實驗一隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)后的特性分析

實驗一隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)后的特性分析目錄目錄 -1-1.實驗?zāi)康?-1-2.實驗原理 -2-⑴隨機(jī)信號的分析方法 -2-⑵線性系統(tǒng) -7-⑶非線性系統(tǒng) -9-⒊實驗任務(wù)與要求 -10-⑴實驗系統(tǒng)框圖如圖1所示： -10-⑵輸入信號： -10-⑷用matlab或c/c++設(shè)計非線性系統(tǒng) -12-⑸用matlab或c/c++設(shè)計線性系統(tǒng) -13-⑹完成系統(tǒng)測試 -14-⑺按要求寫實驗報告 -15-4、實驗設(shè)計與仿真 -15-(1)輸入信號的設(shè)計 -15-(2)低通濾波器設(shè)計 -19-(3)平方率檢波器設(shè)計 -21-5..實驗結(jié)果分析 -24-6.實驗中遇到的問題 -24-7.心得體會 -24-1.實驗?zāi)康蘑帕私怆S機(jī)信號自身的特性，包括均值（數(shù)學(xué)期望）、均方值、方差、相關(guān)函數(shù)、概率密度、頻譜及功率譜密度等。⑵研究隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)后的均值、均方值、方差、相關(guān)函數(shù)、概率密度、頻譜及功率譜密度有何變化，分析線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)受隨機(jī)信號激勵后的響應(yīng)。⑶掌握隨機(jī)信號的分析方法。2.實驗原理⑴隨機(jī)信號的分析方法在信號系統(tǒng)中，我們可以把信號分成兩大類——確知信號和隨機(jī)信號。確知信號具有一定的變化規(guī)律，因而容易分析，而隨機(jī)信號無確知的變化規(guī)律，需要用統(tǒng)計特性進(jìn)行分析。我們在這里引入了隨機(jī)過程的概念。所謂隨機(jī)過程，就是隨機(jī)變量的集合，每個隨機(jī)變量都是隨機(jī)過程的一個取樣序列。隨機(jī)過程可分為平穩(wěn)的和非平穩(wěn)的、遍歷的和非遍歷的。如果隨機(jī)信號的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化，則隨機(jī)信號是平穩(wěn)的。如果一個平穩(wěn)的隨機(jī)過程它的任意一個樣本都具有相同的統(tǒng)計特性，則隨機(jī)過程是遍歷的。我們下面討論的隨機(jī)過程都認(rèn)為是平穩(wěn)的遍歷的隨機(jī)過程，因此，我們可以取隨機(jī)過程的一個樣本來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性。隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性一般采用隨機(jī)過程的分布函數(shù)和概率密度來描述，它們能夠?qū)﹄S機(jī)過程作完整的描述。但是由于在實踐中難以求得，在工程技術(shù)中，一般采用描述隨機(jī)過程的主要平均統(tǒng)計特性的幾個函數(shù)，包括均值、方差、相關(guān)函數(shù)、概率密度、頻譜及功率譜密度等來描述它們。以下算法都是一種估計算法，條件是N要足夠大。①隨機(jī)過程的均值（數(shù)學(xué)期望）：均值E[x(t)]()表示集合平均值或數(shù)學(xué)期望值?；陔S機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性，可用時間間隔T內(nèi)的幅值平均值表示，即：均值表達(dá)了信號變化的中心趨勢，或稱之為直流分量。②隨機(jī)過程的均方值：信號x(t)的均方值E[x2(t)]()，或稱為平均功率，其表達(dá)式為：均方值表達(dá)了信號的強(qiáng)度，其正平方根值，又稱為有效值，也是信號的平均能量的一種表達(dá)。③隨機(jī)信號的方差：信號x(t)的方差定義為：稱為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差?？梢宰C明，其中：描述了信號的波動量；描述了信號的靜態(tài)量，方差反映了信號繞均值的波動程度。在已知均值和均方值的前提下，方差就很容易求得了。eq\o\ac(○,4)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)：。信號的相關(guān)性是指客觀事物變化量之間的相依關(guān)系。對于平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)和Y(t)在兩個不同時刻t和t+τ的起伏值的關(guān)聯(lián)程度，可以用相關(guān)函數(shù)表示。在離散情況下，信號x(n)和y(n)的相關(guān)函數(shù)定義為：τ,t=0,1，2,……N-1。但是，相關(guān)函數(shù)與和的強(qiáng)度有關(guān)，若或（為均值）很小，即使兩者的相關(guān)程度較強(qiáng)（當(dāng)時間差τ較小時），則相關(guān)函數(shù)也不會大，所以相關(guān)函數(shù)并不能準(zhǔn)確地表示關(guān)聯(lián)程度的大小。為了消除起伏值對相關(guān)函數(shù)的影響，需要對相關(guān)函數(shù)做歸一化處理，所以引入了相關(guān)系數(shù)的概念。平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)系數(shù)由下式定義：相關(guān)系數(shù)又稱為規(guī)一化相關(guān)函數(shù)，它確切表征了平穩(wěn)隨機(jī)過程在兩個不同時刻的起伏值之間的線性關(guān)聯(lián)程度。自然界中的事物變化規(guī)律的表現(xiàn)，總有互相關(guān)聯(lián)的現(xiàn)象，不一定是線性相關(guān)，也不一定是完全無關(guān)，如人的身高與體重，吸煙與壽命的關(guān)系等。隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)表示波形自身不同時刻的相似程度。與波形分析、頻譜分析相比，它具有能夠在強(qiáng)噪聲干擾情況下準(zhǔn)確地識別信號周期的特點。下面是幾種典型信號的自相關(guān)（互相關(guān)）函數(shù)：正弦波函數(shù)的自相關(guān)：正弦波與噪聲的互相關(guān)函數(shù)：正弦波與方波的互相關(guān)函數(shù)：正弦波與三角波的互相關(guān)函數(shù)：正弦波與小波信號的互相關(guān)函數(shù)：正弦波與自身加噪聲的互相關(guān)函數(shù)：正弦波加噪聲的自相關(guān)函數(shù)：⑤隨機(jī)過程的頻譜：信號頻譜分析是采用傅立葉變換將時域信號x(t)變換為頻域信號，從而幫助人們從另一個角度來了解信號的特征。時域信號x(t)的傅氏變換為：信號的時域描述只能反映信號的幅值隨時間的變化情況，除只有一個頻率分量的簡諧波外一般很難明確揭示信號的頻率組成和各頻率分量的大小。例如，下圖是一受噪聲干擾的多頻率成分周期信號，從信號波形上很難看出其特征，但從信號的功率譜上卻可以判斷、并識別出信號中的四個周期分量和它們的大小。信號的頻譜代表了信號在不同頻率分量處信號成分的大小，它能夠提供比時域信號波形更直觀，豐富的信息。

受噪聲干擾的多頻率成分周期信號波形和頻譜⑥隨機(jī)過程的功率譜密度：隨機(jī)信號的功率普密度是隨機(jī)信號的各個樣本在單位頻帶內(nèi)的頻譜分量消耗在一歐姆電阻上的平均功率的統(tǒng)計均值，是從頻域描述隨機(jī)信號的平均統(tǒng)計參量，表示X(t)的平均功率在頻域上的分布。它只反映隨機(jī)信號的振幅信息，而沒有反映相位信息。隨機(jī)過程的功率普密度為：－∞＜ω＜＋∞隨機(jī)信號的平均功率就是隨機(jī)信號的均方值。隨機(jī)信號功率譜密度的性質(zhì)：★功率譜密度為非負(fù)值，即功率譜密度大與等于0?！锕β首V密度是ω的實函數(shù)。★對于實隨機(jī)信號來說，功率譜密度是ω的偶函數(shù)，即Sx(ω)=Sx(-ω)?！锕β首V密度可積。功率譜密度曲線下的總面積（即隨機(jī)信號的全部功率）等于隨機(jī)信號的均方值。★隨機(jī)信號的功率譜與它的自相關(guān)函數(shù)構(gòu)成一對傅里葉變換對。⑵線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)的輸入x(t)和輸出y(t)之間的關(guān)系可以用常系數(shù)線性微分方程來描述：any(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(0)(t)=bmx(m)(t)+bm-1x(m-1)(t)+b1x(1)(t)+b0x(0)(t)其中a0，a1，…，an和b0，b1，…，bm均為常數(shù)，則稱該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，線性定常系統(tǒng)有下面的一些重要性質(zhì)：☆疊加性系統(tǒng)對各輸入之和的輸出等于各單個輸入所得的輸出之和，即

。。若x1(t)→y1(t)，x2(t)→y2(t)。。

。。則x1(t)±x2(t)→y1(t)±y2(t)☆比例性常數(shù)倍輸入所得的輸出等于原輸入所得輸出的常數(shù)倍，即

。。若x(t)→y(t)。。

。。則kx(t)→ky(t)☆微分性系統(tǒng)對原輸入信號的微分等于原輸出信號的微分，即

。。若x(t)→y(t)。。

。。則x’(t)→y’(t)☆積分性當(dāng)初始條件為零時，系統(tǒng)對原輸入信號的積分等于原輸出信號的積分，即

。。若x(t)→y(t)。。

。。則∫x(t)dt→∫y(t)dt☆頻率保持性若系統(tǒng)的輸入為某一頻率的諧波信號，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出將為同一頻率的諧波信號，即

。。若x(t)=Acos(ωt+φx)。。。。則y(t)=Bcos(ωt+φy)。。大家知道，線性動態(tài)系統(tǒng)分析的中心問題是給定一個輸入信號求輸出響應(yīng)。在確定信號輸入的情況下，輸出響應(yīng)都有一個明確的表達(dá)式。而對于隨機(jī)信號而言，要想得到輸出響應(yīng)的確定表達(dá)是可能的。然而，一個隨機(jī)信號可以方便的通過其均值方差、相關(guān)函數(shù)、頻譜及功率譜密度等特性來加以描述。我們在這里研究的問題是如何根據(jù)線性系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號的統(tǒng)計特性及線性系統(tǒng)的特性，確定線性系統(tǒng)的統(tǒng)計特性。當(dāng)輸入離散信號為雙側(cè)平穩(wěn)隨機(jī)信號時，信號經(jīng)過線性系統(tǒng)后的統(tǒng)計特性：輸出過程的均值為：其中是信號經(jīng)線性系統(tǒng)后的均值，是輸入信號的均值。輸出過程的自相關(guān)函數(shù)為線性系統(tǒng)輸出的自相關(guān)是輸入的自相關(guān)同系統(tǒng)沖擊響應(yīng)的自相關(guān)的卷積。輸出過程的互相關(guān)函數(shù)為輸出信號的均方值（平均功率）為；輸出的均值為常數(shù)，輸出自相關(guān)函數(shù)只是m的函數(shù)。輸出信號的功率譜密度：頻域分析：⑶非線性系統(tǒng)在一般電子設(shè)備中，除了線性電路之外，通常還包括一些非線性電路，例如檢波器、限幅器、鑒頻器等。非線性電路具有下述特點：①疊加原理已不適用，當(dāng)信號與噪聲共同通過非線性電路時，不能像線性電路那樣將它們分開研究。②會發(fā)生頻譜變換，產(chǎn)生出輸入電路中不含有的新頻譜分量，例如輸入信號的各次諧波。與線性系統(tǒng)相同，非線性動態(tài)系統(tǒng)分析的中心問題也是給定一個輸入信號求輸出響應(yīng)。一個隨機(jī)信號可以方便的通過其均值、方差、相關(guān)函數(shù)、頻譜及功率譜密度等特性來加以描述。我們在這里研究的問題是如何根據(jù)非線性系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號的統(tǒng)計特性及線性系統(tǒng)的特性，確定非線性系統(tǒng)的統(tǒng)計特性。⒊實驗任務(wù)與要求⑴實驗系統(tǒng)框圖如圖1所示：圖1線性系統(tǒng)測試、非線性系統(tǒng)測試⑵輸入信號：線性系統(tǒng)：輸入信號，其中：、、為1KHz、2KHz、3KHz，幅值為1v，n(t)為高斯白噪聲，如圖2所示：圖2線性系統(tǒng)輸入信號的時域、頻域圖自己繪圖時一定要注意頻域圖的橫坐標(biāo)非線性系統(tǒng)：輸入信號其中A(t)包絡(luò)頻率為1KHz,幅值為1v。載波頻率為：4KHz，幅值為1v，是一個固定相位，n(t)為高斯白噪聲。實際上，這是一個帶有載波的雙邊帶調(diào)制信號，如圖3所示：圖3非線性系統(tǒng)輸入信號的時域、頻域圖⑶整個線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)都用matlab或c/c++編寫其中隨機(jī)信號統(tǒng)計特性程序要求計算均值、均方值、方差，自相關(guān)函數(shù)、概率密度函數(shù)(僅對不確定信號)、頻譜及功率譜密度。⑷用matlab或c/c++設(shè)計非線性系統(tǒng)研究隨機(jī)信號經(jīng)非線性系統(tǒng)后的非線性變換問題，就要設(shè)計一個非線性系統(tǒng)。在這里非線性系統(tǒng)設(shè)計成一個平方率檢波器。平方律檢波器的特性曲線如圖4所示：圖4平方律檢波器的特性曲線時域特性：當(dāng)x>0時,，當(dāng)x≤0時,y=0。頻域特性：。設(shè)計小信號平方律檢波器，頻率范圍：<100KHz，輸入信號幅度小于1v。平方率檢波器設(shè)計好之后，要求測試它的頻率特性并畫出頻率特性曲線，觀察是否符合要求。注意:對非線性系統(tǒng)卷積運(yùn)算不再適用。經(jīng)平方率檢波器后的頻率特性如圖5所示：圖5經(jīng)平方率檢波器后的頻率特性⑸用matlab或c/c++設(shè)計線性系統(tǒng)研究隨機(jī)信號經(jīng)線性系統(tǒng)后的線性變換問題，就要設(shè)計一個線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)設(shè)計成一個低通濾波器，其濾波器的技術(shù)指標(biāo)如圖6所示：低通濾波器：通帶截止頻率1KHz阻帶截止頻率2KHz。過渡帶:1KHz阻帶衰減：>35DB通帶衰減：<1DB圖6低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)低通濾波器設(shè)計好之后，要求測試它的頻率特性并畫出頻率特性曲線觀察是否符合要求。經(jīng)低通濾波器后的頻率特性如圖7所示：圖7經(jīng)低通濾波器后的頻率特性⑹完成系統(tǒng)測試a．測試隨機(jī)信號自身特性。b．測試平方率檢波器的時域頻域特性。c．測試隨機(jī)信號經(jīng)平方率檢波器后的特性。d．測試低通濾波器的時域頻域特性。e．測試隨機(jī)信號經(jīng)低通濾波器后的特性。⑺按要求寫實驗報告4、實驗設(shè)計與仿真(1)輸入信號的設(shè)計按照實驗要求，模擬出線性信號xi=sin(1000*2*pi*t)+sin(2000*2*pi*t)+sin(3000*2*pi*t)和非線性信號xi2=(1+cos(1000*2*pi*t)).*cos(4000*2*pi*t)，以及對其進(jìn)行分析Matlab仿真程序如下%******************************生成輸入信號******************************%clcclearallcloseallfs=16000;t=0:1/(fs-1):0.01;x=sin(1000*2*pi*t)+sin(2000*2*pi*t)+sin(3000*2*pi*t);y=(1+cos(1000*2*pi*t)).*cos(4000*2*pi*t);x1=awgn(x,5,'measured');y1=awgn(y,5,'measured');X=fft(x,1024);Lx=length(X);fx=(0:Lx-1)'*(fs-1)/Lx;Y=fft(y,1024);Ly=length(Y);fy=(0:Ly-1)'*(fs-1)/Ly;disp('平均值')x_mn=mean(x1)x_vr=var(x1)x_st=x_vr+x_mn^2x_arr=xcorr(x1);y_mn=mean(y1)y_vr=var(y1)y_st=y_vr+y_mn^2y_arr=xcorr(y1);subplot(221);plot(t,x1)title(‘線性信號波形’)subplot(222);plot(fx(1:length(fx)/2),abs(X(1:length(fx)/2)))title('線性信號頻譜')subplot(223);plot(t,y1)title('非線性信號波形')subplot(224);plot(fy(1:length(fy)/2),abs(Y(1:length(fy)/2)))title('·非線性信號頻譜')%線性信號自相關(guān)函數(shù)tau=(-length(x1)+1:length(x1)-1)/fs;figure(2)subplot(221);plot(tau,x_arr)title('線性信號的自相關(guān)函數(shù)');xlabel('\tau'),ylabel('R_x_i(\tau)');gridon;holdon;%線性信號的功率皮密度X_arr=fft(x_arr);cm=abs(X_arr);fl=(0:length(X_arr)-1)'*44100/length(X_arr);subplot(222);plot(fl(1:length(fl)/2),cm(1:length(fl)/2));title('線性信號的功率譜')xlabel('f'),ylabel('S_x_i(f)');holdon;gridon%非線性信號的相關(guān)函數(shù)tau=(-length(y1)+1:length(y1)-1)/fs;subplot(223);plot(tau,y_arr)title('非線性信號的自相關(guān)函數(shù)');%ê?è?D?o?μ?×??à1?oˉêy2¨D?xlabel('\tau'),ylabel('R_y_i(\tau)');gridon;holdon;%非線性信號的功率皮密度Y_arr=fft(y_arr);cm=abs(X_arr);fl=(0:length(Y_arr)-1)'*44100/length(Y_arr);subplot(224);plot(fl(1:length(fl)/2),cm(1:length(fl)/2));title('非線性信號的功率譜')xlabel('f'),ylabel('S_y_i(f)');holdon;gridon(2)低通濾波器設(shè)計%******************************低通濾波器******************************%clcclearallcloseallFs=16000;t=0:1/(Fs-1):0.05;xi1=sin(1000*2*pi*t)+sin(2000*2*pi*t)+sin(3000*2*pi*t);xi1=awgn(xi1,5,'measured');f=[1000,2000];m=[1,0];rp=0.8;%rs=40;dat1=(10^(rp/20)-1)/(10^(rp/20)+1);dat2=10^(-rs/20);rip=[dat1,dat2];[M,fo,mo,w]=remezord(f,m,rip,Fs);M=M+1;hn=remez(M,fo,mo,w);[h,W]=freqz(hn,1,256,1);h=abs(h);h=20*log10(h);fl=(0:length(xi1)-1)'*Fs/length(xi1);plot(W,h);gridon;xlabel('頻率(歸一化)');ylabel('幅度（dB）');title('濾波器特性曲線')Xi1=fft(xi1);figure(2)subplot(221);plot(t,xi1);title('濾波器按信號波形');subplot(222);plot(fl(1:length(fl)/2),abs(Xi1(1:length(fl)/2)));title('濾波器按信號頻譜');xo1=fftfilt(hn,xi1);Xo1=fft(xo1);subplot(223);plot(t,xo1);title('FIR后信號波形');subplot(224);plot(fl(1:length(fl)/2),abs(Xo1(1:length(fl)/2)));title('FIR后信號頻譜');(3)平方率檢波器設(shè)計%******************************平方率檢波器******************************%clearallcloseallfs=16000;t=0:1/(fs-1):0.05;xi2=(1+cos(1000*2*pi*t)).*cos(4000*2*pi*t);xi2=awgn(xi2,5,'measured');t=0:1/(length(xi2)-1):1;fl=(0:length(xi2)-1)'*fs/length(xi2);Xi2=fft(xi2);fori=1:length(xi2);ifxi2(i)>0xo2(i)=xi2(i)^2;elsexo2(i)=0;endendXo2=fft(xo2);subplot(221);plot(t,xi2);title('輸入信號波形');xlabel('t');ylabel('f(t)');gridonsubplot(222);plot(fl(1:length(fl)/2),abs(Xi2(1:length(fl)/2)));title('輸入信號頻譜');xlabel('f/hz');ylabel('F(f)');gridonsubplot(223);plot(t,xo2);title('經(jīng)平方率檢波器后的信號波形');xlabel('t');ylabel('f(t)')gridonsubplot(224);plot(fl(1:length(fl)/2),abs(Xo2(1:length(fl)/2)));title('經(jīng)平方率檢波器后的信號頻譜')xlabel('f/hz');ylabel('F(f)');gridonxo2_arr=xcorr(xo2)tau=(-length(xo2)+1:length(xo2)-1)/fs;subplot(325);plot(tau,xo2_arr)title('經(jīng)過平方率檢波器的自相關(guān)函數(shù)');xlabel('\tau'),ylabel('R_x_o_2(\tau)');gridon;holdon;Xo2_arr=fft(xo2_arr);cm=abs(Xo2_arr);fl=(0:length(Xo2_arr)-1)'*fs/length(Xo2_arr);subplot(326);plot(fl(1:length(fl)/2),cm(1:length(fl)/2));t