（預(yù)習(xí)課）2024年高中數(shù)學(xué)高二暑假講義12 圓的方程（原卷版）

第第頁§2.4圓的方程2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程.2.會用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能準(zhǔn)確判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．知識點(diǎn)一圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)條件：圓心為C(a，b)，半徑長為r.(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)特例：圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑長為r的圓的方程是x2＋y2＝r2.知識點(diǎn)二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷方法位置關(guān)系利用距離判斷利用方程判斷點(diǎn)M在圓上|CM|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點(diǎn)M在圓外|CM|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2點(diǎn)M在圓內(nèi)|CM|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r21．方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圓．(×)2．確定一個圓的幾何要素是圓心和半徑．(√)3．圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圓心坐標(biāo)是(1,2)，半徑是4.(×)4．(0,0)在圓(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(×)一、求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1(1)與y軸相切，且圓心坐標(biāo)為(－5，－3)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．(2)以兩點(diǎn)A(－3，－1)和B(5,5)為直徑端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________________．反思感悟直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的策略確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需確定圓心坐標(biāo)和半徑，常用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式，有時還用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點(diǎn)必為圓心”等．跟蹤訓(xùn)練1求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)圓心是(4,0)，且過點(diǎn)(2,2)；(2)圓心在y軸上，半徑為5，且過點(diǎn)(3，－4)．二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例2(1)點(diǎn)P(m2,5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是()A．點(diǎn)P在圓內(nèi) B．點(diǎn)P在圓外C．點(diǎn)P在圓上 D．不確定(2)已知點(diǎn)M(5eq\r(a)＋1，eq\r(a))在圓(x－1)2＋y2＝26的內(nèi)部，則a的取值范圍為________________．反思感悟判斷點(diǎn)與圓位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：主要利用點(diǎn)到圓心的距離與半徑比較大?。?2)代數(shù)法：把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷．跟蹤訓(xùn)練2已知點(diǎn)A(1,2)和圓C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，試分別求滿足下列條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍：(1)點(diǎn)A在圓的內(nèi)部；(2)點(diǎn)A在圓上；(3)點(diǎn)A在圓的外部．待定系數(shù)法與幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程典例求經(jīng)過點(diǎn)P(1,1)和坐標(biāo)原點(diǎn)，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．[素養(yǎng)提升](1)待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟(2)幾何法即是利用平面幾何知識，求出圓心和半徑，然后寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(3)像本例，理解運(yùn)算對象，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果．充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．1．若某圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋5)2＝3，則此圓的圓心和半徑長分別為()A．(－1,5)，eq\r(3) B．(1，－5)，eq\r(3)C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，32．圓心為(1，－2)，半徑為3的圓的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝93．點(diǎn)P(1,3)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是()A．在圓外B．在圓內(nèi)C．在圓上D．不確定4．圓心在y軸上，半徑為1，且過點(diǎn)(1,2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝15．若點(diǎn)P(5a＋1,12a)在圓(x－1)2＋y2＝1的外部，則a的取值范圍為__________．1．知識清單：(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系．2．方法歸納：直接法、幾何法、待定系數(shù)法．3．常見誤區(qū)：幾何法求圓的方程出現(xiàn)漏解情況．1．圓心為(3,1)，半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．(x＋3)2＋(y＋1)2＝5B．(x＋3)2＋(y＋1)2＝25C．(x－3)2＋(y－1)2＝5D．(x－3)2＋(y－1)2＝252．圓(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周長是()A.eq\r(13)πB．2eq\r(13)πC．2πD．2eq\r(3)π3．已知點(diǎn)A(3，－2)，B(－5,4)，以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100D．(x＋1)2＋(y－1)2＝1004．若點(diǎn)A(a＋1,3)在圓C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(0，＋∞) B．(－∞，5)C．(0,5) D．[0,5]5．已知一圓的圓心為點(diǎn)A(2，－3)，一條直徑的端點(diǎn)分別在x軸和y軸上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝526．若點(diǎn)P(－1，eq\r(3))在圓x2＋y2＝m2上，則實(shí)數(shù)m＝________.7．圓(x－3)2＋(y＋1)2＝1關(guān)于直線x＋y－3＝0對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________．8．當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過定點(diǎn)C，則以點(diǎn)C為圓心，eq\r(5)為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________．9．已知圓C過點(diǎn)A(3,1)，B(5,3)，圓心在直線y＝x上，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．10．已知點(diǎn)A(－1,2)和B(3,4)．求：(1)線段AB的垂直平分線l的方程；(2)以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．11．已知圓心在x軸上的圓C經(jīng)過A(3,1)，B(1,5)兩點(diǎn)，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．(x＋4)2＋y2＝50 B．(x＋4)2＋y2＝25C．(x－4)2＋y2＝50 D．(x－4)2＋y2＝2512．已知直線l過圓x2＋(y－3)2＝4的圓心，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則l的方程為()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝013．已知直線(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒過定點(diǎn)P，則與圓C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圓心且過點(diǎn)P的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18D．(x－2)2＋(y＋3)2＝914．已知點(diǎn)P(x，y)在圓x2＋y2＝1上，則eq\r(x－12＋y－12)的最大值為__________．15．已知圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于直線y＝－x對稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________．16．已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4，直線l：14x＋8y－31＝0，求圓C1關(guān)于直線l對稱的圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．2．4.2圓的一般方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握圓的一般方程及其特點(diǎn).2.會將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能熟練地指出圓心的坐標(biāo)和半徑的大小.3.能根據(jù)某些具體條件，運(yùn)用待定系數(shù)法確定圓的方程．知識點(diǎn)圓的一般方程1．圓的一般方程當(dāng)D2＋E2－4F>0時，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0稱為圓的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形條件圖形D2＋E2－4F<0不表示任何圖形D2＋E2－4F＝0表示一個點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))D2＋E2－4F>0表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))為圓心，以eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓1．方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一個圓．(×)2．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某個圓的方程．(×)3．若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圓，則E≠0.(√)4．任何一個圓的方程都能寫成一個二元二次方程．(√)一、圓的一般方程的辨析例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓．(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)寫出圓心坐標(biāo)和半徑．反思感悟圓的一般方程的辨析(1)由圓的一般方程的定義，若D2＋E2－4F>0成立，則表示圓，否則不表示圓．(2)將方程配方后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解．跟蹤訓(xùn)練1(1)圓x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半徑和圓心坐標(biāo)分別為()A．r＝1，(－2,1) B．r＝2，(－2,1)C．r＝2，(2，－1) D．r＝1，(2，－1)(2)若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．m<eq\f(1,2)B．m>eq\f(1,2)C．m<0D．m≤eq\f(1,2)二、求圓的一般方程例2已知圓過P(4，－2)，Q(－1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長為4eq\r(3)，求圓的方程．反思感悟求圓的方程的策略(1)幾何法：由已知條件通過幾何關(guān)系求得圓心坐標(biāo)、半徑，得到圓的方程；(2)待定系數(shù)法：選擇圓的一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)條件列關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組解出系數(shù)得到方程．跟蹤訓(xùn)練2(1)圓心在直線y＝x上，且經(jīng)過點(diǎn)A(－1,1)，B(3，－1)的圓的一般方程是____________________．(2)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，則△ABC的外接圓的方程是__________________．三、求動點(diǎn)的軌跡方程例3已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，點(diǎn)B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動點(diǎn)．(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．反思感悟求與圓有關(guān)的軌跡問題的方程(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．(3)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等．跟蹤訓(xùn)練3已知△ABC的邊AB長為4，若BC邊上的中線為定長3，求頂點(diǎn)C的軌跡方程．1．圓x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圓心和半徑分別為()A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4C．(－2,3)，4 D．(2，－3)，16答案C2．將圓x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直線是()A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝03．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的圖形為()A．以(a，b)為圓心的圓B．以(－a，－b)為圓心的圓C．點(diǎn)(a，b)D．點(diǎn)(－a，－b)4．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圓，則k的取值范圍是________．5．若點(diǎn)M(3,0)是圓x2＋y2－8x－4y＋10＝0內(nèi)一點(diǎn)，則過點(diǎn)M(3,0)的最長的弦所在的直線方程是__________．1．知識清單：(1)圓的一般方程．(2)求動點(diǎn)的軌跡方程．2．方法歸納：待定系數(shù)法、幾何法、定義法、代入法．3．常見誤區(qū)：忽視圓的一般方程表示圓的條件．1．已知圓C：x2＋y2－2x－2y＝0，則點(diǎn)P(3,1)在()A．圓內(nèi) B．圓上C．圓外 D．無法確定2．圓的方程為(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，則圓心坐標(biāo)為()A．(1，－1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))C．(－1,2) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1))3．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圓的條件是()A．m<1 B．m>1C．m<eq\f(1,4) D.eq\f(1,4)<m<14．圓x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圓心到直線x－y＝1的距離為()A．2B.eq\f(\r(2),2)C．1D.eq\r(2)5．如果圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)關(guān)于直線y＝x對稱，則有()A．D＋E＝0 B．D＝EC．D＝F D．E＝F6．如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圓的方程，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．7．若點(diǎn)(a＋1，a－1)在圓x2＋y2－2ay－4＝0的內(nèi)部(不包括邊界)，則a的取值范圍是________．8．已知直線與圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<5)相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,1)，則直線AB的方程為____________