.

2.空間點(diǎn)、直線之間的位置關(guān)系

直線與直線

圖形

平行語言

關(guān)系符號

a//h

語言

圖形

相交語言

關(guān)系符號

aC\h=A

語言

圖形,/b

獨(dú)有語言/

關(guān)系符號

a,b是異面直線

語言

3.空間兩條直線的位置關(guān)系

(1)相交直線——同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

(2)平行直線——同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).

(3)異面直線——不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).

4.異面直線所成角、平行公理及等角定理

(1)異面直線所成的角

①定義：設(shè)"，方是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)。作直線標(biāo)//a,h'〃兒把標(biāo)與b,所成的銳角

或直角叫做異面直線。與人所成的角.

②范圍：(0,?

(2)平行公理

平行于同一條直線的兩條直線平行.

(3)等角定理

空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

5.直線與平面平行的判定與性質(zhì)

判定

性質(zhì)

定義定理

a--b--a--弋

圖形一目L__/

aUa,Ma,a//a,aU￡，

條件6zAa=0a〃a

〃〃一_aCB=b_

結(jié)論allab//aa//b

6.面面平行的判定與性質(zhì)

判定

性質(zhì)

定義定理

/k/

b

/37b/%//

圖形

%7/77X7

_a〃￡,aC尸干，

條件一an6=0一a〃4，°u夕

=P,aha,b"a6n尸兒

結(jié)論a//pa//pa//ba//a

重要結(jié)論：

1.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即“若a邛,則a〃夕’.

2.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即“若b±a,則a〃〃’.

3.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即“若a〃夕，p//y,則a〃7.

7.直線與平面垂直

(1)直線與平面垂直

①定義：若直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線/與平面a垂直.

②判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直(線線垂直今線面

垂直).即：aUa,bua,IVa,lA.b,aC6=P=/J_a.

③性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.即：a_La,bLa=^a//b.

(2)直線與平面所成的角

①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角.

若直線與平面平行或直線在平面內(nèi)，直線與平面所成角為0,若直線與平面垂直，直線與平面所成角為

n

2-

TT

②線面角。的范圍：。q0,I.

8.平面與平面垂直

(1)二面角的有關(guān)概念

①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，則兩

射線所成的角叫做二面角的平面角.

③二面角。的范圍：?！禰0,it].

(2)平面與平面垂直

①定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.

②判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.即：aUa,a邛0a邛.

③性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.即：aLp,“Ua,aC。

=b,aJ_ga_L￡.

重要結(jié)論

1.若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.

2.若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線（證明線線垂直的一個(gè)重要方法）.

3.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.

4.一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直.

常見題型

1.平面概念

2.線線、線面、面面位置關(guān)系

3.線面、面面平行

4.線面、面面垂直

5.線線、線面所成角

6.二面角

7幾何體

實(shí)戰(zhàn)突破

考點(diǎn)一平面概念

例1.（2014年河南對口高考）三個(gè)平面最多把空間分成部分.

【答案】8

【解析】當(dāng)兩個(gè)平面相交，第三個(gè)平面同時(shí)與兩個(gè)平面相交時(shí)，可以把空間分成8部分，所以空間中的三

個(gè)平面最多把空間分成8部分.

例2.空間不共線的四點(diǎn)，可以確定平面的個(gè)數(shù)是（C）

A.0B.1

C.1或4D.無法確定

［解析］當(dāng)四個(gè)點(diǎn)在同一平面時(shí)，則確定一個(gè)平面；若四點(diǎn)不共面，由基本性質(zhì)2可判斷，任意不共線的三

點(diǎn)都可以確定一個(gè)平面，故有4個(gè).

【變式探究】下面是一些命題的敘述語（A,B表示點(diǎn)，。表示直線，?,￡表示平面）：

（l）VAGa,BGct,（2）VASa,A&p,：.aH^=A；

⑶；A住a,aUa,'.A^a；（4）"."A^a,a<la,@a.

其中命題和敘述方法都正確的個(gè)數(shù)是（B）

A.0B.1C.2D.3

［解析］（3）正確.（1）錯(cuò)，其中的ABCa應(yīng)為A8Ua.（2）錯(cuò)，其中a,尸應(yīng)該交于一條過A點(diǎn)的直線.（4）錯(cuò)，

因?yàn)辄c(diǎn)A可能是直線〃與平面a的交點(diǎn).

考點(diǎn)二線線、線面、面面位置關(guān)系

例3.（2018年山西）設(shè)直線m平行于平面a,直線n垂直于平面0,而且a,p,n《a則必有（）

A.m//nB.m±nC.m±pD.n//a

答案：D

例4.（2021年山西）下列說法不正確的是（）

A.兩條相交的直線確定一個(gè)平面B.垂直于同一直線的兩條直線互相垂直

C.平行于同一條直線的兩條直線互相平行D.不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面

答案：B

【變式探究】1.若a,b是異面直線，直線"/〃，則。與〃位置關(guān)系是（）

A.異面B.平行C.相交D.相交或異面

【解析】由題意可得，直線“，b是異面直線，又c〃a,則c與b的位置關(guān)系可能是相交，也可能是異面，

綜上所述，故選：D；

2.點(diǎn)M、N是正方體ABC￡）-4BiCid的棱A|4與AiBi的中點(diǎn)，尸是正方形ABC。的中心，則A/N與平面

PCBi的位置關(guān)系是（A）

A.平行B.相交

C.MNU平面PCSD.以上三種情形都有可能

［解析］如圖，：歷、N分別為4A和AH中點(diǎn),

：.MN//ABi,

又?.?尸是正方形A8C。的中心,

：.P.A,C三點(diǎn)共線，

平面PBiC,

；MNQ平面PBiC,

〃平面PB\C.

考點(diǎn)三線面、面面平行

例5.（2018年河南對口高考）下列命題中，錯(cuò)誤的是（）

A.平面內(nèi)一個(gè)三角形各邊所在的直線都與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行

B.平行于同一平面的兩個(gè)平面平行

C.若兩個(gè)平面平行，則位于這兩個(gè)平面內(nèi)的直線也互相平行

D.若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面

【答案】C

【解析】若兩個(gè)平面平行，則位于這兩個(gè)平面內(nèi)的直線不一定互相平行，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選C.

例6.（2018年四川?。┰O(shè)a/是兩個(gè)不同的平面，“為兩條不同的直線，給出下列三個(gè)命題：

①.若/_La,m_La,則l//m.

②.若a〃夕，/〃a,機(jī)〃夕，則/〃帆

③.若/〃肛/〃a,〃夕，則a〃K

則下列命題中的真命題是（）

A.OB.lC.2D.3

答案：B

【變式探究】L（2019湖南對口升學(xué)高考）下列命題中，正確的是（）

A.垂直于同一條直線的兩條直線平行

B.垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行

C.若平面外一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，則直線與平面平行

D.一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直，則必與另一個(gè)垂直

［答案］D

［分析］根據(jù)直線與平面垂直的判斷定理可知選項(xiàng)D正確，故選D.

2.（2018湖南對口升學(xué)高考）下列命題中，錯(cuò)誤的是（）

A.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行

B.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行

C.一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，交線平行

D.一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必與另一個(gè)相交

［答案］B

［分析］找反例即可

B項(xiàng)平行于同一條直線的兩個(gè)平面可以相交，故B錯(cuò)

考點(diǎn)四線面、面面垂直

例7.（2016年河南對口高考）在空間中垂直于同一條直線的兩條直線一定是（）

A.平行B.相交C.異面D.前三種情況都有可能

【答案】D

【解析】在空間中垂直于同一條直線的兩條直線可能相交，也可能平行，也可能異面，故選D.

例8.（2015年河南對口高考）垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面（）

A.互相垂直B.互相平行

C.相交D.前三種情況都有可能

【答案】D

【解析】垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面有可能互相垂直，也有可能互相平行，也有可能相交，故選D.

【變式探究】1.（2019年安徽?。┤鐖D，在正方體ABC。一為與GQ中，點(diǎn)色廠分別是棱8片,OC的中

點(diǎn)，則下列結(jié)論箱送的是（）

A.AEA.DtFB.DE工D】FC.AE±BCD.DEA.BC

答案：D

2.如圖，在四面體。一ABC中，若48=CB,AD=CD,E是AC的中點(diǎn)，則下列正確的是（C）

A.平面A8C_L平面

B.平面A8C_L平面BDC

C.平面A8C_L平面8QE,且平面AQC_L平面B3E

D.平面4BC_L平面A￡>C,且平面AOCJ_平面8DE

［解析］'：AB=CB,且E是AC的中點(diǎn)，.,?8E_LAC,同理有OE_LAC,于是4cL平面8￡>E.；AC在平

面ABC內(nèi)，二平面A8C1■平面又ACU平面4c。，.?.平面ACOJ_平面8。區(qū)故選C.

考點(diǎn)五線線、線面所成角

例9.（2014江蘇）在正方體-中，異面直線4C與BG所成角的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

例10.如圖正方體ABCD/iBiC/i中，直線BO】與平面4140。1所成角的正切值為（）

A.—B.—C.lD.V2

32

［答案］B

［分析］找出垂線與線面角求出直角邊長即可

［詳解］如圖連接AD】

因?yàn)锽A_L平面&/0D1,

所以ZAD1B為BDi與平面&/0D1所成的角

在RtaABDi中，設(shè)正方體邊長為a

AB=aADX=>/2a

ABa0

tanZLAD-IB===--

1gy［2a2

【變式探究】1.在正方體ABC。-4181cl劣中，異面直線力為與BG所成角的大小為（）

A.90°B.45°C.60°D.30°

［答案］C

［分析］線線平行平移至相交

連接AD血DgBCJ/ADi

???NDIABI為異面直線ABX與BCi所成的角

AABDi為等邊三角形

:.NDIABI=60°

2.（2014年江西）若e是直線與平面所成的角，則，的取值范圍是.

（乃）r7]（兀

A.（0,71]B.I0,—2；C.L0,—2jD.I0,一2J

答案：C

考點(diǎn)六二面角

例11.（2013年山西?。┯覉D正方體—中，二面角A—的平面角是（）

A.30°B.45°C,60°D,90°

答案：B

【變式探究】（2016年河北對口高考）已知正方形ABCD所在平面與正方形A跳戶所在平面成直二面角,

則NFBD=.

【答案】600

考點(diǎn)七立體幾何的綜合問題

例12.（2016湖南對口升學(xué)高考）（本小題滿分10分）

如圖1,在三棱柱ABC-AiBiG中，A|A1底面ABC,AAi=V3,AB=AC=1,AB1AC.

（1）證明：BA1平面ACGAi：

（2）求直線BiC與平面ACGAi所成的角的正弦值.

[分析1（1）線面垂直的判定定理（2）線面角

（1）在三棱柱ABC-A^Ci中，

AAX1底面ABC,BAc平面ABC

???AAt1BA①

B圖1

???AB1AC②

AA^nAC=4G)

BA±平面ACC141

⑵連接為C如圖所示

BA1平面A/]||4B:.A1B1±平面ACG4

???乙41cBi就是直線8傳與平面4CG4所成的角

vAB=AC=1ABLAC

BC=Vl2+lz=V2

??,AAr=B[B=V3

B[C=JBL+B$2=V5

v力iB]=AB=1：.sinZ.A1CB1——三

例13.(2019湖南對口升學(xué)高考)(本小題滿分10分)

如圖，在三棱柱ABC-AiBiCi中，AAiJ_底面ABC,AB=BC=1,ZABC=90",D為AC的中點(diǎn).

(1)證明：BDL平面ACCtAi；

(2)若直線BAi與平面ACGAi所成的角為30°,求三棱柱ABC-AiBiG的體積.

[分析](1)線面垂直判定(2)根據(jù)線面角求出高

(1)證明：???48=AC,力為AC的中點(diǎn)

■■.BDLAC.

又?.?4h_L底面ABCBOu底面ABC

.■.BD1.AA].

???AC和A4是平面ACCA內(nèi)兩相交直線

平面ACC\A\.

(2)連接AiD

?.?80_1平面4(7。4,

.-.BDlAtD,且A\D是BAi在平面ACC\A\的射影

.-.ZBA.0=30°.

在RtAABC中，BD=-AC=-y/AB2+BC2=—.

222

在RtZXA8c中，ZBAiD==30°,ZBD-4i=90°,BAX=2BD=V2.

在Rt^ABAi中，ZBAAi=90",AB=\,=J^-AB2=1.

???三棱柱ABC-A[B]C,的體積V=S^-=^XBAXBCA=

BCXAA±XAr

Jr---------卡

f\\

/'A-..-.……/..

cG

【變式探究】1.（2020湖南對口升學(xué)高考）（本小題滿分10分）

如圖，四棱雉S-ABCD的底面為正方形，。為4c與BD的交點(diǎn)，SO1底面ABCD.

（1）若E,F分別為S4SC的中點(diǎn)，求證：EF//平面ABCD;

（2）若力B=S4=4,求四棱雉S-4BC0的體積.

[分析]（1）線面平行的判定定理（2）椎體體積公式

解：⑴在NSAC中，???E,F分別為S4SC的中點(diǎn)EF〃4C.

又丫ACc平面ABCD,EFC平面ABCD

EF//平面ABCD.

（2）???底面為正方形

AC=五AB=4V2

則AO=^AC=2V2

V0為正方形的中心SO1平面ABCD從而SO1AC

在Rt△AOS中，SA=4,AO=272

則SO=VS/12-AO2=2V2

???^-XBCD=15XBCD-SO=ix4x4x2V2=^

2.（2021年四川?。ū拘☆}滿分12分）如圖，B,C為圓錐AO底面圓周上的兩點(diǎn)，E,F分別為4B,BC的中點(diǎn).

⑴證明：EF//平面4c

（II）若圓錐底面半徑為1,母線的長為石，二面角B-AO-C的大小為苧，求點(diǎn)O到平面ABC的距離.

答案：（I）在AABC中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),所以E尸〃AC,

又EFZ平面4cO,ACu平面ACO,所以EF//平面AC。

（II）連接AF,FO,如圖，

在圓錐AO中，AO_L底面BCO,所以AO_LBO,AO±CO,

2不

所以/BOC為二面角B-AO-C的平面角，即NBOC=亍，

在直角AABO中，AO=ylAB2-BO2=2,

在等腰AOBC中，F(xiàn)OOB-cosAB0C,BC=2BF=2OB-sin也￡,

222

___________而

在直角AAFO中，AF=JAO2+F（）2=匚,

2

則匕.B℃=；XxSABOC3x*2*x6，

設(shè)點(diǎn)O到平面ABC的距離為d,

則％TBc=；SaBcd=；x；x5CxAFxd=^d=*，解得d=等，

所以點(diǎn)O到平面ABC的距離為上叵.

17

考點(diǎn)八幾何體

例14.（2020年江西省）若圓柱的軸截面是面積為4的正方形，則該圓柱的表面積為（）

A.2兀B.47tC.6兀D.8兀

答案：c

例15.（2017年江西）若圓錐的軸截面是面積為1的等腰直角三角形，則該圓錐的體積為.

71714萬

A.—B.—C.TtD.

323

答案：A

【變式探究】1.（2019年河南對口高考）已知正三棱錐的側(cè)棱和底面邊長都為1,則它的體積為.

【答案】—

12

【解析】正三棱錐的頂點(diǎn)在底面的投影為底面三角形的中心，底面三角形的高為：—,三角形的重心分中

2

線為2：1的關(guān)系，所以底面三角形重心到頂點(diǎn)的距離為2><也=也，所以三棱錐的高為:

323

—,又因?yàn)榈酌嫒切蔚拿娣e為：Lxlxlx@=@，所以該正三棱錐的體積為:

3224

173V6V2&

-x—x——=——,故合案為：——.

3431212

2.（2019年安徽省）若一個(gè)球的表面積為12%,則該球的半徑為（）

A.2B.73C.2百D.3

答案：B

實(shí)戰(zhàn)突破

1.（2020江蘇）在正方體ABC?！狝4GA中，異面直線4B與耳。之間的夾角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

解析：【答案】C

【分析】連接4D,根據(jù)正方體的幾何特征及異面直線夾角的定義，我們可得

/BAQ即為異面直線A1與80所成的角，連接BD后，解ABAQ即可得到

異面直線4B與B。所成的角。

【解析】連接AD,由正方體的幾何特征可得AD〃BC，則NBAD即為異面宜線43與3c所成的角，連

接BD,易得BD=AD=AB,/.ZB^D=60,

故選：C.

2.（2018江蘇）在長方體ABCEM出。。中，AB=8C=2,AAi=?灰,則對角線8功與底面A8CD所成的

角是（）

71Tllt71

A-7B-7CTD-7

【答案】c

3.（2019年安徽?。┤鐖D，在四棱錐P—ABC。中，PA_L平面ABC。，四邊形A8CD是正方形,

PA=&AB,則直線PC與平面A8CO所成角的大小為（）

A.30°B.45°C.60°1).90°

答案：B

4.（2016年安徽?。┤鐖D所示，在正方體A3CQ一ABCA中，異面

直線AB與A￡）|所成的角是（）

A.30°B.45°C.90°

D.60°

答案：C

5.（2018年安徽?。┤鐖D所示，在正方體ABCO-A與中，點(diǎn)以/V分別是棱AA「人用的中點(diǎn)，則

直線MN與直線CG所成的角等于（)

Di

A.30°B,45°C.60°D.90°

答案：B

6.（2018年安徽省）如圖所示，PA_L平面ABC,且NABC=9O。，則下列結(jié)論箱送的是（）

p

c

A.PALABB.PALACC.BCJL平面D.A3J_平面PBC

答案：D

7.（2020年安徽?。┤鐖D，在正方休A8CD—44G2中，直線與片2所成的角是（）

A.30B.45C.60D.90

答案：D

8.（2016年安徽省）在四面體力及力中，ZMJ_平面ABC,A3_LAC,從該四面體的四個(gè)面中任取

兩個(gè)作為一對，其中相互垂直的共有（）

A.1對B.2對C.3對1）.4對

答案：C

9.（2022湖南對口升學(xué)高考）已知兩條不同的直線m,n與平面a,則下列命題正確的是（）

A.若m//a,n//a,則m//nB.若mln,m//a,則n1a

C.若？nln,7nJLa,則nJLaD.若7n_La,nJ.a,則m//n

［答案］D

A項(xiàng)m、n可以相交

B項(xiàng)n可平行a

C項(xiàng)n可平行a

D項(xiàng)線面垂直性質(zhì)定理

10.（2018年山西省）一個(gè)圓錐高為4,母線長為5,則該圓錐的體積是

答案：12兀

11.（2019年山西?。┰O(shè)正方體的邊長為1,則它的外接球的直徑為

答案：V3

12.（2014年山西?。┤鐖D，正方體ABCD-中，異面直線8。與所成的角等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

答案：D

13.（2015年四川?。┮阎睦忮F的高為3,底面邊長為巾，則該棱錐的體積為（）

A.6B.3巾C.2D.也

答案：c

14.（2019年四川省）已知球的半徑為6cm,則它的體積為（）

A.36^cm3B.144萬err?C.288萬err?D.8647cm'

答案：C

15.（2021年四川省）下列命題中不正確的是（）

A.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條垂直直線，那么這條直線垂直于這個(gè)平面

B.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于這個(gè)平面

C.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線，那么這條直線垂直于這個(gè)平面

D.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線，那么這條直線垂直于這個(gè)平面

答案：D

16.（2022年四川?。┰O(shè)a,4是兩個(gè)不同的平面，加，“是兩條不同的直線.則下面四個(gè)命題正確的個(gè)數(shù)

是（）

①若a//p,n///3,則②若a_L￡,mVa,n1（3,則加_L〃：

③若m//n,mVa,〃J_,，則aJ_6；④若,mVa,〃_L,，則a_L

A.1B.2C.3D.4

答案：C

分析：本題以空間的平行與垂直為載體，考查了命題的真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題著重:考查空間直線與平面、

平面與平面的位置關(guān)系，考查了空間想象的能力

解析：

對于①，mVa,a//13,...加_L〃,故①正確.

對于②，直線機(jī)和〃相當(dāng)于平面a和尸的法向量，：。，^^二加工心故②正確.

對于③，?；m_La,直線加和〃相當(dāng)于平面a和6的法向量；加〃%...a///?故③不正確.

對于④，若加_La,nL/3,直線用和〃相當(dāng)于平面a和￡的法向量，：ma，戶，故④正確.

.,.選C.

17.（2023四川對口招生）設(shè)a,，是兩個(gè)不同的平面，〃?，〃是兩條不同的直線，則下列命題中的真命

題是（）

A.如果m//a,n//［3,m//n,那么a〃/?B.如果/n〃〃，“ua,那么“〃a

C.如果a_L^,mua,nc./3,那么m_L〃D.如果加_La,me/?,那么a_L尸

【答案】D

【分析】本題A選項(xiàng)考查面面平行的判定定理，B選項(xiàng)考查線面平行的判定定理，C選項(xiàng)考查面面垂直的

性質(zhì)定理，D選項(xiàng)考查面面垂直的判定定理，是基礎(chǔ)題.

【解析】

由面面平行的判定定理可得A錯(cuò)誤；

由線面平行的判定定理可得B錯(cuò)誤；

由面面垂直的性質(zhì)定理可得C錯(cuò)誤；

由面面垂直的判定定理可得D正確.

.?.選D.

18.（2022江蘇）若圓錐和圓柱的底面半徑均為R,高均為3R,則此圓錐與圓柱的側(cè)面積之比是

【答案】A

19.（2021湖南對口升學(xué)高考）設(shè)m,n為兩條不同的直線，a,夕為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若7n〃n,n〃aM］m〃aB.若7n〃n,7n〃a,n〃0』ija〃0

C.若a_L夕,mua,nu.，，則m1nD.若m1n,m1a,n1,則a10

［答案］D

［分析］m,n為兩條不同的直線，a,0為兩個(gè)不同的平面

對于A,若m//n,n//a,則m〃a或mua,故力錯(cuò)誤；

對于8,若m//n,m//a,n//（i,則a與夕相交或平行，故B錯(cuò)誤；

對于C,若a1ua,nu0,則ni與n相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤；

對于D,若？nJ.n,mJLa,n10,則由面面垂直的判定定理得a1.3，故D正確.

20.（2021年河南對口高考）圓柱的軸截面是面積為4的正方形，則其體積為.

【答案】2萬

【解析】由題知圓柱的底面半徑為1,高為2,所以5=萬「2=萬，v=s〃=%x2=2萬，故答案為2%.

21.（2019年河南對口高考）三棱柱的側(cè)棱長和兩個(gè)底面的邊長都為2,側(cè)棱垂直于底面,

E,F分別為AB,4G的中點(diǎn)，直線瓦'與所成角的余弦值為（）

V2V5275V3

A.---B.---C.----D.---

2552

【答案】c

【解析】取AC中點(diǎn)M,連接EM,FM,則FM〃G。，則NMEE即為直線）'與GC所成角，MF=2,

EM=-BC=l,NEMF=90°.EF=y/EM2+FM2=45,所以cos/MRE=口=拽，故選

2EF非5

C.

22.（2021湖南對口升學(xué)高考）（10分）

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P4_L平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).

（1）證明:PB〃平面ACE;

⑵設(shè)PA=1,AD=V3,直線PB與平面ABCD所成的角為45°,求四棱錐P-ABCD的體積.

［分析］（1）找到中位線即可證明（2）根據(jù)線面角求出底面邊長即可求出體積

（1）證明：連接BD交4c于點(diǎn)凡連接EF

點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是8。的中點(diǎn)

即線段EF是△BDP的中位線

PB//EF

又?：PB0平面AEC

EFu平面AEC

PB//平面AEC

(2)PA=l,AD=V3

直線PB與平面ABCD所成的角為45°,PA1平面ABCD

???AB=PA=1

VP-ABCD=|x/!DxC￡)xP/l=ixlxV3xl=Y

23.（2022年四川?。┰谒睦忮F尸一ABC。中，PA=AB,ADVCD,2AD=2CD=BC,AD//BC,

24J■平面ABC。.

（I）證明：平面■平面PAC；

（II）求二面角F—80—A的正切值.

*23題圖

答案：（I）略（II）

分析:

解析：（I）連