（預(yù)習(xí)課）2024年高中數(shù)學(xué)高二暑假講義11 直線的方程（教師版）

第第頁§2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式2．3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).2.會(huì)根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)兩條直線的交點(diǎn)1．兩直線的交點(diǎn)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.點(diǎn)A(a，b)．(1)若點(diǎn)A在直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，則有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若點(diǎn)A是直線l1與l2的交點(diǎn)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．兩直線的位置關(guān)系方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行1．若兩直線相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)一定是兩直線方程所組成的二元一次方程組的解．(√)2．無論m為何值，x－y＋1＝0與x－2my＋3＝0必相交．(×)3．若兩直線的方程組成的方程組有解，則兩直線相交．(×)4．在兩直線斜率都存在的情況下，若斜率不相等，則兩直線相交．(√)一、求相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)例1(1)求經(jīng)過點(diǎn)(2,3)且經(jīng)過直線l1：x＋3y－4＝0與l2：5x＋2y＋6＝0的交點(diǎn)的直線方程；(2)求經(jīng)過兩條直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點(diǎn)且與直線3x＋y－1＝0垂直的直線方程．解(1)聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y－4＝0，,5x＋2y＋6＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，))所以直線l1與l2的交點(diǎn)為(－2,2)．由兩點(diǎn)式可得所求直線的方程為eq\f(y－3,2－3)＝eq\f(x－2,－2－2)，即x－4y＋10＝0.(2)由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y－3＝0，,x＋y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,5)，,y＝－\f(7,5)，))因?yàn)樗笾本€和直線3x＋y－1＝0垂直，所以所求直線的斜率k＝eq\f(1,3)，所以有y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,5)))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))))，即所求的直線方程為5x－15y－18＝0.反思感悟求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．(1)求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，關(guān)鍵是解方程組．(2)解二元一次方程組的常用方法有代入消元法和加減消元法．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知直線l1：3x＋4y－5＝0與l2：3x＋5y－6＝0相交，則它們的交點(diǎn)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))答案B(2)經(jīng)過直線2x－y＋4＝0與x－y＋5＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線x－2y＝0的直線方程是()A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0答案A二、直線系過定點(diǎn)問題例2無論m為何值，直線l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒過一定點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解∵(m＋1)x－y－7m－4＝0，∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－7＝0，,x－y－4＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝3.))∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(7,3)．反思感悟解含參數(shù)的直線恒過定點(diǎn)問題的策略(1)方法一：任給直線中的參數(shù)賦兩個(gè)不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗(yàn)證這兩條直線的交點(diǎn)就是題目中含參數(shù)直線所過的定點(diǎn)，從而問題得解．(2)方法二：含有一個(gè)參數(shù)的二元一次方程若能整理為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是參數(shù)，這就說明了它表示的直線必過定點(diǎn)，其定點(diǎn)可由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，則表示的所有直線必過定點(diǎn)(x0，y0)．跟蹤訓(xùn)練2已知直線(a－2)y＝(3a－1)x－1，求證：無論a為何值，直線總經(jīng)過第一象限．證明將直線方程整理為a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0.因?yàn)橹本€3x－y＝0與x－2y＋1＝0的交點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))，即直線系恒過第一象限內(nèi)的定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))，所以無論a為何值，直線總經(jīng)過第一象限．對(duì)稱問題典例光線通過點(diǎn)A(2,3)，在直線l：x＋y＋1＝0上反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)B(1,1)，試求入射光線和反射光線所在直線的方程．解設(shè)點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A′(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2＋x0,2)＋\f(3＋y0,2)＋1＝0，,\f(y0－3,x0－2)＝1，))解得A′(－4，－3)．由于反射光線經(jīng)過點(diǎn)A′(－4，－3)和B(1,1)，所以反射光線所在直線的方程為y－1＝(x－1)·eq\f(1＋3,1＋4)，即4x－5y＋1＝0.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－5y＋1＝0，,x＋y＋1＝0，))得反射點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(1,3))).所以入射光線所在直線的方程為y－3＝(x－2)·eq\f(3＋\f(1,3),2＋\f(2,3))，即5x－4y＋2＝0.[素養(yǎng)提升]對(duì)稱問題中的直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算(1)可以通過直觀想象理解對(duì)稱問題中的點(diǎn)線位置關(guān)系．(2)直線的對(duì)稱可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的對(duì)稱，其中的點(diǎn)、直線可以通過數(shù)學(xué)運(yùn)算確定．1．兩條直線l1：2x－y－1＝0與l2：x＋3y－11＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(3,2) B．(2,3)C．(－2，－3) D．(－3，－2)答案B解析解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0，,x＋3y－11＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3.))2．直線2x＋y＋1＝0與直線x－y＋2＝0的交點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋1＝0，,x－y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1.))∴交點(diǎn)(－1,1)在第二象限．故選B.3．不論m為何實(shí)數(shù)，直線l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒過定點(diǎn)()A．(－3，－1) B．(－2，－1)C．(－3,1) D．(－2,1)答案C解析直線l的方程可化為m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋1＝0，,－x－3y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝1，))∴直線l恒過定點(diǎn)(－3,1)．故選C.4．斜率為－2，且過兩條直線3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交點(diǎn)的直線方程為______________．答案2x＋y－4＝0解析設(shè)所求直線方程為3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，∴k＝eq\f(3＋λ,1－λ)＝－2，解得λ＝5.∴所求直線方程為2x＋y－4＝0.5．若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一點(diǎn)，則k＝________.答案－eq\f(1,2)解析解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋8＝0，,x－y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))又該點(diǎn)(－1，－2)也在直線x＋ky＝0上，∴－1－2k＝0，∴k＝－eq\f(1,2).1．知識(shí)清單：(1)兩條直線的交點(diǎn)．(2)直線過定點(diǎn)．2．方法歸納：消元法、加減消元法、直線系法．3．常見誤區(qū)：對(duì)兩直線相交條件認(rèn)識(shí)模糊：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交的等價(jià)條件是A1B2－A2B1≠0.1．直線x＝1和直線y＝2的交點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(2,2)B．(1,1)C．(1,2)D．(2,1)答案C解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))得交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，故選C.2．直線3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(－4，－3) B．(4,3)C．(－4,3) D．(3,4)答案C解析由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＋6＝0，,2x＋5y－7＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝3.))故選C.3．經(jīng)過直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點(diǎn)，且經(jīng)過原點(diǎn)的直線的方程是()A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0C．3x＋19y＝0 D．19x－3y＝0答案C解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋4＝0，,2x＋y＋5＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(19,7)，,y＝\f(3,7).))故過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,7)，\f(3,7)))和原點(diǎn)的直線方程為y＝－eq\f(3,19)x，即3x＋19y＝0.4．兩條直線2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交點(diǎn)在y軸上，那么k的值是()A．－24B．6C．±6D．24答案C解析因?yàn)閮蓷l直線2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)交點(diǎn)為(0，b)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3b－k＝0，,－kb＋12＝0，))消去b，可得k＝±6.5．當(dāng)a取不同實(shí)數(shù)時(shí)，直線(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒過一定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)是()A．(2,3) B．(－2,3)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2))) D．(－2,0)答案B解析直線化為a(x＋2)－x－y＋1＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,－x－y＋1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3，))直線過定點(diǎn)(－2,3)．6．過兩直線2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交點(diǎn)且與直線3x＋y－1＝0平行的直線方程為________．答案3x＋y＝0解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－5＝0，,x＋y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－3，))則所求直線的方程為y＋3＝－3(x－1)，即3x＋y＝0.7．三條直線ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10,2x－y＝10相交于一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為________．答案－1解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3y＝10，,2x－y＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))又點(diǎn)(4，－2)在直線ax＋2y＋8＝0上，所以4a＋2×(－2)＋8＝0，解得a＝－1.8．已知直線ax＋2y－1＝0與直線2x－5y＋c＝0垂直相交于點(diǎn)(1，m)，則a＝________，c＝________，m＝________.答案5－12－2解析由兩直線垂直得2a－10＝0，解得a＝5.又點(diǎn)(1，m)在直線上得a＋2m－1＝0,2－5m＋c＝0，所以m＝－2，c＝－12.9．求經(jīng)過直線l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線2x－y＋7＝0的直線方程．解由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋17y＋9＝0，,7x－8y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(11,27)，,y＝－\f(13,27)，))所以交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,27)，－\f(13,27))).又因?yàn)橹本€斜率為k＝－eq\f(1,2)，所以，所求直線方程為y＋eq\f(13,27)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(11,27)))，即27x＋54y＋37＝0.10．若兩條直線l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交點(diǎn)在第四象限，求k的取值范圍．解聯(lián)立兩直線的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2k＋1，,x＋2y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2－4k,2k＋1)，,y＝\f(6k＋1,2k＋1)，))∵該交點(diǎn)落在平面直角坐標(biāo)系的第四象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2－4k,2k＋1)>0，,\f(6k＋1,2k＋1)<0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<k<\f(1,2)，,－\f(1,2)<k<－\f(1,6)，))即－eq\f(1,2)<k<－eq\f(1,6).則k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,6))).11．直線kx＋y＋1＝2k，當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過定點(diǎn)()A．(2，－1) B．(－2，－1)C．(2,1) D．(－2,1)答案A解析kx＋y＋1＝2k，可化為y＋1＝k(2－x)，故該直線恒過定點(diǎn)(2，－1)．12．若三條直線l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能構(gòu)成三角形，則a應(yīng)滿足的條件是()A．a(chǎn)＝1或a＝－2 B．a(chǎn)≠±1C．a(chǎn)≠1且a≠－2 D．a(chǎn)≠±1且a≠－2答案D解析(1)若三條直線重合，由三條直線的方程可知a＝1.(2)若三條直線交于一點(diǎn)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋ay＋1＝0，,x＋y＋a＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－a－1，,y＝1，))將l2，l3的交點(diǎn)(－a－1,1)代入l1的方程解得a＝1(舍去)或a＝－2.(3)若l1∥l2，由a×a－1×1＝0，得a＝±1，當(dāng)a＝1時(shí)，l1與l2重合．(4)若l2∥l3，由1×1－a×1＝0，得a＝1，當(dāng)a＝1時(shí)，l2與l3重合．(5)若l1∥l3，由a×1－1×1＝0，得a＝1，當(dāng)a＝1時(shí)，l1與l3重合．綜上，當(dāng)a＝1時(shí)，三條直線重合；當(dāng)a＝－1時(shí)，l1∥l2；當(dāng)a＝－2時(shí)，三條直線交于一點(diǎn)，所以要使三條直線能構(gòu)成三角形，需a≠±1且a≠－2.13．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，則b＝________.答案2解析解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,x－2y＋4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))代入直線y＝3x＋b，得b＝2.14．已知A(－2,4)，B(4,2)，直線l：ax－y－2＝0與線段AB恒相交，則a的取值范圍為________．答案(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析如圖所示，直線l：ax－y－2＝0經(jīng)過定點(diǎn)D(0，－2)，a表示直線l的斜率，設(shè)線段AB與y軸交于點(diǎn)C，由圖形知，當(dāng)直線l：ax－y－2＝0與線段AB的交點(diǎn)在線段CB上時(shí)，a大于或等于DB的斜率，即a≥eq\f(2＋2,4－0)＝1，即a≥1.當(dāng)直線l：ax－y－2＝0與線段AB的交點(diǎn)在線段AC上時(shí)，a小于或等于DA的斜率，即a≤eq\f(4＋2,－2－0)＝－3，即a≤－3.綜上，a的取值范圍為(－∞，－3]∪[1，＋∞)．15．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分線方程為y＝x＋1，則AC所在直線方程為()A．y＝2x＋4 B．y＝eq\f(1,2)x－3C．x－2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝0答案C解析設(shè)B關(guān)于直線y＝x＋1的對(duì)稱點(diǎn)B′(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－2,x＋1)＝－1，,\f(y＋2,2)＝\f(x－1,2)＋1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x－y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0，))即B′(1,0)．又B′在直線AC上，則直線AC的方程為eq\f(y－1,0－1)＝eq\f(x－3,1－3)，即x－2y－1＝0.16．直線l過定點(diǎn)P(0,1)，且與直線l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分別交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為P，求直線l的方程．解方法一設(shè)A(x0，y0)，由中點(diǎn)公式，有B(－x0，2－y0)，∵A在l1上，B在l2上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0－3y0＋10＝0，,－2x0＋2－y0－8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－4，,y0＝2，))∴kAP＝eq\f(1－2,0＋4)＝－eq\f(1,4)，故所求直線l的方程為y＝－eq\f(1,4)x＋1，即所求直線l的方程為x＋4y－4＝0.方法二由題易知，直線l的斜率存在，設(shè)所求直線l方程為y＝kx＋1，l與l1，l2分別交于A，B，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x－3y＋10＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,3k－1)，,y＝\f(10k－1,3k－1)，))∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3k－1)，\f(10k－1,3k－1)))；解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,2x＋y－8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,k＋2)，,y＝\f(8k＋2,k＋2)，))∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,k＋2)，\f(8k＋2,k＋2)))，∵A，B的中點(diǎn)為P(0,1)，則有eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3k－1)＋\f(7,k＋2)))＝0，∴k＝－eq\f(1,4).故所求直線l的方程為x＋4y－4＝0.方法三設(shè)所求直線l與l1，l2分別交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)為AB的中點(diǎn)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝0，,y1＋y2＝2，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－x1，,y2＝2－y1，))代入l2的方程得2(－x1)＋2－y1－8＝0，即2x1＋y1＋6＝0，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－3y1＋10＝0，,2x1＋y1＋6＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－4，,y1＝2，))所以A(－4,2)，由兩點(diǎn)式可得所求直線l的方程為x＋4y－4＝0.2．3.2兩點(diǎn)間的距離公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握兩點(diǎn)間距離公式并會(huì)應(yīng)用.2.用坐標(biāo)法證明簡單的平面幾何問題．知識(shí)點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離公式：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特別提醒：(1)此公式與兩點(diǎn)的先后順序無關(guān)．(2)原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).1．點(diǎn)P1(0，a)，點(diǎn)P2(b，0)之間的距離為a－b.(×)2．當(dāng)A，B兩點(diǎn)的連線與坐標(biāo)軸平行或垂直時(shí)，兩點(diǎn)間的距離公式不適用．(×)3．點(diǎn)P1(x1，y1)，點(diǎn)P2(x2，y2)，當(dāng)直線平行于坐標(biāo)軸時(shí)|P1P2|＝|x1－x2|.(×)一、兩點(diǎn)間的距離例1如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，試判斷△ABC的形狀．解方法一∵|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，又|BC|＝eq\r(1－32＋7＋32)＝eq\r(104)＝2eq\r(26)，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．方法二∵kAC＝eq\f(7－1,1－－3)＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－－3)＝－eq\f(2,3)，∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．延伸探究題中條件不變，求BC邊上的中線AM的長．解設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，所以x＝eq\f(3＋1,2)＝2，y＝eq\f(－3＋7,2)＝2，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2)．由兩點(diǎn)間的距離公式得|AM|＝eq\r(－3－22＋1－22)＝eq\r(26)，所以BC邊上的中線AM的長為eq\r(26).反思感悟計(jì)算兩點(diǎn)間距離的方法(1)對(duì)于任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，則|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)對(duì)于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解．跟蹤訓(xùn)練1已知點(diǎn)A(－1,2)，B(2，eq\r(7))，在x軸上求一點(diǎn)P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．解設(shè)P(x，0)，|PA|＝eq\r(x＋12＋－22)，|PB|＝eq\r(x－22＋－\r(7)2)，∵|PA|＝|PB|，∴eq\r(x＋12＋4)＝eq\r(x－22＋7)，解得x＝1，∴P(1,0)，∴|PA|＝eq\r(1＋12＋4)＝2eq\r(2).二、運(yùn)用坐標(biāo)法解決平面幾何問題例2在△ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．證明設(shè)BC邊所在直線為x軸，以D為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)A(b，c)，C(a，0)，則B(－a，0)．因?yàn)閨AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．反思感悟利用坐標(biāo)法解平面幾何問題常見的步驟：(1)建立坐標(biāo)系，盡可能將有關(guān)元素放在坐標(biāo)軸上；(2)用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；(3)將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算；(4)把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練2已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，對(duì)角線為AC和BD.求證：|AC|＝|BD|.證明如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0,0)，B(a，0)，C(b，c)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是(a－b，c)．∴|AC|＝eq\r(b－02＋c－02)＝eq\r(b2＋c2)，|BD|＝eq\r(a－b－a2＋c－02)＝eq\r(b2＋c2).故|AC|＝|BD|.1．已知M(2,1)，N(－1,5)，則|MN|等于()A．5B.eq\r(37)C.eq\r(13)D．4答案A解析|MN|＝eq\r(2＋12＋1－52)＝5.2．直線y＝x上的兩點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別是1,5，則|PQ|等于()A．4B．4eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)答案B解析∵P(1,1)，Q(5,5)，∴|PQ|＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2).3．到A(1,3)，B(－5,1)的距離相等的動(dòng)點(diǎn)P滿足的方程是()A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0答案B解析設(shè)P(x，y)，則eq\r(x－12＋y－32)＝eq\r(x＋52＋y－12)，即3x＋y＋4＝0.4．(多選)直線x＋y－1＝0上與點(diǎn)P(－2,3)的距離等于eq\r(2)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(－4,5) B．(－3,4)C．(－1,2) D．(0,1)答案BC解析設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且eq\r(x0＋22＋y0－32)＝eq\r(2)，兩式聯(lián)立解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－3，,y0＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝2.))5．已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，則BC邊上的中線長為________．答案eq\r(17)解析BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，則BC邊上的中線長為eq\r(－1－02＋5－12)＝eq\r(17).1．知識(shí)清單：兩點(diǎn)間的距離公式．2．方法歸納：待定系數(shù)法、坐標(biāo)法．3．常見誤區(qū)：已知距離求參數(shù)問題易漏解．1．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，則eq\f(|AC|,|CB|)等于()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．3D．2答案D解析|AC|＝4eq\r(2)，|CB|＝2eq\r(2)，故eq\f(|AC|,|CB|)＝2.2．已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，則△ABC的周長是()A．2eq\r(3) B．3＋2eq\r(3)C．6＋3eq\r(2) D．6＋eq\r(10)答案C解析由兩點(diǎn)間距離公式得|AB|＝eq\r(2＋12＋3－02)＝3eq\r(2)，|BC|＝eq\r(－1－22＋0－02)＝3，|CA|＝eq\r(2－22＋3－02)＝3.故△ABC的周長為6＋3eq\r(2).3．已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，則△ABC的形狀是()A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形答案C解析由兩點(diǎn)間的距離公式，可得|AB|＝eq\r(18)，|BC|＝|CA|＝eq\r(17)，且|BC|2＋|CA|2≠|(zhì)AB|2，∴△ABC為等腰三角形．4．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D為BC邊的中點(diǎn)，則線段AD的長是()A．2eq\r(5)B．3eq\r(5)C.eq\f(5\r(5),2)D.eq\f(7\r(5),2)答案C解析由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，BC邊的中點(diǎn)Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，6)).由兩點(diǎn)間的距離公式得|AD|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,2)))2＋1－62)＝eq\f(5\r(5),2).故選C.5．兩直線3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分別過定點(diǎn)A，B，則|AB|的值為()A.eq\f(\r(89),5)B.eq\f(17,5)C.eq\f(13,5)D.eq\f(11,5)答案C解析直線3ax－y－2＝0過定點(diǎn)A(0，－2)，直線(2a－1)x＋5ay－1＝0過定點(diǎn)Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,5)))，由兩點(diǎn)間的距離公式，得|AB|＝eq\f(13,5).6．已知點(diǎn)A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，則a的值為________．答案1或－5解析由兩點(diǎn)間距離公式得(－2－a)2＋(－1－3)2＝52，所以(a＋2)2＝32，所以a＋2＝±3，即a＝1或a＝－5.7．在x軸上找一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q與A(5,12)間的距離為13，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為________．答案(10,0)或(0,0)解析設(shè)Q(x0,0)，則有13＝eq\r(5－x02＋122)，得x0＝0或x0＝10.8．直線2x－5y－10＝0與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積是________．答案5解析令x＝0，則y＝－2；令y＝0，則x＝5.∴S＝eq\f(1,2)×|－2|×|5|＝5.9．已知直線ax＋2y－1＝0和x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為eq\f(\r(2),4)，求a的值．解由題易知a≠0，直線ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝eq\f(1,a)，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，0))，令x＝0，有y＝eq\f(1,2)，則Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，故AB的中點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)，\f(1,4)))，∵線段AB的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為eq\f(\r(2),4)，∴eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－0))2)＝eq\f(\r(2),4)，解得a＝±2.10．已知直線l1：2x＋y－6＝0和點(diǎn)A(1，－1)，過A點(diǎn)作直線l與已知直線l1相交于B點(diǎn)，且使|AB|＝5，求直線l的方程．解當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＋1＝k(x－1)，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6＝0，,y＝kx－k－1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7＋k,k＋2)，,y＝\f(4k－2,k＋2)，))即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7＋k,k＋2)，\f(4k－2,k＋2))).由|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7＋k,k＋2)－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k－2,k＋2)＋1))2)＝5，解得k＝－eq\f(3,4)，∴直線l的方程為y＋1＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.當(dāng)過A點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，方程為x＝1.此時(shí)，與l1的交點(diǎn)為(1,4)，也滿足題意，綜上所述，直線l的方程為3x＋4y＋1＝0或x＝1.11．以點(diǎn)A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)為頂點(diǎn)的三角形是()A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．以上都不是答案C解析|AB|＝eq\r(－3－32＋22)＝eq\r(36＋4)＝eq\r(40)＝2eq\r(10)，|BC|＝eq\r(－1－32＋2＋22)＝eq\r(16＋16)＝eq\r(32)＝4eq\r(2)，|AC|＝eq\r(－1＋32＋22)＝eq\r(8)＝2eq\r(2)，∵|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC為直角三角形．故選C.12．已知x，y∈R，S＝eq\r(x＋12＋y2)＋eq\r(x－12＋y2)，則S的最小值是()A．0B．2C．4D.eq\r(2)答案B解析S＝eq\r(x＋12＋y2)＋eq\r(x－12＋y2)可以看作是點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)(－1,0)與點(diǎn)(1,0)的距離之和，數(shù)形結(jié)合(圖略)易知最小值為2.13．設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，AB的中點(diǎn)是P(2，－1)，則|AB|＝________.答案2eq\r(5)解析設(shè)A(a，0)，B(0，b)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋0,2)＝2，,\f(b＋0,2)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－2，))∴|AB|＝eq\r(4－02＋0＋22)＝2eq\r(5).14．在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則eq\f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)＝________.答案10解析以C為原點(diǎn)，AC，BC所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)A(4a，0)，B(0,4b)，則D(2a，2b)，P(a，b)，所以|PA|2＝9a2＋b2，|PB|2＝a2＋9b2，|PC|2＝a2＋b2，于是|PA|2＋|PB|2＝10(a2＋b2)＝10|PC|2，即eq\f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)＝10.15．光線從B(－3,5)射到x軸上，經(jīng)反射后過點(diǎn)A(2,10)，則光線從B到A經(jīng)過的路程為________．答案5eq\r(10)解析B(－3,5)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′(－3，－5)，AB′交x軸于P點(diǎn)，所以|PA|＋|PB|＝|AB′|＝eq\r(2＋32＋10＋52)＝5eq\r(10)，即光線從B到A經(jīng)過的路程為5eq\r(10).16．△ABD和△BCE是在直線AC同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，用坐標(biāo)法證明|AE|＝|CD|.證明如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)△ABD和△BCE的邊長分別為a，c，則A(－a，0)，C(c，0)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(\r(3),2)a))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3),2)c))，則|AE|＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(c,2)－－a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)c－0))2)＝eq\r(a2＋ac＋c2)，|CD|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)－c))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a－0))2)＝eq\r(a2＋ac＋c2)，所以|AE|＝|CD|.2．3.3點(diǎn)到直線的距離公式2．3.4兩條平行直線間的距離學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握點(diǎn)到直線距離的公式，會(huì)用公式解決有關(guān)問題.2.掌握兩條平行直線間的距離公式，并會(huì)求兩條平行直線間的距離．知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線間的距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點(diǎn)到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間公垂線段的長圖示公式(或求法)點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))思考1點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a和直線y＝b的距離怎樣計(jì)算？答案P(x0，y0)到x＝a的距離d＝|a－x0|；P(x0，y0)到y(tǒng)＝b的距離d＝|b－y0|.思考2兩直線都與坐標(biāo)軸平行，可以利用公式求距離嗎？答案可以.應(yīng)用公式時(shí)要把直線方程都化為一般式方程．1．當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)在直線l：Ax＋By＋C＝0上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離公式不適用了．(×)2．點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).(×)3．直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值是點(diǎn)到直線的距離．(√)4．兩平行線間的距離是一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)的最短距離．(√)一、點(diǎn)到直線的距離例1(1)求點(diǎn)P(2，－3)到下列直線的距離．①y＝eq\f(4,3)x＋eq\f(1,3)；②3y＝4.解①y＝eq\f(4,3)x＋eq\f(1,3)可化為4x－3y＋1＝0，則點(diǎn)P(2，－3)到該直線的距離為eq\f(|4×2－3×－3＋1|,\r(42＋－32))＝eq\f(18,5).②3y＝4可化為3y－4＝0，則點(diǎn)P(2，－3)到該直線的距離為eq\f(|－3×3－4|,\r(02＋32))＝eq\f(13,3).(2)求垂直于直線x＋3y－5＝0且與點(diǎn)P(－1,0)的距離是eq\f(3\r(10),5)的直線l的方程．解設(shè)與直線x＋3y－5＝0垂直的直線的方程為3x－y＋m＝0，則由點(diǎn)到直線的距離公式知，d＝eq\f(|3×－1－0＋m|,\r(32＋－12))＝eq\f(|m－3|,\r(10))＝eq\f(3\r(10),5).所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直線l的方程為3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.反思感悟點(diǎn)到直線的距離的求解方法(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，只需把直線方程化為一般式方程，直接應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．(2)對(duì)于與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線x＝a或y＝b，求點(diǎn)到它們的距離時(shí)，既可以用點(diǎn)到直線的距離公式，也可以直接寫成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)時(shí)，只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．跟蹤訓(xùn)練1(1)點(diǎn)P(－1,2)到直線2x＋y－10＝0的距離為________．答案2eq\r(5)(2)已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)A(3,2)和B(－1,4)到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則實(shí)數(shù)m的值為________．答案－6或eq\f(1,2)解析由eq\f(|3m＋2＋3|,\r(m2＋1))＝eq\f(|－m＋4＋3|,\r(m2＋1))，得|3m＋5|＝|m－7|，∴m＝－6或m＝eq\f(1,2).二、兩平行線間的距離例2(1)求兩條平行直線3x＋4y－12＝0與mx＋8y＋6＝0之間的距離；(2)求到直線3x－4y＋1＝0的距離為3，且與此直線平行的直線的方程．解(1)由兩直線平行得eq\f(3,m)＝eq\f(4,8)，∴m＝6.∴直線6x＋8y＋6＝0即為3x＋4y＋3＝0.∴兩平行直線間的距離d＝eq\f(|3＋12|,\r(32＋42))＝eq\f(15,5)＝3.(2)設(shè)所求直線方程為3x－4y＋m＝0，由兩平行線間的距離公式得eq\f(|m－1|,\r(32＋－42))＝3，解得m＝16或m＝－14.故所求的直線方程為3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.延伸探究把本例(2)改為“直線l與直線3x－4y＋1＝0平行且點(diǎn)P(2,3)到直線l的距離為3，求直線l的方程”．解由直線l平行于直線3x－4y＋1＝0，可設(shè)l的方程為3x－4y＋c＝0，又點(diǎn)P到l的距離為3，所以eq\f(|3×2－4×3＋c|,\r(32＋－42))＝3.解得c＝21或c＝－9，所以，所求直線方程為3x－4y＋21＝0或3x－4y－9＝0.反思感悟求兩條平行直線間距離的兩種方法(1)轉(zhuǎn)化法：將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上一點(diǎn)到另一條直線的距離，即化線線距為點(diǎn)線距來求．(2)公式法：設(shè)直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則兩條平行直線間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).跟蹤訓(xùn)練2(1)已知直線5x＋12y－3＝0與直線10x＋my＋20＝0平行，則它們之間的距離是()A．1B．2C.eq\f(1,2)D．4答案A解析由兩條直線平行可得eq\f(5,10)＝eq\f(12,m)，解得m＝24.即5x＋12y＋10＝0，由兩條平行線間的距離公式得d＝eq\f(|－3－10|,\r(52＋122))＝1.(2)已知直線l1，l2是分別經(jīng)過A(1,1)，B(0，－1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，直線l1的方程是________．答案x＋2y－3＝0解析當(dāng)兩條平行直線與A，B兩點(diǎn)的連線垂直時(shí)，兩條平行直線間的距離最大．因?yàn)锳(1,1)，B(0，－1)．所以kAB＝eq\f(－1－1,0－1)＝2，所以兩條平行直線的斜率為－eq\f(1,2)，所以直線l1的方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.三、距離的綜合應(yīng)用例3兩條互相平行的直線分別過點(diǎn)A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A，B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d.求：(1)d的變化范圍；(2)當(dāng)d取最大值時(shí)，兩條直線的方程．解(1)如圖，顯然有0<d≤|AB|.而|AB|＝eq\r(6＋32＋2＋12)＝3eq\r(10).故所求的d的變化范圍為(0,3eq\r(10)]．(2)由圖可知，當(dāng)d取最大值時(shí)，兩直線與AB垂直．而kAB＝eq\f(2－－1,6－－3)＝eq\f(1,3)，所以所求直線的斜率為－3.故所求的直線方程分別為y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.反思感悟應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想求最值(1)解決此題的關(guān)鍵是理解式子表示的幾何意義，將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，從而利用圖形的直觀性加以解決．(2)數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)變化的思想方法在解題中經(jīng)常用到．當(dāng)圖形中的元素運(yùn)動(dòng)變化時(shí)我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進(jìn)而可求出這些量的變化范圍．跟蹤訓(xùn)練3已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,1)，B(m，eq\r(m))，C(4,2)，1<m<4.當(dāng)m為何值時(shí)，△ABC的面積S最大？解|AC|＝eq\r(4－12＋2－12)＝eq\r(10)，直線AC的方程為eq\f(y－1,2－1)＝eq\f(x－1,4－1)，即x－3y＋2＝0.因?yàn)辄c(diǎn)B(m，eq\r(m))到直線AC的距離d＝eq\f(|m－3\r(m)＋2|,\r(12＋－32))，所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)|AC|·d＝eq\f(1,2)|m－3eq\r(m)＋2|＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(m)－\f(3,2)))2－\f(1,4))).因?yàn)?<m<4，所以1<eq\r(m)<2，所以0<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(m)－\f(3,2)))2－\f(1,4)))≤eq\f(1,4)，0<S≤eq\f(1,8).所以當(dāng)eq\r(m)＝eq\f(3,2)，即m＝eq\f(9,4)時(shí)，△ABC的面積S最大．1．已知點(diǎn)(a，1)到直線x－y＋1＝0的距離為1，則a的值為()A．1B．－1C.eq\r(2)D．±eq\r(2)答案D解析由題意知eq\f(|a－1＋1|,\r(12＋12))＝1，即|a|＝eq\r(2)，∴a＝±eq\r(2).2．兩平行直線x＋y－1＝0與2x＋2y＋1＝0之間的距離是()A.eq\f(3\r(2),4)B.eq\f(\r(2),4)C．2D．1答案A解析2x＋2y＋1＝0可化為x＋y＋eq\f(1,2)＝0，由兩平行直線間的距離公式，得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1)),\r(12＋12))＝eq\f(3\r(2),4).3．已知點(diǎn)M(1,2)，點(diǎn)P(x，y)在直線2x＋y－1＝0上，則|MP|的最小值是()A.eq\r(10) B.eq\f(3\r(5),5)C.eq\r(6) D．3eq\r(5)答案B解析點(diǎn)M到直線2x＋y－1＝0的距離，即為|MP|的最小值，所以|MP|的最小值為eq\f(|2＋2－1|,\r(22＋12))＝eq\f(3\r(5),5).4．直線3x－4y－27＝0上到點(diǎn)P(2,1)距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是________________．答案(5，－3)解析由題意知過點(diǎn)P作直線3x－4y－27＝0的垂線，設(shè)垂足為M，則|MP|最小，直線MP的方程為y－1＝－eq\f(4,3)(x－2)，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y－27＝0，,y－1＝－\f(4,3)x－2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－3，))∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，－3)．5．與直線3x－4y＋1＝0垂直，且與點(diǎn)(－1，－1)距離為2的直線方程為________．答案4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0解析設(shè)所求直線方程為4x＋3y＋C＝0.則eq\f(|4×－1＋3×－1＋C|,\r(42＋32))＝2，即|C－7|＝10.解得C＝－3或C＝17.故所求直線方程為4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.1．知識(shí)清單：(1)點(diǎn)到直線的距離公式．(2)兩條平行線間的距離．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合法、解方程(組)法．3．常見誤區(qū)：利用距離公式時(shí)直線方程形式不是一般式；忽略直線方程的特殊形式．1．原點(diǎn)到直線x＋2y－5＝0的距離為()A．1B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)答案D解析d＝eq\f(|0＋2×0－5|,\r(12＋22))＝eq\r(5).2．已知直線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，則l1與l2之間的距離為()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2答案B解析d＝eq\f(|1－－1|,\r(12＋12))＝eq\r(2).3．已知點(diǎn)(a，2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于()A.eq\r(2) B.eq\r(2)－1C.eq\r(2)＋1 D．2－eq\r(2)答案B解析由點(diǎn)到直線的距離公式，得1＝eq\f(|a－2＋3|,\r(1＋1))，即|a＋1|＝eq\r(2).因?yàn)閍>0，所以a＝eq\r(2)－1，故選B.4．已知直線3x＋my－3＝0與6x＋4y＋1＝0互相平行，則它們之間的距離是()A．4B.eq\f(2\r(13),13)C.eq\f(5\r(13),26)D.eq\f(7\r(13),26)答案D解析∵3x＋my－3＝0與6x＋4y＋1＝0平行，∴eq\f(3,6)＝eq\f(m,4)，∴m＝2，化6x＋4y＋1＝0為3x＋2y＋eq\f(1,2)＝0，∴d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－－3)),\r(32＋22))＝eq\f(\f(7,2),\r(13))＝eq\f(7\r(13),26).5．(多選)已知A(－2，－4)，B(1,5)兩點(diǎn)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值可能為()A．－3 B．3C．－2 D．1答案AB解析由題意得eq\f(|－2a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq\f(|a＋5＋1|,\r(a2＋1))，解得a＝－3或a＝3.6．若點(diǎn)(2，k)到直線5x－12y＋6＝0的距離是4，則k的值是________．答案－3或eq\f(17,3)解析∵eq\f(|5×2－12k＋6|,\r(52＋122))＝4，∴|16－12k|＝52，∴k＝－3或k＝eq\f(17,3).7．已知點(diǎn)P在直線3x＋y－5＝0上，且點(diǎn)P到直線x－y－1＝0的距離為eq\r(2)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．答案(1,2)或(2，－1)解析設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，5－3a)，由題意得eq\f(|a－5－3a－1|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，解得a＝1或2，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)或(2，－1)．8．經(jīng)過點(diǎn)P(－3,4)，且與原點(diǎn)的距離等于3的直線l的方程為________________．答案x＝－3或7x＋24y－75＝0解析(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，原點(diǎn)到直線l：x＝－3的距離等于3，滿足題意；(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－4＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋4＝0.原點(diǎn)到直線l的距離d＝eq\f(|3k＋4|,\r(k2＋－12))＝3，解得k＝－eq\f(7,24).直線l的方程為7x＋24y－75＝0.綜上可知，直線l的方程為x＝－3或7x＋24y－75＝0.9．求過點(diǎn)P(0,2)且與點(diǎn)A(1,1)，B(－3,1)等距離的直線l的方程．解方法一∵點(diǎn)A(1,1)與B(－3,1)到y(tǒng)軸的距離不相等，∴直線l的斜率存在，設(shè)為k.又直線l在y軸上的截距為2，則直線l的方程為y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.由點(diǎn)A(1,1)與B(－3,1)到直線l的距離相等，得eq\f(|k－1＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－3k－1＋2|,\r(k2＋1))，解得k＝0或k＝1.∴直線l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.方法二當(dāng)直線l過線段AB的中點(diǎn)時(shí)，直線l與點(diǎn)A，B的距離相等．∵A